迭代法解非线性方程
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
第4章 非线性方程求根的迭代法
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18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
数值分析第四章 解非线性方程的迭代法
即
(xk+1-α)2≈(xk-α)(xk+2-α) xk+12-2xk+1α+α2≈xkxk+2-(xk+xk+2)α+α2
解得
x k x k + 2 x k2+1 α≈ x k + 2 2 x k +1 + x k
( x k +1 x k ) 2 = xk x k + 2 2 x k +1 + x k
可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-α|充分小, 而且对任 一ε>0,要使|xk-α|<ε, 只要 k > ln ε (1 L) ÷ ln L x1 x 0
证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a≥0, (b)=(b)b≤0, 由(x)的连续性,必存在α∈[a,b]使(α)=(α)-α=0, 即α=(α), 又′(x)=′(x)-1<0, 所以x=(x)的根唯一. |xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)| =|′(ξ)(xk-xk-1)|≤L|xk-xk-1| |xk+1-α|=|(xk)-(α)|=|′(ξ)(xk-α)|≤L|xk-α| |xk-α|=|(xk-xk+1)+(xk+1-α)| ≤|xk-xk+1|+|xk+1-α|≤L|xk-xk-1|+L|xk-α| 于是有:
k 0 1 2 3 4 5 xk 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 |xk-xk-1| 0.10653 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 k 6 7 8 9 10 xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
牛顿迭代法求解非线性方程组的解
10 简化牛顿法 简化牛顿法又称平行弦法，其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ),C 0, k 0,1,
(4-7)
从不动点迭代法的角度看，简化牛顿法的迭代函数(x) x Cf (x) ，下面讨论简
化牛顿法的收敛性。
若| '(x) ||1 Cf '(x) | 1 ,即取 0 Cf ' (x) 2 .在根 x* 附近成立，则迭代法
x k 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k1 作为 x* 的新的近似值。 注意到切线方程为
y f (xk ) f '(xk )(x xk )
(4-4)
这样求得的值 x k1 比满足 f (xk ) f '(xk )(x xk ) 0 ，从而就是牛顿公式
x
k 1
| f (xk1) || f (xk ) |
(4-8)
满足此要求的算法称为下山法。
将牛顿法和下山法一起使用时，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，
用牛顿法加快收敛速度。为此，为此将牛顿法的计算结果
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
(4-9)
与前一步的近似值 xk 的适当加权平均作为新的改进值
代法中所遇到的 jacobi 矩阵难求的问题。
关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、 jacobi 矩阵
一、前言 非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来
越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为 得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是 一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍 关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延 伸到方程组的解法。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法随着科技的发展，求解非线性方程逐渐成为了计算数学领域中的热门问题之一。
在日常生活中，我们可能经常会遇到许多非线性方程，例如：x^2 - 3x + 1 = 0、e^x - x - 1 = 0等。
那么，在解决这些方程时，我们通常会采用哪些迭代法呢？下面，我将介绍三种新的迭代法，它们分别是：Halley法、Chebyshev法和Brouncker法。
一、Halley法Halley法是一种高阶迭代法，它能够同时逼近函数的根和导数的值，因此在求解非线性方程时非常有效。
该方法的基本思想是利用牛顿法的基础上，通过引入更高阶的泰勒级数，以加快收敛的速度。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么可以先利用泰勒级数表示出f(x)的近似：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)/2(x - x0)^2然后，在此式的基础上，我们可以用以下公式来计算出下一个近似解x1：在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程只有单个根，那么该法一般很快就能收敛到准确解。
二、Chebyshev法Chebyshev法（切比雪夫法）是一种基于最小化误差的迭代法，它不需要计算导数，且具有高阶迭代、迭代次数少的优点。
该方法的基本思想是：我们可以将待求解方程转化为一个无穷大的级数，然后利用级数的递推公式来迭代求解。
