最优化原理与方法
最优化理论与方法

最优化理论与方法什么是最优化?最优化是一种以最佳结果为目标的技术。
它的主要任务是寻找最佳的解决方案,以最小的代价来实现目标。
本文将从定义、方法、应用等几个方面来探讨最优化理论与方法。
一、简介最优化是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学。
它是一种数学理论,用于求解多变量最优化问题的数学模型,包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
它的思想是:希望能够将一个复杂的解决问题分解成若干简单的子问题,以便更好地求解。
最优化理论是一种科学,它涉及到多重条件下的变量求值,以实现最大化或最小化某个系统的特定性能或目标。
最优化理论可以应用于各种工程领域,如机械、航空、船舶、结构、动力、电力能源、汽车等。
二、原理最优化方法基于一组影响结果的变量,以及它们的限制条件。
主要的最优化方法可以分为精确法和近似法。
精确法求解非线性规划问题,其最终结果非常精确,但求解它的计算代价更高。
而近似法的最终结果仅大致最优,但求解计算代价较低,广泛用于工程优化设计。
最优化方法解决的问题可以分为有约束和无约束两大类。
有约束优化问题指系统内各变量受到某些限制条件的制约。
而无约束优化问题不需要考虑任何限制条件,只要达到优化目标即可。
三、应用最优化方法在工程和科学领域中有着广泛的应用,并且日益增多。
在机械设计领域,可以采用最优化方法优化设计结构的参数和性能,以更好地满足设计要求;在空间控制领域,可以采用最优化方法优化机械系统的控制参数;在机器人规划领域,可以采用最优化方法解决运动规划问题;在多异构系统优化设计领域,可以采用最优化方法综合优化系统的性能等。
最优化的应用不仅仅限于以上领域,还广泛应用于其他领域,如计算机图形学、信号处理、投资组合管理、生物学、医学、金融、科学计算等。
四、结论最优化理论与方法是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学,它的主要目标是寻找最佳的解决方案,以最小的代价来实现目标。
最优化原理与方法 薛毅

最优化原理与方法薛毅最优化原理与方法是指利用数学模型和计算方法,寻找某一目标函数的最优解的理论体系。
优化问题在实际中广泛存在,如工程设计、经济决策、生产调度等等。
最优化方法是解决这些问题的有力工具,而最优化原理是指导这些方法的理论基础。
最优化方法能够帮助我们在复杂的问题中找到最优解,提高效率和效益,因此在现代科学技术和实践应用中具有重要作用。
最优化原理主要包括两方面内容:一是最优化问题的形式化表示,二是最优化问题的解法。
最优化问题的形式化表示指的是将实际问题抽象为数学模型,确定目标函数和约束条件,并将其表示为数学公式的过程。
目标函数是指需要优化的目标,约束条件则是对目标函数的限制条件。
一般地,最优化问题可以用如下形式的数学模型来表示:\begin{aligned}\min_{x} f(x) \\\text{s.t.} \quad g_i(x) \le 0, \quad i=1,2,\ldots,m \\\;\;\;\;h_j(x) = 0, \quad j=1,2,\ldots,p\end{aligned}其中f(x) 是目标函数,g_i(x) 和h_j(x) 是约束条件。
问题的解是指满足所有约束条件的最小值\min_{x} f(x) 所对应的x 值。
最优化问题的解法可以分为解析方法和数值方法两种。
解析方法主要是利用数学分析的手段,对问题的数学模型进行推导和分析,得出最优解的解析公式。
这种方法的优点是可以直接得到最优解的解析式,比较精确和可靠;缺点是只能解决简单的问题,并且往往需要较高的数学背景和技能。
常见的解析方法有拉格朗日乘数法、KKT条件法等。
数值方法则是通过迭代算法,以数值计算的方式逐步逼近最优解。
这种方法的优点是可以解决复杂问题,适用性较广;缺点是需要选择合适的算法和参数,且结果可能只是近似解。
常见的数值方法有单纯性法、梯度下降法、牛顿法等。
最优化原理和方法的关键在于如何选择合适的数学模型和解法,以得出符合实际需要的最优解。
优化设计-最优化基础理论+对分法
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开始
'(a) 0, '(b) 0
c=(a+b)/2
确定[a b],要求
(c) 0
N
对分
法计 算流 程图
T*=c t*=(a+b)/2 输出t* 结束 Y
Y a=c
ห้องสมุดไป่ตู้
(c) 0
N
b=c
Y
| a b |
N
对分法有关说明
对分法每次迭代都取区间的中点
a. 若这点的导数值小于零,说明的根位于右半区间中,因
然后用这条切线与横轴交点的横坐标t k 1作为根的新的近 似(如图).它可由方程(4.4)在令 y 0 的解出来, 即 (t k )
t k 1 t k
(t k )
这就是Newton切线法迭代公式.
Newton切线法
1.8.2.2 Newton切线法迭代步骤 已知 (t ) , (t ) 表达式,终止限 . (1) 确定初始搜索区间 [a, b] ,要求 '(a) 0, '(b) 0 (2) 选定 t 0 . (3) 计算t t0 '(t0 ) / "(t0 ) . (4) 若| t t 0 | ,则 t 0 t ,转(3);否则转(5). (5) 打印t, (t ) ,停机.
对分法
1.8.1.2 对分法迭代步骤 已知 (t ) , (t ) 表达式,终止限 . (1)确定初始搜索区间 [a, b,要求 ] '(a) 0, '(b) 0 (2) 计算[a, b] 的中点 c 1 (a b) . 2 a c ( c ) 0 (3) 若 ,则 ,转(4); 若 (c) 0 ,则 t * c,转(5); 若 (c) 0 ,则 b c ,转(4). (4) 若| a b | ,则 t * 1 (a b) ,转(5);否则转(2). 2 * (5) 打印t ,停机.
最优化原理与算法教学大纲

