计算方法(8) 第五章 插值法(2)
插值法计算公式
插值法计算公式
数学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）为两点，则点P（i，b）在上述两点确定的直线上。
而工程上常用的为i在i1，i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。
A、B、P三点共线，则：（b-b1）/（i-i1）=（b2-b1）/（i2-i1）=直线斜率，变换即得所求。
内插法原理
内插法原理：学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。
内插法
内插法又称插值法。
根据未知函数f（x）在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f（x）值相等的特定函数来近似原函数f（x），进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f （x）的近似值，这种方法，称为内插法。
按特定函数的性质分，有线性内插、非线性内插等；按引数（自变量）个数分，有单内插、双内插和三内插等。
线性内插是假设在二个已知数据中的变化为线性关系，因此可由已知二点的座标(a, b)去计算通过这二点的斜线。
通俗地讲，线性内插法就是利用相似三角形的原理，来计算内插点的数据。
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
数值分析第五章插值法精品PPT课件
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
计算方法讲义课件 五 插值
第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。
插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。
5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。
常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。
多项式求值方便，且有导数。
称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。
用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。
设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。
得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。
该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。
当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。
5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。
线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。
几何解释就是一条直线。
由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。
数值计算方法插值法
f[x1,x2,x3] …
f[x0,x1,x2 ,x3]
例阶2.1差1商求值f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各
解xi :
计算得如下表 f[xi] f[xi,xi+1]
f[xi,xi+1,xi+2 ]
f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
00
28
80 4 20
27 8 19 19 4 5
an x0 n an1x0 n1 a1x0 a0 f (x0 )
an x1n
an1
x n1 1
a1x1 a0
f (x1 )
an xn n an1xn n1 a1xn a0 f (xn )
这是惟一一个性关说于明待，定不参论数用何种方法来构a造的0，,n+也a11阶不, 线论性用, 方何an种形式来表示插值多项式,
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , (x x0 )(x x1 ),, (x x0 )(x x1 )(x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
f[x0 , x1]=
f(x1)- f(x0) x1 – x0
f[x1 , x0]
f(x0)- f(x1) =
x0 – x1
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x0 , x2 , x1
性质3 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多项式, 则 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多项式
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
插值法计算公式范文
插值法计算公式范文插值法是一种数值计算方法，用于在已知数据点之间进行估计或预测。
它基于假设函数在相邻数据点之间是连续的，并利用这种连续性来进行估计。
插值法的计算公式可以根据不同的方法和情况而有所不同。
下面将介绍两种常用的插值方法及其计算公式。
1.线性插值法线性插值法假设假设函数在相邻数据点之间是线性的，即通过两个数据点的直线来进行估计。
设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，要在这两个数据点之间的任意位置x进行估计，计算公式如下：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)这个公式表示了一个斜率为(y1-y0)/(x1-x0)的直线，通过(x0,y0)点，并与x轴交于x点。
通过该公式，我们可以根据已知数据点在特定位置进行线性插值估计。
2.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
假设已知n+1个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，...(xn, yn)，要在这些数据点之间的任意位置x进行估计，计算公式如下：y = L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + ... + Ln(x) * yn其中Li(x)表示拉格朗日插值多项式的第i个基函数Li(x) = (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xi-1) * (x - xi+1)* ... * (x - xn) / ((xi - x0) * (xi - x1) * ... * (xi - xi-1) * (xi - xi+1) * ... * (xi - xn))这个公式表示了一个以数据点(xi, yi)为中心的拉格朗日插值多项式的基函数，通过已知数据点进行插值估计。
总结：插值法是一种根据已知数据点之间的连续性进行估计的数值计算方法。
线性插值法和拉格朗日插值法是两种常用的插值方法。
线性插值法假设函数在相邻数据点之间是线性的，通过两个数据点的直线进行估计。
拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过已知数据点进行插值估计。
(西南交大戴克俭版)计算方法 多项式插值
(5.7)
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
11
5.2 拉格朗日插值法
已知函数 y f ( x)在x0,x1,x2处的函数值分别为y0， y1,y2在式（5.6）中当n=2时，Lagrange插值多项式为 L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 (5.8) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 其中
3
5.1 插值法多项式存在性与唯一性
若P(x)是次数不超过n的多项式，即
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
(5.2)
其中ai是实数，则称Pn(x)为插值多项式，相应的插值方 法称为多项式插值。 若P(x)是分段多项式，则称为分段插值。 若P(x)是三角多项式，则称为三角插值。
式中(a,b)且与x有关。
(n 1)!
