排队论案例
【最新精选】排队论习题
排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率3/8（2）柜台前平均顾客数5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
试求：（1）到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率（2）顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率（3）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。
排队论案例
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
方案1 是略微降低冲压机的压力（ 方案1 是略微降低冲压机的压力（这会导致冲压一套机翼组件的平均时间 增加到1 小时） 使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。 增加到1.2小时），使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。这还 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7美元降低 到6.5美元。（相反，增大最大压力会使成本上升到7.5美元每小时， 美元。 相反， 增大最大压力会使成本上升到7 美元每小时， 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0 小时。 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0.8小时。） 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（ 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（尽 管由于缺少经验，检查时间有一些波动），因此他能够更好地跟上冲 管由于缺少经验， 检查时间有一些波动） 压机的产出速度。 他的检查时间服从均值为7 分钟， 压机的产出速度 。 （ 他的检查时间服从均值为 7 . 2 分钟 ， 服从指数分 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为19 美元（ 19美元 布 ） 。 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为 19 美元 （ 包括奖 现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 17美元 金），现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 你是杰里的工作人员中的管理科学专家， 你是杰里的工作人员中的管理科学专家，被要求对这个问题进行分 他要求你“ 析。他要求你“用最先进的管理科学技术分析每一个方案能够降低多 少在制品库存，然后提出你的建议。 少在制品库存，然后提出你的建议。”
第五节 排队论在生产中的应用
c. 方案 的求解结果 方案2的求解结果 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 0.52 7.52 0.074 1.074 130.14 系统2 系统 4.41 5.25 0.63 0.75 61 合计 4.93 12.77 0.7 1.82 191.14
[指导]排队论算例
![[指导]排队论算例](https://img.taocdn.com/s3/m/354d731903020740be1e650e52ea551810a6c9d6.png)
排队论算例解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：1241)1(1)1(24)1(5)1(6)1(12)1()()1(5)4()1(6)3()1(12)2()1()1()1(3)3(2)4(1)4(2)2(1)3(2)4(2)1(2)2(1)4(1)1(3)1(241===+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==+∑=P P P P P P i P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P i 由正则条件知：解得：076.0)0(8116)4(114.0)0(278)3(171.0)0(94)2(256.0)0(32)1(384.0)0(1)0(81211)0(8116)0(278)0(94)0(32)0()(81340===========++++=∑=P P P P P P P P P P P P P P P i P i 由正则条件知：【例题4】求解下列生灭过程的状态指标？解：系统容量有限，即最多可同时容纳3个顾客。
系统中可能容纳0个、1个、2个和3个顾客，即有4个状态。
对于状态0S 有：1032P P =，即：0132P P=对于状态1S 有：120542P P P =+，即：0231P P =对于状态3S 有：3232P P =，即：0192P P=由正则条件可知，13210=+++P P P P ，即：45.00=P故有：30.00=P 、15.02=P 、10.03=P。
【例题5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。
收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s ，汽车的到达率为400辆/h ，服从泊松分布。
试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过100m （即排队车辆超过12辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收费亭交费便是接受服务。
排队论(Lingo方法)
线性规划
01
Lingo方法是线性规划的一种求解算法，可以用于求解排队论中
的优化问题。
迭代法
02