最优化原理与算法教学大纲第一章:优化原理
1.1优化原理概述
1.1.1优化原理的定义
1.1.2优化原理的基本思想
1.2无约束最优化原理
1.2.1无约束最优化的定义
1.2.2无约束最优化的基本原理
1.2.3无约束最优化的类型
1.3约束最优化原理
1.3.1约束最优化的定义
1.3.2约束最优化的基本原理
1.3.3约束最优化的类型
第二章:优化算法
2.1优化算法概述
2.1.1优化算法的定义
2.1.2优化算法的基本思想
2.2无约束最优化算法
2.2.1梯度下降法
2.2.2随机梯度下降法
2.2.3拟牛顿法
2.2.4动量法
2.2.5随机加权平均法
2.2.6贪心法
2.3约束最优化算法
2.3.1最小二乘法
2.3.2拉格朗日乘数法
2.3.3拉格朗日对偶形式法2.3.4快速拉格朗日方法
2.3.5牛顿法
2.3.6半牛顿法
第三章:优化算法实例分析3.1多元线性回归最小二乘法3.1.1线性拟合
3.1.2最小二乘法
3.1.3精确解求解
3.2线性规划牛顿法
3.2.1线性规划模型
3.2.2从拉格朗日函数构造出对偶形式3.2.3拉格朗日乘数法分析及牛顿法求解3.3梯度下降法
3.3.1梯度下降法概述
3.3.2单次梯度下降法分析
3.3.3批梯度下降法分析。
浅谈最优化原理与方法课程的学习

在 日常生活和 工作 中 , 家会 经常会遇 到 法 解决 实际 问题 的能 力这样 一 门非 常实用 的 种 交流对 你 们树立 正确 的学 习观并 坚守 这种 大 下列一 类问题 : 完成 一 项工 作或 任务 , 怎样 合 数学 课程 。 一般说 来 , 于接触过 最 优化方法 观念是 很有 帮助的 。 对 理 安排时 间才 能做 到既 完成任 务 又总 的用 时 并应用过 它们 解决 实际 问题的人 员来说 , 他们
能及格 就行 。显然 , 上这些 同学 的学 习观 念 以
的最优解 ; 第三章重 点讨论的是求 解无约束非 线性规 划的迭 代算法 : 最速 下降法 、 轭梯度 共
标 函数在某 迭代点处 的梯度信 息, 即高等数学
优化 问题 。其 中 , 在所 有可 能的 方案 中 , 出 选
之为 最优方 案 。那 么如何 寻找 最优 方案 ? 自
中一元 函数 的导数或 多元 函数 的偏导数 , 作为
一
化 方案 的方 法称 之 为最 优化 方 法…。 目前 实 有 认识 到这 门课 程 的重要 性和 必要 性 。究其 的应用范 围及 理论背景 是怎样 的 , 如何正 确使 确 认识 限选课 和必修 课的性 质 、 点及 区别 , 特
理 论 前 沿
浅谈 最优化 原理 与方法课程 的学 习
邵 红梅 ( 中国石油大学 数学与计 算科 学学院 山东东营 2 7 6 ) 5 0 1
摘
要: 结合这 门课程 的特 点 , 目前高校 里普遍 存在 的情况 、学生 的反 馈意 见以及 笔者的教 学体会 , 文就如何 学好这 门课程 这个重 本
求最优决 策或最优 方案问题 , 即要求 目 存在 了解一些基 本的算 法 , 前 大致知 道怎么 用来解题 法 , 其实 质都是通过对 满足一定 条件的初始矩
数学中的优化理论与最优化方法

