第4章 图形的相似单元测试(培优卷)-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优(原卷版)【北师大版】
北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似(单元综合卷)(解析版)
第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
北师大版2020-2021学年九年级数学上册第4章 图形的相似 单元检测卷(含答案)
北师版九年级数学上册 第四章图形的相似测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( ) A.a m ＝n b B.a n ＝m b C.m a ＝n b D.m a ＝b n2．如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为12，若BC ＝1，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，那么与△ABC 相似的三角形的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( ) A.AD AB ＝AE AC B.DF FC ＝AE EC C.AD DB ＝DE BC D.DF BF ＝EF FC5．某人要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm 的矩形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费( ) A ．540元 B ．1080元 C ．1620元 D ．1800元6．如图，点E ，F 的坐标分别为E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O 为位似中心，按相似比12把△EFO 缩小，则E 点的对应点E′的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(12，12) C ．(2，－1) D ．(2，－12)7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( ) A ．1.25尺 B ．57.5尺 C ．6.25尺 D ．56.5尺8．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是( ) A ．∠ABD ＝∠C B ．∠ADB ＝∠ABC C.AB BD ＝CB CD D.AD AB ＝AB AC9．如图，在△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．－12a B ．－12(a ＋1) C ．－12(a －1) D ．－12(a ＋3)10．如图所示的是一张等腰三角形纸片，底边长18 cm ，底边上的高长18 cm ，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝__________．12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝__________．13．如图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC ＝4，AB ＝3，CD ＝2，则CE ＝__________．14．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10 cm ，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE ∥AB)，那么小玻璃管口径DE 是__________m.15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)．若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为______________．16如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，连接DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD ＝____________．17．如图，在▱ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________________．18．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A 点，则FH＝____________里．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC，BE的长．20. (6分) 如图，一油桶高1 m，桶内有油，一根木棒长1.2 m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48 m，求桶内油面的高度h′.21. (6分)如图，▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF与△CDF周长之比；22．(6分)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度．23．(6分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB，AC交于P，Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F，设AD＝80，BC＝120，当四边形PEFQ为正方形时，试求出正方形的边长．24．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．25．(8分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)参考答案 1-5 CBDAC 6-10CBCDB 11. －1312. 1413. 5214.20315. (3，4)或(0，4) 16. 3∶5 17.5－1218. 1.0519. 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴FB BE ＝AB BC ＝ADDE ，即BF BE ＝3BC ＝24，∴BC ＝6，BF ＝12BE ， ∴EF ＝12BE ＋BE ＝7.5，∴BE ＝520. 解：∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ， ∴AC AB ＝ADAE ，∴1.2－0.481.2＝1－h′1， ∴h′＝0.4 m答：桶内油面的高度是0.4 m.21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ， ∴∠CDF ＝∠FEA ，∠DCA ＝∠FAE ，∴△AEF ∽△CDF (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB. 又∵AE ∶EB ＝2∶3，∴可设AE ＝2λ，则BE ＝3λ，DC ＝5λ. ∵△AEF ∽△CDF ，∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝2λ5λ＝2522. 解：∵CD ⊥FB ，∴AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ， ∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH， 即：CD －EF AH ＝FD FD ＋BD ，∴3－1.6AH ＝22＋15， ∴AH ＝11.9，∴AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m) 答：旗杆AB 的高度是13.5m.23. 解：设正方形的边长为x ，则PQ ＝PE ＝x. ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵PQ ∥BC ，∴∠AGP ＝90°，∴AG ⊥PQ.又∵PQ ∥BC ，PE ⊥BC ，∴GD ＝PE ＝x ，AG ＝AD －GD ＝80－x. ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴PQ BC ＝AG AD ，∴x 120＝80－x 80， 解得x ＝48，答：正方形的边长为4824. (1)证明：易证△ABE ≌△CBE ，∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是正方形 (2)解：当AE ＝2EF 时，FG ＝3EF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABE ∽△FDE ，△ADE ∽△GBE. ∵AE ＝2EF ，∴BE ∶DE ＝AE ∶EF ＝2.∴BG ∶AD ＝BE ∶DE ＝2，即BG ＝2AD. ∵BC ＝AD ，∴CG ＝AD.易证△ADF ∽△GCF ，∴FG ＝AF ，即FG ＝AF ＝AE ＋EF ＝3EF 25. 解：由题意得：∠CAD ＝∠MND ＝90°，∠CDA ＝∠MDN ，∴△CAD∽△MND，∴CAMN＝ADND，∴1.6MN＝1×0.8（5＋1）×0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴EBMN＝BFNF，∴EB9.6＝2×0.8（2＋9）×0.8，∴EB≈1.75，答：小军身高约为1.75米1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。
2020-2021学年九年级数学北师大版上册第4章图形的相似单元测试题
2020-2021学年九年级数学北师大版上册第4章图形的相似单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AP ABAB AC=D．AB ACBP CB=2．如图，在ABC△中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )A．DF AEFC AC=B．AD ECAB AC=C．AD DEDB BC=D．DF EFBF FC=3．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（）A．1?2m B．3m C．32m D．43m4．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA′是（）A -1B ．2C ．1D ．125．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF .其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．观察下列每组图形，相似图形是( )A ．AB ．BC ．CD ．D7．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶168．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若23AB BC ，DE=4，则DF 的长是（ ）A ．203B ．83C ．10D ．69．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA=3：4，EF=3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．1210．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)二、填空题11．如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例，若m ＝2，n ＝8，y ＝20，则线段x 的长为________.12．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的周长之比_________. 13． 若345a b c ==，则2a bc-＝__________. 14． 如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为_________．15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米．16． 如图，若△ADE ∽△ACB ，且23ADAC ,若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是_________．17．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A ，E ，C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为___________.18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标为A （－1，1），B （2，3），C （0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为23．则点A 的对应点A ′的坐标为________．19．如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知0.5DE =米，0.25EF =米，目测点D 到地面的距离1.5DG =米，到旗杆水平的距离20DC =米，则旗杆的高度为__________米．三、解答题 20．已知234a b c==≠0，2a －b ＋c ＝10，求a ，b ，c 的值． 21． 图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标．23．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E（1）求证：△ABD∽△CED（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD 与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；(2)求证：AF·AD＝AB·EF.25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA 边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜103），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．参考答案1．D【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．2．A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可. 【详解】A.∵DE BC，∴DF DEFC BC=，AE DEAC BC=，∴DF AEFC AC=，故A正确；B. ∵DE BC，∴AD AEAB AC=，故B不正确；C. ∵DE BC，∴AD DEAB BC=，故C不正确；D. ∵DE BC，∴DF EFCF BF=，故D不正确；故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.3．D【解析】【分析】由题意可知△AEB∽△DEC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽CD的长．【详解】∵AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴ABCD=602000，∴403100 CD=，∴CD=4m3，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解本题的关键. 4．A【解析】试题解析：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵∴A′B=1∴AA′=AB--1故选A．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平移的性质． 5．A【解析】试题分析：根据AE ∥BC 可得：△AEF ∽△CBF ，根据题意可知△CBF ∽△CAB ，则△AEF ∽△CAB ，则①正确；根据相似可得：12AE AF BC CF ==，即CF=2AF ，则②正确；根据角度之间的关系我们可以得出∠DFC=∠DCF ，从而得出DF=DC ，即③正确；根据相似三角形的边长之比得出△ABF 和△DFC 的比值，从而得出四边形CDEF 和△ABF 的面积之比，则④正确，故本题选A ． 6．D 【解析】试题解析：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似. 故选D. 7．B【解析】试题分析：两个相似三角形的中线之比、高线之比，角平分线之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方，故本题选B ． 8．C 【解析】 试题解析：123,l l l2,3DE AB EF BC ∴== 又DE =4， ∴EF =6，∴DF =DE +EF =10， 故选C. 9．B 【解析】试题分析：∵DE ：EA=3：4，∴DE ：DA=3：7，∵EF ∥AB ，∴DE EF DA AB=，∵EF=3，∴337AB =，解得：AB=7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 10．A 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．11．5【详解】解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=5．故答案为：512．1∶2【解析】试题分析：两个相似三角形的周长之比相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则根据题意可知：它们的周长之比为1:2．13．2 5【解析】试题分析：设a=3k，则b=4k，c=5k，则原式=64k22 555k kk k-==．14．9 5【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴AB ACAC AD=，∵AB=5，AC=3，∴533AD=，∴AD=95．故答案为95．考点：相似三角形的判定与性质．15．12．36．【解析】试题分析：黄金分割即较大部分与较小部分之比值为1∶0.618，该矩形的较长边是20cm，那么较小边x是1200.618x=，解得x=0.618×20=12.36.考点：黄金分割比例点评：该题主要考查学生对黄金分割的意义，比值的熟记程度，同时提高学生明白数学在审美中的应用。
【浙教版】九年级数学上册第四章相似三角形培优训练卷（含答案）
【浙教版】九年级数学上册第四章相似三⾓形培优训练卷（含答案）第四章相似三⾓形单元培优训练卷⼀.选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）1.如图，在边长为9的正三⾓形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为（）A.4B.5C.6D.7(第1题) (第2题) 2.如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列⼀个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.BC2=CD?ACD.AB2=AD?AC3.如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（―3，6）.B（―9，⼀3），以原点O为位似中⼼，相似⽐为13，把△ABO缩⼩，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（―1，2）B.（―9，18）C.（―9，18）或（9，―18）D.（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题图B A O4.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△ABAEAD.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个 5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. 23B. 67C.625D.2 6.如图，在平⾏四边形ABCD 中，E 为CD 上⼀点，DE ：CE =2： 3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于( ) A.2：3：5 B.4：9：25 C.4：10：25 D.2：5：25第10题图F EDA(第6题) (第7题) (第8题)7.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂⾜为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF ＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.如图，在RtΔABC中，AF是斜边上的⾼线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（）A. 32B. 39.如图1，在等腰三⾓形ABC中，AB=AC=4，BC=7.如图2，在底边BC上取⼀点D，连结AD，使得∠DAC=∠AC D.如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D.则BE的长是（）A.4B.C.3D.210.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.△A1B1C1.△A2B2C2.△A3B3C3.….△A n B n C n是n个相同的等腰直⾓三⾓形，其直⾓顶点C1.C2.C3.….C n都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平⾏于A1C1，A3C3经过点B2且平⾏于A2C2，…，A n C n过点B n﹣1且平⾏于A n﹣1C n﹣1，且A1C=2CC1.当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个⼩的等腰直⾓三⾓形的直⾓边长为（）A. B. C. D.(第10题) (第11题)⼆、填空题（共6⼩题，每⼩题4分，满分24分）11.如图是重叠的两个直⾓三⾓形，将其中⼀个直⾓三⾓形沿BC⽅向平移得到△DEF.若AB=8，BE=6，DP=4，则图中阴影部分的⾯积为 .12.如图，△ABC是等边三⾓形，CE是外⾓平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若AB=6，AD=2CD，则BE的长为 .(第12题) (第13题)13.如图，点M 是△ABC 内﹣点，过点M 分别作直线平⾏于△ABC的各边，所形成的三个⼩三⾓形△1.△2.△3（图中阴影部分）的⾯积分别是1，4，9.则△ABC 的⾯积是 . 14.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D在BC 上，以AC 为对⾓线的所有平⾏四边形ADCE 中，DE 的最⼩值是_____________.第14题图EOBA CD(第14题) (第15题)15.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE⊥CD，CE ：ED=2：1.如果△BEC 的⾯积为2，那么四边形ABED 的⾯积是_______.16.设△ABC 的⾯积为1，如图①将边BC .AC 分别2等份，1BE .1AD 相交于点O ，△AOB 的⾯积记为1S ；如图②将边BC .AC分别3等份，1BE .1AD 相交于点O ，△AOB 的⾯积记为2S ；……，依此类推，则n S 可表⽰为 .(⽤含n 的代数式表⽰，其中n 为正整数)三.解答题（本题有7个⼩题，共66分）解答应写出证明过程或推演步骤.17.已知，如图，A（0.8），B（4，0），D是AB的中点，过D 点作直线与△AOB的⼀边交于点E，直线DE截△ADO得到的⼩三⾓形与△ABO相似，求满⾜题意的E点的坐标.18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD 相交于点E，且DC2=CE?C A.（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O 的半径.19.如图，在△ABC中，⼰知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在⼀起，△ABC不动，△DEF运动，并满⾜：点E在边BC上沿B到C的⽅向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点.