向量积的物理背景
《向量数量积的物理背景与定义》 知识清单
《向量数量积的物理背景与定义》知识清单一、向量数量积的物理背景在物理学中，我们常常会遇到力做功的问题。
当一个力作用在物体上，并使物体在力的方向上产生位移时，力就对物体做了功。
例如，一个水平向右的力 F 作用在一个物体上，使物体在水平方向上移动了一段距离 s，力 F 与位移 s 之间的夹角为θ。
那么力 F 所做的功 W 就可以表示为：W ＝｜F| ×｜s| × cosθ 。
这里的｜F| 表示力 F 的大小，｜s| 表示位移 s 的大小，cosθ 则反映了力的方向与位移方向之间的关系。
从这个物理模型中，我们可以抽象出向量数量积的概念。
力 F 和位移 s 都是向量，它们的数量积就与力做功的大小密切相关。
再比如，在电学中，电场强度 E 与电荷 q 移动的位移 s 的数量积，也可以表示电场力对电荷做功的大小。
通过这些物理实例，我们能够更加直观地理解向量数量积的实际意义，并且认识到它在描述物理现象和解决物理问题中的重要性。
二、向量数量积的定义1、定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则数量｜a| ×｜b| × cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b ＝｜a| ×｜b| × cosθ 。
如果其中有一个向量为零向量，那么规定它们的数量积为 0 。
2、几何意义向量数量积 a·b 的几何意义是：数量积 a·b 等于 a 的长度｜a| 与 b 在 a 方向上的投影｜b|cosθ 的乘积，或者等于 b 的长度｜b| 与 a 在 b 方向上的投影｜a|cosθ 的乘积。
以 a·b 为例，假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为向量 p ，则 p 的长度为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a| ×｜p| 。
3、性质（1）交换律：a·b ＝ b·a这意味着两个向量进行数量积运算时，其顺序不影响结果。
高等数学数量积向量积
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
线速度．
解 w 平行于 l 轴， w 的方向由右手规则确定．
设点M 到旋转轴 l 的距离为a ，再在 l 轴上任取一点O作向量
r
OMMA
，
并以
表示w
与
r
的夹角，
那么
w
a| r |sin ．
设线速度为 v ，那么 v 的大小为
| v || w | a| w || r |sin ；
v a
M
v垂直于 w与 r ，又 v 的指向是使 w 、r 、v 符合右手规则．因此有
为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成
i jk ab ax ay az (ay bzaz by)i(az bx ax bz)j(ax byay bx)k．
bx by bz
例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．
向量数量积的物理背景与定义ga
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上的正射影的数量
解：4cos600=2
解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
-5/2
四.向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积）
3
的夹角是
与
AD
AB
∵
练习3
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
解：因为
所以a在b方向上的正射影的数量是
b在a方向上的正射影的数量是
(1)
01
A 锐角三角形
06
C
05
D
02
C 钝角三角形
04
D 不能确定
07
A 锐角三角形
2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
一.力做功的计算
位移S A θ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练习4
课堂小结
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
向量数量积的物理背景及定义
A1 a1 O1
则a l a cos
︱a︱cosθ 的几何意义:
A
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ ， a ︱a︱cosθ 叫做向量a在b方向上的 b 正射影的数量， θ B O |a|cosθ A1 ︱b︱cosθ的几何意义呢？
向量数量积 a · 的几何意义 b
1、向量的夹角的概念
(0 )
B
叫做向量
b
怎样找向量 的夹角? b
记作 a, b
和 a
b的夹角．
a
O
特殊情况：
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同始点的
O b B 0 a 与 b 同向
a
A B b
a
O A
a 与 b 反向
(×)
(×)
(×) ( )
(×) (×)
课堂小结
向量的夹角 共始点 向量在轴上的正射影
al a cos a , l
向量的数量积的定义，几何意义，性质。
a b a b cos a, b
我们学到 了什么？
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cosθ的积.
