高等数学自测题第13章自测题1答案(可编辑修改word版)

第 13 章自测题 1 答案

一、选择题（每小题 4 分）

1、

答：(A).

2、

答：(B).

3、设C 为分段光滑的任意闭曲线，(x)及ψ(y)为连续函数，则的值

(A)与C 有关(B)等于0

(C)与(x)、ψ(x)形式有关(D)2π

答( ) 答：（B）

4、曲线积分的值

(A)与曲线L 及起点、终点均有关 (B)仅与曲线L 的起点、终点有关

(C)与起点、终点无关(D)等于零

答( ) 答：（B）

二、填空题（每小题 4 分）

1、

L 是xoy 平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L 关于ox 轴的转

动惯量用曲线积分表示为. (ρ(x,y)为连续函数)。

答：

2、

设L 是单连通域上任意简单闭曲线，a,b 为常数，则.

答： 0

3、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m= .

答： 1

4、设是某二元函数的全微分，则m= .

答：2

三、解答题（每小题 6 分）

1、

求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).

d s

2、

设曲线 L 为摆线 x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为 1， 求 L 的形心坐标( ).

3、

求质点 M (x ,y )受作用力 沿路径 L 所作的功 W L 是从 A (2，3)沿

直线到 B (1，1)的直线段.

解：L 的直线方程： y = 2x - 1

从 x = 2 到 x = 1

w = ⎰

F ⋅

L

x 2 +

y 2 ⎰

=

⎰

AB ( y + 3x ) d x + (2 y - x ) d y

1

= (5 - 11x ) d x

2

= - 23

2

4、

质线 L 为

其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线对

于原点处的单位质点的引力 .

5、

设质线 L 的方程为

L 上任意点(x ,y )处的线密度为

求质线 L 的质量 M 及质心坐标(ξ,η).

解：L 的极坐标方程为 r = a (1 - cos )

0≤≤2π

d s = d = 2a sin

d

2

M =

⎰

d s =

⎰ 1 d s

L

L

a

= 2a

⎰

2

(1 - cos ) sin d 0

2

r 2 + r '2

= 32 a

3

=

⎰

L

x d s

M

= 1 ⋅ 2a 2⋅⎰2(1 - cos) 2 cos sin d

M 0 2

= 3 a⎰2(1 - 2 sin 2) sin d

4 0 2 2

=- 8 a

7

由于L 关于OX 轴对称，

= 1

a关于y 是偶函数，故= 0

∴质心：

(- 8 a , 0)

7

6、

计算，其中D 是由y=0 和摆线x=a(t－sin t), y=a(1－cos t) 0≤t≤2π所围成的区域。(a>0)

7、

计算其中是从O(0，0)沿y=sin x 到A(π,0).

x 2+y 2

8、

设f (x, y) =Ax 2+ 2Bxy +Cy 2，且f (1,-2) = 2 ，试确定常数A，B，C 之值，使曲线积分

与积分路径L 无关。

四、证明题

1、（6 分）

设f(u)在1≤u≤4上有连续的一阶导数，域D 由y=x, y=4x,xy=1 与xy=4 所围成，L 是D 的逆时针方向的边界，求证：

对二重积分作变换：

2、（7 分）

若f(u)为连续函数，L 为单连通区域G：x>y>0 内的任意简单曲线，则曲线积分

的值与路径无关。

3、（7 分）

设n 为闭曲线C 的朝外的法向量，D 为C 所围成的闭区域，函数u(x,y)具有二阶连续偏导数。试证明

证明：