理论力学课件 12动能

T
1 2
J z 2
4．平面运动刚体的动能：
T
1M 2
vC2
1 2
JC
2
1 2
J P 2
C点为质心，P点为速度瞬心，（平行移轴定理）。
J P JC Md 2
1．质点的动能定理： ma F d (mv) F dt
两边点乘以 d r v dt
d mv vdt F d r
dt
M1 zr
同样可得
aC
Q sina W
W 2Q
g
动能定理
29
动能定理
283页12-17
A
NA
ω
vA a
C
G
P JPa MP (F) Max Fx
C : x l cos
2
dx l sin d
2
B vB
NB
30
动能定理
A
NA
ω
vA a
C
G
JCa MC (F)
P
Max Fx May Fy
d dt
(mi vi
)
d dt
K
(i)
Fi
(e)
Fi
dK dt
(e)
Fi
Fi
d( 12mivi2 ) Wi Wi内 Wi外
d
(
12mi
vi
2
)
百度文库
?
Wi外
[例1] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心 线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问 下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长， 盘B作纯滚动，初始时系统静止)
2R
aC
P
aC a / 2
F N
JCa 2RT
MCaC T F 0 PN
12
动能定理
v 4 (M / R Q)hg 8Q 7P
a 8(M / R Q)g 8Q 7P
a
F
a
C aC
aF aC aFnC aFC aFx aC aFC
a aC aR aC aR
aC a / 2
WiN
n个质点，n个方程∑：
主动力的元功
n
i 1
d
1 2
m
i
v
i
2
n
WiF
i 1
n
WiN
i 1
d
1 2
mi
vi
2
WiF
WiN
对理想约束： ∑ WiN = 0
dT = ∑WF
质点系动能定理的 微分形式
在理想约束条件下，质点系动能的增量等 于作用在质点系上的主动力的元功之和。
对式 dT = ∑WF 积分，得
3. 有势力: 质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力), 如重力、弹力等。
二．势能
在势力场中, 质点从位置M 运 动到任选位置M0, 有势力所作的功 称为质点在位置M 相对于位置M0的 势能，用V 表示。
M0 zr
o x
M
v
F
M
y
M0
M0
V F d r Fxdx Fydy Fzdz
§12-5 势力场、势能、机械能守恒定律
一．势力场 1．力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和 方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。
2．势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于 质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
2020年11月14日星期六
动能的计算 y
y1 mi
1．质点系的动能：
ra
rr
T
12mi v ia 2
x1
rC
C
x
O
1 2
Mv
2 C
1 2
mi vir 2
质点系的动能等于随同质心作平动时的动能再加上相对 于质心的动能。此定理称为“柯尼希定理”。
2．平动刚体的动能
T
1 2
MvC2
3．定轴转动刚体的动能：
2
1 2
J B AB 2
1 2
G g
vB 2
P 6g
vA2
1 2
1 3
Q g
l 2
vA l
2
vA2 6g
(P
Q)
瞬 心
WF M 2
代入 T2－T1 = ∑WF
得
vA
3Mg (P 3Q 3G) u
PQ
5 图示系统中，磙子C、滑轮O均质，重量、半径均为Q、r。 磙子沿倾角为α的斜面纯滚动，借不可伸长的绳子提升重W的 物体，同时带动滑轮O转动，求磙子质心C的加速度aC 。
解：取整个系统为研究对象
W (F ) 2mg 0.9 mg(0.6 0.15) 1.35mg 2
T1 0 vA vB v
T2
1 2
1 3
2m
0.92
2
1 2
m v2
0.9 v
T2
5 6
m v2
代入到T2 T1
W (F) 得
vA´
5 m v2 0 1.35m g 6
v 3.98vmB´/s
