中考动态几何问题(含答案)

答案

1、△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M 、N 分别作AB 的垂线交直角边于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ．

（1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写

出自变量t 的取值范围）；

（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩

形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？

解：（1）①当点P 在AC 上时，y ＝32t 2

（0≤t ≤1）；

②当点P 在BC 上时，y ＝－36t 2＋23

3t （1＜t ≤3）．

（2）当t ＝3

4s 时，四边形MNQP 为矩形．

（3）当t ＝12s 或3

4s 时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC △相似． 2、如图，抛物线经过点A （4，0）、B （1，0）、C （0，-2）三点。 （1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若P 在直线AC 上方的抛物线上，求使△PAC 面积最大的P 的坐标。

解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为

22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，

得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252

a b .

⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，

∴此抛物线的解析式为215

222

y x x =-+-．

（2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215

222

m m -

+-， 当14m <<时， 4AM m =-，215

222PM m m =-+-．

又90COA PMA ∠=∠= °， ∴①当2

1

AM AO PM OC ==时，

APM ACO △∽△，即21542222m

m

m ⎛⎫

-=-+- ⎪⎝⎭

．

M Q

P C B

A

解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当

12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即215

2(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）

∴当14m <<时，(21)P ，

． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，． 当1m <时，(314)P --，．

综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，

． （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215

222

t t -

+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为1

22

y x =-．

E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 2215112222222DE t t t t t ⎛⎫

∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．

22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫

∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭

△．

∴当2t =时，DAC △面积最大． (21)D ∴，

．

3、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ． （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；

（2）当点P 在AB 上运动到什么位置，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的

6

1

； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运

动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．

解：（1）证明：在正方形ABCD 中，无论点P 运动到AB 上何处时，都有

AD =AB ∠DAQ =∠BAQ AQ =AQ

∴△ADQ ≌△ABQ

(2)解法一：△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的

6

1

时， 过点Q 作Q E ⊥AD 于E ,QF ⊥AB 于F ，则QE = QF

21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =3

4 由△DEQ ∽△DAP 得 DA

DE

AP QE =

解得2=AP ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6

1

解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴

于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．

21QE AD ⨯=ABCD 正方形S 61=38 ∴QE =3

4 ∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为44

()33

，

∴ 过点D （0，4），Q (

)3

4

,34两点的函数关系式为：42+-=x y 当0=y 时，2=x ∴P 点的坐标为（2，0） ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的

6

1． （3）若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD ①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD =QA 此时△ADQ 是等腰三角形

②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，

此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形

③解法一：如图，设点P 在BC 边上运动到x CP =时，有AD =AQ ∵ AD ∥BC ∴∠ADQ =∠CPQ 又∵∠AQD =∠CQP ∠ADQ =∠AQD

4

、如图，已知点(0,6)A B ，经过A 、B 的直线l 以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P 从点B 出发,在直线l 上以每秒1个单位的速度沿直线l 向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t 秒．

（1）用含t 的代数式表示点P 的坐标；

（2）过O 作OC ⊥AB 于C,过C 作CD ⊥x 轴于D,问：t 为

何值时,以P 为圆心、1为半径的圆与直线OC 相切？并说明此时P 与直线CD 的位置关系．

l x