i 0
13
5.2 拉格朗日插值法
⒈ Lagrange插值误差估计
定理5.3 如果f (n+1)(x)在区间(a,b)上有界，即存在常数 Mn+10，使得 | f ( n1) ( x) | M n1， x (a，b) 则有截断误差估计
计算方法第5章 插值法
N
7
5.2 拉格朗日插值
n次拉格郎日插值对应的程序（1/2）
#include <stdio.h> #include <math.h> #define MAXSIZE 50 void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n); void main(void) { double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t; long n,i,j; printf("\n请输入插值节点的个数："); scanf("%ld",&n); input(x,y,n); printf("\n请输入插值点："); scanf("%lf",&_x); _y=0; for(i=0;i<=n-1;i++) { t=1; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) t*=(_x-x[j])/(x[i]-x[j]); _y+=t*y[i];} printf("\n插值点(x,y)=(%lf,%lf)。",_x,_y);}
f ( n 1) ( ) 因此Rn(x)=f[x,x0,x1,…,xn]Wn(x)= Wn(x)，与差商的性质3吻合。 (n 1)!
13
5.3 差商与牛顿插值
五、n次牛顿插值的算法
输入插值节点的个数n。 输入插值节点(x[n],f[n][0])，插值点_x。 for(j=1;j<=n-1;j++) ① 构造差商表 for(i=j;i<=n-1;i++) f[i][j]=(f[i][j-1]-f[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j]); _y=f[n-1][n-1]; ② 牛顿插值 for(i=n-2;i>=0;i--) _y=f[i][i]+(_x-x[i])*_y; 输出插值点(_x,_y)。
插值法计算公式例子
插值法计算公式例子
插值法计算公式
数学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）为两点，则点P（i，b）在上述两点确定的直线上。
而工程上常用的为i在i1，i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。
A、B、P三点共线，则：（b-b1）/（i-i1）=（b2-b1）/（i2-i1）=直线斜率，变换即得所求。
内插法原理
内插法原理：学内插法即“直线插入法”。
其原理是，若
A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。
内插法
内插法又称插值法。
根据未知函数f（x）在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f（x）值相等的特定函数来近似原函数f （x），进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f（x）的近似值，这种方法，称为内插法。
按特定函数的性质分，有线性内
插、非线性内插等；按引数（自变量）个数分，有单内插、双内插和三内插等。
线性内插是假设在二个已知数据中的变化为线性关系，因此可由已知二点的座标(a, b)去计算通过这二点的斜线。
通俗地讲，线性内插法就是利用相似三角形的原理，来计算内插点的数据。
设计费插值法计算公式(二)
设计费插值法计算公式(二)设计费插值法计算公式资深创作者们常常使用设计费插值法来计算项目的设计费用。
这种方法可以根据项目的复杂程度、工作量和时间等因素，合理确定设计费用。
下面将列举一些相关的计算公式，并提供相应的例子来说明。
1. 基本设计费基本设计费计算公式：基本设计费 = 设计单价× 设计量这里的设计单价是指每个设计单元的费用，设计量是指项目中需要设计的总量。
例如，一个网站的设计费用计算如下：基本设计费 = 100元/页面× 10个页面 = 1000元2. 复杂程度系数复杂程度系数是根据项目的难度和专业要求而定，用于调整基本设计费的计算结果。
计算公式如下：复杂程度系数 = 1 + 难度系数例如，某平面设计项目的复杂程度系数为，基本设计费为1000元，则经过调整后的设计费用为：调整后的设计费用 = 1000元× (1 + ) = 1200元3. 工作量系数工作量系数是根据项目的工作量和时间要求而定，用于调整设计费用的计算结果。
计算公式如下：工作量系数 = 1 + 工作量比例例如，某建筑设计项目的工作量比例为，基本设计费为20000元，则经过调整后的设计费用为：调整后的设计费用 = 20000元× (1 + ) = 30000元4. 外部影响因素系数外部影响因素系数是用于调整设计费用的计算结果，考虑到项目可能受到的外部因素影响，比如市场需求、竞争程度等。
