基于回归分析和傅里叶级数分析的房价模型

基于回归分析和傅里叶级数分析的房价模型

针对房地产价格问题，运用线性与非线性回归、主成分分析、傅里叶变换等方法，首先根据最近十年武汉分区数据得到了商品住宅价格与人均GDP、人均可支配收入、大宗商品价格指数的关系，然后对于2013年6月-12月的商品住宅价格变化趋势做出了预测。

标签：回归分析；傅里叶级数；主成分分析

1模型的建立、求解与评价

1.1模型介绍

我们以行政区划作为划分，选择了武汉中心城区具有代表性的三个区（江岸区，江汉区，硚口区）进行建模分析。根据武汉市统计局及武汉市统计年鉴中的数据，首先对于三个自变量两两之间进行了相关性分析，然后进行主成分分析，最后以贡献率最大的主成分为新的变量与商品住宅价格做回归拟合，得到各变量间的函数关系。

1.2模型建立

根据武汉市统计局及权威网站查询、计算得出以最近10年各区以上四个变量数据（以江岸区为例）如下图1。

图1武汉市近十年分区商品住宅价格变化自变量之间相关性分析模型建立：r（Xi，Xj）=σ2（Xi，Xj）σ（Xi）*σ（Xj）（i，j=1，2，3）

σ2（Xi，Xj）=2012n=2003（Xin-i）（Xjn-j）10

通过主成分分析，将人均GDP、人均可支配收入及大宗商品价格指数三个相关性较大的变量重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标。

由此定义主成分为：

Gi=3t=1αitXt

其中10i=1α2it=1（t=1，2，3）

最后求出第i个主成分的贡献率，这个值越大，表明第i主成分综合信息能力越强。主成分累积贡献率≥90%作为主成分个数的m的选择依据。

1.3模型的求解

（1）主成分分析。

根据相关性结果，利用MATLAB软件进行主成分分析，结果如表1。

表1江岸区主成分分析结果

特征值 2.87040.12770.0019贡献率0.95680.04260.0006累计贡献率0.95680.99941（2）回归拟合。

通过MATLAB中cftool对于图像进行拟合，比较各种函数之后发现三次多项式拟合效果较为理想，故选用三次多项式进行拟合。

拟合结果：

Y=5.543e-005*G31-0.08086*G21+47.68*G1-3827

图2江岸区拟合曲线1.4模型评价

各種拟合指标如下：

R-square：0.986Adjusted R-square：0.979

由于Adjusted R—square接近于1，故拟合效果较好，同时考虑到计算值和实际值的误差在可接受范围内，故本模型可较好的表示四者之间的关系。但是本模型运用了主成分分析对于数据进行处理，丢失了一些信息，有可能造成结果的不精确。

2商品住宅价格及变化趋势的预测

2.1模型介绍

由于商品住宅价格的变化较快，故我们选择了最近两年每月的数据，通过傅里叶变换和傅里叶级数展开对数据关于时间的波动变化进行拟合，得到商品住宅价格及大宗商品价格与时间满足的傅里叶级数展开式，并以此做时间序列的时域扩展，即得到对未来2013年6月-12月商品住宅价格变化趋势的预测值。

2.2模型的建立

我们选择用多项式函数和傅里叶级数分别拟合，发现在相同的次数下傅里叶级数的拟合效果要好于多项式函数，故我们选择傅里叶级数进行拟合。

对于商品住宅价格变化趋势，通过作图观察后发现同样上下波动，故同样选择运用傅里叶级数进行拟合。

图3商品住宅价格变化傅里叶级数拟合曲线2.3模型的求解

商品住宅价格：

运用MATLAB中的cftool进行拟合，得到结果为：

f（x）=7759-224.7*cos（x*0.163）-197.6*sin（x*0.1683）-273.7*cos（2*x*0.163）-40.91*sin（2*x*0.163）-146.8*cos（3*x*0.163）+54.76*sin（3*x*0.163）-4.189*cos （4*x*0.163）+109.2*sin（4*x*0.163）+34.58*cos（5*x*0.163）+47.29*sin （5*x*0.163）+22.6*cos（6*x*0.163）+17.92*sin（6*x*0163）

2.4模型的评价

傅里叶级数的拟合效果从图像和数据上来看都好于多项式的拟合，能较好的拟合数据，得出预测结果，应该认为预测结果比较可信。

表2傅里叶级数与多项式对于商品住宅

价格拟合指数的比较

SSER-squareAdjusted R-squareRMSE傅里叶级数拟合15110.99880.997510.78多项式拟合222000.98180.976433.2优点：

对于具有波动现象的时间序列，数字信号分析里的傅里叶级数展开方法可以用较少的变量较好地模拟数据趋势。同时，由傅里叶展开定理可得，一切的时间序列都是可以展开成由多个正弦、余弦函数组成的多项式，具有普遍适用性。

缺点：

对于不能转换成时间序列的数据，傅里叶级数展开的理论基础无法满足，则无法使用。同时，拟合一些数据时，由于能量在频域上的分布比较平均，故形式可能会很复杂。

参考文献

[1]潘建桥武汉市统计年鉴[EB/OL].http：///，2013/4/28.

[2]武汉市房价统计[EB/OL].http：//，2013/4/28.

[3]主成分分析[EB/OL].http：///wiki/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6 %9E%90，2013/4/28.