角平分线定理
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角的平分线
本节学习目标
• 1.掌握角平分线性质定理并学会应用. • 2.掌握角平分线判定定理并学会应用.
自主学习
• 线段是轴对称图形吗？ • 它有几条对称轴？ • 什么线段的垂直平分线？ • 线段垂直平分线的性质？
自主学习
• 角是轴对称图形吗？
• 1.在一张纸上折一个∠AOB，沿角的两边将 纸剪下，将这个角对折，使角的两边重合。
求证: PD=PE
A 证明：∵OC平分∠AOB
D
∴∠1=∠2
C 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
1
P
∴∠PDO=∠PEO=90°
2
在ΔOPD和ΔOPE中
O
E B ∵ ∠1=∠2
∠PDO=∠PEO
OP=OP(公共边)
∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)
∴PD=PE
归纳总结：
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
（×）
A
B
D
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
训练反馈：
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC， DE⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 角的平分线上的点到角的两）
√
边的距离相等。
B
A D
C
训练反馈：
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分 线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。
• 2.在折痕上任取一点P，
• 3.过P折OA边的垂线，得到新的折痕PD
• 4.将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E
交流展示
• 1.角是轴对称图形吗？ • 2.角的对称轴是？
1.角是轴对称图形 2.角的对称轴是角平分线所在的直线
交流展示：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
训练反馈：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
M
N
P
P
A
A
训练反馈：
3.判断：（ × ）
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
B
A
D
C
训练反馈：
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
证明：∵∠C=90°（已知） ∴DC⊥AC（垂直的定义）
A
又∵AD是∠CAB的角平分线，
1
2
E
DE⊥AB（已知）
∴CD=DE（角平分线上的点
到角的两边的距离相等）
C
D
B
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC－BD=8－5=3
∴DE=3
拓展延伸
1.如图，△ABC中，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC
2.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且
PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
A
D
B
C
P
角平分线的判定定理：到角两边 距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
训练反馈：
A
12
1.填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(__角___D__平_C___=分__D__线_E____上____的__点___到__角__的___两__边__的__距_C__离__相__等D_____) B
上，BD=DF. 求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质) A 在Ｒt△FCD和Rt△BED中
DF=DB （已证）
CD=DE （已知）
F
E
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CD
B
∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
拓展延伸：
本节学习目标
• 1.掌握角平分线性质定理并学会应用. • 2.掌握角平分线判定定理并学会应用.
自主学习
• 线段是轴对称图形吗？ • 它有几条对称轴？ • 什么线段的垂直平分线？ • 线段垂直平分线的性质？
自主学习
• 角是轴对称图形吗？
• 1.在一张纸上折一个∠AOB，沿角的两边将 纸剪下，将这个角对折，使角的两边重合。
求证: PD=PE
A 证明：∵OC平分∠AOB
D
∴∠1=∠2
C 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
1
P
∴∠PDO=∠PEO=90°
2
在ΔOPD和ΔOPE中
O
E B ∵ ∠1=∠2
∠PDO=∠PEO
OP=OP(公共边)
∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)
∴PD=PE
归纳总结：
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
（×）
A
B
D
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
训练反馈：
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC， DE⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 角的平分线上的点到角的两）
√
边的距离相等。
B
A D
C
训练反馈：
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分 线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。
• 2.在折痕上任取一点P，
• 3.过P折OA边的垂线，得到新的折痕PD
• 4.将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E
交流展示
• 1.角是轴对称图形吗？ • 2.角的对称轴是？
1.角是轴对称图形 2.角的对称轴是角平分线所在的直线
交流展示：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
训练反馈：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
M
N
P
P
A
A
训练反馈：
3.判断：（ × ）
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
B
A
D
C
训练反馈：
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
证明：∵∠C=90°（已知） ∴DC⊥AC（垂直的定义）
A
又∵AD是∠CAB的角平分线，
1
2
E
DE⊥AB（已知）
∴CD=DE（角平分线上的点
到角的两边的距离相等）
C
D
B
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC－BD=8－5=3
∴DE=3
拓展延伸
1.如图，△ABC中，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC
2.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且
PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
A
D
B
C
P
角平分线的判定定理：到角两边 距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
训练反馈：
A
12
1.填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(__角___D__平_C___=分__D__线_E____上____的__点___到__角__的___两__边__的__距_C__离__相__等D_____) B
上，BD=DF. 求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质) A 在Ｒt△FCD和Rt△BED中
DF=DB （已证）
CD=DE （已知）
F
E
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CD
B
∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
拓展延伸：