计算公式如下：外部影响因素系数 = 1 + 外部影响系数例如，某市场推广设计项目的外部影响系数为，基本设计费为5000元，则经过调整后的设计费用为：调整后的设计费用 = 5000元× (1 + ) = 6500元5. 综合计算公式综合计算公式可以根据项目的具体情况，综合考虑上述因素，得出最终的设计费用。
计算公式如下：设计费用 = 基本设计费× 复杂程度系数× 工作量系数× 外部影响因素系数例如，某品牌形象设计项目的基本设计费为20000元，复杂程度系数为，工作量系数为，外部影响因素系数为，则最终的设计费用为：设计费用 = 20000元× × × = 39600元以上是设计费插值法的相关计算公式和例子，通过合理使用这些公式，能够帮助资深创作者们更准确地计算设计费用，确保项目的可行性和盈利性。
计算方法(8) 第五章 插值法
得 a2abb10
a 1, b 2
(2)2( x)为四次多项式,且满足
2
(0)
0,
2
(1)
0,2
(2)
1,2'
(0)
0,
' 2
(1)
0
设
2
(
x
)
l22
(
x)
(
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
)2
由2(2) 1, l2(2) 1得 1,2( x)
H 2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )
yi y 'i
i 0，1，2，L n
一、一般情形的 Hermite插值问题
用Lagrange型插值基函数法
设Hermite插值多项式为
n
n
H2n1( x) i ( x) yi i ( x) y 'i
i0
i0
1( x) （1 （ 2 x x1）l（1 x1））l 2（1 x ）
0 ( x) （x x0）l 2（0 x ）
1( x) （x x1）l 2（1 x ）
其中
l0( x)
x x1 ， x0 x1
l
' 0
(
x
)
x0
1
x1
l1( x)
x x0 ， x1 x0
' i
(
xi
)
n j0
1
第5章 插值法
第 五 章 代数插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其 函数关系 y=f(x)在某个区间［a ，b ］上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上一些离散点上的函数值、导数值等， 因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希 望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一。
在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的 选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值 。
第一节 插值多项式的存在唯一性5.1.1 插值问题设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有定义n y y y ,...,,10且已知函数在区间［a,b ］上n+1个互异点n x x x ,...,10上的函数值，若存在一个简单函数 y=p(x )，使其经过y=f(x)上的 这 n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…， (n n y x ,) （图5-1），即p(i x )= i y , i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点n x x x ,...,10称为插节点， 点(00,y x ),(11,y x ),…， (n n y x ,) 称为插值点，包含插值节点的区间［a,b ］称为插值区间,求p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。
若p(x)是次数不超过n 的多项式,用P n(x)表示，即nn n x a x a x a a x p ++++=...)(2210 则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
数值分析05-插值法(下)
5-7
阜师院数科院第五章 插值法
W
推广至n+1个点
H (x)
Y
( ( x ) h 0 ( x ) y 0 h1 ( x ) y 1 H 0 ( x ) y 0 H 1 ( x ) y 1 实际计算中经常用到下
2
0 ( x ) (1 2 x )( 1 x ) , 1 ( x ) x (1 x )
因此n =1的三次Hermite插值多项式可用标准化 的基函数表示为：
x x0 x x0 x1 x x x h 1 1 H (x) 0 y0 0 y0 y1 h 1 y1 h h h h
H ( x)
特别地，当n =1时，有:
x x0 h0 ( x ) 1 2 x1 x 0 x x1 x x 1 0
2
x x1 H 0 ( x ) ( x x 0 ) 阜师院数科院第五章 插值法 x 0 x 1
