§7.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理(讲解部分)

2.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,⑥ 不共线 的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
温馨提示 (1)构成基底的两向量不共线; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对 实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们 把有序数对⑦ (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0), j=⑧ (0,1) . (2)设 OA =xi+yj,则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若 OA =(x,y),则A 点坐标为⑨ (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). 4.向量的坐标运算
(1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
运算律 (1)交换律: a+b=③ b+a ; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=④ λa+λb
3
2 sin θ=
3
3
sin
θ+cos
θ=2sin
θ
π 6
.又0≤θ≤ 2π
3
,
∴sin θ
π 6
∈
1 2
,1
,∴当θ=π
3
时,x+y取最大值2,故选D.
答案 D
方法总结 在解决圆、直角三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时,建
立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路.
1-m
1 3
m
1 n, 2 1-n,
解得m
n
3, 5 4. 5
所以 AE= 2 a+1 b,故选A.
55
答案 A
例2 (2019河北3月质检,6)在△ABC中,O为△ABC的重心.若 BO=λ AB+μ
AC,则λ-2μ= ( )
A.- 1 B.-1 C. 4 D.- 4
2
3
3
解题导引 三角形重心有什么性质?重心O是△ABC中什么线的交点?(中
D. 2a+ 4b
55
解题导引 由条件BN与CM相交于点E,可知N,E,B三点共线及C,E,M三点共线,
由共线向量定理可设AE =mAN
+(1-m)AB
,AE
=nAM
+(1-n)AC
,再利用AM
1
=2
AB
, AN
=1
3
AC ,结合平面向量基本定理建立关系式,求得m、n的值,进而表示出AE
.
解析 由题意得 AN =1 AC =1 b, AM = 1 AB =1 a,
个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找
相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.
考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略
例3 (2018湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中
点,若 AC=λ AM +μ AN,则实数λ+μ=
知能拓展
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略
例1 (2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中
点,且 AN = 1 NC ,BN与CM相交于点E,设AB =a,AC =b,则AE 等于 ( )
2
A. 2 a+ 1 b
55
B. 1 a+ 2 b
55
C. 1a+ 1b
33
设∠AOC=θ
0
θ
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2 3
π
,
易知,A(1,0),B
-
1 2
,
3 2
,C(cos
θ,sin
θ)
0
θ
2π 3
.
∵OC
=xOA
+yOB
,∴
cos θ sin θ
x- 1 y, 2 3 y,
2
∴
x y
1 sin θ cosθ, 3 2 sin θ, 3
∴x+y=
1 sin θ+cos θ+
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.共线向量定理 (1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ使得⑤ b=λa ,则向量b 与a共线. (2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线 AB上,则存在实数λ,使得 PC=(1-λ) PA+λ PB,如图.
温馨提示 a.向量相等,则坐标相同;b.向量的坐标与表示该向量的有向线 段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关. (2)平面向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ x1y2-x2y1=0.
温馨提示 a.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成 xx12= yy12.因 为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,a∥b的充要条件也不能 错记为x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等. b.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是a=λb(b≠0),这与x1y2-x2y1=0在本 质上是没有差异的,只是形式上不同.
33
22
由N,E,B三点共线可知,存在实数m,满足AE =mAN +(1-m)AB =1 mb+(1-m)a.
3
由C,E,M三点共线可知,存在实数n,满足 AE =n AM +(1-n) AC =1 na+(1-n)b,所
2
以 1 mb+(1-m)a=1 na+(1-n)b,
3
2
因为a,b为基底,所以
线交点)延长BO交AC于点M,由重心的性质可知,M为AC的中点,且BO =
2 3
BM,再把
BM
用
AB
,
AC
表示出来,得出λ,μ的值,进而可得λ-2μ.
解析
如图,延长BO交AC于点M,∵点O为△ABC的重心,∴M为AC的中点,∴ BO =
2 3
BM
=
2 3
1 2
BA
1 2
BC
=-
1 3
AB
+
1 3
BC
=-
1 3
AB
+
1 3
(
AC
-
AB
)=-
2 3
AB
+
1 3
AC
,又 BO
=
λ AB+μ AC,∴λ=- 2,μ= 1,∴λ-2μ=- 2-2× 1=- 4,故选D.
33
3 33
答案 D
方法总结 1.若A,B,P三点共线,则可设成 AB =λ AP的形式,也可以设成OP =
t OA+(1-t) OB的形式,两种设法因题而异,如例1,就用到了第二种设法;2.用几
(1)平面向量运算的坐标表示
加法 减法 数乘 任一向量 的坐标
坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑩ (x1+x2,y1+y2) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= (x1-x2,y1-y2) 已知a=(x1,y1),则λa= (λx1,λy1) ,其中λ是实数 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB= (x2-x1,y2-y1)
.
解题导引 分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,设正方形 的边长为2,然后写出A,M,N,C的坐标,利用平面向量的坐标运算求解.
解析 分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,A(0,0). 设正方形的边长为2,则C(2,2), ∵M,N分别是BC,CD的中点, ∴M(2,1),N(1,2), ∴ AC=(2,2), AN =(1,2),
考点清单
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念及表示法
名称
定义
表示法
向量
既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小 向量:AB ;模:① | AB | 叫做向量的长度(或模)
零向量 长度为0的向量叫零向量,其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量
常用e表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量
a与b共线可记为② a∥b ;0与任一向量共 线
a=b
相反向量 长度相等且方向相反的向量
a与b互为相反向量,则a=-b;0的相反向量为0
2.平面向量的线性运算
向量运算 定义
法则(或几何意义)
加法
求两个向量 和的运算
减法 数乘
三角形法则
平行四边形法则
求a与b的相 反向量-b的 和的运算
三角形法则
求实数λ与 向量a的积 的运算
AM =(2,1), 又∵ AC=λ AM +μ AN,∴(2,2)=λ(2,1)+μ(1,2),
∴
2λ λ 2
μ μ
2, 2,
∴
λ μ
2, 3 2, 3
∴λ+μ=
4 3
.
答案 4
3
例4 (2019河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量OA 和
OB ,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若 OC=x O+Ay OB,则
x+y的最大值是 ( )
1
3
A. 2 B.1 C. 2
D.2
解题导引
由于点C在
︵
AB
上运动,故可设∠AOC=θ
0
θ
2π 3
,再通过建
系,求点A,B,C的坐标,结合OC =xOA+yOB,将x,y用θ表示出来,进而求出x+y
的最大值.
解析 以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,