（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三⾓形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值.（直接写出答案）20.如图，点M.N是边长为4的正△ABC边AB.AC上的动点，且满⾜：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处.（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；21.问题提出：数学课本上有这样⼀道题⽬：如图①，⼀块材料的形状是锐⾓三⾓形ABC，边BC=120mm，⾼AD=80mm.把它加⼯成正⽅形零件，使正⽅形的⼀边在BC上，其余两个顶点分别在AB.AC上，这个正⽅形零件的边长是多少？初步思考：（1）试计算出正⽅形零件的边长；深⼊探究：（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加⼯成三个相同⼤⼩的正⽅形零件，△ABC的边BC与⾼AD需要满⾜⼀定的数量关系.则这⼀数量关系是：AD=BC.（直接写出结论，不⽤说明理由）；（3）若△ABC可以按照图③加⼯成四个⼤⼩相同的正⽅形，且∠B=30°，求证：AB=B C.22.如图1，△ABC是等腰直⾓三⾓形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正⽅形，点B.C分别在边AD.AF上，此时BD ＝CF，BD⊥CF成⽴.(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成⽴吗？若成⽴，请证明；若不成⽴，请说明理由.(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长.23.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的⼀个动点（与B.C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似⽐k＞1），EF∥B C.（1）求∠D的度数；（2）若两三⾓形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①如图1，连接GH.AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；②当四边形AGDH的⾯积最⼤时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值.24.数学活动课上，某学习⼩组对有⼀内⾓为120°的平⾏四边形ABCD（∠BAD=120°）进⾏探究：将⼀块含60°的直⾓三⾓板如图放置在平⾏四边形ABCD所在平⾯内旋转，且60°⾓的顶点始终与点C重合，较短的直⾓边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）.（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类⽐发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深⼊探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= .参考答案⼀.选择题（共10⼩题，每⼩题3分，满分30分）2.如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列⼀个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.BC2=CD?ACD.AB2=AD?AC【解答】解：∵∠A是公共⾓，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两⾓对应相等的三⾓形相似）；故A与B正确；当=，即AB2=AC?AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的⽐相等且夹⾓对应相等的两个三⾓形相似）；故D正确；当=，即BC2=CD?AC时，∠A不是夹⾓，故不能判定△ADB 与△ABC相似，故C错误.故选C.3.如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（―3，6）.B（―9，⼀3），以原点O为位似中⼼，相似⽐为13，把△ABO缩⼩，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（―1，2）B.（―9，18）C.（―9，18）或（9，―18）D.（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题答案图EDB''B'A''A'B A Oxy(-9，-3)(-3，6)第8题图B A O【解析】⽅法⼀：∵△ABO 和△A ′B ′O 关于原点位似，∴△ ABO ∽△A ′B ′O 且OA ′OA ＝13.∴A ′E AD ＝OE OD ＝13. ∴A ′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A ′（－1,2）.同理可得A ′′（1,―2）.⽅法⼆：∵点A （―3，6）且相似⽐为13，∴点A 的对应点A ′的坐标是（―3×13，6×13），∴A ′（－1,2）.∵点A ′′和点A ′（－1,2）关于原点O 对称，∴A ′′（1,―2）. 故选择D. 4.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③ACAB AEAD =.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【解答】解：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 故选A 5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）A. 23B. 67 C.625D.2 【解答】解：在△中，∠由勾股定理得因为所以25. ⼜因为所以△∽△所以BCBD AB BE =，所以625=?=BC AB BD BE ，所以673625=-. 故选B6.如图，在平⾏四边形ABCD 中，E 为CD 上⼀点，DE ：CE =2：3，连结AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于( )A.2：3：5B.4：9：25C.4：10：25D.2：5：25【解答】解：∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：CE=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2=，==，∴===（等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于对应边之⽐），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选C.7.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂⾜为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF ＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个第10题图DA【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB …............①正确；∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF …………………②正确；过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH .∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AEED＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH .∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . …………③正确；第10题答案图DA设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BFAF.∴AF ＝EF ?BF＝1×2＝ 2.∴tan∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan∠CAD ＝tan∠ABF ＝22.…………④错误.故选择B.8.如图，在RtΔABC 中，AF 是斜边上的⾼线，且BD =DC =FC =1，则AC 的长为（）A. 32B. 3C. 2D. 33 【解答】解：在Rt △ADB 中，∵BD =1，∴由勾股定理得2AB 1x =-∵DC =FC =1，∴△DCB 是等腰三⾓形。
北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)
第四章 图形的相似第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．若a b ＝35，则a ＋b b的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A．22.5° B．30° C．36° D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )图4A. 5B.5＋1 C．4 D．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )图8A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF.∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.故选C.5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CDAB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ， 则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4.∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503.15.43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQBC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC.∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)，∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC.(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时，①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)．(3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ， 即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x＝3－5，∴BE的长为3－ 5.。
北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试(含答案)
K 从点 P 出发沿折线 PE ﹣﹣ 以E每F 秒 1 个单位长的速度匀速运
动．点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点 P 也
随之停止．设点 P、K 运动的时间是 t 秒（ t＞0 ）．
（1）当 t=1 时， KE= ， EN= ；
（2）当 t 为何值时，△
的面A积PM与△
（ 1 ）求证：△
ABM ∽△ EFA ；
（2）若 AB=12 ，BM=5 ，求 DE 的长．
21 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为
E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠
AFE= ∠ B ．
（ 1 ）求证：△
ADF ∽△ DEC ；
（2）若 AB=4 ，AD= ，AE=3 ，求 AF 的长．
（ 2）如图所示，以 B 为位似中心，画出△Ａ2B2C2，使△Ａ2B2C2 与△
ABC 位似，且位似比为 2：1 ，点 C2 的坐标是（ 1 ，0），
故答案为：（ 1）（2 ，﹣ ；2 （）2 ）（1 ，0）
23 ．解：（ 1）当 t=1 时，根据题意得， AP=1 ，PK=1 ， ∵ PE=2 ， ∴ KE=2 ﹣ 1=1 ， ∵四边形 ABCD 和 PEFG 都是矩形， ∴△ APM ∽△ ABC ，△ APM ∽△ NEM ，
按比例尺 1：2，把△ 缩EF小O，则点 E 的对应点 E ′的坐标为（
）
A．（2，﹣ 1 ）或（﹣ 1） 2 ， B．（8，﹣ 4 ）或
（﹣ 8 ，﹣ 4 ）
C．（2，﹣ 1 ）
D．（8 ，﹣ 4 ）
5．如图，已知 AD 为△ AB的C角平分线，
交DEA∥C 于ABE，如
2020-2021学年浙教 版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷一．选择题1．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣12．若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为（）A．3：5B．5：3C．9：25D．25：93．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．65．设a＞0，b＞0，称为a，b的“调和平均数”，如图，C为线段AB上的点，且AC ＝a，BC＝b，O是AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，如：图中的线段OD的长度是a，b的算术平均数，则长度是a，b的“调和平均数”的线段是（）A．OC B．CE C．DE D．OE6．如图．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1）．若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，）D．（0，3）7．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（）A．3.2B．3.6C．4D．4.28．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似9．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD ＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米10．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．A．3B．4C．5D．6二．填空题11．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是．12．已知3a﹣5b＝0，则＝．13．四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，则c＝．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．15．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于．16．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距米．17．已知点M是线段AB的黄金分割点，线段AB的长度为12cm，那么较长的线段AM的长是cm．18．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A 不在同一象限内，则点A1的坐标为．19．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝．20．如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝．三．解答题21．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．22．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．23．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，求EF的长．24．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD25．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF ∽△DCE．26．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）27．两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC＝AC，∵AC＝2，∴BC＝﹣1．故选：D．2．解：∵两个相似五边形的相似比为3：5，∴它们的面积比为：9：25．故选：C．3．解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：2x＝﹣5y，故错误；故选：C．4．解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，∴＝，解得：AB＝6．故选：D．5．解：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，又DC⊥AB，∴CD2＝AC•BC＝ab，∵线段OD的长度是a，b的算术平均数，∴OD＝，∵DC⊥OC，CE⊥OD，∴CD2＝DE•OD，∴DE＝＝＝，∴线段DE的长度是a，b的“调和平均数”，故选：C．6．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，∵点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1），∴AB＝2，CD＝4，BC＝6，∵线段AB和CD是位似图形，∴AB∥CD，∴＝，即＝，解得，BE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝3，∴位似中心点E的坐标为（0，3），故选：D．7．解：∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵DF＝9，∴DE＝，故选：B．8．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．9．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，∵FG∥EH，∴，＝解得：EH＝9.6，∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）答：电视塔的高ED是11.2米，故选：C．10．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．若△AOB∽△DOC，则＝＝，∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．所以可以作出四条直线．故选：B．二．填空题11．解：∵两个三角形的相似比是2：3，∴它们面积的比是（）2＝，故答案为：4：9．12．解：∵3a﹣5b＝0，∴3a＝5b，∴＝；故答案为：．13．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，∴＝，解得：c＝2（cm），故答案为：2cm．14．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为：＝．15．解：∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为：4：916．解：设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：CD＝0.75．故答案为0.75．17．解：∵点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，∴AM＝AB＝（6﹣6）厘米，故答案为：（6﹣6）．18．解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），故答案为：（﹣1，2.5）．19．解：∵⊙O的直径AB过的中点A，∴＝，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，∴△AEC∽△DEB，∴＝，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE＝x，∵∠DBA＝30°，∴BE＝x，∴＝＝；故答案为：．20．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∴，∵AC＝15，∴BC＝9，故答案为：9．三．解答题21．解：∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2t，b＝3t，c＝5t，∵3a﹣b+c＝24，∴6t﹣3t+5t＝24，解得t＝3，∴a＝6，b＝9，c＝15．22．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．23．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，DE＝6，∴，∴EF＝9．24．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，＝50，∵S△AOC∴S＝18．△BOD25．证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．26．解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．27．解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据题意得＝，＝（）2，解得x＝24，y＝36，所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2．。