具体来说，假设我们要求解方程f(x) = 0的解，那么我们可以将其转化为如下形式：x = g(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ⋯其中，系数a0、a1、a2等可以通过传统的求根方法（如牛顿法、二分法等）来确定。
然后，我们可以利用以下递推公式来迭代求解：xn+1 = (g(xn)+xn)/2在实际使用中，如果我们要求解的非线性方程满足某些条件（如单峰性、单调性等），那么该法的效果将更加显著。
三、Brouncker法Brouncker法是一种较为简单的迭代法，它基于有理分式逼近的思想，能够高效地求解非线性方程的单根。
非线性方程组迭代法
实验二 非线性方程的数值解法1.1 实验内容和要求在科学研究和工程技术中大量的实际问题是非线性的，求非线性方程()0f x =满足一定精确度的近似根是工程计算与科学研究中诸多领域经常需要解决的问题。
实验目的：进一步理解掌握非线性方程求根的简单迭代法、埃特金Aitken 加速法、牛顿迭代法的思想和构造。
实验内容： 求方程2320x x x e -+-=的实根。
要求：（1）设计一种简单迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用埃特金Aitken 加速迭代，计算到-8110k k x x --<为止。
（2）用牛顿迭代法，同样计算到-8110k k x x --<（3）输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值，并比较算法的优劣。
1.2 算法描述普通迭代法计算步骤：（1）给定初始近似值0x ，eps 为精确度。
（2）用迭代公式x =x 2+2−e x 3进行迭代，直到-8110k k x x --<为止。
埃特金Aitken 加速迭代法计算步骤：（1）将()0f x =化成同解方程()x x ϕ=()k k y x ϕ= ，()k k z y ϕ=21()2k k k k k k k y x x x z y x +-=--+=22k k k k k kx z y z y x --+ （2）计算到-8110k k x x --<为止。
牛顿法计算步骤：给定初始近似值0x ，1ε为根的容许误差，2ε为()f x 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
计算00(),()f x f x '（1）如果0()0f x '=或者迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行（2）（2）按公式0100()()f x x x f x =-'迭代一次，得到新的近似值1x ，计算11(),()f x f x ' （3）如果101x x ε-<或者12()f x ε<，则迭代终止，以1x 作为所求的根，结束；否则执行（4）（4）以111(,(),())x f x f x '代替000(,(),())x f x f x '，转步骤（1）继续迭代。
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
迭代法解非线性方程
%牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点 function [root,n]=newton2(f,a,b,e) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点,n迭代次数
D { x x x * }内 ( x ) 存在一阶连续的导数，
那么 (1)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是局部收敛的； (2)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是发散的。
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
定理1的两个条件有时较难验证也较难满足， 这时常用的是局部收敛条件。 所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻 域是收敛的。 关于局部收敛有如下的定理。
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求解非线性方程的迭代法
3.迭代法的局部收敛性
定理 2 设方程 x ( x ) 有根 x * ，且在 x * 的某个邻域
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求解非线性方程的迭代法
y
( xk , f ( xk ))
x*
y f (x )
xk 1 x k
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是数学领域中最为繁杂的算术问题之一。
从求解原理上来看，非线性方程的解法可以分为解析法和迭代法两种。
其中，解析法一般是针对特定的非线性方程设计的显式计算方法，比如说牛顿法等。
而对于大多数的非线性方程而言，其解析求解难度太大，甚至无法得到精确解。
这时，我们就需要通过迭代法来求解非线性方程。
下面介绍三种新的迭代法。
1. 基于贝克曼变换的迭代法贝克曼变换是一种重要的非线性映射变换，它可以有效地将原始问题转换为线性化问题。
基于贝克曼变换，我们可以将待求解的非线性方程转化为一个等价的线性方程组，然后通过迭代求解线性方程组来得到非线性方程的近似解。
具体而言，基于贝克曼变换的迭代法大致分为以下三个步骤：（1）选择一个初始解$x_{0}$，设定迭代精度$\varepsilon$和最大迭代次数$N$。
（2）通过贝克曼变换，将原始方程转化为一个等价的线性方程组$Ax=b$。
其中，$A$为系数矩阵，$b$为右端项向量。
（3）采用迭代格式$x_{k+1}=Tx_k+c$求解线性方程组，直至迭代精度达到要求或达到最大迭代次数为止。
其中，$T$为迭代矩阵，$c$为常数向量，$x_{k}$为第$k$次迭代的解。
需要注意的是，为了保证迭代的收敛性，选取迭代矩阵$T$时应满足其谱半径小于1。