对于一些复杂的问题，可以使用迭代法结合Lingo方法进行求解，
以逐步逼近最优解。
启发式算法
03
对于一些大规模问题，可以使用启发式算法结合Lingo方法进行
求解，以提高求解效率。
04
Lingo方法在排队论中的 案例分析
Lingo方法在排队论中的优化问题
最小化等待时间
通过Lingo方法，可以优化等待时间，以最小化顾 客或任务的等待时间。
最小化队列长度
通过Lingo方法，可以优化队列长度，以最小化等 待空间的使用。
最大化服务台效率
通过Lingo方法，可以优化服务台效率，以提高服 务台的工作效率。
Lingo方法在排队论中的求解算法
等问题。
计算机科学
排队论用于研究计算机 网络的性能分析、负载 均衡和分布式系统等问
题。
排队论的发展历程
1903年，费尔南多·柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化 体系，为排队论奠定了理论基础。
1950年代，肯德尔提出了肯德尔模型，为多服务台排 队模型奠定了基础。
1930年代，厄兰格和朱伯夫提出了厄兰格模型，为单 服务台排队模型奠定了基础。
Lingo方法的适用范围
Lingo方法适用于各种线性规划问题，包括生产计划、资源分 配、运输问题等。
尤其适用于具有大量约束条件和决策变量的复杂问题，能够 有效地解决这些问题的最优解。
Lingo方法的优势和局限性
Lingo方法的优势在于它能够处理大规模的线性规划问题，并且具有较高的计算效率和精度。此外，Lingo方法还具有灵活性 和通用性，可以应用于各种不同的领域和问题。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
42交通流理论排队论
泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。
同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。
如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。
3)排队系统的主要数量指标
d n
w d 1
四、M/M/N系统
1 .计算公式 在 M / M / N 排队系统中，服务通道 有 N 条，所以也叫“多通道 服务”系统。 设 为进入多通道服务系统 车辆的平均到达率，排 队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出 率为 ，则每个服务台的平均 服务时间是 1 / 。 仍记 / ，则 / N 称为 M / M / N 系统的服务强度或交通 强度，亦可称 为饱和度。和 M / M / 1相仿，当 / N 1时系统是稳定的，否则 不稳定，排 队长度将趋向于无穷大 。
M / M / N 系统根据车辆排队方式 的不同，可分为： 1）单路排队多通道服务 ：指排成一个队等待数 条通道服务的情况，排 队 中头一车辆可视哪条通 道有空就到哪里去接受 服务；
2）多路排队多通道服务 的一队车辆服务，车辆 组成的系统，其计算公
：指每个通道各排一个 不能随意换队。此种情 式亦相同。
例：有一公路与铁路的交叉口，火车通过时，栅栏关闭的时
间 tr= 0.1h。已知公路上车辆以均一的到达率＝900(辆／h)
到达交叉口，而栅栏开启后排队的车辆以均一的离去率u＝ 1200(辆／h)离开交叉口。试计算由于关闭栅栏而引起的：
单个车辆的最长延误时间tm， 最大排队车辆数Q， 排队疏散时间t 0， 排队持续时间t j 受限车辆总数n，
运筹学——排队论
1 对于泊松流， λ表示单位时间内平均到 达的顾客数，因此， 就表示
λ
相继顾客到达的平均间 隔时间，这与 E[T ] =
1
λ
的意义正好相符。
18
服务时间v的分布 对一顾客的服务时间（也即在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间） 有时也服从负指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别为 Fv (t ) = 1 − e − µt , v的期望值 E (v) = 1 f v (t ) = µe − µt
期望值和方差相等，是泊松分布的一个重要特征，可以由此对一个 经验分布是否是泊松分布进行初步的识别。
16
3、负指数分布（negtive exponential distribution）
随机变量T的概率密度若是 λe −λt , t ≥ 0 fT (t ) = 0, t < 0 则称T服从负指数分布。T 分布函数是 1 − e −λt , t ≥ 0 FT (t ) = 0, t < 0 E[T ] = 1
∞
∑ P (t , t + ∆t ) = o( ∆t )
n=2 n
15
通过建立Pn (t )与Pn (t + ∆t )之间的关系方程并求解，得到
( λ t ) n − λt Pn (t ) = e n! t > 0, n = 0,1,2,L
Pn (t ) = Pn (0, t )表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，并称随机变量 N (t )服从泊松分布，其数学期望和方差分别为 E[ N (t )] = λt Var[ N (t )] = λt
第12章 12章
排队论
排队论（随机服务系统理论）是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的 排队系统的理论。
运筹学 100排队论
第10章排队论第一节排队服务系统的基本概念一、排队系统的特性排队问题的实例：超市付款，自动取款机取款，医院门诊，乘公交车，设备修理。
排队服务系统的要素：顾客源，等待队列，服务机构。
要素的特性：1. 顾客源顾客到达的间隔时间：确定、随机(分布类型)；一次到达人数：单个到达，成批到达；顾客源：数量无限，数量有限。
2. 等待队列等待规则：损失制，等待制，混合制；接受服务顺序：先到先服务，后到先服务，按优先权服务，随机服务。
3. 服务机构服务台数量：单个，多个；排列方式：串联、并联、混合排列。
服务时间：固定，随机(分布类型)；一次服务人数：单人，成批。
三、排队服务系统的分类按上面所讨论的排队系统各项的特性，可对排队系统作出分类。
