二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系

青白江区人和学校彭足琼

凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。

既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。

1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于

0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。

2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b²-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b²-4ac=0时有两个相等的实数根③b²-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b²-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b²-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。

3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题：

典型例题（1）：求证：二次函数y=3x²+（2m+3）x+2m²+1的值

恒为正。

分析：要证明该函数的函数值恒为正，只要能够证明到该抛物

线的开口向上且与x 轴没有交点即可，二次函数y= ax 2+bx+c 中，当a ＞0时，图像开口向上；当b ²-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。所以本题只需证明到a ＞0同时b ²-4ac ＜0。

证明：y=3x ²+（2m+3）x+2m ²+1

Δ=（2m+3）²-12（2m ²+1）=-20（m-103）²-56，∵（m-103

）²

≥0，∴-20（m-103）²≤0，∴Δ=-20（m-103）²-56

＜0，∴抛物线与x 轴没有交点，∵3＞0，∴抛物线开口向上，∴二次函数y=3x ²+（2m+3）x+2m ²+1的值恒为正.

典型例题（2）：二次函数的图象过点（－1，0）、（3，0），且与

y 轴交于（0，3），求该二次函数的解析式。本题除了用二次函数的交点式和一般式来解外，还可以用一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理来解决该题。过程如下：设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c, ∵抛物线与y 轴交于（0，3），∴c=3,∵二次函数的图象过点（－1，0）、（3，0），∴一元二次方程：ax 2+bx+c=0的两个根为x 1 =-1,x 2=3,∴a 3=-1×3，∴a=-1,∵-1 b

=-1+3，∴ b=2,∴二次函数的解析式为：y=-x ²+2x+3

典型例题（3）: 如图，已知抛物线y=21x 2－（k ＋21

）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，

试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．

分析：问题（1）∵抛物线y=21x 2－（k ＋21

）x ＋k 与x 轴只有一

个公共点，∴y=21x 2－（k ＋21

）x ＋k 中Δ=0，从而可以求出k 的值。

问题（2）若△AOC 和△COB 中，当CO CO BO AO =时，则△AOC 和△COB 相似；当

BO CO CO AO =时，则△AOC 和△COB 相似。A 、B 两点的横坐标就是一元二次方程21x 2－（k ＋21

）x ＋k =0的两个解，所以线段OA 和OB 可以用含k 的代数式表示出来，从而建立方程可以把k 的值求出来。

具体步骤如下：解：（1）∵抛物线抛物线y=21x 2－（k ＋21

）x ＋k 与

x 轴只有一个公共点，∴0214]21[-2=⨯⨯-+k k ）（。∴（k-21）²=0，∴k=21。(2)∵c （0，k ）且k ＜0，∴OC=-k ，21x 2－（k ＋21

）x ＋k =0，x=

212)2

1(212

⨯-±+k k ,∵k ＜0，∴x 1=2k, x 2 =1,∴OA=-2k,OB=1，当CO CO BO AO =时，△AOC ∽△BOC ，∴k k k --=-12，k=-21; 当BO CO CO AO =时，

△AOC ∽△COB ∴12k k

k -=--,∴k=-2,∴当k=-21或-2时△AOC 和△COB 相似。

通过上面的3个例子，你得到了什么启示，又有哪些收获？正是