数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义:优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型:–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数:–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法:–单调性:函数在极值点处导数为0–凸性:二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法:–基本思想:沿着梯度方向逐步减小函数值–步长:选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法(Newton’s Method):–基本思想:利用函数的一阶导数和二阶导数信息,构造迭代公式–适用条件:函数二阶连续可导,一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法:–基本思想:引入拉格朗日乘数,将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件:等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件(KKT条件):–基本思想:优化问题满足KKT条件时,其解为最优解–KKT条件:约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等,等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法(SQP法):–基本思想:将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件:问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划:–应用领域:生产计划、物流、金融等–目标函数:最大化利润或最小化成本–约束条件:资源限制、产能限制等2.非线性规划:–应用领域:机器人路径规划、参数优化等–目标函数:最大化收益或最小化成本–约束条件:物理限制、技术限制等3.整数规划:–应用领域:人力资源分配、设备采购等–目标函数:最大化利润或最小化成本–约束条件:资源限制、整数限制等4.动态规划:–应用领域:最短路径问题、背包问题等–基本思想:将复杂问题分解为多个子问题,分别求解后整合得到最优解5.随机规划:–应用领域:风险管理、不确定性优化等–基本思想:考虑随机因素,求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具,掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
最优化算法(牛顿、拟牛顿、梯度下降)

最优化算法(⽜顿、拟⽜顿、梯度下降)1、⽜顿法 ⽜顿法是⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。
⽅法使⽤函数f (x)的泰勒级数的前⾯⼏项来寻找⽅程f (x) = 0的根。
⽜顿法最⼤的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤: ⾸先,选择⼀个接近函数f (x)零点的x0,计算相应的f (x0) 和切线斜率f ' (x0)(这⾥f ' 表⽰函数f 的导数)。
然后我们计算穿过点(x0, f (x0)) 并且斜率为f '(x0)的直线和x 轴的交点的x坐标,也就是求如下⽅程的解: 我们将新求得的点的x 坐标命名为x1,通常x1会⽐x0更接近⽅程f (x) = 0的解。
因此我们现在可以利⽤x1开始下⼀轮迭代。
迭代公式可化简为如下所⽰: 已经证明,如果f ' 是连续的,并且待求的零点x是孤⽴的,那么在零点x周围存在⼀个区域,只要初始值x0位于这个邻近区域内,那么⽜顿法必定收敛。
并且,如果f ' (x)不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代⼀次,⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。
下图为⼀个⽜顿法执⾏过程的例⼦。
由于⽜顿法是基于当前位置的切线来确定下⼀次的位置,所以⽜顿法⼜被很形象地称为是"切线法"。
⽜顿法的搜索路径(⼆维情况)如下图所⽰: ⽜顿法搜索动态⽰例图:2、拟⽜顿法(Quasi-Newton Methods) 拟⽜顿法是求解⾮线性优化问题最有效的⽅法之⼀,于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W.C.Davidon所提出来。
Davidon设计的这种算法在当时看来是⾮线性优化领域最具创造性的发明之⼀。
不久R. Fletcher和M. J. D. Powell证实了这种新的算法远⽐其他⽅法快速和可靠,使得⾮线性优化这门学科在⼀夜之间突飞猛进。
拟⽜顿法的本质思想是改善⽜顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷,它使⽤正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆,从⽽简化了运算的复杂度。
最优化原理与方法
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最优化原理与方法最优化原理与方法是研究如何寻找最优解的一门学科,它在数学、计算机科学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。
最优化问题涉及到在给定的约束条件下,如何找到使目标函数取得最值的变量取值。
最优化原理与方法的核心是通过建立数学模型,利用一些数学工具和算法来求解这些问题。
最优化问题可以分为两类:无约束优化问题和有约束优化问题。
无约束优化问题是指在没有额外限制条件的情况下,寻找目标函数的最值。
而有约束优化问题是指在满足一定限制条件的情况下,寻找目标函数的最值。
在最优化原理与方法中,常用的方法有:梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、线性规划、非线性规划等。
梯度下降法是一种常用的无约束优化方法,其基本思想是通过对目标函数求偏导数,得到目标函数在当前点的斜率,然后沿着负梯度的方向更新当前点的位置,以减小目标函数的值。
梯度下降法是一种迭代求解方法,每一次迭代都会向着使目标函数减小的方向前进,直到达到一定的精度要求或迭代次数。
牛顿法是一种迭代求解方法,通过利用函数的二阶导数信息来逼近函数的极值点。
牛顿法的关键是通过二阶导数的信息得到更准确的目标函数变化趋势,从而更快地找到函数的极值点。
牛顿法收敛速度快,但需要计算较为复杂的二阶导数,且对于非凸问题可能出现收敛到局部极小值点的情况。
拟牛顿法是一种在牛顿法基础上改进的方法,主要用于求解无约束优化问题。
拟牛顿法通过近似目标函数的二阶导数来逼近极值点,从而避免了计算目标函数的二阶导数的复杂性。
拟牛顿法常用的算法有DFP算法和BFGS算法,它们通过不断更新近似的Hessian矩阵来求解极值点,具有较好的收敛性能和计算效率。
线性规划是一种在约束条件为线性等式或不等式的情况下,求解线性目标函数最优解的方法。
线性规划是最优化原理与方法的重要领域之一,广泛应用于经济学、工程学、运筹学等领域。
线性规划的基本思想是将目标函数和约束条件表示为线性表达式,然后应用线性规划的算法来求解最优解。
最优化理论与算法完整版课件
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多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
TP SHUAI
统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
TP SHUAI
7
•最优化的发展历程
2E d 2 B2 p L2 h2 0
8 L2 h2
dhB
6.结构设计问题
另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型:
min 2dB L2 h2
s.t.
p L2 h2 0 dhB
2E d 2 B2
则称x0为极小化问题min f(x),x S的局部最优解
TP SHUAI
30
优化软件 / /neos/solvers/index.html
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
TP SHUAI
24
6.结构设计问题
解:桁杆的截面积为 : S dB
桁杆的总重量为:W 2dB L2 h2
负载2p在每个杆上的分力为:p1
p
cos
p
L2 h2 h
20
5负载平衡(1)
实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合{s,d>0},表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量
解: {s,d>0}的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。
最优化原理与方法课后习题1