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B （附答案详解） 1．如图，D 为ABC ∆的边AB 上一点，,3cm,4cm ABC ACD AD AB ∠=∠==，则AC 长为（ ）A ．12cmB ．23cmC ．3cmD ．2cm2．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A ．a=3，b=6，c=2，d=4 B ．a=1，b=2，c=22，d=4 C ．a=4，b=5，c=8，d=10 D ．a=2，b=3，c=4，d=53．若-x x y ＝2，则xy的值( ) A ．12 B ．32C ．23D ．24．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论： ①AOB COD ∽②AOD BOC ∽③::DOCBOAS SDC AB =④AODBOCSS=．其中结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，要使△ACD ∽△ABC ，需要补充的一个条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若4AE =，6EB =，2DF =，3FC =，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（ ）A ．1:2B ．2:3C ．2:5D ．4:97．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在CD 边上，CF ：DF=1：2，则S △CEF ：S △AEB 等于（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：98．在△ABC 中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A ．2B ．2C ．4D ．229．小明在离路灯底部6m 处测得自己的影子长为1.2m ，小明的身高为1.6m ，那么路灯的高度为（ ） A ．9.6mB ．8mC ．7.2mD ．6m10．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为( ) A ．13B ．23C ．12D ．不能确定11．如图，若BC ∥DE ，23AB AD =，S △ABC =4，则S △ADE =_____．12．两个相似三角形面积比为2，周长比为K ，则2k=________． 13．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____． 14．如图，90ABC D ∠=∠=，9AC cm =，6BC cm =，则当BD =________cm 时，ABC CDB ∽．15．已知x ，0y ≥满足231x y==，则x y +=________．16．如果0.2m,4cm a b ==，则:a b =______． 17．若345a b c==，则分式222ab bc aca b c -+++=_____．18．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为________．19．如图1，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的中点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ，线段CD 与BF 交于点F.若tanA=12,则CFDF =_____.如图2，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的一点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ；线段CD 与BF 交于点F.若13AD DB =，tanA=12，则CFDF =____.20．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA•PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”（1）⊙O 的半径为6，OP=4．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为_____；②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O 的半径为r ，OP=d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy 中，C （1，0），⊙C 的半径为3，若在直线y=3x+b 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的“幂值”为6，请直接写出b 的取值范围_____．21．如图，在方格纸中，点A，D都在格点上，作三角形ABC，使其满足下列条件.（点B，C不与点D重合）（1）在图甲中，作格点等腰△ABC，使AD为△ABC的高线.（2）在图乙中，作格点钝角△ABC，使AD为△ABC的角平分线22．如图(1)，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在OC 边上取一点D，将将纸片沿AD 翻转，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)求D、E 两点的坐标；(2)如图(2)，若AE 上有一动点P（不与A，E 重合），自点A 沿AE 方向向点E 做匀速运动，运动的速度为每秒1 个单位长度，设运动时间为t 秒，过点P作ED 的平行线交AD 于点M，过点M 作AE 平行线交DE 于点N．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，s 有最大值，最大值是多少？(3)请探究：在(2)的条件下，当t 为何值时，以A，M，E 为顶点的三角形是等腰三角形？23．如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒3cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．(1)求证：△PBM∽△QNM．(2)若∠ABC＝60°，AB＝43cm，①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．25．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．26．已知ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且AD AEnBD CE==，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．（1）当12 n=时，求AOOF的值；（2）当1n=时，求证：BF CF=；（3）当n=________时，O为AF中点．27．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．参考答案1．B【解析】【分析】由ABC ACD∠=∠且∠A=∠A可证△ACD≌△ABC，则通过其比例关系可得：AC2=AD×AB.【详解】∵∠A=∠A，ABC ACD∠=∠∴△ACD≌△ABC，∴AC AB AD AC=,∴AC2=AD×AB=3×4=12∴AC=23cm故选择B.【点睛】本题考察了“有两角对应相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性质. 2．D【解析】试题解析：A、2×6=3×4，能成比例；B、4×1=2×22，能成比例；C、4×10=5×8，能成比例；D、2×5≠3×4，不能成比例．故选D．3．D【解析】由＝2去分母得，再整理即可得到结果。
第4章图形的相似单元测试含解析北师大九年级上初三数学试题试卷.docx
《第4章图形的相似》一、选择题1.如图，A, B, C, D, E, G, H, M, N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与AABC 相似，则点F 应是G, H, M, N 四点中的（ ）人.曰或” B. G 或H C. M 或N D. G 或M2. AABC 与Z\DEF 的相似比为1： 4,则ZkABC 与Z\DEF 的周长比为（） 4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1,则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1,则新矩形与原矩形不相似.A. 1： 2B. 1： 3C. 1: 4D. 1： 16则皺（D.如图，在AABC 中，DE/7BC, 3. C.5.如图，Z\ABC 中，P 为AB 上的一点，在下列四个条件中：①ZACP 二ZB ；②ZAPC 二ZACB ； ③AC~AP ・AB ；④AB ・CP 二AP ・CB,能满足ZkAPC 和AACB 相似的条件是（ ）ABCD : S 四边形 A 'B’C'D'二(A. 1： 9B. 1： 3 8.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0. 85m,紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶（）A. 0. 5 mB. 0. 55 mC. 0. 6 mD. 2. 2 mAF1 1 9.如图，在Z\ABC 中，DE//BC,詈二羔则下列结论中正确的是（）UD ZA.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对C.②③④D.①②③ 6.如图，在DABCD 中，点E 是边AD 的中点EC 交对角线BD 于点F,则EF ： FC 等于 C. 1： 1D. 1： 2 四边形ABCD 与四边形"B z L D ，位似,0为位似中心,若OA ： 0A' =1： 3,则S 四边形C. 1： 4D. 1： 5 图2( )7.A AE _1 D DE _1 A ——B ——*AC 2 * BC 2△ADE的周长二」AADE的面积二」•A ABC的周长—§D・A ABC的面积10.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB二1, CD二3,那么EF的长是( )12. 如果竿二*■二半二k (b+d+fWO),且a+c+e二3 (b+d+f),那么k二・b d f13. 已知一个三角形的三边长分别为6, 8和10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,则较小三角形与较大三角形的相似比k二_・14. 在Z\ABC中，AB二12cm, BC=18c叫AC二24cm,另一个与它相似的Z\A‘ B‘ C'的周长为18cm,则Z\A‘ B‘ C各边长分别为__________ ・15. 如图，一束光线从点A (3, 3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B (1, 0),则光线从点A到点B经过的路径长为・二、填空题心)17.如图，在Z\ABC 中，DE 〃BC,孚■ AADE 的面积是8,贝IjAABC 的面积为B c18.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ： EC 二2： 1, AE 与BD 交于点F,则 AAFD 与四边形DEFC 的面积之比是 ・已知a 、b 、c 是AABC 的三边，且满足岁」且a+b+c 二12，请你探索AABC 的形状.22.如图，AABC 中，CD 是边AB 上的高，且弟二黒.CD D U(1) 求证:AACD^ACBD ；(2) 求ZACB 的大小.三、 解答题19. 已知线段a, b, c, d 成比例，且a 二6dm, b 二3dm, 20.4x _ 3y 1 v 若寺耗的值•21.,求线段C 的长度.c23.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE二ED, DF二*DC,连接EF并延长交BC 的延长线于点G.(1)求证：AABE^ADEF；24.某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：(1) 他们在AAMD和ABMC地带上种植太阳花，单价为8元/卅，当AAMD地带种满花后(图中阴影部分)，共花了160元，计算种满ABMC地带所需费用.(2) 若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/卅、10元/a/,应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25.如图，已知在AABC和Z\EBD中，詈希普二・(1) 若AABC与AEBD的周长之差为60cm,求这两个三角形的周长.(2) 若AABC与AEBD的面积之和为812cm2,求这两个三角形的面积.C l -------------- BE26.某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B （点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）・①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180。
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷A(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷A（附答案详解）1．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC=2米，CB=18米，则旗杆的高度是( )A．8米B．14.4米C．16米D．20米3．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3B．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍D．△DEF的面积为△ABC面积的1 124．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．165．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则AC∶BC等于( )A．1∶2B3C3D3∶16．已知xy＝32，那么下列等式中，不一定正确的是( )A．22xy++＝32B．2x＝3yC．x yy+＝52D．+xx y＝357．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB=3AE ，若S 四边形BCFE =16，则S △ABC =（ ）A ．16B ．18C ．20D ．248．如图，若D 、E 分别为△ABC 中AB 、AC 边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE 的长度为（ ）A ．94B ．52C ．185D ．49．如图，在△ABC 中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则S △DOE ：S △COB 等于（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：310．若()a b -：1:15a =，则:a b =（ ）A ．1:15B ．4:5C ．15:14D ．14:1511．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AE =32ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则EF FC等于_____．12．如图，已知A ，B ，C ，D 是O 上的四个点，AB BC =，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．若3BE =，6ED =，则AB =________．13．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA PB >，若1S 表示PA 为一边的正方形的面积，2S 表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则1S ________2S ．（填“>”“=”或“<”）14．如图，//AB CD ，13AB CD =，COD 的周长为12cm ，则AOB 的周长是________cm ．15．如图，D ，E 是△ABC 的边AB ，AC 的中点，已知，则四边形BCED 的面积为__________．16．如图，在ABC 中，P 是AC 上一点，连接BP ．要使ABP ACB ∽，则必须有ABP ∠=________或APB ∠=________或AB AP=________．17．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ，如果△ABD 的面积为18，则△ACD 的面积为_____．18．如果线段a 、b 、c 、d 满足13a c b d ==，那么a c b d+=+ ______ ． 19．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE=60°，AB=3，EC= 23，则DC的长为_______________．20．如果两个三角形两边和第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似．________（判断对错）21．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.（1）若点F与B重合，求CE的长；（3分）（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长.（5分）22．已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：（1）∠DAE=∠BAC；（2）△DAE∽△BAC．23．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E 重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF2cm/s，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S 与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF∽△EAD（2）□若AB=4，S ABCD=1633，求AE的长（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）25．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE. 特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）26．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，23DB DCDP DO==.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的的值.27．定义：当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d C﹣AB=n．如点C是AB的中点时，即AC=12AB，则d C﹣AB=12；反过来，当d C﹣AB=12时，则有AC=12 AB．（1）如图1，点C在线段AB上，若d C﹣AB=23，则ACAB= ；若AC=3BC，则d C﹣AB= ；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=10cm，BC=6cm，点P、Q 分别从点C和点B同时出发，点P沿线段CA以2cm/s的速度向点A运动，点Q沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当点P到达点A时，点P、Q均停止运动，连接PQ 交CD于点E，设运动时间为ts，d P﹣CA+d Q﹣CB=m．①当54≤m≤43时，求t的取值范围；②当d P ﹣CA =2m ，求d E ﹣CD 的值； ③当d E ﹣CD =2m 时，求t 的值．28．如图，已知一次函数y=kx+b 的图象交反比例函数42m y x -=的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ．（1）求m 的取值范围.（2）若点A 的坐标为（2，-4），且13BC AB =，求m 的值和一次函数表达式. （3）在（2）的条件下，连接OA ，求△AOC 的面积并直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S△AEF=12S△ABF，S△AEF=14S△BCF，可得S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2，故④正确．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠EAC=∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AE AFBC FC=12，∵AE=12AD=12BC，∴AFCF=12，∴CF=2AF，故②正确；∵△AEF∽△CBF，∴EF：BF=1：2，∴S△AEF=12S△ABF，S△AEF=14S△BCF，∴S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；∵△AEF∽△CAB，∴∠AEF=∠BAF，∵∠AFE=∠BFA=90°，∴△AEF∽△BAF，∴EF AF AF BF=，AF2=EF•BF=2EF2，故④正确．故选：B．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．2．C【解析】【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【详解】设旗杆高度为h，由题意得：1.6h=2218+，解得：h=16（米）．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．3．A【解析】【分析】【详解】解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF的面积为△ABC面积的169，故选A. 4．C【解析】分析：由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．详解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×14=4．故选C．点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．5．D【解析】试题分析：根据含有30°角的直角三角形而言，AC：，故选D．6．A【解析】分析：根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断．详解：A．由22xy++＝32得2x+4=3y+6，整理得：2x=3y+2，故本选项错误；B．∵xy=32，∴2x=3y，故本选项正确；C．由52x yy+=可得：2x+2y=5y，整理得：2x=3y，故本选项正确；D．由xx y+＝35可得：5x=3x+3y，∴2x=3y，故本选项正确．故选A．点睛：本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积并灵活运用是解题的关键．7．B【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴1 169xx=+，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.8．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE AB =ADAC，从而求出AE的长度．【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AEAB=ADAC，又∵AD=3，AC=6，DB=5，∴AB=AD+DB=8，∴AE=8×3÷6=4．故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．9．C【解析】【分析】根据三角形的中位线得出DE ∥BC ，DE=12BC ，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．【详解】∵BE 和CD 是△ABC 的中线， ∴DE=12BC ，DE ∥BC ， ∴12DE BC =，△DOE ∽△COB ， ∴221124DOE COB S DE S BC ∆∆===（）（）. 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10．C【解析】【分析】根据比例式的分比性质计算即可。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似培优测试卷(含解析)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cmC. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cmD. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（）A. x＝2，y＝3B. x3＝y2C. x+yy＝53D. x+2y+3＝233.如图，直线a //b //c，AB＝45BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A. 9B. 5C. 4D. 34.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm25.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )A. 6.4mB. 7mC. 8m.D. 9m6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 907.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A. （－2，3）B. （2，－3）C. （3，－2）或（－2，3）D. （－2，3）或（2，－3）8.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ， 点G 在线段AD 上，GE//BD ， 且交AB 于点E ， GF//AC ， 且交CD 于点F ， 则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AE =AG ADB. DF CF =DG ADC. FG AC =EG BDD. AE BE =CF DF 9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB =6 ， BC =8 ，过点 O 作 OE ⊥AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥BD ，垂足为 F ，则 OE +EF 的值为（ ）A. 485B. 325C. 245D. 12510.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC.下列结论：①AB ′=AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D=135°；④BB ′=BC ；⑤ AB 2=AE ⋅AF .其中正确的个数为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共8题；共24分）11.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，添加一条件能使△ABC ∽△ADE 的是________.12.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．13.若x∶y∶z=2∶3∶4，则2x+3y−z的值为________.x−y+2z14.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=________.15.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．16.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是________．17.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，点E和点F分别为AD,CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G .若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为________.18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M ，N ．已知AB=4，BC=6，则MN的长为________．三、解答题（共8题；共66分）19.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．20.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.21.图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出△ABC边BC上的中线AD，则S△ABD=________．（2）在图②中画出△BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足△BEF~△BAC，且S△BEF:S△BAC= 1:4；（3）在图③中画出△BMN，点MN分别在边AB、BC上，使得△BMN与△BAC是位似图形，且（保留作图痕迹）点B为位似中心，位似比为1322.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD ，∠CBD＝∠A ，过D作DH∥AB ，交BC的延长线于点H ．（1）求证：△HCD∽△HDB ．（2）求DH长度．23.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=________，CP=________；（用含t 的代数式表示）；（2）t为何值时，△CPQ 的面积等于1？（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？24.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD⋅OC=AB⋅OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.（1）求证：CE⊥AB．（2）求证：AF⋅DE=AG⋅BC .25.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．图1 图2（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC 重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．答案一、选择题1.解：A、1×6≠3×4，故不符合题意；B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D、3×8=4×6，故符合题意．故答案为：D．2.解：A、当x=2时，y=3，但不是x一定等于2，y一定等于3，故A不符合题意；B、3x=2y，则x3=y2，故B不符合题意；C、由3x=2y，得xy =23，则x+yy=53，故C符合题意；D、由3x=2y，得xy =23，不能得到x+2y+3=23，故D不符合题意.故答案为：C.3.解：∵l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例可知，AB BC =DEEF=45，设DE=4t，EF=5t，又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1，∴EF=5t=5，故答案为：B.4.解：设留下矩形的宽为xcm，∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴x4=48，解得x=2则留下矩形的面积为2×4=8(cm2) . 故答案为：C.5.解：设旗杆高度为h，由题意得 1.8h =22+8，解得：h=9米．故答案为：D．6.解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故答案为：D ．7.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
_浙教版九年级数学上册第4章 相似三角形单元培优测试卷( 含解答)
2020年秋浙教版九年级数学上册第4章相似三角形单元培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.已知，那么下列等式中，不一定正确的是（）A. B. C. D.2.如图，直线a∥b∥c ，分别交直线m ，n于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若AB ＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S△ADE＝S四边形DECB，则△ABC与△ADE相似比的值为（）A. 2B. 4C.D.4.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则DE的长为（）A. 2.2B. 2.5C. 2D. 1.85.如图，等腰与等腰是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点D的坐标是（）A. B. C. D.6.宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点，连接，以点F为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A. 矩形ABEFB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形ABGH7.如图，在正三角形中，分别在，上，且，，则有（）A. B. C. D.8.如图，AB是O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC 的长是（）A. B. C. D.9.如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（）A. B. C. D.10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共24分）11.如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．12.如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为________cm.13.如图，内接于于点H，若，的半径为7，则________．14.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________.15.如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，点P是AC边的中点，点D和E分别是边BC和AB上的任意一点，则PD+DE的最小值为________.16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O ，AO＝CO ，CD⊥BD ，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝________．17.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF ，GH折叠（点E ，H在AD边上，点F ，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于________．18.如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为________．三、解答题（共7题；共66分）19.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.（1）求证：CE⊥AB．（2）求证： .20.如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点(点A在点B左侧)，连接直线与轴交于点D,与上方的抛物线交于点E,与交于点F．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长.22.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD ，∠ADE＝30°，连接CE ．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求证：△ACE∽△ABD；（3）设CE＝x ，当CD＝2CE时，求x的值．23.如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D ，E分别是AB ，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F ．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H ，求CH的长．24.如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形．（1）在图中，请判断与是否相似，并说明理由；（2）在图中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为2：1（3）在图中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与相似，且有一条公共边和一个公共角．25.在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P.（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若与相似，求其“共根抛物线”的顶点P的坐标.答案一、选择题1.A、由比例的性质得到3y=5x，故本选项不符合题意．B、根据比例的性质得到x+y=8k（k是正整数），故本选项符合题意．C、根据合比性质得到，故本选项不符合题意．D、根据等比性质得到，故本选项不符合题意．故答案为：B．2.∵直线a∥b∥c ，∴，即，∴EF＝6．故答案为：B ．3.解：∵S△ADE＝S四边形DECB，∴S△ABC＝2S△ADE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，即△ABC与△ADE相似比的值是，故答案为：C.4.解：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝，∵弦AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝，∴∠CBD＝∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝ .故答案为：A.5.解：∵等腰与等腰是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，∴，即：DE=3BC=12，∴CE=DE=12，∴，解得：OC=6，∴OE=6+12=18，∴点的坐标是：．故答案为：A．6.解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝∴FG＝∴CG＝−1∴∴矩形DCGH为黄金矩形故答案为：D.7.由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE＝BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A不符合题意；△ABD也是一个钝角三角形，故C也不符合题意；但△BCD为一个锐角三角形，故D也不符合题意；故答案为：B．8.解：连接BC，∵AB是O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵BF⊥CD，∴∠CFB=90°，∴∠CBF+∠BC=90°，∴∠ACE=∠CBF，∵AE⊥CD，∴∠AEC=∠CFB=90°，，∴，∵FB=FE=2，FC=1，∴CE=CF+EF=3，，∴，∴，故答案为：B.9.解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴ .设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20.故答案为：B.10.解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE=x，则AD=8-x，根据题意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，∴DE=4，∵∠E=90°，由勾股定理得：CD= ，∵∠BCE=∠DCF=90°，∴∠DCE=∠BCF，∵∠DEC=∠BFC=90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF= ．故答案为：A．二、填空题11.解：∵两个相似三角形的相似比为：，∴这两个三角形的面积比；故答案为：16∶25.12.设两个三角形的周长分别为由已知，得解得∴较小的三角形的周长为40 cm.13.解：作直径AD，连接BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，∴∠ABD＝∠AHC，由圆周角定理得，∠D＝∠C，∴△ABD∽△AHC，∴，即，解得，AB＝，故答案为：．14.解：在中，，，，，与相似的格点三角形的两直角边的比值为，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出，，的三角形，，，，此时的面积为：，为面积最大的三角形，其斜边长为： .故答案为： .15.解：作点P关于BC的对称点F，过F作FE⊥AB于E交BC于D，则此时，PD+DE的值最小，且PD+DE的最小值＝EF，∴CF＝CP，∵点P是AC边的中点，∴AP＝PC＝3，∴AF＝9，∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵∠AEF＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠F，∴∠B＝∠F，∴△ABC∽△AFE，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴PD+DE的最小值为，答案为： .16.过点A作AE⊥BD ，∵CD⊥BD ，AE⊥BD ，∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO ，∠COD＝∠AOE ，∴△AOE≌△COD（AAS）∴CD＝AE＝3，∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，∴DB＝＝4，∵∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠CBD ，又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△BCD ，∴，∴，∴AB＝．故答案为：．17.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，由折叠可知：PA＇=AB，PD＇=CD，∴PD＇=PA＇，∵∠FPG=90º，∠EPF=∠D＇PH，∠GPH=∠A＇PE，∴∠A＇PE+∠D＇PH=∠EPF+∠GPH=90º，∵∠A＇EP+A＇PE=90º，∴∠A＇EP=∠D＇PH，∴∆A＇EP∽∆D＇PH，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴，设D＇H=k，则A＇P=PD＇=2k，A＇E=4k，∵S∆D＇PH=PD＇·D＇H=·k·2k=1，∴k=1，∴PH= ，PE= ，∴AD=AE+EP+PH+HP=4+2++1=5+3 ，∵AB=2k=2，∴S矩形ABCD=AB·AD=2（5+3）=10+6.故答案为：10+6.18.解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE= ，∵点E是AB中点，∴BE+BD=3BE= ，∴BE= ，AB=BD= ，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，即点H的纵坐标为a=3，当点P为DE和BC交点时，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴BC=2×=6，∴，解得：PC=4，即点H的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.三、解答题19.（1）证明：∵，∴ .∵BD是AC边上的高，∴∠BDC = 90°，△ADB和△ODC是直角三角形.∴Rt△ADB∽Rt△ODC.∴∠ABD =∠OCD.又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°.∴∠OEB = 90°.∴CE⊥AB.（2）证明：在△ADB和△AEC中，∵∠BAD=∠CAE，∠ABD =∠OCD，∴△ADB∽△AEC.∴，即 .在△DAE和△BAC中∵∠DAE =∠BAC， .∴△DAE∽△BAC.∵AF是∠BAC的平分线，∴，即 .20. （1）解：把代入，即，解得∴抛物线的解析式为令可得:∴；（2）解：存在，如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴，交于点G直线与轴交于点∴，设所在直线的解析式为，将代入上述解析式得：解得:的解析式为设则，其中 .∴抛物线开口方向朝下∴当时，有最大值，最大值为 .将t=2代入=-2+3+2=3∴点的坐标为．21. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4 ，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝ .22. （1）∵AE⊥AD，∠BAC=90°，∴∠EAD=∠CAB=90°，∵∠B=30°，∠ADE=30°，∴∠B=∠ADE，∴△ADE∽△ABC；（2）∵∠EAD=∠CAB=90°，∴∠EAC=∠DAB=90°﹣∠CAD，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∵∠EAC=∠DAB，∴△ACE∽△ABD；（3）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4，∠B=30°，∴BC=2AC=8，AB= =4 ，∵CE=x，CD=2CE，∴CD=2x，∵△ACE∽△ABD，∴，∴，∴BD= x，∴BC=CD+BD=2x+ x=8，解得：x=16﹣8 ．23.（1）∵四边形ABCO是矩形，∴OA=BC=8，OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE= ，∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，∴，∴，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP= ，∵OA∥BC，即OP∥CE，∴，∴，∴EF= OE= ，CF= CP= ，∵( )2+( )2= =9，∴EF2+CF2=CE2，∴△CEF是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，根据勾股定理，得CD= ，∵点G是CD的中点，∴CG=DG=2 ，由（1）知：CP=6 ，∴DP=CP﹣CD=2 ，∴点G是CP的三等分点，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴，∴，∴CH=6．答：CH的长为6．24. （1）解：如图所示：与相似，理由：；，，与相似；（2）解：如图所示：即为所求；（3）解：如图所示：和即为所求．25. （1）解：当时，，解得， .∴、、 .由题意得，设对应的函数表达式为，又∵经过点，∴，∴ .∴对应的函数表达式为 .（2）解：∵、与轴交点均为、，∴、的对称轴都是直线 .∴点在直线上.∴ .如图1，当A、C、P三点共线时，的值最大，此时点P为直线与直线的交点.由、可求得，直线对应的函数表达式为 . ∴点 .（3）解：由题意可得，，，，因为在中，，故 .由，得顶点 .因为的顶点P在直线上，点Q在上，∴不可能是直角.第一种情况：当时，①如图2，当时，则得 .设，则，∴ .由得，解得 .∵时，点Q与点P重合，不符合题意，∴舍去，此时 .②如图3，当时，则得 .设，则 .∴ .由得，解得（舍），此时 . 第二种情况：当时，①如图4，当时，则得 .过Q作交对称轴于点M，∴ . ∴ .由图2可知，∴ .∴，又，代入得 .∵点，∴点 .②如图5，当时，则 .word 版 初中数学21 / 21过Q 作 交对称轴于点M ，∴ ，则 .由图3可知 ， ，∴ ， ，∴ .又 ，代入得 .∵点 ，∴点 ，综上所述， 或 或 或.。
九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷北师大版含答案