基于信赖域的迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法，它最早由Powell和Dennis于1976年提出。
其关键思想是在每个迭代步骤中，通过构造一个相对较小的信赖域来限制变量的移动范围。
（2）构造信赖域模型，将非线性方程转化为一个二次规划问题。
（3）求解二次规划问题，得到当前迭代步骤的解。
（4）根据解的质量，更新信赖域的大小和形状，并更新迭代点。
（5）比较新的解和旧的解之间的差距，确定是否要进一步迭代。
需要注意的是，在每个迭代步骤中，信赖域的形状和大小都需要靠上一次迭代的结果进行更新。
此外，为了保证计算的精度，比较新旧解之间的差距时应加入一定的容差限制。
求解非线性方程的牛顿迭代法
求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。
文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。
紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。
关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。
若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。
这类问题称为求根问题或求零点问题。
此外，方程的根的情况可分为单根和重根。
一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。
若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。
求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。
（2）有根区间的确定。
本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。
（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。
二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。
6.解非线性方程组的牛顿迭代法
eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1
N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法
f1( x, f2 (x,
y) y)
f1 y f2 y
y1
y0
1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)
0
求
(1,1) 附近的解
f1x
f2x
f1 y f2 y
2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)
y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx
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此为割线法的迭代公式。 其几何意义就是用割线来代替切线。它的收敛 速度比切线法慢， 而且需要两个初值开始迭代。 将割线法的迭代公式编程实现，要求输出迭代 次数。 用割线法求方程 x 3 3 x 1 0 在 x0 =2 附近的 根，误差限为10 4 。
xk 1 x * ( x*)。 (v) lim k x x * k
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求解非线性方程的迭代法
在实际计算中，对于给定的允许误差 ，当 L 较小 时，常以前后两次迭代近似值 xk , xk 1 满足 | xk xk 1 | 来终止迭代。定理 1 结论中的（iii）（iv）（v） 、 、 分别称为误差后验估计式、误差先验估计式、渐 进误差估计式。
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求解非线性方程的迭代法
例 2 用牛顿法求方程 x x 3 2 0 在区间[0.5,2] 上的一个根.
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求解非线性方程的迭代法
四、小结 1.迭代法原理 2.弦截法 3.牛顿法
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业
割线法： 用 f ( x )在 xk 1 , xk 两点的差商代替 f '( xk ) ，得
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
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求解非线性方程的迭代法
y
( xk , f ( xk ))
x*
y f (x )
xk 1 x k
x
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求解非线性方程的迭代法
3. 牛顿法的收敛速度
f ( x) ( x) x , f '( x )
经计算得 牛顿法的 迭代函数
f ( x*) f "( x*) f "( x*) ' ( x*) , "( x*) 2 ( f ' ( x*)) f ' ( x*)
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求解非线性方程的迭代法
4.收敛的阶
定理 3 若 ( x ) 在 x * 附近的某个邻域内有 p( p 1) 阶连续导数，且
( x*) x*, '( x*) 0,, ( p1) ( x*) 0, ( p ) 0
则对一个任意接近 x* 的初始值，迭代公式
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精 度,root函数的零点,n迭代次数
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求解非线性方程的迭代法
例 1 用弦截法求方程 ln x x 2 在区间[1,4]上 的一个根.