( x x 0 )( x x 2 ) ( x1 x 0 ) ( x1 x 2 )
2
, 可设： H 1 ( x ) C ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )
将 h 0 ( x ), h1 ( x ), h 2 ( x ), H 1 ( x ) 代入 H ( x )中，可以检查按上述方 H (阜师院数科院第五章 插值法 x ) 满足前面条件，即为所 求。
第五章 插值方法
第五章 插值方法1. 填空（1）若已知i i y x f =)(，n i ,2,1,0 =，且n x x x ,,,10 互异，则作n 次插值多项式)(x P n ，使其满足i i n y x P =)( （n i ,2,1,0 =），这就是所谓的拉格朗日插值. （2）过下列三点)4,2(，)9,3(，)25,5(，用抛物插值计算4=x 处的函数值16=y（3）设4)(x x f =，试用插值余项定理写出以2,1,0,1-为节点的三次插值多项式为x x x x P 22)(233-+=.（4）设2)(-=n x x f ，则)(x f 的n 次插值多项式为2)(-=n n x x P .（5）差商具有对称性，差商与导数的关系是!)(),,,()(10n f x x x f n n ξ= .（6）设15)(37++=x x x f ，则差商=)2,2(10f 162，=)2,2,2(210f 2702，=)2,,2,2(710 f 1，=)2,,2,2(810 f 0.2.拉格朗日插值多项式)(x P 逼近3)(x x f =，要求： （1）取节点1,110=-=x x 作线性插值； 解 x x x P =+⋅----+-=)1()1(1)1(11)(1（2）取节点1,0,1210==-=x x x 做抛物插值；解 x xx x x x x x P =⨯⨯++⨯-⨯-++-⨯-⨯--=112)1(0)1(1)1)(1()1()2()1()1()(2（3）取节点2,1,0,13210===-=x x x x 作三次插值.解 由拉格朗日插值余项定理知 )(!4)()()()(4)4(33x f x P x f x R ωξ=-= 由于0)()()4(3)4(==x x f，所以 0)()(3=-x P x f ，33)(x x P =.3. 给出概率积分的数据表，用抛物插值计算当472.0=x 时该积分值等于多少？解 由于|472.049.0||472.046.0|-<-，所以选择插值节点48.0,47.0,46.0210===x x x ，)472.0()472.0(2P f ≈4846555.0)48.046.0()47.046.0()478.0472.0()47.0472.0(⨯-⨯--⨯-=4937452.0)48.047.0()46.047.0()48.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+5027498.0)47.047.0()46.048.0()47.0472.0()46.0472.0(⨯-⨯--⨯-+=0.4955529. 4. 给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1）234)(3+-=x x x f解 0)(!4)()(4)4(3==x f x R ωξ （2）342)(x x x f -=解 1217117)4)(3)(1)(1(!4!4)(!4)()(2344)4(3-++-=---+⋅==x x x x x x x x x f x R ωξ 5. 证明：对于次数不超过n 的多项式)(x f ，其n 次拉格朗日多项式)()(x f x P n =. 证明：设n n x c x c c x f +++= 10)(，由拉格朗日余项定理知 0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f x R n n n n ωξ，)()(x f x P n =6. 已知函数表求三次牛顿插值多项式，并计算)5.2(f 的值，若增加一个节点)14,6(，求)6,3,4,1,0(f 及四次牛顿插值多项式.解 列差商表x x x x x x x x x x P )3/46()3/29()3/4()4)(1()3/4()1(3)7(0)(233-++-=---+-+⋅-+=90/23)6,3,4,1,0(25.1)5.2()5.2(3==≈f P f ，xx x x x x x x x P x P )5/92()90/1307()45/152()90/23()3)(4)(1()90/23()()(23434-+-=---+=7. (1)选择插值节点0.5 ， 0.7；（2）略8.