适用精选文件资料分享九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷（北师大版含答案）第四章图形的相似一、选择题(本大题共7小题，共28分) 1．已知 xy＝32，那么以低等式中，不用然正确的选项是() A.x ＋2y＋2＝32 B．2x＝3y C.x ＋yy＝52 D.xx ＋y＝35 2．如图 4－Z－1，l1 ∥l2 ∥l3 ，已知 AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则线段 B1C1的长为 () A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm 图 4－Z－1图 4－Z－2 3．如图 4－Z－2 所示，在△ ABC中，D，E 分别为 AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为 AB边上的中线．若 AD＝5，CD＝3，DE＝ 4，则 BF 的长为() A.323 B.163 C.103 D.83 图 4－Z－3 4．如图 4－Z－3，在△ ABC中，中线 BE，CD订交于点 O，连接 DE，以下结论：① DEBC＝ 12；②S△DOES△COB＝ 12；③ ADAB＝OEOB；④ S△ODBS△BDC＝ 13. 此中正确的个数为 () A ．1 B ．2 C ．3 D．4 5 ．在 Rt△ABC和 Rt△DEF 中，∠ C＝∠ F＝90°，以下条件中不可以判断这两个三角形相似的是() A ．∠ A＝55°，∠ D＝35° B ． AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D． AB＝10， AC＝8，DE＝15，EF＝9 6 ．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为 ( )A．12.36 cm B ．13.64 cm C ．32.36 cm D ．7.64 cm 7 ．如图 4－Z－4，在 Rt△ABC中，∠ C＝90°， AC＝BC＝6 cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB方向以每秒 2 cm的速度向终点 B 运动；同时，动点 Q从点 B 出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点 P 的对应点为点 P′. 设点 Q运动的时间为 t s ，若四边形 QPCP′为菱形，则 t 的值为 () 图 4－Z－4 A.2 B．2 C．2 2 D．3 二、填空题 ( 本大题共 6 小题，共 24 分) 8 ．有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m．在图纸上，这条边的长为 5 cm，其余两条边的长都为4 cm，则其余两边的实质长度都是 ________ m. 9 ．若 a5＝b7＝c8，且 3a－2b＋c＝3，则 2a＋4b－3c＝ ________． 10 ．已知甲、乙两个相似三角形对应中线之比为 1∶2，甲三角形的面积为 5 cm2，则乙三角形的面积为 __________． 11 ．如图 4－Z－5，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ ADC＝90°，AC＝6，AD＝2. 当 AB＝________时，△ABC∽△ ACD. 图 4－Z－5图4－Z－6 12．如图4－Z－6，数学兴趣小组想丈量电线杆 AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD和地面 BC上，量得 CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成 30°角，且此时测得高 1 m的标杆的影长为 2 m，则电线杆的高度为 ________m(结果保留根号 ) ．图 4－Z－713．如图 4－Z－7，将边长为 6 cm 的正方形 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C落在点 Q处，EQ与 BC订交于点 G，则△ EBG的周长是 ________ cm. 三、解答题 ( 共 48 分) 14 ．(10 分)如图 4－Z－8，矩形 ABCD是台球桌面， AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在 E 的地点， AE＝60 cm，假如小宝瞄准 BC边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球恰好弹到点 D的地点． (1) 求证：△BEF∽△ CDF；(2)求 CF的长．图 4－Z－815．(12 分) 如图 4－Z－9，△ ABC三个极点的坐标分别为A(1，2) ，B(3，1) ，C(2，3) ，以原点 O为位似中心，将△ ABC放大为本来的2倍获得△ A′B′C′. (1)在图中的第一象限内画出切合要求的△A′B′C′( 不要求写画法 ) ； (2) 求△ A′B′C′的面积．图4－Z－916．(12 分) 如图 4－Z－10，一块资料的形状是锐角三角形 ABC，边BC＝12 cm，高 AD＝8 cm. 把它加工成正方形部件，使正方形的一边在 BC上，其余两个极点分别在 AB，AC上，这个正方形部件的边长是多少？图 4－Z－1017．(14 分) 如图 4－Z－11，在?ABCD中，对角线 AC，BD订交于点O，M为 AD的中点，连接 CM交 BD于点 N，且 ON＝1. (1) 求 BD的长； (2) 若△ CND的面积为 2，求四边形 ABNM的面积．图 4－Z－11详解 1 ．A 2 ．D [ 解析 ]∵l1∥l2∥l3，∴ A1B1B1C1＝ABBC.∵AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，∴4B1C1＝ 63，∴ B1C1＝2(cm) ．故选 D. 3 ．B 4.C 5 ．C [ 解析 ] A 项，∵∠ A＝55°，∴∠ B＝90°－55°＝ 35°. ∵∠ D＝35°，∴∠ B＝∠ D.又∵∠ C＝∠ F，∴△ ABC∽△ EDF； B项，∵ AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴ ACDF＝BCEF＝32. 又∵∠ C＝∠ F，∴△ ABC∽△ DEF；C项，有一组角相等、两边对应成比率，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D项，易得AB ＝10，AC＝8，BC＝6，DE＝15，DF＝12，EF＝9，∴ ACDF＝BCEF＝23. 又∵∠ C＝∠ F，∴△ ABC∽△ DEF.应选 C. 6．A 7．B [ 解析 ] 连接 PP′交 BC于点 O，∵四边形 QPCP′为菱形，∴PP′⊥ QC，∴∠ POQ＝90°. ∵∠ ACB＝90°，∴ PO∥AC，∴ APAB＝COCB∵.点 Q运动的时间为 t s ，∴ AP＝2t ，QB＝t ，∴ QC＝6－t ，∴ CO＝3－t2. ∵AC＝ CB＝6，∠ ACB＝90°，∴ AB＝6 2，∴ 2t6 2＝3－t26 ，解得 t ＝2. 8．20 [ 解析 ] 设其余两边的实质长度都是 x m，由题意，得 x4＝255，解得x＝20. 即其余两边的实质长度都是[ 解析 ]设a5＝b7＝c8＝x，则 a＝5x，b＝7x，c＝8x. 由于 3a－2b＋c＝3，因此 15x－14x＋8x＝3，解得 x＝13，因此 2a＋4b－3c＝10x＋28x－24x＝14x＝143. 10．20 cm2 11.3 12．(7 ＋3) [ 解析 ] 如图，过点 D作 DE⊥BC交其延长线于点E，连接AD并延长交BC的延长线于点F，∵CD＝4 m，CD与地面成30°角，∴DE＝12CD＝12×4＝2(m)，CE＝CD2－DE2＝2 3 m．∵高 1 m 的标杆的影长为 2 m，∴ DEEF＝12，ABBF＝12，∴ EF＝2DE＝2×2＝ 4(m)，∴B F＝BC＋CE＋EF＝10＋2 3＋4＝(14 ＋2 3)m，∴AB＝12×(14 ＋ 2 3) ＝(7 ＋3)m. 13 ．[ 全品导学号： 52652189]12 [ 解析 ]依据折叠的性质可得∠ FEG＝90°，设 AF＝x cm，则 EF＝ (6－x)cm. 在 Rt△AEF中， AF2＋AE2＝EF2，即 x2＋32＝(6 －x)2 ，解得x＝94，因此 AF＝94 cm，EF＝154 cm，依据△ AFE∽△ BEG，可得 AFBE ＝AEBG＝EFEG，即 943＝3BG＝154EG，因此 BG＝4 cm，EG＝5 cm，因此△ EBG的周长为 3＋4＋5＝12(cm) ． 14 ．解： (1) 证明：由题意，得∠ EFG＝∠ DFG. ∵∠ EFG＋∠ BFE＝90°，∠ DFG＋∠ CFD＝90°，∴∠ BFE＝∠ CFD. 又∵∠ B＝∠ C＝90°，∴△ BEF∽△ CDF.(2) ∵△ BEF∽△ CDF，∴BECD＝BFCF，即 70130＝260－CFCF，∴CF＝169(cm)． 15 ．解： (1) △A′B′C′以以以下图． (2) 图中每个小正方形的边长为1 个单位长度，由勾股定理可得AC＝2，AB＝CB＝5，AC边上的高＝（ 5）2－222＝32 2，因此△ ABC的面积 S＝12×2×32 2＝32. 设△ A′B′C′的面积为 S′，由于△ ABC∽△ A′B′C′，因此 SS′＝ 122，得 S′＝ 4S＝4×32＝ 6，即△ A′B′C′的面积为 6. 16．解：如图，∵四边形 EFHG是正方形，∴EF∥BC，∴△ AEF∽△ ABC，而 AD⊥BC，∴EFBC＝AKAD. 设正方形 EFHG的边长为 x cm，则 AK＝(8 －x)cm，∴x12＝ 8－x8，解得 x＝4.8. 答：这个正方形部件的边长为 4.8 cm. 17．解：(1) ∵在 ?ABCD 中，AD∥BC， AD＝BC，OB＝OD，∴∠ DMN＝∠ BCN，∠ MDN＝∠ NBC，∴△ MND∽△ CNB，∴MDCB＝DNBN. ∵M为 AD的中点，∴MD＝ 12AD ＝12BC，即 MDCB＝12，∴DNBN＝12，即 BN＝2DN. 设 OB＝OD＝x，则 BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝OD－ON＝x－1，∴x＋1＝2(x－1) ，解得 x＝3，∴BD＝2x＝6. (2) ∵△ MND∽△ CNB，且相似比为1∶2，∴MN∶CN＝DN∶BN＝1∶2，∴S△MND＝12S△CND＝ 1，S△CNB＝2S△CND＝ 4，∴S△ABD＝S△BCD＝S△CNB＋S△CND＝ 4＋2＝6，∴S四边形 ABNM＝S△ABD－S△MND＝ 6－1＝5.。
浙教版2020-2021学年九年级数学上册第4章 相似三角形测试卷(含答案)
第4章 相似三角形测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．若m ＋n n ＝52，则m n等于( )A ．52B ．23C ．25D ．322．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：13．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝3，DE ＝2，BC ＝6，则EF ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝8，A ′B ′＝6，则BCB ′C ′＝( )A ．2B ．43C ．3D ．1695．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是( )A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′ B ．点C 、点O 、点C ′在同一直线上 C ．AO ：AA ′＝1：2D ．AB ∥A ′B ′6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( ) A ．60 m B ．40 m C ．30 m D ．20 m7．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形与△ABC 相似的是( )8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF等于( ) A ．2 B ．2.4 C ．2.5 D ．2.259．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．122－6 D ．62－610．如图，在钝角三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分 ∠AEB 交AB 于点M ，取BC 的中点D ，AC 的中点N ，连结DN ，DE ，DF .下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝13S四边形ABDN；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．已知b a ＝713，则aa ＋b＝________.12．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝4，DE ＝1.5，则BC 的长为__________．13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为________．14．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，位似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为________．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠D＝30°，则BEEC的值是________．16．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高度为________．17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC 与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝____________.(用含n的式子表示)三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两个景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的这两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连结DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连结AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 点拨：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE . ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010.∴AB ＝40 m. 7．A 8．B9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H .∵AB ＝AC ，AD ＝AG ， ∴AD ∶AB ＝AG ∶AC .又∵∠BAC ＝∠DAG ，∴△ADG ∽△ABC . ∴∠ADG ＝∠B .∴DG ∥BC . ∴AN ⊥DG .∵四边形DEFG 是正方形， ∴FG ⊥DG .∴FH ⊥BC . ∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12， ∴BM ＝12BC ＝6.∴AM ＝AB 2－BM 2＝12 2. ∵AN AM ＝DG BC ，即AN 122＝612， ∴AN ＝6 2.∴MN ＝AM －AN ＝6 2. 易得四边形GHMN 为矩形， ∴GH ＝MN ＝6 2.∴FH ＝GH －GF ＝6 2－6.故选D .10．D 点拨：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ，∴EM 是AB 边上的中线．∴EM ＝12AB .∵点D ，点N 分别是BC ，AC 的中点，∴DN 是△ABC 的中位线．∴DN ＝12AB ，DN ∥AB .∴EM ＝DN .①正确．∵DN ∥AB ，∴△CDN ∽△CBA . ∴S △CND S △CAB ＝⎝⎛⎭⎫DN AB 2＝14. ∴S △CND ＝13S 四边形ABDN .②正确．如图，连结DM ，FN ，则DM 是△ABC 的中位线，∴DM ＝12AC ，DM ∥AC .∴四边形AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD ＝∠AND .易知∠ANF ＝90°，∠AME ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF . ∵FN 是AC 边上的中线， ∴FN ＝12AC .∴DM ＝FN .又∵EM ＝DN ， ∴△DEM ≌△FDN .∴DE ＝DF ，∠FDN ＝∠DEM .③正确． ∵∠MDN ＋∠AMD ＝180°，∴∠EDF ＝∠MDN －(∠EDM ＋∠FDN )＝180°－∠AMD －(∠EDM ＋∠DEM )＝180°－(∠AMD ＋∠EDM ＋∠DEM )＝180°－(180°－∠AME )＝180°－(180°－90°)＝90°. ∴DE ⊥DF .④正确．故选D . 二、11．1320 点拨：∵b a ＝713，∴设a ＝13x ，b ＝7x ， 则a a ＋b ＝13x 13x ＋7x ＝1320. 12．4.5 13．S 1＝S 2 14．(2，1) 15.3316．5.1 m 17．163或318.32×⎝⎛⎭⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1.在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3， 根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ， 记△AB 1B 的面积为S ， ∴S 1S ＝⎝⎛⎭⎫322. ∴S 1＝34S .同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝⎛⎭⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝⎛⎭⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝⎛⎭⎫344，…，S n ＝32×⎝⎛⎭⎫34n. 三、19．解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x ∶7＝12∶6，解得x ＝14. 20．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求． (3)S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4.21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF .又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ， ∴△ADE ≌△CFE .(2)解：方法一：∵AB ∥FC ， ∴△GBD ∽△GCF .∴GB GC ＝BDCF .∴22＋4＝1CF.∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE ， ∴AD ＝CF ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC 的中点H ，连结EH .∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE .∴EH 是△ABC 的中位线． ∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB .∴△GBD ∽△GHE . ∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2. ∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB ＝DE BC.因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ， 所以1616＋DB ＝2050.所以DB ＝24 m.所以这条河的宽度为24 m.23．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t .因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF . 所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形． (2)根据题意，可分为两种情况： ①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FCCD，所以12－2t 12＝4t 24，解得t ＝3， 即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD .②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝EC CD， 所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2， 即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD .因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．24．(1)证明：因为AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，所以△ADE ≌△DCF .(2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°.所以∠QEC ＋∠AED ＝90°.又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°，所以∠QEC ＝∠EAD .因为∠C ＝∠ADE ＝90°，所以△ECQ ∽△ADE .所以CQ DE ＝EC AD. 因为E 是CD 的中点，所以EC ＝DE ＝12CD ＝12AD .所以EC AD ＝12. 因为DE ＝CF ，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12. 即Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由如下：因为△ECQ ∽△ADE ，所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE. 因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△ECQ ∽△AEQ .所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE .所以S 1S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2，S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫AE AQ 2. 所以S 1S 3＋S 2S 3＝⎝⎛⎭⎫EQ AQ 2＋⎝⎛⎭⎫AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 在Rt △AEQ 中，由勾股定理，得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.1、天下兴亡，匹夫有责。
2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章相似三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的值为（）A．3B．4C．5D．62．若△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的周长的比为（）A．2：1B．4：1C．1：2D．1：43．如图（）图形是将已知图形按2：1放大后得到的图形．A．A B．B C．C D．D4．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．5．已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是（）A．B．C．D．6．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BDC．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积为（）A．1B．C．D．29．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点A的坐标为（﹣4，3），则点E的坐标为（）A．（，﹣6）B．（4，﹣6）C．（2，﹣6）D．10．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边CDEF的面积为（）A．6B．8C．10D．12二．填空题（共10小题）11．如图：已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5，EF＝4，则DE＝．12．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为cm2．13．已知2x＝5y，那么的值为．14．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为．15．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为cm2．16．如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，这个点叫做位似中心．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4．则A1B1的长为．17．若线段AB＝6厘米，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC＝厘米．18．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E的坐标为．20．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是．三．解答题（共7小题）21．两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．22．已知＝＝≠0，求的值．23．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于F，求证：F 是DE的中点．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．25．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1：2．且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2．26．E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．选择图中任意一对相似三角形证明．27．