的角速度、角加速度。
AⅠ
r1
M
O
r2
Ⅱ
已知杆的 m，M ；行星轮的 m1，r1，
求 角后杆的ω、α。
vA
ωA
解:取整个系统作为研究对象 系统的初动能：T0= 0
杆转过 角后,系统的动能：
T = TOA + T轮Ⅰ
ωP
M
O
r2
Ⅱ
1 2
1 3
m(r1
r2 )2
2
AⅠ
r1
瞬 心
1 2
m1r12 2
M
y
有势力的功等于始末位置的势能之差。
四．机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和。
设质点系所受的主动力均为有势力，则
T2 T1 W12 V1 V2
T1 V1 T2 V2 常量 —机械能守恒定律
这样的系统成为保守系统。 对非保守系统，设非保守力的功为W12' , 则有
(T2 V2 ) (T1 V1 ) W12
O
T1
1 2
J
O
2 OA
1 2
Q g
vC
2
1 2
G g
vB2
= u/r = u
=u
1
Pr2
u 2
1
Q
u2
1
G
u2
2 3g r 2 g
2g
u2 P 3Q 3G
6g
vB
B
初始动能
T1
u2 6g
P
3Q
3G
M
A
C
O
B
vA
vC ωAB
当OAB成直线时，系统的动能为：
T2
1 2
Pr2 3g
vA r
o x
d ( 1 mv 2 ) W 动能定理的微分形式
2
将上式沿路径 M1M2 积分，可得
M
v
F
M2
y
1 2
m v22
1 2
m v12
W
动能定理的积分形式
二、质点系的动能定理
质点系中任一质点质量为mi，速度为vi，
受力：主动力Fi 、约束反力Ni，
约束反力的元功
d
1 2
mi vi 2
WiF
a 3g(cos ) /(2L)
动能定理的应用练习题
1．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于
自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转
到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：研究OA杆
W
(F )
P 1.2
1k 2
(
2 1
22 )
30 9.81.2 1 3000[02 (2.4 1.2 2)2 ] 388.4(J)
l 2
mg
任一瞬时：
V2
mg( l 2
y)
T2
1 2
I C 2
2
T1
1 2
1 3
30
2.4202
28.802
T2 0
T2 T1 W (F )
0 28.802 388.4 0 3.67rad/s
2：置于水平面内的行星轮机构中，行星轮Ⅰ在系杆 OA的带动下绕定齿轮Ⅱ转动。已知系杆(视为均质细 杆)的质量为m，受主动力矩M作用；行星轮(视为均
质轮)质量为m1，半径为r1，求系杆由静止转过角后
r2
)2
0
M
12M
(2m 9m1 )(r1 r2 )2
vA
AⅠ
ωA
r1
α
M
O
r2
Ⅱ
a d
6M
dt (2m 9m1 )(r1 r2 )2
3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止 释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。
O
C
a
解法一 ： 用动能定理的微分形式。
ωO
任意瞬时,系统动能为：
O
T
1 2
Q g
vC 2
1 2
JCC 2
C
1 2
JOO 2
1W 2g
vW 2
vC
Q
D
a
瞬心
Q 2g
vC 2
1 2
Qr 2 2g
vC r
2
1 2
Qr 2 2g
vC r
2
W 2g
vC 2
W
2Q 2g
vC
2
dT
W
2Q g
M
M
M0作为基准位置，称为零势能点。势能具有相对性。
等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。
三：几种常见的有势力的势能
1.重力势能
V
z0 z
mgdz
mg (z
z0 )
2.弹性力势能
V
1 2
k(
2
02 )
M F
δ
M0 δ0
δ 0-----零势点处，弹簧的变形量。
o l0
若选弹簧自然位置为势能零点，即δ 0=0，则
C : x l cos
2
B vB
C : y l sin
NB
2
31
小结：
动能定理最适于求解动力学第二类基本问题：已 知主动力求运动，即求速度、加速度或建立运动 微分方程。
• 求速度宜用动能定理的积分形式；求加速度或建 立运动微分方程宜用其微分形式，或先用积分形 式再求导。