（1）1)(=x f 在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk k nk k kn x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理有0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ，)()(x f x P n =，1)(0=∑=nk k x l（2）j x x f =)( (n j ,2,1 =)在节点n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====nk j k k nk k kn x x l x f x lx P 0)()()()(由Lagrange 插值余项定理知0)()!1()()()(1)1(=+=-=++x n f x P x f R n n n n ωξ,)()(x f x P n =,j j k n k k x x x l =∑=0)((3)l j l j j l nk k lk k lj l kn k jl lj nk k jkx C x l x x l x x C x l x x-==-===-=-=-∑∑∑∑∑)())(()()()()(00000)()(0=-=-=∑=-j jl l j l ljx x x x C9. 因为 ))(!2)()()(2111x x x x f x P x f R --''=-=（ξ所以|))((|2)(max ))(!2)(|)()(|1021110x x x x x f x x x x f x P x f x x x --''≤--''=-≤≤（ξ)(max 8)(|)2)(2(|2)(max 101020*******x f x x x x x x x x x f x x x x x x ''-=-+-+''≤≤≤≤≤。
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由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) ali ( xi ) 2(axi b)l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
n
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
x xj xi x j
)ห้องสมุดไป่ตู้
设
i ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
i 0
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1， ，xn，x 。 但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理 必存在点 （a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n) i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是2n 1次多项式； i j 1 (2) 'i ( x j ) ij i j 0 i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
i 0， 1， 2， n
H 2 n1 ( x j ) i ( x j ) yi i ( x j ) y 'i y j H '2 n1 ( x j ) 'i ( x j ) yi 'i ( x j ) y 'i y ' j
i 0 n i 0 n i 0 i 0
R3 ( x ) 4!
(x x )
i 0 i
1 R3 ( x ) max f（4）( ) max x0 x x1 4! x0 x x1 1 h max f（4）( ) 4! 2 x0 x x1 其中h x1 x0
4
2 ( x x ) i i 0
f ( ) 由此求出K （x） (2n 2)! 代入R2 n1 ( x )的表达式即得到
（2 n 2）
f（2 n 2） ( ) n 2 R2 n1 ( x ) ( x x ) i (2n 2)! i 0
例 在节点x0和x1上已知y0 , y1和 m0 , m1。 试构造两点三次Hermite插值多项式H（ 3 x）满足条件 yi i 0,1 H（ 3 x i） ' mi i 0,1 3 x i） H（ 解： H（ 0 ( x ) y0 1 ( x ) y1 0 ( x )m0 1 ( x )m1 3 x） 由Hermite插值基函数的一般形式，用于两点三次H（ 3 x） 2 上，有 0 ( x ) （1 （ 2 x x0）l（ x ）） l （ 0 0 0 x） x1））l 2 1 ( x ) （1 （ 2 x x1）（ l1 （ 1 x） 0 ( x) （x x0）l 2（ 0 x） 1 ( x ) （x x1）l 2 （ 1 x） x x1 1 ' 其中 l0 ( x ) ， l 0 ( x) x0 x1 x0 x1 x x0 1 ' l1 ( x ) ， l 1( x) x1 x0 x1 x0
一、一般情形的 Hermite插值问题
Hermite插值中，最基本而重要的情形是只要求 一阶导数的条件。给出n 1个互异节点x0 , x1 , xn上 的函数值和导数值 yi f ( xi )和y 'i f '( xi ) ( i 0,1, 2, , n) 构造不低于2n 1次插值多项式H 2 n1 ( x )，要求满足 插值条件 H 2 n 1 ( x i ) yi i 0， 1， 2， n H '2 n1 ( xi ) y 'i