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得，EF＝4，则DF＝DE+EF＝6，故选：D．2．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴△ABC与△DEF的周长的比为2：1，故选：A．3．解：原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格，故选：D．4．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．5．解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段，∴＝，∴正确的作图是B；故选：B．6．解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故＝，即＝，解得：BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），故选：A．7．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；故选：D．8．解：设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，∴，即，解得，x＝，∴AD＝2x＝，∴矩形ABCD的面积为AB•AD＝1×＝，故选：C．9．解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（﹣2，3），点（﹣2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，﹣6），把点（4，﹣6）向左平移2个单位得到（2，﹣6），∴E点坐标为（2，﹣6）．故选：C．10．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴S△ABC ＝S△ADC，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S△CBF ＝4S△AEF＝8，∴S△ABF ＝S△CBF＝4，∴S△ABC ＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，∴四边CDEF的面积为：S△ADC ﹣S△AEF＝12﹣2＝10，故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故答案为：． 12．解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm 2，9xcm 2， ∵它们的面积之差为10cm 2，∴9x ﹣4x ＝10，解得：x ＝2，∴它们的面积之和是：9x +4x ＝13x ＝26（cm 2）． 故答案为：26．13．解：∵2x ＝5y ，∴设x ＝5a ，则y ＝2a ，那么＝＝；故答案为：．14．解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵DE 把△ABC 分成面积相等的两部分， ∴S △ADE ＝S 四边形DBCE ，∴＝2，∴＝，故答案为：． 15．解：设QM ＝xcm ，则PN ＝xcm ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∵AD ⊥BC ，∴＝，则AE＝x，故DE＝10﹣x，则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．故答案为：25．16．解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴OC1：OC＝OA1：OA＝1：2，A1B1∥AB，∴OA1：OA＝A1B1：AB＝1：2，∴A1B1＝AB＝×4＝2．故答案为2．17．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，∵AB＝6厘米，∴AC＝（3﹣3）厘米；故答案为：（3﹣3）．18．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，∵四边形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝2，CF＝BE，∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，∴，∴CF＝1，故答案为：1．19．解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．故答案为：（1，3），（2，1）．20．解：如图所示：△ABC∽△DEF，DE＝，ED＝2，EF＝．故答案为：，2，．三．解答题（共7小题）21．解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，∴两个相似多边形的相似比为2：3，∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，∴＝，＝，解得，x＝16，y＝12，经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．22．解：设＝＝＝k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝5k，则＝＝．23．证明：∵D是△ABC的边AB的中点，∴AD＝DB，∵DE∥BC，∴＝＝1，∴AF＝FC，∵CE∥AB，∴＝＝1，∴DF＝EF，即F是DE的中点．24．解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC垂足为G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∴∠EAD＝90°＝∠EFD，∴tan∠EAG＝＝＝，∴∠EAG＝30°，∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，∵∠EGF＝∠EAD＝90°，∵DE为圆的直径，∴∠GFE＝∠ADE，∴△EGF∽△EAD，∴＝＝，∵DA＝BC＝4，∴FG＝2；（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：设AE＝2x，∵∠EAG＝30°，∴∠GAM＝60°，∴EG＝x，GA＝x，∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，∵AD＝BC＝4，∴MD＝4﹣x，∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，∵在直角三角形AED中，直径ED＝，∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝×ED，∴DF2＝3x2+12，∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，∴x＝，∴DF＝，DG＝，∴DF+DG取最小值为2．故答案为：2．25．解：（1）如图，△A1B1C1所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A2B2C2为所作．26．解：△ADF∽△ECF；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．27．解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x＝，∴正方形CDEF的边长为．。
2020-2021学年北师大版数学九年级上册：第四章图形的相似综合测试
第四单元测试一、选择题（共10题；共30分） 1.已知:3:2x y =，那么x x y+的值为（ ） A .25B .35C .52D .532.如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A .103B .203C .52D .1533.下列图形中，一定相似的是（ ） A .两个正方形B .两个菱形C .两个直角三角形D .两个等腰三角形4.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40 cm DE =，20 cm EF =，测得边DF离地面的高度 1.5 m AC =，8 m CD =，则树高AB 是（ ）A .4米B .4.5米C .5米D .5.5米5.已知FHB EAD △∽△，它们的周长分别为30和15，且6FH =，则EA 的长为（ ） A .3B .2C .4D .56.如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ）A 1:2B .1:4C .1:5D .1:67.如图，DE ，NM 分别是ABC △，ADE △的中位线，NM 的延长线交BC 于点F ，则:DMN MFCE S S ∆四边形等于（ ）A .1:5B .1:4C .2:5D .2:78.如图，ABC △是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等分，EH BC ∥，则四边形EFGH 的面积是ABC △的面积的：（ ）A .19B .13C .49D .949.如图，ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，90ACB EFD ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边AB 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段AC 与线段EF 相交于点Q ，射线ED 与射线BC 相交于点P ，线段ED 与AC 交于点M ．若4AQ =，18PB =，则MQ 的长为（ ）A .B .5C .4D .10.如图，正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF EC =，连接EF ，DE ，DF ，M是FE 中点，连结MC ，设FE 与DC 相交于点N ．则4个结论：①DN DG =；②BFG EDG BDE △∽△∽△；③CM 垂直BD ；④若MC =2BF =；正确的结论有几个（ ）A .4B .3C .2D .1二、填空题（共6题；共24分）11.如图，AB ，CD 相交于O 点，AOC BOD △∽△，:=1:3OC CD ，2AC =，则BD 的长为________．12.如图，ABO △三个顶点的坐标分别为()2,4A ，()6,0B ，()0,0O ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是()3,0，则点A '的坐标是________．13.已知234x y z==，则23x y z x y z+-=-+________． 14.如图，在ABCD 中，点E 是AD 边上一点，:1:2AE ED =，连接AC 、BE 交于点F ．若1AEF S =△，则CDEF S =四边形________．15.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在边BC 上，把DEC △沿DE 翻折后，点C 落在C '处．若ABC '△恰为等腰三角形，则CE 的长为________．16.已知：如图，在ABC △中，点1A ，1B ，1C 分别是BC 、AC 、AB 的中点，2A ，2B ，2C 分别是11B C ，11A C ，11A B 的中点，依此类推….若ABC △的周长为1，则n n n A B C △的周长为________．三、解答题（共7题；共66分）17.为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB '），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B C ''）为1.8米，求路灯离地面的高度．18.如图，在ABC △中，8AB =，4BC =，6CA =，CD AB ∥，BD 是ABC ∠的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．19.如图，矩形DEFG 的一边DE 在ABC △的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知12BC =，6AH =，:1:2EF GF =，求矩形DEFG 的周长．20.如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE 、DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ，设()0CEEBλλ=＞．（1）若2AB =，1λ=，求线段CF 的长； （2）连接EG ，若EG AF ⊥， ①求证：点G 为CD 的中点； ②求λ的值．21.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意点，AF 平分EAD ∠，交CD 于点F ． （1）如图1，若点F 恰好为CD 中点，求证：2AE BE CE =+； （2）在（1）的条件下，求CEBC的值； （3）如图2，延长AF 交BC 的延长线于点G ，延长AE 交DC 的延长线于点H ，连接HG ，当CG DF =时，求证：HG AG ⊥．22.如图，在等边ABC △中，BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ． （1）求AFE ∠的度数；（2）求证：••AC DF BD BF =；（3）连接FC ，若CF AD ⊥时，求证：12BD DC =．23.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点，将CDE △沿CE 折叠得到CEF △，点F 恰好落在边AB 上．（1）证明：AEF BCF △∽△．（2）若AB =1BC =，作线段CE 的中垂线，交AB 于点P ，交CD 于点Q ，连结PE ，PC ． ①求线段DQ 的长；②试判断PCE △的形状，并说明理由．第四章单元测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】解：∵:3:2x y =∴32x y = ∴251133x y y x x +++=+= ∴35x x y =+ 故答案为：B ． 2.【答案】C【解析】解：∵AB CD EF ∥∥， ∴3AD BCDF CE==， ∴3BC CE =， ∵BC CE BE +=， ∴310CE CE +=， ∴52CE =． 故答案为：C ． 3.【答案】A【解析】A .两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；B .两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；C .两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；D .两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． 故答案为：A ． 4.【答案】D【解析】解：∵90DEF BCD ∠=∠-︒，D D ∠=∠ ∴DEF DCB △∽△ ∴BC DCEF DE=∴40 cm 0.4 m DE ==，20 cm 0.2 m EF -=， 1.5 m AC =，8 m CD = ∴80.20.4BC =，解得：4BC = ∴ 1.54 5.5AB AC BC =+=+=米 故答案为：5.5. 5.【答案】A【解析】解：∵FHB △和EAD △的周长分别为30和15， ∴FHB △和EAD △的周长比为2:1， ∵FHB EAD △∽△， ∴2FH EA =，即62EA=， 解得，3EA =， 故答案为：A 6.【答案】B【解析】由题意可知DEF △与ABC △的位似比为1:2， ∴其面积比是1:4，故答案为：B7.【答案】B【解析】∵DE ，NM 分别是ABC △，ADE △的中位线， ∴:1:2DE BC =，:1:2MN AE =，DE BC ∥，MN AE ∥， 点A 到DE 的距离等于点E 到BC 的距离且设距离为h ， ∴DMN DEA △∽△，四边形EMFC 是平行四边形，:1:4DMN DEA S S =△△，12CF ME DE ==， ∵ADE △的面积12DE h =⨯⨯，四边形EMFC 的面积12ME h DE h =⨯=⨯， ∴ADE △的面积=四边形EMFC 的面积 ∴:1:4DMNMFCE SS =四边形故答案为：B 8.【答案】B【解析】∵在矩形中FG EH ∥，且EH BC ∥， ∴FG EH BC ∥∥，∴AEH AFG ABC △∽△∽△， ∵AB 被截成三等分， ∴13AE AB =，23AF AB =， ∴:1:9AEH ABC S S =△△，:4:9AFG ABC S S =△△，∴19AEH ABC S S =△△，AFG ABC S S =△△， ∴411993AFG AEH ABC ABC ABC EFGH S S S S S S =-=-=△△△△△四边形 故答案为：B ． 9.【答案】B【解析】解：如图，∵E 与ABC △的斜边AB 的中点，∴AE BE =，∵ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，∴AC BC =，45A B DEF ∠=∠=∠=︒，∵AEP B BPE DEF AEQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴BPE AEQ ∠=∠，∴BPE AEQ △∽△， ∴BP BE AE AQ=，∴AE =∴12AC BC ==，过E 作EH BC ⊥于点H ，∴EH AC ∥，∴6BH HC CP ===，∴3MC =，∴12435MQ AC AQ MC =--=--=故答案为：B10.【答案】B【解析】在正方形ABCD 中，AD CD =，在ADF △和CDE △中，90AD AD A DCE AF EC =⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠，∴ADF CDE △≌△（SAS ），∴ADF CDE ∠=∠，DE DF =，∴90EDF FDC CDE FDC ADF ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴45DEF ∠=︒，∵45DGN FDG ∠=︒+∠，45DNG CDE ∠=︒+∠，FDG CDE ∠≠∠，而FDG ∠与CDE ∠不一定相等，∴DGN ∠与DNG ∠不一定相等，故判断出①不符合题意；∵DEF △是等腰直角三角形，∵45ABD DEF ∠=∠=︒，BGF EGD ∠=∠（对顶角相等），∴BFG EDG △∽△，∵45DBE DEF ∠=∠=︒，BDE EDG ∠=∠，∴EDG BDE △∽△，如图，连接BM 、DM ．∵AFD CED △≌△，∴FDA EDC ∠=∠，DF DE =，∴90FDE ADC ∠=∠=︒，∵M 是EF 的中点， ∴12MD EF = ∵12BM EF =∴MD MB =，在DCM △与BCM △中，DM MB BC CD CM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴DCM BCM △≌△（SSS ），∴BCM DCM ∠=∠，∴CM 在正方形ABCD 的角平分线AC 上，∴MC 垂直平分BD ；故③符合题意；过点M 作MH BC ⊥于H ，则45MCH ∠=︒，∵MC∴12MH ==， ∵M 是EF 的中点，BF BC ⊥，MH BC ⊥，∴MH 是BEF △的中位线，∴22BF MH ==，故④符合题意；综上所述，正确的结论有②③④．故答案为：B ．二、11.【答案】4【解析】∵AOC BOD △∽△，∴AC OC BD OD=． ∵:1:3OC CD =， ∴12AC OC BD OD ==． ∵2AC =， ∴4BD =．故答案为：4．12.【答案】()12,【解析】∵点A 的坐标为()2,4，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A '的坐标是112,422⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()12,． 13.【答案】37【解析】设=234x y z k ==，即2x k =，3y k =，4z k =， 则243433363477x y z k k k k x y z k k k k +-+-===-+-+， 故答案为：37． 14.【答案】11【解析】解：∵:1:2AE ED =，∴:1:3AE AD =，∵AD BC =，∴:1:3AE BC =，∵AD BC ∥，∴AFE CFB △∽△， ∴13EF AE BF CB ==， ∴219AEF CFB S AE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴9BCF S =△， ∵13AEF AFB S EF S BF ==△△， ∴3AFB S =△，∴12ACD ABC BCF AFB S S S S ==+=△△△，∴12111ACD AEF CDEF S S S =-=-=△△四边形故答案为：11.15.【答案】2【解析】解：分两种情况解答：（1）如图1，当C A C B '='时，作C H AD '⊥于H ，交BC 于F图1 利用等腰三角形和矩形的轴对称性可知：易知112HC FC AB '='== 由折叠可知：C D CD '=，90DC E C ∠'=∠=︒在Rt DHC '△中，利用勾股定理得：DH ==∴CF DH =∵90DHC CFE DC E ∠'=∠=∠'=︒∴90HDC HC D FC E HC D ∠'+∠'=∠'+∠'=︒∴HDC FEC ∠'=∠'∴DHC C FE ''△∽△∴DH HC C F EF'='1EF =∴EF =∴CE =； （2）如图2，当2AB AC ='=时，点C '在AD 上，此时四边形C ECD '是正方形，图2∴2CE =综上所述,满足条件的CE 的值为216.【答案】12n【解析】∵1A 、1B 、1C 分别是ABC △的边BC 、CA 、AB 的中点，∴11A B 、11A C 、11B C 是ABC △的中位线，∴111A B C ABC △∽△，且相似比为12，∵2A 、2B 、2C 分别是111A B C △的边11B C 、11C A 、11A B 的中点， ∴222111A B C A B C △∽△且相似比为12n， ∴222A B C ABC △∽△的相似比为14， 依此类推n n n A B C ABC △∽△的相似比为12n ， ∵ABC △的周长为1，∴n n n A B C △的周长为12n故答案为：12n三、 17.【答案】解：∵AB OC ⊥'，OS OC ⊥'，∴SO AB ∥，∴ABC SOC △∽△， ∴BC AB BC OB OS =+，即1 1.51+OB λ=， 解得213OB h =-①，同理，∵A B OC ''⊥'，∴A B C SOC ''''△∽△， ∴B C A B B C BB OB OS ''''='''++， 1.8 1.51.84OB λ=++②， 把①代入②得，1.8 1.525.813λλ=+-， 解得：9h =（米）.答：路灯离地面的高度是9米.18.【答案】解：∵BD 为ABC ∠的平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴D ABD ∠=∠，∴D CBD ∠=∠，∴BC CD =，∵4BC =，∴4CD =，∵AB CD ∥，∴ABE CDE △∽△， ∴AB AE CD CE=， ∴84AE CE =， ∴2AE CE =，∵6AC AE CE ==+，∴4AE =19.【答案】解：如图，设EF x =，则2GF x =．∵GF BC ∥，AH BC ⊥，∴AK GF ⊥．∵GF BC ∥，∴AGF ABC △∽△， ∴AK GF AH BC=． ∵6AH =，12BC =， ∴62612x x -=．解得3x =． ∴矩形DEFG 的周长为18．20.【答案】（1）解：四边形ABCD 是正方形，∴AD BC ∥∴DAF F ∠=∠，又AG 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴EAF F ∠=∠，∴EA EF =又∵1λ=，2AB BC ==，∴1BE EC ==，在Rt ABE △中，由勾股定理得，EA =∴1CF EF EC =-=（2）解：①∵EA EF =，EG AF ⊥∴AG GF =又∵AGD FGC ∠=∠，DAG F ∠=∠∴DAG CFG △≌△∴DG CG =，∴点G 是CD 的中点。
浙教版2020-2021学年九年级数学上册第4章相似三角形单元同步试卷及答案