通常按如下6方面的特性对排队系统进行分类：(a／b／c) : (d／e／f)每个字母代表一个特征，它们分别是：a：顾客到达间隔的分布，有：M──负指数分布；D──确定型；E k ──k 阶爱尔郎分布； GI ──一般相互独立的分布。
b ：服务时间的分布有：M 、D 、E k 、Gc ：系统中并联的服务台数，记为Sd ：系统中最多可容纳的顾客数，∞~1e ：顾客源总数，为∞~1f ：排队服务规则 FCFS ──先到先服务 LCFS ──后到先服务 用这6个参数我们可以表示出某种类型的排队系统，如：M ／M ／1／10／∞／FCFS其中后三项可以省略，这时表示的是：a ／b ／c ／∞／∞／FCFS三、排队系统的状态及参数系统状态N (t )——排队系统中的顾客数，包括等待的和正在被服务的。
其与系统运行的时刻t 相关，且是一个随机变量。
稳定状态——当系统状态与时刻t 无关时，称系统处于稳定状态。
在系统开始运行的一段时间内，系统状态随时间而变化，在运行一段时间之后，系统的状态将不随时间变化，此时系统即进入稳定状态。
排队论主要研究系统处于稳定状态的工作情况，以下参数也都针对于稳定状态进行定义。
带优先权排队论-模型简介应用案例分享
即
W1-2 = W = 0.33937小时
从而
W2 =
故
4é
1
ù
0.33937
(0.3337)
= 0.34126 小时
ê
ú
3ë
4
û
1
W2 - = 0.00793 小时
m
案例求解
同理，令 W1-3 为随机到达的病人的平均等待时间，
有 W1-3 = 0.1W1 + 0.3W2 + 0.6W3
的顾客到达，也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级的顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客的服务，并马上开始为高优先级顾客服务。
模型简介
1
模型假设：
1. 两个模型都存在N个优先级（1级代表最高）
2. 服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务”
W1-3 与一般M/M/s模型中当s=2, μ=3，λ=1 +2 +3 =2时
W 的取值相同。
即
W1-3 = W = 0.375小时
从而 W3 =
1
0.375 - 0.1(0.3337) - 0.3(0.34126)] = 0.39875 小时
[
0.6
故
1
W3 -
m
= 0.06542 小时
3
案例求解
时间是相同的。
案例求解
3
由于病危病人和严重病人的治疗不能耽误，所以这是一个强占性优先权
排队模型。数据显示μ=3，λ=2，因此可求得1 =0.2，2 =0.6，3 =1.2。
第九章排队论
第九章排队论1、某混凝土搅拌站只有一套搅拌设备，一直平均每小时有4辆浇灌车来装搅拌好的混凝土，并且每车混凝土平均需要6分钟搅好装上车。
浇灌车的到达次数服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。
试求：（1）搅拌站空闲时间的概率；（2）站上有三辆车的概率；（3）站上至少有一辆车的概率；（4）在系统中的平均车辆；（5）在系统中的平均等待装车的车辆；（6）平均逗留时间；（7）车辆平均到达间隔时间；（8）平均等待时间。
2、某建筑工地修理部只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时5人，修理时间服从负指数分布，平均需8分钟。
试求修理部不空闲的概率，修理部至少有一个顾客的概率，修理部顾客的平均数，在修理部内平均逗留时间，必须在修理部内逗留12分钟以上的概率。
3、某建筑公司自设卫生所。
每小时到达该所看病的病人平均为4人，而所中仅一位医生，给病人诊断治病的速率平均为每小时5人。
若到达过程为泊松过程。
服务时间服从负指数分布。
试计算平均在卫生所里等待看病及看病的人数，平均在卫生所里等待看病的人数，平均每位来看病的职工需消耗的时间，平均每位来看病的职工需消耗的等待看病时间，没有职工来看病的概率。
4、设有两个售票亭，现考虑每分钟平均到达6.4人的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务4人。
试求系统中无人的概率，系统中的平均人数，排队等候的平均人数，顾客等候的平均时间。
5、某电信局准备在新建成的国际机场装设电话亭，而电信局的目标是每一个等候电话的概率不超过0.10；使用电话的平均需求率为每小时30人，且为最简单流，使用电话的平均时间为5分钟，且为负指数分布。
应该置多少个电话亭？6、设有两个修理工人，其责任是保证5台灵敏的机器能正常运行。
每台机器平均损坏率为每小时一次，这两位工人能以相同的平均修复率4小时修理机器，求⑴等待修理的机器平均数；⑵机器在系统中的平均台逗留时间。
7、设某电话间顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，每次通话时间平均为8分钟，方差为16分钟，通话时间服从爱尔朗分布。
运筹学课件排队论例题
1.某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。
试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务的时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。
2.某修理店只有一个修理工，且店内最多只能停放3台待修的机器。
设待修机器按泊松流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，试求：（1）顾客损失率；（2）有效到达率；（3）平均队长；（4）平均排队长；（5）平均逗留时间；（6）平均等待时间。
3.设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。
当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求：（1）修理工人空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均数；（4）等待修理机器的平均数；（5）每台机器平均停工时间；（6）每台机器平均待修时间。