n
, f ( m0 ) ( x 0 ) , f ( m1 ) ( x1 ) , f ( mn ) ( x n )
, n)是正整数。
i 0
以上总共有N n 1 mi 个插值条件，要求构 造不低于N 1次插值函数H （x）满足以上插值条件。
例 求一个四次插值多项式 H （x），使 x 0 时，H （0） 1，H（ ' 0） 2； '' x 1 时，H （1） 0，H（ ' 1） 10，H（ 1） 40
代入后得到 x x0 x x1 2 x x1 2 0 ( x) （1 2 ）（ ） ， 0 ( x ) （x x0）（ ） x1 x0 x0 x1 x0 x1 x x0 2 x x0 2 x x1 1 ( x ) （1 2 ）（ ） ，1 ( x ) （x x1）（ ） x0 x1 x1 x0 x1 x0 f（4） ( ) 1 2
n) 1 l i ( xi ) ( ) xi x j j0
' ( ji ) n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是2n 1次多项式；
i j 1 (2) 'i ( x j ) ij i j 0 i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
' i
( i 0,1, 2, n x xj 其中 li ( x ) ( ), xi x j j0
( ji )
a 2li' ( xi ) 解出 ' b 1 2 x l i i ( xi ) 所以 i ( x ) (1 2( x xi )li' ( xi )) li2 ( xi )
1
二、特出情形的Hermite插值问题
例：试构造一个不高于4次的Hermite插值多项式 H 4 ( x ), 使其满足条件 H 4 (0) 0,
' H4 (0) 0,
H 4 (1) 1,
' H4 (1) 1,
H 4 (2) 1,
解：用Lagrange插值基函数法构造H 4 ( x ), 设 H 4 ( x ) 0 ( x ) y0 1 ( x ) y1 2 ( x ) y2 0 ( x ) y 1 ( x ) y
设
i ( x) (cx d )l 2i ( x)
由条件(2)可列出方程组 2 i ( xi ) (cxi d )li ( xi ) 0 2 ' ' ( x ) cl ( x ) 2( cx d ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 1
5.4
埃尔米特(Hermite)插值
Hermite插值的提出 假设函数y=f(x)是 在[a,b]上有一定光滑性的函数, 在[a,b] 上有n+1个互异点xo…xn, f(x)在这些点上取值 yo…...yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满 足p(xi)=yi i=0,1,…,n.这是最简单的插值问题,如果除 了知道f(x)在插值节点上的取值外,还知道f(x)在插值 节点xi上的 1≤mi≤n阶导数，如何来构造插值函数呢? Hermite插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又 满足微商条件的插值函数。
' 0 ' 1
' y0 y0 0 ' H 4 ( x ) 1 ( x ) y1 2 ( x ) y2 1 ( x ) y1
, , H4 ( x) 0 ( x) y0 1 ( x) y1 2 ( x) y2 0 ( x) y0 1 ( x) y1
0 ( x0 ) 1,1 ( x0 ) 0,2 ( x0 ) 0, 0 ( x0 ) 0, 1 ( x0 ) 0
0 ( x1 ) 0,1 ( x1 ) 1, 2 ( x1 ) 0, 0 ( x1 ) 0, 1 ( x1 ) 0
0 ( x2 ) 0,1 ( x2 ) 0, 2 ( x2 ) 1, 0 ( x2 ) 0, 1 ( x2 ) 0
代入 i ( x )和 i ( x )经整理得到 H 2 n1 ( x ) [(1 2( x xi )l 'i ( xi ) yi ) ( x xi ) y i ]l ( x )
' i 0 2 i n
Hermite插值误差分析
设f ( x ) C[a , b]，且在（a , b）上存在 2n 2次 导数，对于n 1个互异节点上的Hermite插值函数， 有如下误差估计式 f (2 n 2) ( ) n 2 R2 n1 ( x ) f ( x ) H 2 n1 ( x ) ( x x ) i (2n 2)! i 0 其中 是介于x0 , x1 , , xn中最小数和最大数之间。
Herm ite插值的一般提法如下： 给出函数f ( x )在n 1个互异节点上的函数值及若干 导数值，设插值节点为x0 , x1 , x2 , xn。给出 f ( x0 ), f '( x0 ), f ( x1 ), f '( x1 ), f ( xn ), f '( xn ), 其中mi ( i 0,1, 2,