第4章 相似三角形 单元测试卷班级__________ 姓名__________ 得分_________一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1． 下列线段中，能成比例的是（ ）A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cmB ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm2． 如图，P 是△ABC 的边AC 上一点，连结BP ，下列条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．AB AP＝AC AB B ．AC AB ＝BC BPC ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC 第2题图 第4题图第6题图3． 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）A ．4.8米B ．6.4米C ．9.6米D ．10米4． 如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝（ ）A ．5＋12 B ．5－12C ．3D ．2 5． 下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（ ）A ．②③B ．①②C ．③④D ．②③④6． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为（ ） A ．(3，2) B ．(3，1) C ．(2，2) D ．(4，2)7． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ︰EC ＝3︰2，连结AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）A ．2︰5B ．3︰5C ．9︰25D ．4︰25第7题图 第8题图第9题图8． 如图为△ABC 与△DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB ∥DE ．若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF ＝9，AB ＝12，则DF ＝（ ）A ．3B ．7C ．12D ．15 9． 如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为（ ）A ．12B ．54C ．23D ．33为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．如果y x ＝23，那么4y －x x ＋y ＝__________． 12．已知P 是线段AB 的黄金分制点．P A ＞PB ，AB ＝4cm ，则P A ＝__________cm ．13．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．14．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE EA ＝43，则FG BC＝__________．第14题图 第15题图 xyC B AO第16题图15．如图所示，△ABC ∽△AED ，AD ＝5cm ，BD ＝6cm ，AC ＝9cm ，则AE ＝__________cm ，△ABC 与△AED 的相似比是__________．16．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 的坐标为(3，2)，∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC ︰BC 的值为__________．三、解答题（本题有8题，共66分）17．（本题6分）已知线段a ，b ，c ，且a 2＝b 3＝c 4． （1）求a ＋b b的值； （2）若线段a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝27，求a ，b ，c 的值．18．（本题6分）如图，四边形ABGH ，四边形BCFG ，四边形CDEF 都是正方形，请从图中找出三对相似三角形，要求其中一对必须不是直角三角形，并说明这一对三角形相似的理由．19．（本题6分）已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 交于点P ．（1）求证：△ADP ∽△CBP ；（2）判断AP ·BP ＝DP ·CP 是否成立，并给出证明．20．（本题8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E 与点C ，A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求出河宽AB ．21．（本题8分）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是点E ，F ．（1）求证：EF ＝AE －BE ；（2）连结BF ，如果AF BF ＝DF AD，求证：EF ＝EP ．22．（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．23．（本题10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝22，求⊙O的半径．24．（本题12分）如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，从C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2．解答下列问题：（1）当t＝3时，求S的值；（2）当t＝5时，求S的值；（3）当5＜t＜8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．第4章相似三角形单元测试班级__________ 姓名__________ 得分_________一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列线段中，能成比例的是（）A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm【答案】D2．如图，P是△ABC的边AC上一点，连结BP，下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．ABAP＝ACAB B．ACAB＝BCBP C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B3．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A．4.8米B．6.4米C．9.6米D．10米【答案】C4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（）A．5＋12 B．5－12 C．3 D．2【答案】B5．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②C．③④D．②③④【答案】A6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（）A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)【答案】A7．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE︰EC＝3︰2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF 的面积之比为（）A．2︰5 B．3︰5 C．9︰25 D．4︰25【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠EDF＝∠ABF，∠DEF＝∠BAF，∴△DEF∽△BAF，又∵DE︰EC＝3︰2，∴DEAB＝35，∴S△DEFS△BAF＝352＝925，故选C．8．如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝9，AB＝12，则DF＝（）A．3 B．7 C．12 D．15【答案】B【解析】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA．∵EF＝9，AB＝12，∴EF：AB＝9：12＝3：4，∴面积比＝9：16．设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积＝7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴△CDF＝7k．∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF：EF＝7k：9k，∴DF＝7．故选：B．9．如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB 交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12 B．54 C．23 D．33【答案】D10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）【答案】C【解析】由题意可知△ADE∽△DPC，∴ADDP＝AEDC，即4x＝y3，∴xy＝12，y＝12x，为反比例函数，应从C，D里面进行选择．由于x最小应不小于CD，最大不超过BD，∴3≤x≤5．故选C．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．如果yx＝23，那么4y－xx＋y＝__________．【答案】212．已知P是线段AB的黄金分制点．PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝__________cm．【答案】25－213．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．【答案】1︰414．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA＝43，则FGBC＝__________．【答案】47【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴OFOB＝OEOA＝47，∴FGBC＝OFOB＝47．15．如图所示，△ABC∽△AED，AD＝5cm，BD＝6cm，AC＝9cm，则AE＝__________cm，△ABC与△AED的相似比是__________．【答案】559，95；16．如图，在直角坐标平面xoy中，点A的坐标为(3，2)，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC︰BC的值为__________．【答案】233【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H，BG⊥y轴于点G，∵△AOH∽△OBG，∴OAOB＝OHOG，即31＝3OG，解得OG＝3，∴ACBC＝S△AOCS△BOC＝12OC×AH12OC×OG＝AHOG＝23＝233．三、解答题（本题有8题，共66分）17．（本题6分）已知线段a，b，c，且a2＝b3＝c4．（1）求a＋bb的值；（2）若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．【答案】解：（1）设a2＝b3＝c4＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴ a＋bb＝5k3k＝53．（2）∵ a＋b＋c＝27，∴ 2k＋3k＋4k＝9k＝27，解得k＝3，∴ a＝6，b＝9，c＝12．18．（本题6分）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，请从图中找出三对相似三角形，要求其中一对必须不是直角三角形，并说明这一对三角形相似的理由．【答案】解：△ABH∽△GBH，△ACH∽△HFC，△BCH∽△BHD．其中△BCH∽△BHD的理由如下：设小正方形的边长为1，则BC＝1，BH＝2，BD＝2．∴BHBC＝2，BDBH＝22＝2．∴BHBC＝BDBH．∵∠HBC＝∠DBH，∴△BCH∽△BHD．19．（本题6分）已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P．（1）求证：△ADP∽△CBP；（2）判断AP•BP＝DP•CP是否成立，并给出证明．【答案】解：（1）证明：由题意，得∠DAP＝∠BCP，∠ADP＝∠CBP，∴△ADP∽△CBP；（2）成立．证明：∵△ADP∽△CBP，∴APCP＝DPBP，∴AP•BP＝DP•CP．【解析】证明圆中的两三角形相似常用的定理是同弧所对的圆周角相等．20．（本题8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求出河宽AB．【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴BCED＝ABAD，∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，∴AD＝AB＋8.5，∴11.5＝ABAB＋8.5，解得AB＝17．答：河宽AB的长为17 m．21．（本题8分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F．（1）求证：EF＝AE－BE；（2）连结BF，如果AFBF＝DFAD，求证：EF＝EP．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠DAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△BEA与△AFD中，∠ABE＝∠DAF，∠BEA＝∠AFD，AB＝DA，∴△BEA≌△AFD，∴BE＝AF，∴EF＝AE－AF＝AE－BE；（2）在△AFD与△PEB中，∵∠DAF＝∠BPE，∠BEP＝∠DFA＝90°，∴△AFD∽△PEB，∴DFBE＝ADPB，∵AFBF＝DFAD且AF＝BE，∴BEBF＝DFAD，即DFBE＝ADBF，∵DFBE＝ADPB，∴BF＝PB，在等腰三角形BFP中，∵BE⊥FP，∴EF＝EP．22．（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．【答案】解：（1）证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵点F在CB，DE延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，在△AED与△BEF中，∠ADE＝∠BFE，∠AED＝∠BEF，AE＝BE，∴△AED≌△BEF(AAS)，∴AD＝BF；（2）∵EB∥CD，∴△EFB∽△FDC，∵△AED≌△BEF，∴ED＝EF，S△AED＝S△BEF，∵EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，∴设S△BFE为x，则S四边形EBCD为3x，由4x＝32，得x＝8，∴S四边形EBCD＝3×8＝24．23．（本题10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝22，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴DCCE＝CADC，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD；（2）如答图，连结OC，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴CD︵＝CB︵，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD＝POOA＝2rr＝2，又∵CD＝22，∴PC＝2CD＝42，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴PCPA＝PBPD，即423r＝r62，∴r＝4（负值舍去），即⊙O的半径为4．24．（本题12分）如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，从C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t＝3时，求S的值；（2）当t＝5时，求S的值；（3）当5＜t＜8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．【答案】解：（1）作PE⊥QR，E为垂足，如图所示．∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝12QR＝4．∴PE＝52－42＝3．当t＝3时，QC＝3，设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP．∴SS△QEP＝342．∵S△QEP＝12×4×3＝6，∴S＝342×6＝278（cm2）．（2）当t＝5时，CR＝3，点B与点Q重合，设PR与DC交于点G，如图所示．由△RCG∽△REP得S△RCG＝278．∴S＝S△PQR－S△RCG＝12－278＝698(cm2)．（3）当5＜t＜8时，QB＝t－5，RC＝8－t，如图所示．设PQ交AB于点H．由△QBH∽△QEP得S△QBH＝38(t－5)2．由△RCG∽△REP得S△RCG＝38(8－t)2，∴S＝12－38(t－5)2－38(8－t)2，即S＝－34t2＋394t－1718．∴S＝－34t－1322＋16516．∴S最大值＝16516cm2．1、天下兴亡，匹夫有责。
九年级数学上册《第四章 图形的相似》单元综合测试(含解析)北师大版(2021-2022学年)
《第四章图形的相似》一、选择题:1.如图，在平行四边形AＢCD中，Ｅ为ＤＣ的中点，AＥ交ＢＤ于点F,Ｓ△DEF=12cm2，则Ｓ△ＡOB的值为（ )A.1２cm2ﻩB.２4cm2C.3６ｃｍ2D．４8cm２2．如图，△ABC，ＡB＝１2,AＣ=15，D为AB上一点，且ＡD＝AB,在AC上取一点Ｅ，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似,则ＡE等于（）A.ﻩB．10C．或10 D．以上答案都不对3．(3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A． B. C．ﻩ D.４．点Ｐ是△ABC中AB边上的一点，过点Ｐ作直线（不与直线AＢ重合）截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条ﻩB．３条ﻩ C.4条ﻩ D.5条5.如图,小正方形的边长均为１，则下列图中的三角形(阴影部分）与△ＡＢC相似的是( ）Ａ． B. C．Ｄ．６.正方形AＢCD的对角线AC、BＤ相交于点O,E是ＢC中点，DE交AC于Ｆ，若DＥ=12，则EF等于（）A．8 Ｂ．6ﻩ C.4 D．3７.已知正方形ABＣＤ,Ｅ是CD的中点，P是ＢC边上的一点,下列条件中不能推出△ＡBP与△ＥＣP 相似的是（）A．∠APＢ＝∠EＰＣ B．∠AＰE=９0° C.P是BC的中点ﻩ D.BＰ:BC=2:38.如图，矩形ABＣＤ中，BE⊥AC于F,E恰是CＤ的中点，下列式子成立的是( )A．BF2＝AF2ﻩ B.BF2=AF2Ｃ．BＦ2>ＡF2D．BF2＜AＦ29.(3分)如图，正方形ABCD的面积为１，M是AB的中点，连接CM、DＭ、AC,则图中阴影部分的面积为(）Ａ.ﻩＢ. C. D．10．在坐标系中,已知Ａ(﹣３,０),B（0，﹣4），C（0，1）,过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D,C，Ｏ为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线一共可以作出()A．6条ﻩ B.３条ﻩＣ.4条ﻩ D.５条二、填空题:11.如图,把一个矩形纸片ABCD沿AD和ＢC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形长与宽的比为.12．已知: =＝=，2b＋3ｄ﹣5ｆ=9，则2ａ+3c﹣5ｅ=．13．如图,在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°,ＭN⊥AB于M，AM=８ｃｍ,AＣ=ＡB，BC=1５cm,则四边形BCNM的面积为．１４.如图，在正方形ABCD中，点Ｅ是BC边上一点，且BE:EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形ＤEＦC的面积之比是 .15．如图，已知梯形AＥCF中,已知点D是AB边的中点,AF∥BC,CG=3，GA=1,若△ＡＥG的面积为１,那么四边形BDGC的面积为.1６．如图，在平行四边形ABCD中,M、N为AＢ的三等分点,ＤM、DＮ分别交AC于P、Q两点,则AP:PQ:QＣ=．三、解答题:（共36分）17．已知：平行四边形ABCD,E是BＡ延长线上一点，CE与ＡD、BD交于G、F．求证：CF２＝GF•EF．18.(8分)已知:如图ＡD•AＢ=ＡF•ＡＣ,求证：△ＤEB∽△FEC.19．以长为２的线段AB为边作正方形ABCD,取ＡB的中点Ｐ，连接ＰD,在ＢA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF,点M在ＡＤ上.（1）求AＭ,DM的长；(2)求证：AM2=AＤ•ＤＭ;（3)根据(２)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?２0.已知:如图,AD是Rt△ＡBC的角平分线,AＤ的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：FD２=FB•ＦC.2１．已知,如图，在Rt△AＢC中,∠ACB＝90°,ＡD平分∠CAＢ交BC于点D，过点C作ＣE⊥AＤ,垂足为Ｅ,CＥ的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交ＡＢ于点Ｇ，AE•AD=1６，.(1)求AＣ的长;（2)求ＥＧ的长．《第四章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题：1．如图,在平行四边形ABCD中，E为DC的中点,AE交ＢD于点Ｆ,S△DEF＝12cｍ2,则Ｓ△AＯB的值为(）Ａ.12ｃｍ２ﻩ B.24cm２ﻩC．３６ｃm2D．４8ｃｍ2【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2ＤE，OD=ＯB，ＤC∥AB，求出△DＦE∽△BFA,推出=＝=,＝（)2＝， =＝,求出△ＡFB的面积是48cｍ２，△AＤF的面积是24cm2，求出△AＢD的面积即可.【解答】解:∵E为DC的中点，∴DＣ=２ＤE,∵四边形ＡBCD是平行四边形,∴ＡB=DC=2DE,OＤ=OB,DC∥AB，∴△DFＥ∽△ＢFA,∴===, =()2=（)２=， ==，∵Ｓ△DEF=12cm2，∴△AFＢ的面积是4８cm2,△AＤＦ的面积是２4cm2,∴△AＢＤ的面积是72cm２,∵DＯ＝OＢ，∴△ADO和△ＡBO的面积相等，∴S△ＡOB的值为×７２cm2=3６cm2,故选C.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△AＦB的面积和△ＡDF的面积.2.如图，△ABC,AB=12,AC=15，Ｄ为AB上一点,且ＡD=AB,在AＣ上取一点E，使以A、D、Ｅ为顶点的三角形与ＡBC相似,则AE等于()ﻬＡ．Ｂ.10C.或１0ﻩD．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质.【专题】分类讨论.【分析】△ADE与△ＡBＣ相似,则存在两种情况,即△AED∽△ＡCB，也可能是△AED∽△ＡBC,应分类讨论，求解.【解答】解：如图（1）当∠AEＤ=∠Ｃ时,即DE∥BC则ＡE=ＡC=１０(2)当∠AＥＤ=∠B时，△ＡED∽△ABC∴,即AE=综合(1),(2）,故选C.【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题.3.（3分）在直角三角形中,两直角边分别为3和4,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为( ）Ａ.ﻩ B. C.ﻩ D.【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和４,∴斜边为５,∴斜边上的高为=.（由直角三角形的面积可求得)∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：＝．故选Ａ.ﻬ【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度.4.点P是△ABC中AＢ边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合）截△ＡBＣ，使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有（ )A.2条B.３条C.4条Ｄ.５条【考点】相似三角形的判定.【专题】常规题型;压轴题.【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条.【解答】解:（1)作∠ＡPＤ=∠C∵∠A=∠A∴△ＡPD∽△ABＣ(２）作PE∥ＢC∴△APE∽△ABC（3)作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC(4）作PG∥AC∴△PＢG∽△ABC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )Ａ. B．ﻩＣ．ﻩ D.