4.某售票处有三个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为0.9人/分钟；服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分钟。
现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。
试求：（1）整个售票处空闲的概率；（2）平均排队长与平均队长；（3）平均等待时间；（4）平均逗留时间；（5）顾客到达时必须排队等待的概率；（6）若顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，求（1）~（5）的各个指标，并与前面求出的指标相比较，哪种排队方式更好？5.一个修理工负责5台机器的维修。
每台机器平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75分钟，以上时间均服从负指数分布。
试求：（1）所有机器均能正常运行的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假设该维修工照管6台机器，重新求（1），（2）的数据；（4）假如希望做到至少在一半时间内所有机器都同时正常运行，则该维修工最多看管多少台机器；（5）假如维修工每小时工资为8元，机器不能正常运行时每小时损失为40元，则该维修工应看管多少台机器为合适。
哈尔滨工业大学运筹学教案排队论的应用案例分析2009.6
15.08.2020
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2
➢ 乘客从站外经检票进入车站付费区，通过楼梯和自 动扶梯到站台，这是一个随机的过程。由于检票口 与楼梯和自动扶梯的通过能力相当，乘客进入站台， 先受检票口通过能力约束，使得超过检票口通过能 力的客流被暂时堵在检票口外排队等候检票，因此 通过检票口的乘客不会因为楼梯和自动扶梯的通过 能力的约束而需要排队。
输入时间t0为：
t02n lv=22 11 4 0.64=44.53s
输出时间t1为：
t1nw =24412=110.25s
排队中最大延误时间为：
ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s 最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整) 排队乘客总的延误时间：
➢ 在一列车到站后的发车间隔内，把从列车下到站 台的乘客看作服务对象，出站的楼梯和自动扶梯本的假设：
➢ (1)楼梯和自动扶梯沿着站台纵向均匀布置，且 这种均匀布置使乘客在站台上行走的距离最短。
➢ (2)下车乘客平均分布于每节车厢中。
➢ (3)所有下车乘客在站台上走行的速度是相等的， 并保持一定的速度。
排 队 论 应用
2009年5月
地铁车站楼梯和自动扶梯处客流延时分析
➢ 教学目的：利用排队论建立轨道交通车站楼梯和 自动扶梯处客流延时模型，得出客流延时的指标 公式，可为更清楚地了解车站楼梯和自动扶梯处 的乘客延时状况提供一定的理论依据。
➢ 楼梯和自动扶梯是轨道交通车站中主要的升降设 施，在客流高峰时，由于楼梯和自动扶梯的通过 能力有限，大量的乘客将会在楼梯和自动扶梯口 处排队等候，造成乘客进出站时间延长，弄清乘 客在楼梯和自动扶梯处的延时状况，有利于车站 运营效益的充分发挥。
排队论_运筹学
排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。
目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。
解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。
排队论举例
练
习
3 ． 某售票处有 3 个售票口， 顾客的到达服从泊 某售票处有3 个售票口 ， 松分布，平均每分钟到达λ= 松分布，平均每分钟到达λ= 0 ．9 人，3 个窗 口售票的时间都服从负指数分布， 口售票的时间都服从负指数分布，平均每分钟 卖给μ= 卖给μ= 0.4人，设可以归纳为M／M／3模型， 设可以归纳为M 模型， 试求： (1)整个售票处空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均逗留时间； (4)平均等待时间； (5)顾客到达后的等待概率。 顾客到达后的等待概率。
2.相当于3个M/M/1/ 相当于3 M/M/1 三个系统并联： 三个系统并联：
λ=0.3 μ=0.4 ρ=λ/μ=0.75 λ=0 μ=0 ρ=λ/μ=0 P0=1-ρ=0.25 （每个子系统） 每个子系统） ρ=0
三个服务台都有空的时候， 三个服务台都有空的时候，P03=0.0156
Ls=ρ/(1-ρ)=3 ( 子 系 统 ） 整 个 系 统 为 9 /(1 )=3 Lq=Ls-λ/μ=2.25（每个子系统） 25（每个子系统） Ws=Ls/λ=10 /λ=10 Wq=Ws-1/μ=7.5 /μ=7
例 题 解 析 故售票处空闲的概率为 0.0156
平均等待时间 Wq=7.5分钟 10分钟 平均逗留时间 Ws=10分钟 队长 Ls=3 三个队 共3+3+3=9 75（ 队列长 Lq=2.25 共6.75（人）
相比之下， 相比之下，排一队共享三个服务台效率好
练
习
2．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人 设有一个医院门诊，只有一个值班医生。 的到达过程为泊松流，平均到达时间间隔为 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 20min，诊断时间服从负指数分布，平均需12min， 求： (1)病人到来不用等待的概率； (2)门诊部内顾客的平均数； (3)病人在门诊部的平均逗留时间； (4)若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1h， 若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1 则院方将考虑增加值班医生。 则院方将考虑增加值班医生。问病人平均到达率 为多少时，医院才会增加医生? 为多少时，医院才会增加医生?