θ为直角时， | b | cos a , b =0
A
B1
O
a A
θ为锐角时， | b | cos a , b ＞0
θ为钝角时， | b | cos a , b ＜0
当夹角为 0 0 和180° ，结果是什么呢？
2.3.1向量数量积 的物理背景与定 义
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图） F s
向量数量积的物理背景与定
若a是一个单位向量，则a · a = 1。
向量数量积的几何意义
向量数量积表示两个向量的“相似度” 或“一致性”。当两个向量同向时， 数量积为最大值；当垂直时，数量积 为0；其他情况下，数量积介于0和最 大值之间。
向量数量积可以用于描述两个向量在 方向上的关系，例如在物理中可以表 示力或速度之间的角度关系，在工程 中可以用于分析结构的稳定性等。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
动能定理
动能定理描述了物体在力的作用下运动时，动能的变化与 力所做的功之间的关系。具体来说，物体动能的增加等于 力所做的功。在物理学中，向量数量积可以用来表示力与 位移之间的点乘运算，从而计算力所做的功。
公式：$W = Fmathbf{cdot}s$，其中$W$表示力所做的功， $F$表示力的大小和方向，$mathbf{cdot}$表示点乘运算， $s$表示位移。
03
CHAPTER
向量数量积的应用
力的合成与分解
力的合成
通过向量数量积，可以将多个力合成一个合力，计算合力的效果。例如，在物理实验中，经常需要将多个力合成 一个合力，以研究物体的运动状态。
力的分解
在物理问题中，有时需要将一个已知力分解为若干个分力。通过向量数量积，可以将一个力分解为沿不同方向的 分力，以便进一步分析。
04
CHAPTER
向量数量积的运算
向量数量积的运算律
交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$
结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义【知识梳理】1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【常考题型】题型一、向量数量积的运算【例1】(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b 、b 与c 、c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.【类题通法】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．【对点训练】已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC .解：(1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4；(2)∵AB ，AD 的夹角为π2， ∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0； (或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0) (3)∵DA ，AC 的夹角为3π4， ∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎫－22＝－4. 题型二、与向量的模有关的问题【例2】 (1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．(1)[解析] 依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．[答案] 3 2(2)[解] ∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |，∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝ 4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3. 【类题通法】向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a ·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝(a ±b )2＝ a 2±2a ·b ＋b 2.【对点训练】已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.解：由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.题型三、两个向量的夹角和垂直问题【例3】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．(1)[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3. [答案] π3(2)[解] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3. 【类题通法】求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．【对点训练】已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3.由c ⊥d ，则c ·d ＝0，即c ·d ＝(3a ＋5b )·(ma －3b )＝3ma 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0，∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直． 【练习反馈】1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立；(3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( ) A.92B ．3C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 3．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12. 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.答案：120°4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7.答案：75．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝|n |.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)．(1)因为m ⊥n ，所以(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0，解得λ＝529； (2)因为m ∥n ，所以(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0，解得λ＝－12； (3)因为|m |＝|n |，所以(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝72＋82， 解得λ＝2±21115.。
6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积课件-人教A版高中数学必修第二册
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为θ，我们 把数量 a b cos 叫做 a与 b 的数量（或内积,点 乘），即 a • b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
0．
课堂小结：
4、向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,则 1)a b a b 0 2）当a, b同向时a b | a || b |；
说明：
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定.
（2） a ·b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向 量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
M
a
O
b M1 N
OM1叫做向量a 在向量 b 上的投影向量
探究：如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ， a 与 b 的夹角为 ， 那么OM1 与 e, a, 之间有怎样的关系？
M
a
设OM1 e
O
当 为锐角时， | OM1 || a | cos
b M1
N
所以，OM1 | OM1 | e | a | cose
人教202XA版必修 第二册
第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物 理背景和数量积
复习回顾
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长 度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
平面向量的数量积及其物理背景
| b | cosθ＞0
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O(B1 ) a
A
θ为直角时， | b | cosθ=0
讨论总结性质
（１）a⊥b a ·b=0 (.判断两向量垂直的依据) （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | ·| b |；
当a与b反向时，a·b＝ －| a | ·| b |.