【考点】相似三角形的判定.【专题】网格型.【分析】根据网格中的数据求出ＡB,AC，BC的长，求出三边之比,利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.【解答】解:根据题意得：AＢ=＝,AＣ=，ＢC=２,∴ＡＣ：ＢC：AB=:2： =１：：，Ａ、三边之比为1:：2，图中的三角形（阴影部分)与△ABC不相似；B、三边之比为：:3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;Ｃ、三边之比为1::，图中的三角形（阴影部分)与△ABＣ相似;D、三边之比为2::，图中的三角形（阴影部分)与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6.正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC中点,DE交AC于F,若DＥ=12，则ＥF等于（）Ａ.８B．6 C.4 Ｄ．3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.【专题】压轴题;探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABＣD是正方形,E是BC中点,所以CE=AＤ，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△AＤＦ,再根据相似三角形的对应边成比例可得出＝＝，再根据ＤF=DE﹣EF即可得出EF的长.【解答】解:如图所示：∵四边形ABCD是正方形,E是BC中点,∴CE=AD,∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEＣ,∠AＦD=∠ＥＦC,∴△ＣEF∽△ADF,∴==, =,即=，解得ＥF=４．故选Ｃ.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质,先根据题意判断出△CEF∽△ＡDF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键.ﻬ7．已知正方形ABCD，E是CD的中点,Ｐ是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ＡBP与△ECP相似的是()A．∠APB＝∠ＥPＣB．∠APＥ=90°ﻩＣ.P是BC的中点ﻩ D.ＢP:BC＝2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质.【专题】压轴题.【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可.【解答】解:利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．Ａ、B可用两角对应相等的两个三角形相似;D 可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有Ｃ中Ｐ是BＣ的中点不可推断．故选C.【点评】考查相似三角形的判定定理:（1)两角对应相等的两个三角形相似.（2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(３）三边对应成比例的两个三角形相似.（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.8．如图,矩形ＡBCD中，BE⊥AＣ于F，Ｅ恰是ＣD的中点，下列式子成立的是( )A.BF2=AF２ﻩB.BF２=AF2C.BＦ2＞AＦ2ﻩD.BF2＜ＡF2【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质;射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AＦ2之间的关系．利用△ABＦ∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解:根据射影定理可得BF2=AF×CＦ;∵△ＡBF∽△CEF，∴CF：ＡＦ=CＥ：AB=1：2∴BF2=AF×AF=ＡF2.故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质.ﻬ９．(３分)如图,正方形ＡBCＤ的面积为１，M是AB的中点,连接CＭ、DM、ＡC，则图中阴影部分的面积为（）Ａ.ﻩB．ﻩＣ.ﻩ D.【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质.【分析】根据正方形的性质可得到△AMＥ∽△CDＥ，根据相似三角形的边对应边成比例,求得EH，EF 的长,从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点Ｅ作HF⊥ＡB∵ＡM∥ＣＤ，∴∠DCE＝∠EAＭ，∠ＣＤＥ=∠EMA，∴△AＭE∽△ＣDＥ∴AM:DC＝EH:ＥＦ=1：2,ＦH=ＡD＝１∴EH＝,EF=．∴阴影部分的面积＝S正﹣S△ＡME﹣S△CDE﹣S△MBＣ=1﹣﹣﹣=．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质,找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．1０．在坐标系中,已知A(﹣３，0),B（0，﹣4）,C（0，1),过点C作直线L交x轴于点D,使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AＯB相似,这样的直线一共可以作出（）Ａ.6条ﻩ B.３条Ｃ.4条ﻩD．5条【考点】相似三角形的判定;坐标与图形性质.【专题】常规题型；分类讨论.【分析】△ＡOB是直角三角形，所作的以点Ｄ，C，O为顶点的三角形中∠COＤ=90度，OＣ与AD可能是对应边，这样就可以求出ＣD的长度,以C为圆心,以所求的长度为半径作圆,圆与x轴有两个交点,因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BＤ是对应边时,又有两条满足条件的直线，共有四条．【解答】解：以点D，Ｃ,Ｏ为顶点的三角形中∠COＤ＝90度,ﻬ当OC与AO是对应边，以Ｃ为圆心,以CD的长度为半径作圆,圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条.同理，当ＯC与OB是对应边时,又有两条满足条件的直线,所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ＡBCD沿ＡD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AＥＦB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为 .【考点】相似多边形的性质.【分析】根据相似多边形对应边的比相等,设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程,解方程即可求得.【解答】解：根据条件可知:矩形ＡEFＢ∽矩形ABCD．∴=．设ＡD=ｘ,AB＝y,则AE=x．则=，即: x2=y2.∴＝2.∴x：y＝：１．即原矩形长与宽的比为:1.故答案为:：1．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边,以及正确解方程是解决本题的关键.12．已知： ==＝,2b+3d﹣５f=9,则2a+３c﹣5ｅ= ．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解:∵ ===,∴＝，∵2b＋３d﹣5f＝9,∴2ａ+3c﹣5e=×9=6．故答案为:6．【点评】本题考查了比例的性质,熟记并理解等比性质是解题的关键．13.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,ＭN⊥AB于M,AＭ=8ｃm，AC＝ＡB，BC=１５cm,则四边形ＢCNＭ的面积为.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB＝4:５，设AC=４k,AB=５k,则BC=3k，由BＣ=１５，推出k=5，AC=20,AB=２５，根据四边形BCＮM的面积=S△ABＣ﹣Ｓ△AMN即可解决问题．【解答】解:∵ＭN⊥AB,∴∠AＭN=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△ＡMＮ∽△ACB,∴==,∵AC:ＡB=4:5,设ＡC=４ｋ,AB=5k,则BC=3k，∵BＣ＝15，∴3k=15,∴k=５，AC=２０，AB＝２５,∴MＮ＝６，AN＝8,∴四边形BCNＭ的面积＝S△ABＣ﹣S△ＡMN=×20×1５﹣×８×６=１26．故答案为1２6．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图,在正方形AＢＣD中，点E是BＣ边上一点，且ＢＥ：EC＝2：1，AE与BD交于点F,则△AＦＤ与四边形DEFC的面积之比是．【考点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质.【专题】压轴题．【分析】根据题意,先设CE=ｘ,Ｓ△BＥF＝ａ,再求出S△ADF的表达式,利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系,那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x,S△BEF=a,∵CE=x,BＥ:CＥ＝2:1,∴BE=2x，AD=BC=CＤ=AＤ＝3ｘ;∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BＦE=∠ＤFA;∴△ＥBF∽△ＡDＦ∴S△BEF:S△AＤF＝=＝,那么S△ADF=ａ．∵S△ＢCD﹣S△BEF=S四边形EＦDC＝S正方形ＡBCD﹣S△ABE﹣S△AＤＦ，∴ｘ2﹣a＝9ｘ2﹣×3ｘ•2x﹣,化简可求出x２=;∴S△AＦD:S四边形DEFC＝:＝: =9：１1,故答案为9:11.【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质,还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方.15．如图,已知梯形AＥCF中,已知点D是AB边的中点,ＡF∥BC,CＧ＝3,GＡ=1,若△ＡEG的面积为1，那么四边形ＢDＧC的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质;梯形．【分析】先求出△AFG的面积，然后找出S△CEG＝9S△AFＧ=3，再求出Ｓ△ＡFD=2Ｓ△AＦC=2×=,Ｓ△DEＢ＝S△AFD=，最后用面积差即可.【解答】解：AＦ∥BＣ，CG=3,GA=１，∴,∴FG=EF,∵ＡF∥BＣ,∴,∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴ＥD＝FＤ，∴FD＝EF,∵=,∴S△AFG=S△AEG＝,∵AF∥BＣ,∴△CEG∽△AFG，∴，∴S△CEG=９S△ＡFG=３,∵FＧ=EF，ＦＤ=EF，∴ＦD=2FG,∴DG=ＦG,∴S△AＦＤ=2S△AFＣ＝2×=，∵△ＢED≌△ＡFＤ，∴Ｓ△DＥB＝Ｓ△AＦD=,∴S四边形BDGC的面积=S△CGE﹣S△BED＝3﹣=.【点评】此题是相似三角形的性质和判定,主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比,解本题的关键是求出△ＡFG的面积.16．如图,在平行四边形ABCD中，M、N为AＢ的三等分点,DM、ＤＮ分别交AＣ于Ｐ、Ｑ两点,则ＡP：PQ:QC=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDＰ和△ANＱ∽△CDQ，可分别得到ＡP、PQ、QＣ的关系式,进而求出AＰ、ＰQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMＰ∽△ＣDP,∴ＡＭ:CD=AＰ:ＰC=AP:(PQ+QC）=,即：3ＡP=PQ+QＣ，①△ANQ∽△CDＱ,∴AN：CD=AQ:QＣ=(AP＋PＱ)：QC＝,即2QC=３(ＡＰ+PＱ)，②解①、②得：AQ=AC，ＰQ=AQ﹣AP＝AC，QC=AC﹣ＡQ=AC,∴AP:PQ:ＱＣ=5:3：12.【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质,要熟练掌握灵活运用．三、解答题：（共36分)1７．已知:平行四边形ＡBCD，E是BA延长线上一点,ＣＥ与AD、BＤ交于G、F．求证：CF2=ＧF•EF．【考点】平行线分线段成比例;平行四边形的性质.【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BＣ，ＡＢ∥CＤ，再根据平行线分线段成比例定理得=，＝,利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明:∵四边形ABＣD是平行四边形，∴ＡD∥ＢC，AB∥ＣD,∴=,＝,∴=,即CＦ2=GF•EF．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质．18.（8分)已知:如图AＤ•AＢ＝AＦ•ＡC，求证:△DEB∽△FEＣ．【考点】相似三角形的判定.【专题】证明题.【分析】利用两边对应比值相等,且夹角相等的两三角形相似,进而得出即可.【解答】证明：∵AD•AＢ=AF•ＡC,∴=,又∵∠A=∠A，∴△DＥB∽△ＦEC.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,熟练掌握判定定理是解题关键.19．以长为２的线段AB为边作正方形ABCD,取ＡB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点Ｆ,使PＦ＝PD,以ＡF为边作正方形AMEＦ,点M在AD上.(1)求AM,DM的长；(2）求证:AM2=AD•DM；（3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割;勾股定理；正方形的性质.【分析】(1）由勾股定理求ＰD，根据AM=AF=PＦ﹣PA=PD﹣ＰＡ,ＤM＝AD﹣AM求解;（2)由(1)计算的数据进行证明;（3）根据(2)的结论得： =，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】（１)解：在Rｔ△APD中，ＰＡ=AB=１，AD＝2,∴PD==，∴AM=AＦ＝PF﹣ＰA=ＰD﹣PA=﹣1,DM＝AD﹣AM=2﹣(﹣１)＝3﹣;(2)证明:∵AM2=(﹣1)２=6﹣2，AD•DM＝２(3﹣）＝6﹣２，∴AM２=ＡD•DＭ;(3)点Ｍ是AＤ的黄金分割点.理由如下:∵AM２＝AD•ＤM，∴═=，∴点M是AD的黄金分割点.ﻬ【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段ＡM,DM的长,然后求得线段AM和ＡＤ，DM和AM之间的比,根据黄金分割的概念进行判断.20．已知:如图，AD是Ｒt△AＢC的角平分线,ＡD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证:FD2=FB•FC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接ＡF，可证得△AFＣ∽△ＢＦA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2＝ＦB•FC，则可得ＦD2＝FＢ•ＦC．【解答】证明:连接AF,∵EＦ是ＡD的垂直平分线，∴AＦ=DF,∴∠FAE＝∠FDE,∵∠FAE=∠FAB+∠BＡＤ,∠FＤE=∠C+∠CＡＤ,且∠ＢAD=∠ＣＡＤ,∴∠FAB=∠Ｃ，∵∠ＡFＢ是公共角,∴△AFＢ∽△CFＡ,∴,∴FＡ2=FＢ•FＣ，即FＤ2=FB•ＦC.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．已知，如图,在Rｔ△ABC中,∠AＣＢ=9０°，AD平分∠ＣAB交BC于点Ｄ，过点C作CE⊥ＡＤ，垂足为E,ＣE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥ＢＣ交AB于点G,ＡE•ＡD=16，.(1)求ＡC的长；（2)求ＥG的长.ﻬ【考点】相似三角形的判定与性质;角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理.【专题】几何图形问题．【分析】(1）∠CＡD是公共角,∠ACB＝∠ＡEＣ=9０°,所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例,列出比例式整理即可得到ＡC2=AＥ•AD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为８，再根据AD平分∠CＡB交BＣ于点Ｄ，CE⊥AＤ证明△ＡCE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF,最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EＧ＝BC．【解答】解：（１）∵CE⊥AD，∴∠AEC=9０°，∵∠AＣB=90°,∴∠AEC=∠ACＢ,又∠CAE＝∠CＡE,∴△ACE∽△ADC,∴，即AＣ2=AＥ•AＤ，∵AE•AD=16，∴ＡC２=16,∴AＣ＝４;(2)在△ＡBC中，BＣ==＝8，∵AD平分∠CAB交BC于点D，∴∠ＣAＥ=∠FAE,∵ＣＥ⊥AＤ,∴∠AＥC=∠AＥF=90°,在△ACE和△AFＥ中，，∴△AＣE≌△ＡFE(ASＡ）,∴CＥ=ＥF,ﻬ∵EG∥BC，∴EＧ=ＢC＝×8=4.【点评】本题主要考查两角对应相等,两三角形相似,相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质,熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中.。
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2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题4.10第4章 图形的相似单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•海曙区期末）若a 5=b 8，则b−a a 等于（ ）
A ．35
B ．53
C ．85
D ．5
8 2．（2019秋•禅城区期末）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A ．2：3
B ．4：9
C ．16：81
D ．9：4
3．（2020•拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和
D 、
E 、
F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ）
A ．7.2
B ．6.4
C ．3.6
D ．2.4 4．（2020•营口）如图，在△ABC 中，D
E ∥AB ，且CD
BD =32，则CE CA 的值为（ ）
A ．35
B ．23
C ．45
D ．3
2 5．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD ∽矩形DEFC ，且面积比为4：1，则AE ：ED 的值为（ ）
A．4：1B．3：1C．2：1D．3：2
6．（2019秋•花都区期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
7．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．
A．3B．4C．5D．6
8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）
A．B．
C．D．
9．（2020春•工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（）
A ．3m
B ．3.2m
C ．3.4m
D ．3.6m
10．（2018秋•福田区校级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，AE 、AF 分别
交BD 于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN ＝EN ．下列结论：①AN ＝EN ，AN ⊥EN ；②BE +DF ＝EF ；③
MN EF =
√22；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较
小的三角形的周长为 cm ．
12．（2019秋•长春期末）如图，△ADE ～△ABC ，AD ＝3，AE ＝4，BE ＝5，CA 的长为 ．
13．（2020•淮安区一模）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、
E 、
F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE 的长为 ．
14．（2019秋•昭平县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P 为BC边上一动点，若△P AB与△PCD是相似三角形，则BP的长为．
15．（2019秋•镇海区校级期中）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是．
16．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝．
17．（2019秋•南岸区期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是．
18．（2018•桓台县一模）如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，F 为DE 中点，
若点D 在直线BC 上运动，连接CF ，则在点D 运动过程中，线段CF 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2017秋•锡山区校级月考）（1）已知b a =34，求a−2b a+2b 的值．
（2）已知x 2=y 3=z 4，求x−2y+3z x+y+z 的值．
20．（2018•洪雅县模拟）如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC ．
（1）以O 为位似中心作△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使作出的边长A 1B 1＝2AB ，并保留作图痕迹；
（2）将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC 形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时止，此时得到△AC ′B ′的面积是原来△ABC 的面积的8倍，请你计算AC ′、C ′B ′的长，并作出旋转后的图形．
21．（2019秋•大观区校级期中）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：AD ＝1：4，BE 的延长
线交AC 于F ，求AF ：CF 的值．
22．（2019•惠城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．
（1）求证：EF＝DH；
（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的长．
23．（2019•城步县模拟）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
24．（2020•宝安区二模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE＝2OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE．
（1）若AO＝3，求AC的长度；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE＝k•PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．
25．（2020•武侯区模拟）如图，已知AC 为正方形ABCD 的对角线，点P 是平面内不与点A ，B 重合的任意
一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接AE ，BP ，CE ．
（1）求证：△APE ∽△ABC ；
（2）当线段BP 与CE 相交时，设交点为M ，求BP
CE 的值以及∠BMC 的度数；
（3）若正方形ABCD 的边长为3，AP ＝1，当点P ，C ，E 在同一直线上时，求线段BP 的长．
26．（2020•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =1
2∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．。