第7章 排队论
(3)忙期和闲期 • 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服 务再次成为空闲止的这段时间，服务机构连续忙 的时间。这是个随机变量。 • 与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲 的时间。 显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。
2. 记号 N(t) ： t 时刻系统中的顾客数（又称为系统的状态）， 即队长； Nq(t)： t 时刻系统中排队的顾客数，即排队长； w(t) ： t 时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间； wq(t)： t 时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间 这些数量指标一般都和系统运行时间有关，其瞬时分 布的求解一般很困难。
(2)顾客到达的形式。这是描述顾客是怎样来到系统 的，是单个到达，还是成批到达。 如货品成批进入仓库。
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到达的时间间 隔分布。这是首先需要确定的指标。 令T0=0，Tn表示第n个顾客到达的时间，则有 T0≤T1≤…≤ Tn ≤…，记Xn ＝ Tn － Tn-1，n=1,2,…，则 ≤… X n=1,2,… Xn是第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔。一 般地，假设{Xn}是独立同分布的。 关于{Xn}的分布（顾客流的概率分布），在排队论 中经常用到的有定长分布、负指数分布、爱尔朗分 布等等。
3.服务台（也称为服务机构） 服务台可以从以下三个方面来描述： (1)服务台数量及构成形式 从数量上说，服务台有单台和多台之分。从构成形 式上看，有单队单服务台式、单队多服务台并联式、 单队多服务台串联式\多队多服务台并联式等等；
顾客到达
进入队列
服务台 顾客离去 接受服务 服务台
…
顾客到达
…
服务台 服务台
指标之间的关系： (1)Little公式： L＝ λW， Lq＝ λWq 其中，λ为顾客到达的平均到达率，即单位时间内平 均到达的顾客数； W为平均逗留时间，即系统处于平稳状态时顾客逗 留时间的期望值； (2) W＝ Wq +1/µ 其中，1/µ为平均服务时间
1612-27-排队论举例-+Sol
M/M/S 模型下的县医院例子
考虑一个县医院急诊室的问题。
根据统计资料，急诊病人相继到达的时间间隔服从负指数分布，平均每半个小时来一个；医生处理一个病人的时间也服从指数分布，平均每个病人需要20分钟。
该急诊室已有一个医生，管理人员现考虑是否需要再增加一个医生。
=λ 2 =μ 3 μ
λ
ρ=
银行排队系统
M/M/3/∞和3个M/M/1/∞ 的比较
某银行顾客到达率为平均每小时30人，服从泊松分布。
每次交易平均需要5分钟。
交易时间服从指数分布。
银行目前有三名出纳员。
试比较取号排队（排一个对）和三个窗口分别排队（三个队）
=λ 30 =μ 36 μ
λρ=。
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第五节 排队论在生产中的应用
d. 推荐方案 增加压力, 并起用年轻质检员, 增加压力 并起用年轻质检员 求解结果如下 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 0.09 5.69 0.013 0.813 120.51 系统2 系统 4.41 5.25 0.63 0.75 61 合计 4.5 10.94 0.64 1.56 181.51
第五节 排队论在生产中的应用
现状求解结果 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 0.52 7.52 0.074 1.074 130.14 系统2 系统 6.13 7 0.875 1 73 合计 6.65 14.52 0.95 2.07 203.14
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
