(优选)组合数学课件第六章递推关系

起来的方程称做一个递推关系（递归关系）。
如第3章的错排数Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)，(n≥3) 和关系式an=3an-1，(n≥1)都是递推关系。
如a0=d0 , a1=d1,…, ak=dk，di为常数(i=0,1,…,k)，称为递推 关系的初值。
如D1=0, D2=1作为初值即可惟一的确定序列(D0,D1,…, Dn,…)，a0=1作为初值即可惟一的确定序列(1,3,32,…,3n,…)。
解关：系要即求可§解 。6.1这递个推问关题系§建，6立.首1例先递1-必2推须关建系立递的推建关立系，然后求解递推
设这n条直线将圆分成的区域数为an，如果有n-1条直线将圆分成 a交n-。1个例显区然域题，，这那条么直再线加在入圆第内n条被直分线成与n条在线圆段内，的而其每他条n-线1条段直又线将相第
注：以上各例均为经典组合数学问题，在算法分析中常用； 对普通的递推关系无一般规则可解。
§6.1 Fibonacci数§列6.应1 用递及推性关质系的建立
Fibonacci数列在组合计数中的应用
例：确定2×n棋盘用多米诺牌完美覆盖的方
法数hn。
规定h0=1. 容易看到h1=1， h2=2， h3=3。
第第66章章 递递推关关系系
教学目标： 1．掌握几种递推关系的建立方法； 2．理解并掌握常系数线性齐次及非齐次递推关系的求解方法； 3．能运用迭代归纳法求解递推关系； 4．记住并理解Fibonacci数的定义及递推公式，会推导
Fibonacci数的一些性质，能运用它们解决一些组合计数问 题。 重点：
n条直线在圆内经过的区域分成两个区域。这样，加入第n条直
线后，圆内就增加了n个区域。而对于n=0，显然有a0=1，于是 对于每个整数 n，可以建立如下带初值的递推关系
an an1 n (n 1)
a0 1
求解递推关系得an
n2
n 2
2
（求解方法以后几节再介绍）这就是问题的解答。
§6.1 递推关§系6建.1立例递2 推关系的建立
an an1 2(n 1) (n 2)
a1 2
求解这个递推关系可以得到问题的解答。
§6.1 递推关§系建6.立1例递3-1推关系的建立
例题
例3、“Fibonacci兔子问题”也是组合数学 中的著名问题之一。这个问题是指：从某一 年某一月开始，把雌雄各一的一对兔子放入 养殖场中，从第二个月雌兔每月产雌雄各一 的一对新兔。每对新兔也是从第二个月起每 月产一对兔子。试问第n个月后养殖场中共 有多少对兔子？
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例题
例2、在一个平面中，有n个圆两两相交， 但任二个圆不相切，任三个圆无公共点， 求这n个圆把平面分成多个区域？
解：设这n个圆将平面分成an个区域。 如图。易见 ，a1=2, a2=4。 现在假设前n-1个圆将平面分成了an-1 个区域，当加入第n个圆时，由题设 这个圆与前面的n-1个圆一定交于 2(n-1)个点，这2(n-1)个点把第n个圆 分成2(n-1)条弧，而每条弧正好将前 面的 n-1个圆分成的区域中的其经过 的每个区域分成2个区域，故新加入的第n个圆使所成的区域数 增加了2(n-1) 。因此可以建立如下带初值的递推关系：
1: 1
§6§.16.1递递推推关关系建系立的例3建-1 立
表示幼兔
表示成兔
2: 1
实线表示成长
3: 2
虚线表示生殖
4: 3
5: 5 6: 8 7: 13
§6.1 递推关§系建6.立1例递3-2推关系的建立
解：设第n个月时养殖场中兔子的对数为Fn。并定义F0=1， 显然例有，题F1=1。 由于在第n个月时，除了有第n-1个月时养殖场中的全部兔子 Fn-1外，还应该有Fn-2对新兔子，这是因为在第n-2个月就已 经有的每对兔子，在第n个月里都应生一对新的兔子。因此可 以建立如下带初值的递推关系
（优选）组合数学课件第六章 递推关系
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
将递推关系和初值结合起来称为带初值的递推关系。如
Dn (n 1)(Dn1 Dn2 )
D1 0, D2 1
(n 3),
an 3an1 a0 1
(n 1)
§6§.1 6递.1推关递系推建立关例系1-1的建立（Fibonacci数列）
例题
例1、在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中的每一条在圆内都同其他的直 线相交。如果没有多于三条的直线相交于 一点，试问这些直线将圆分成多少个不同 区域？
递推关系的建立方法、常系数线性齐次及非齐次递推关系的求 解方法、Fibonacci数和Catalan数的定义、递推公式及性质
难点： Catalan数的定义、递推公式及性质
§6.1
递推关系定义
§6.1 递推关系的建立
定义 6.1
设{H(n)}为一序列，把该序列中H(n)和它前面几 个H(i)(0≤i≤n-1)用等号（或大于、小于号）关联
习题
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结
习题
********************** 课程总结
第6章 递推关系
本章主要介绍递推关系的建立及几种 常见的求解方法：
•6.1 Fibonacci数列 •6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 •6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 •6.4 用迭代和归纳法求解递推关系
Fn Fn1 Fn2 (n 2)
F0 1, F1 1 求解上式可以得到我们所需的答案。 注：利用该式我们可以推得
(F0,F1,…,Fn,…)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…) 常称Fn为Fibonacci数， (F0,F1,…,Fn,…)为Fibonacci数列。 Fibonacci数列在数学中是一个奇特而又常见的序列，它在算 法分析中起着重要的作用。