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求解非线性方程的迭代法
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求解非线性方程的迭代法
2. 弦截法的迭代公式
ba x1 a f (a ), f (b) f (a ) xk a xk 1 a f ( x ) f (a ) f (a ), k xk b x b f (b ), k 1 f ( xk ) f ( b ) f ( a ) f ( xk ) 0 f ( a ) f ( xk ) 0
xk 1 f ( xk ) xk , k 1,2, f ' ( xk )
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求解非线性方程的迭代法
2. 牛顿迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk , k 1,2, f ' ( xk )
称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式, 简称 牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义， y f ( xk ) f ' ( xk )( x xk ) 是曲线在点(xk, f(xk))处的切线方程。 xk+1就是切线与x轴交点的横坐标， 所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标 近似代替曲线与x轴交点的横坐标。 因此牛顿法也称切线法。
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xk 1 ( xk )是 p 阶收敛的，且有
xk 1 x * ( p ) ( x*) lim p k ( x x*) p! k
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
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求解非线性方程的迭代法
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴 有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 )) 作一直线,它与x轴的交点记为x2, 否则过两点 (b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记 为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一个根。
三、牛顿法
1. 牛顿法的基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用 线性化方法， 对于非线性方程 f (x)=0 ,将 f (x) 在 xk 处 作 Taylor 展开,去掉高阶项后得
f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk )
如果f(xk)≠0,用xk+1 代替x,由f(x)=0可得 下列迭代公式
定理 1 设 ( x ) 在区间[a , b]上具有一阶连续的导数， 且满足下面 2 个条件： （1）当 x [a , b]时， ( x ) [a , b]； （2）存在正常数 L 1，使得对任意 x [a , b]，有
| ( x ) | L 。
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因此,若x*是f(x)=0的单根,则牛顿法是至少2 阶收敛的； 进一步分析还可以发现,当x*是f(x)=0的重根 时,牛顿法只是1阶收敛的， 并且重数越高，收敛越慢。
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求解非线性方程的迭代法
4. 牛顿法的编程实现
function root=newton1(f,a,b,e)
数学软件
求解非线性方程 的迭代法
一、迭代法原理
二、弦截法
三、牛顿法
四、小结
求解非线性方程的迭代法
一、迭代法原理
1. 迭代法的思想
迭代法是数值计算中的一类典型方法， 不仅用于方程求根，而且可用于方程组求解， 矩阵求特征值等许多问题。 迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。 首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推 公式，反复校正这个初值，直到满足给定的精 度为止。迭代法的关键在于构造递推公式。
求解非线性方程的迭代法
2. 迭代法的收敛性
定理 1 那么 （i）方程 x ( x )在[a , b]上有唯一根 ； （ii）对任意 x0 [a , b]，迭代公式 xk 1 ( xk ) 收 敛，且 lim xk x *；
x*
k
L | x k x k 1 | ； （iii）对任意的 k , 有| xk x* | 1 L Lk （iv）对任意的 k , 有| xk x* | | x1 x0 |； 1 L
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭 代 函 数
当迭代序列收敛时，称迭代公式收敛或迭代收 敛，否则称迭代发散。 这种求非线性方程根的方法称为迭代法。
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求解非线性方程的迭代法
2. 迭代法的收敛性
关于迭代法的收敛性与迭代函数之间的关系， 我们不加证明地给出如下几个定理。
定理1的两个条件有时较难验证也较难满足， 这时常用的是局部收敛条件。 所谓局部收敛，指的是迭代公式在x*的某个邻 域是收敛的。 关于局部收敛有如下的定理。
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求解非线性方程的迭代法
3.迭代法的局部收敛性
定理 2 设方程 x ( x ) 有根 x * ，且在 x * 的某个邻域
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求解非线性方程的迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ... 迭代公式
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
%牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点
%f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点 function [root,n]=newton2(f,a,b,e) %牛顿法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的 精度,root函数的零点,n迭代次数
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求解非线性方程的迭代法
4.收敛的阶
为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的 概念：
记 ek xk x *，如果 ek 1 lim p c 0 ( p N ) k e k 则称序列{ xk } 是 p 阶收敛的。
特别地,1阶收敛称为线性收敛， 2阶收敛称为平方收敛； 若p=1,c=0时，通常称为超线性收敛. 显然，p越大收敛越快。
D { x x x * }内 ( x ) 存在一阶连续的导数，
那么 (1)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是局部收敛的； (2)当 x D , | ' ( x ) | 1 时,迭代公式 xk 1 ( xk ) 是发散的。