a. 为了提供一个比较的基础，首先要评价现在的状态。确定 为了提供一个比较的基础， 首先要评价现在的状态。 在冲压机那里和质检站的在制品期望库存量。 在冲压机那里和质检站的在制品期望库存量。 然后计算在 制品库存、冲压机、质检员每小时期望总成本。 制品库存、冲压机、质检员每小时期望总成本。 方案1会有什么影响？为什么？将得到的结果与a b. 方案 1 会有什么影响 ？ 为什么 ？ 将得到的结果与 a 的结果进 行细致的比较。将结果解释给杰里听。 行细致的比较。将结果解释给杰里听。 方案2会有什么影响？为什么？将得到的结果与a c. 方案 2 会有什么影响 ？ 为什么 ？ 将得到的结果与 a 的结果进 行细致的比较。将结果解释给杰里听。 行细致的比较。将结果解释给杰里听。 对于降低在冲压机那里和质检站的在制品期望库存量， d. 对于降低在冲压机那里和质检站的在制品期望库存量 ， 提 出你的建议方案。明确说出你的方案，并用象a 出你的建议方案。明确说出你的方案，并用象a一样的量化 分析为你的方案提供支持。将得到的结果与a 分析为你的方案提供支持。将得到的结果与a的结果进行细 致的比较，并表示出你建议的方案将产生的改进效果。 致的比较，并表示出你建议的方案将产生的改进效果。
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
委屈的杰里努力回答： 是的，吉姆， 委屈的杰里努力回答：“是的，吉姆，我已经意识到了质 检站是一个瓶颈。它通常不像你早上看到的那样糟， 检站是一个瓶颈。它通常不像你早上看到的那样糟，但 是它的确是一个瓶颈。 是它的确是一个瓶颈 。 早上你看到的的确是较差的情 况。” 希望如此， 吉姆反驳道， “希望如此，”吉姆反驳道，“但是你应当防止这种情况 的发生，哪怕是偶然发生。你准备怎么做？ 的发生，哪怕是偶然发生。你准备怎么做？” 杰里现在对他的提问有话可说了。 他说： 实际上， 杰里现在对他的提问有话可说了 。 他说 ： “ 实际上 ， 我已经在处理这个问题。我现在有一些方案，我要求我 我已经在处理这个问题。我现在有一些方案， 的工作人员的管理科学专家分析这些建议， 的工作人员的管理科学专家分析这些建议，然后提出建 议方案。 议方案。” 很好， 吉姆回答道， 高兴这个问题在你的掌握之中。 “很好，”吉姆回答道，“高兴这个问题在你的掌握之中。 授予你最高的优先权，尽可能快地向我报告。 授予你最高的优先权，尽可能快地向我报告。” 我会这样做的， 杰里保证。 “我会这样做的，”杰里保证。
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
方案1 是略微降低冲压机的压力（ 方案1 是略微降低冲压机的压力（这会导致冲压一套机翼组件的平均时间 增加到1 小时） 使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。 增加到1.2小时），使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。这还 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7美元降低 到6.5美元。（相反，增大最大压力会使成本上升到7.5美元每小时， 美元。 相反， 增大最大压力会使成本上升到7 美元每小时， 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0 小时。 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0.8小时。） 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（ 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（尽 管由于缺少经验，检查时间有一些波动），因此他能够更好地跟上冲 管由于缺少经验， 检查时间有一些波动） 压机的产出速度。 他的检查时间服从均值为7 分钟， 压机的产出速度 。 （ 他的检查时间服从均值为 7 . 2 分钟 ， 服从指数分 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为19 美元（ 19美元 布 ） 。 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为 19 美元 （ 包括奖 现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 17美元 金），现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 你是杰里的工作人员中的管理科学专家， 你是杰里的工作人员中的管理科学专家，被要求对这个问题进行分 他要求你“ 析。他要求你“用最先进的管理科学技术分析每一个方案能够降低多 少在制品库存，然后提出你的建议。 少在制品库存，然后提出你的建议。”
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