写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
θ
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
s
垂直于| 直b |线coOsθA叫，向垂量足b为在Ba1方，向则上O的B1投影| b．| cosθ B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
，把数量| a || b | cos 叫做a 与b 的数量积
（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a 0 0．
（1）两向量的数量积是一个数量，而不 是向量，符号由夹角决定；
（2） a ·b中间的“ · ”不能省略，也不能
√
例4 . 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线。求 当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
特别地， a a | a |2 或 | a | a a.
（３）a ·b ≤| a | ·| b |.
（４） cos a b .
a b
运算律
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b)c 分配律：a (b c) a b a c
向量数量积的物理背景与定义
（2）当θ = 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当θ = 120 时a在b上的投影为 − 2
0
（4）当θ = 120 时b在a上的投影为 − 4
0
例1：已知轴l （ ）向量 OA = 5, < OA, l >= 60 求OA在l上的 1
0
正射影的数量OA1
1 5 解：)OA1 = 5 cos 60 = 5 × = (1 2 2
0⋅a = 0
思考：两非零向量 a 与 b 的数量积 思考： 是一个实数，不是一个向量，其值可以 是一个实数，不是一个向量， 实数 为正，也可以为负，还可以为零，请说 为正，也可以为负，还可以为零， 出什么时候为正，什么时候为负，什么 出什么时候为正，什么时候为负， 时候为零？ 时候为零？
测一测： 测一测： 提a b 非 向 前 ： 是 零 量 与
2 2
− a b
___________
特别地：a ⋅ a = a = a 即 a =
( 4 ) cos < a , b >=
____________
a ⋅a =
≤
a
2
a ⋅b a b
.
(5 ) a ⋅ b
a b
三、向量在轴上的正射影： 向量在轴上的正射影： A
已知向量 a和轴 l , 作 OA = a，过点 O， A分别作轴 l的垂线， 垂足分别为 O1， A 1，则向量 O1A 1叫做向量 a在轴 l上的正 射影（简称射影）该射 影在 轴 l上的坐标称作 a在轴 l上的 数量或在轴 l的方向上的数量。
0
= −10
a ⋅b
0
2 2
∴θ = 135
例2：如图，∆ABC为等腰直角三角形, 且直角边AB = 1, 求AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ BA的值.
向量卷积运算公式
向量卷积运算公式是一个数学术语，它描述了两个向量在空间中的重叠部分。
下面是一篇关于向量卷积运算公式的文章，它主要包括以下内容：1. 向量卷积运算的定义和背景2. 向量卷积运算的公式及其推导过程3. 向量卷积运算的特性和应用4. 总结1. 向量卷积运算的定义和背景向量卷积运算也称为外积或叉积，是数学中的一种重要运算。
在三维空间中，向量卷积运算可以用公式表示为：[V \* W] = Vx W + Vy W + Vz W其中，V和W是两个向量，x、y、z分别是它们的分量。
向量卷积运算可以描述两个向量在空间中的重叠部分。
在实际应用中，向量卷积运算常常用于描述物理现象中的力、速度、加速度等物理量之间的关系。
2. 向量卷积运算的公式及其推导过程向量卷积运算的公式可以通过以下方式推导：设V和W是两个向量，x、y、z分别是它们的分量，则V和W的叉积可以表示为：Vx W = (V1, V2, ..., Vn) x (W1, W2, ..., Wn) = (a1b2 - a2b1, a2b1 - a1b2, ..., an-1bn - ban-1, bn-1an - ban-1, ..., an-1b1 - a1bn)其中，a1、a2、...、an-1、an是V和W的分量，b1、b2、...、bn-1、bn是它们的交叉分量。
根据叉积的定义，可以得出V和W的叉积是一个n维向量，即一个由n个分量组成的向量。
因此，向量卷积运算的公式可以表示为：[V \* W] = Vx W = (V1, V2, ..., Vn) x (W1, W2, ..., Wn) = (a1b2 - a2b1, a2b1 - a1b2, ..., an-1bn -ban-1, bn-1an - ban-1, ..., an-1b1 - a1bn)3. 向量卷积运算的特性和应用向量卷积运算具有以下特性：（1）可交换性：V和W的卷积等于W和V的卷积。
即：[V \* W] = [W \* V]。
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
![2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义](https://img.taocdn.com/s3/m/15737b2958fb770bf78a554e.png)
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
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(4)cos〈a，b〉＝ |a||b| (|a||b|≠0). (5)|a·b| ≤ |a||b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
9
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
∴cos〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)＝－cos B＝－153. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B)
＝13×5×－153＝－25.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
16
练习2. 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ= F·s
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