• 动能定理方程中不出现理想约束的反力使解题过 程大为简便。
13
研究刚体平面运动的动力学问题，要注意！建立 “补充方程”
y A
mg FNB ma cy
FNA
FNA ma cx
a
C
acy
mg
acx
JCa
FNB
L cos
2
FNA
L sin
2
xC
L cos
2
yC
L sin
2
B FNB
vCx
L sin
2
vCy
L cos
2
aCx
La
2
sin
L2
2
cos
y A
如：摩擦力的功。
[例1] 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌 面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾
角 和质心的位置表达）。
分析：1. 水平方向不受外力，
且初始静止，
质心的水平坐标守恒。
故质心 C 铅垂下降。
C´
2. 主动力为有势力，
故机械能守恒。
解：
初瞬时：
T1
0,V1
P
xC
L cos
2
yC
L sin
2
FNA
a
C
acx
vCx
L sin
2
vCy
L cos
2
acy
mg
T
1 2
JP 2
1 2
mL2 3
2
B
FNB
T
T0
1 2
JP 2
1 2
m L2 3
2
W mg( y0 y) mgL(sin0 sin ) / 2
2 3g(sin0 sin ) / L
(r1
r1
r2
)
2
1 2
m1
(r1
r2
)
2
2m 9m1 12
(r1
r2 ) 2
T
2m 9m1 12
(r1
r2 ) 2
由于系统在水平面内，重力不作功，理 想约束反力不作功，所以只有M作功：
W12= M
根据质点系动能定理的积分形式，有
T－T0 = W10
2m 9m1 12
(r1
vC dvC
vW
W
dT
W
2Q g
vC dvC
主动力在位移ds上的元功为
∑ WF =(Qsina－W)ds
由质点系动能定理的微分形式
dT =∑WF
W
2Q g
vC dvC
(Q sina
W
)ds
两边同除以dt，且
ds dt
vC
,
dvC dt
aC
Q sina W
aC W 2Q g
C
vC
D
Q
a
ωO
V 1 k 2
2
3. 万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势点 (r0 )
V Gm1m2
三．有势力的功
r
M0
在M1位置： V1 F d r W10
M1
M0
M2位置： V1 F d r W10
M1
M0 zr
o x
M1→M2： W12 W10 W20 V1 V2
M
v
F
4 位于水平面内的机构如图。已知曲柄OA=r，重P， 受常力矩M作用；连杆AB=l，重Q；滑块B重G。当 AO⊥OB时， A点的速度为u。求曲柄OA转至与连杆 AB成一直线时，A点的速度。
A
u
M B
O
B
M
A
O
vA
解：以系统为研究对象，
A
用动能定理。
M 初始位置时， AB杆作瞬时平动!
u vC
C
系统的动能为：
16g
R
8Q 7P
上式求导得：8Q 7P 2v dv ( M Q) dh 其中 (v dh)
16g
dt R
dt
dt
a 8(M / R Q)g 8Q 7P
动能定理
求地面对C轮的约束反力
v 4 (M / R Q)hg 8Q 7P
a 8(M / R Q)g 8Q 7P
T
a
a a
O
vW
W 瞬心
[法二]用动能定理的积分形式。
设系统初始动能为 T0 (定值)； 当轮心 C 经过距离 s 后 ，速度为vC， 系统动能为
T
W
2Q 2g
vC 2
T－T0 = ∑WF
W
2Q 2g
vC 2
To
(Q sina
W
)s
两边求导，得
2vC
W 2Q 2g
dvC dt
0 (Q sina
W ) ds dt
解：取系统为研究对象
W (F) M Qh 其中( h/ R)
T1 0
T2
1 2
JO A2
1 2
Q g
v2
1 2
JCB 2
1 2
P 2g
R2 A2
1 2
Q g
v2
1 2
3 2
P g
R2 B 2
v2 (8Q 7P) 16g
由T2 T1 W (F )
v2 (8Q 7P) 0 ( M Q)h v 4 (M / R Q)hg
质点系动能定理的 积分形式
T2－T1 = ∑WF
在理想约束条件下，质点系在运动的某 过程中，其动能的改变量等于作用在质 点系上的所有主动力所作功的代数和。
问题1 在非理想约束条件下，如何应用动能定理？
将摩擦力、弹簧内力等非理想约束的约束反力划入 主动力计算功
问题2 对质点系
d dt
(mi vi )