这里是杰里和他的管理科学专家们所遇到的问题: 这里是杰里和他的管理科学专家们所遇到的问题:。10 台一样的冲压机每一台都用于在一张经过特殊处理的金 属薄板上冲压出机翼组件。金属薄板以每小时7 属薄板上冲压出机翼组件 。 金属薄板以每小时7 张随机 到达。 到达。冲压机冲压出机翼组件的时间服从均值为一小时 地指数分布。完成后， 地指数分布。完成后，机翼组件以相同的到达率随机到 达质检站（每小时7 达质检站 （ 每小时 7 套 ） 。 一个质检员全职检查这些机 翼组件，保证它们符合标准。每次检查花费她7 分钟。 翼组件 ，保证它们符合标准 。 每次检查花费她 7.5 分钟 。 因此每小时她可以检查8套机翼组件。 因此每小时她可以检查 8 套机翼组件 。 除了在冲压机那 里已有的在制品库存外， 里已有的在制品库存外，这个检查率导致了质检站大量 的在制品库存（也就是说， 的在制品库存（也就是说，等待完成检查的机翼组件的 平均数量相当大） 平均数量相当大）。 这种在制品库存的成本估计是每一张在冲压机那里的金 属薄板或每一套在质检站的机翼组件每小时8美元。 属薄板或每一套在质检站的机翼组件每小时 8 美元 。 因 此杰里提出了两个方案以降低在制品库存的平均水平。 此杰里提出了两个方案以降低在制品库存的平均水平。
第五节 排队论在生产中的应用
b. 方案 的求解结果 方案1的求解结果 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 2.65 11.05 0.38 1.58 153.38 系统2 系统 6.13 7 0.875 1 73 合计 8.78 18.05 1.255 2.58 225.38
第五节 排队论在生产中的应用
c. 方案 的求解结果 方案2的求解结果 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 0.52 7.52 0.074 1.074 130.14 系统2 系统 4.41 5.25 0.63 0.75 61 合计 4.93 12.77 0.7 1.82 191.14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
THE END
第五节 排队论在生产中的应用
例三
分析：该问题可以近似看成是两个独立的排队系统： 分析：该问题可以近似看成是两个独立的排队系统： 系统1 系统1： 机翼组件冲压系统 模型形式 M/M/c 系统2 系统2： 机翼组件检查系统 模型形式 M/M/1 M/M/1 a 现状研究 系统1 系统1参数 µ = 1张/台·h λ1=7张/h 张 h 美元/h /h； 美元/h /h； cS=7美元/h；cW=8美元/h； 系统2 系统2参数 λ2=8套 µ =7套/h λ2=8套/h 套 17美元/h； 美元/h 美元/h /h； cS=17美元/h；cW=8美元/h；
第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
北方（Northern）飞机制造公司的制造副总裁吉姆·威尔士被激怒 北方（ Northern） 飞机制造公司的制造副总裁吉姆 威尔士被激怒 这个早晨他走过公司最重要的制造厂，使他情绪非常的差。 了 ， 这个早晨他走过公司最重要的制造厂 ， 使他情绪非常的差 。 但 是现在他可以将脾气发泄在这个厂的制造经理杰里·卡斯塔斯身上 卡斯塔斯身上。 是现在他可以将脾气发泄在这个厂的制造经理杰里 卡斯塔斯身上。 杰里刚刚被吉姆叫进办公室。 杰里刚刚被吉姆叫进办公室。 杰里，我刚刚从厂子那里回来，我非常失望。 “杰里，我刚刚从厂子那里回来，我非常失望。” 出了什么问题，吉姆？ “出了什么问题，吉姆？” 你知道我是多么地强调要削减我们的在制品库存。 “你知道我是多么地强调要削减我们的在制品库存。” 是的，我们一直在努力。 杰里回答道。 “是的，我们一直在努力。”杰里回答道。 还不够！ 吉姆提高了他的噪音。 “还不够！”吉姆提高了他的噪音。“你知道我在走过冲压机时看到了 什么吗？ 什么吗？” 不知道。 “不知道。” 张金属薄板等待加工成机翼组件。然后在旁边的质检站，放着13 “有5张金属薄板等待加工成机翼组件。然后在旁边的质检站，放着13 套机翼组件。一个质检员正在检查一套，其他12套却躺在那里。 12套却躺在那里 套机翼组件。 一个质检员正在检查一套 ， 其他 12 套却躺在那里 。 你 知道每一套机翼组件占用了我们几十万美元的资金。 知道每一套机翼组件占用了我们几十万美元的资金 。 因此在冲压机 和质检站间，有几百万美元的贵重金属躺在那儿。我不允许这样！ 和质检站间， 有几百万美元的贵重金属躺在那儿 。 我不允许这样！”