高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济

大学下册

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学复习提纲

一、考试题型

1．填空题6题

2．计算题8题

二、知识点

1．平面及其方程。

例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程

解所求平面的法线向量可取为

k j i k j i b a n 30

11112-+=-=⨯=? 所求平面的方程为

(x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40

2．空间直线及其方程。

例题：求过点(203)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0

12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即

k j i k j i n 1114162

53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=? 所平面的方程为

16(x 2)14(y 0)11(z 3)0

即16x 14y 11z 650

例题：求过点(312)且通过直线1

2354z y x =+=-的平面方程

解所求平面的法线向量与直线1

2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为

k j i k j i s s n 22982

4112521--=-=⨯=? 所求平面的方程为

8(x 3)9(y 1)22(z 2)0

即8x 9y 22z 590

3．旋转曲面。

例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程

解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x

例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程

解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29

4.多元复合函数求导，隐函数求导。

例题：求函数x

y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=

例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ∂∂y

z ∂∂ 解x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂

31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y

y x x y x y x -+-=? )2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y

y x x y x y x ----=? 例题：设ze x 2y 而x sin tyt 3求dt

dz 解dt

dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=-- )6(cos )6(cos 22sin 223

t t e t t e t t y x -=-=--? 例题：设sin ye x xy 20求dx

dy 解令F (xy )sin ye x xy 2则F x e x y 2F y cos y 2xy

xy

y e y xy y y e F F dx dy x y x 2cos 2cos 222--=---=-=? 例题：设x y

y x arctan ln 22=+求dx

dy 解令x y y x y x F arctan ln ),(22-+=则 2

2222222)()(11221y x y x x y x

y y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=? 2

2222221)(11221y x x y x x

y y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=? y

x y x F F dx dy y x -+=-=? 5.重积分（直角坐标，极坐标）。

例题：⎰⎰+D

d y x σ)(22其中D {(xy )||x |1|y |1}

解积分区域可表示为D 1x 11y 1于是

x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 3

8=? 例题：⎰⎰+D

d y x x σ)cos(其中D 是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域

解积分区域可表示为D 0x 0yx 于是

+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π

0)cos 2cos 21(π23-=? 例题：利用极坐标计算下列各题

(1)⎰⎰+D y x

d e σ22，其中D 是由圆周x 2y 24所围成的闭区域

解在极坐标下D {()|0202}所以

)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπ

ρ? (3)σd x

y D arctan

⎰⎰其中D 是由圆周x 2y 24x 2y 21及直线y 0yx 所围成的第一象限内的闭区域 解在极坐标下}21 ,4

0|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD 所以 ⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==4032164

3ππρρθθd d ? 5．求曲顶柱体体积。

例题：求由曲面zx 22y 2及z 62x 2y 2所围成的立体的体积

解由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z 得x 2+2y 2=62x 2y 2即x 2y 2=2故立体在x O y 面

上的投影区域为x 2y 22因为积分区域关于x 及y 轴均对称并且被积函数关于xy 都是偶函数所以

⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x ?

例题：计算以xOy 平面上圆域x 2y 2ax 围成的闭区域为底而以曲面zx 2y 2为顶的曲顶柱体的体积