10
课堂小结 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功。 2.向量在轴上的正射影及其数量。 3.掌握了平面向量数量积的定义，会数量积求向量的夹角 4.总结了平面向量数量积的性质，会用其解决问题。
→→ (3)BC·AC.
解 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°. ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°.
∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120°＝1×1×－12＝－12. (3) B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
11
课堂讲义
重点难点，个个击破
判断正误，并简要说明理由. (1)a·0＝0；(2)0·a＝0；(3)a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 解 上述3个命题中只有(3)正确； 对于(1)：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0； 对于(2)：应有0·a＝0； 对于(3)：|a|＝|b|＝1⇒a2＝b2＝1.
13
练习3 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中
真命题的个数为( )
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
A.1
B.2Biblioteka C.3D.42.3.1 向量数量积的物理背景与定义
14
练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，
求a与b的夹角。
练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
15
练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
解析
易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2， C＝90°. cos B＝153，
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
4
例1
(1)
已知
|O→A|=5，〈O→A，l〉=60°，求
→ OA
在l上正射影的数量OA1
(2)
已知|O→B|=5，〈O→B，l〉=120°，求
→ OB
在l上正射影的数量OB1
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
5
思考：当θ为锐角，钝角，0°，90°，180°角时，向量在轴上 正射影的数量是怎样的？
例2 已知|a|=3，|b|=4， a与b的夹角θ=135°，求a·b
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
8
平面向量数量积的性质
(1)e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉. (a≠0).
(2)a⊥b⇒a·b＝ 0 ，反之a·b＝0 ⇒a⊥b(a≠0，b≠0). (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a .
2
1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作 O→A＝a， O→B＝b，则 ∠AOB 称作向量a和向量b的夹角， 记作〈a，b〉， 并规定它的范围是[0，π].
任意向量
思考 正∆ABC中,〈A→B，A→C〉= 60〈°, A→B，B→C〉=120°, 〈A→C，B→C〉=60°.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
3
2.向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l，作 O→A＝a，过点O，
A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则 向量 O——1A→1叫做向量 a 在轴 l上的正射影(简称
射影)，该射影在轴l上的坐标，称作 a 在轴 l上的数量，或 a
在轴 l 上正射影的数量.记为al， al＝|a|cos θ
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
17
练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求
a与b的夹角。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
18
练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
12
练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
练习 2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
→→ (3)BC·AC.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
6
跟踪演练 已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角θ=120°，则
向量p在q方向上的正射影的数量为
；向量q在p
方向上的正射影的数量为
。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
7
平面向量数量积的基本概念
|a||b|cos 〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记 作a·b. 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
19
第二章——
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
(1)当θ为锐角时，正射影和轴 l 同向， al＝|a|cos θ >0. (2)当θ为钝角时，正射影和轴 l 反向，al＝|a|cos θ <0.
(3)当 θ= 0° 时， al＝|a|; 当 θ= 180° 时， al＝-|a|.
(4)当 θ= 90° 时， al＝0.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义