第一章、预备知识一、考虑二次函数()2211221223f X x x x x x x =++-+1) 写出它的矩阵—向量形式: ()f X =12TTQx x xb +2) 矩阵Q 是不是奇异的? 3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗? 5) 写出f(x)在点x =()2,1T处的支撑超平面(即切平面)方程解: 1) f(x)=xx x x x x2122212132+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛6222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21+11T-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 其中 x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 ,Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222, b=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2) 因为Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以 |Q|=6222=8>0 即可知Q 是非奇异的3) 因为|2|>0, 6222=8>0 ,所以Q 是正定的,故f(x)是正定的4) 因为2()f x ∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以|)(2x f ∇|=8>0,故推出)(2x f ∇是正定的, 即)(2x f ∇是凸的5) 因为)(x f ∇=2121(2x 2-1,261)x x x T+++,所以)(x f ∇=(5,11)所以 ()f x 在点x 处的切线方程为5(21-x )+11(12-x )=0 二、 求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵 1) ()f x =2x 12+xx x x x 23923121+++x x x 2322+2) ()f x =2212()21n l x x x x ++解: 1) )(x f ∇= (,94321x xx ++ 26321+++xx x, xx 219+))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛019161914 2) )(x f ∇=(x x x x xx 112221221+++,x x x x x x112221221+++))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------++++++++)()()()(2221212222212142221214222121222222121222212122221212212122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x 三、 设f(x)=xx x x x x x323223322122--+++,取点)1,1,1()1(Tx=.验证d )1(=(1,0,-1)是f(x)在点x )1(处的一个下降方向,并计算min >t f(x )1(+t d)1()证明: )(x f ∇=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T)5,4,2()(1Tx f =∇d )(1x f ∇=(1,0,-1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542= -3<0所以d)1(是f(x)在x )1(处的一个下降方向f(x )1(+t d)1()=f((1+t,1,1-t))=433)1(1)1(221(222)1()1+-=----+++-+t t t t t t∇f(x )1(+t d)1()=6t-3=0 所以t=0.5>0所以0min >t f(x )1(+t d)1()=3*0.25-3*0.5+4=3.25四、设,,i i i a b c (j=1,2,….,n )考虑问题Min f(x)=∑=nj jj xc 1s.t. b nj jjxa =∑=10≥xj(j=1,2,….,n)1) 写出其Kuhn Tuker 条件 2) 证明问题最优值是])([12112∑=nj j j b c a解:1)因),....,1(n j x j = 为目标函数的分母故0>x j所以λ*j (j=1,…,n )都为0所以Kuhn Tuker 条件为 0)()(=∇+∇x h x f μ即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---x c x c x c n n 2222211 +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 21μ=0 2)将ac xjjjμ=代入 h(x)=0 只有一点得221(nj b n j bμ==⇒=∑=故有ac ca x jj nj jjj b∑==1所以最优解是21211()n j j j b a c =⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑.五、使用Kuhn Tuker 条件,求问题min f(x)=)2()1(2122--+x xs.t.,021212112≥≥=+=-x x x x x x 的Kuhn Tuker 点,并验证此点为问题的最优解 解:x=(1/2,3/2) 0≠ 故1λ*,λ*2=0 则 0)()()(2211=+∇+∇x x x f h h μμ 即0111142222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--μμx x ⇒120,1μμ==-而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇2002)(2x f ()210g x *∇= ()220g x *∇= ()210h x *∇=()220h x *∇=,()()()()()()()22222211221122H x f x g x g x h x h x f x λλμμ***********=∇+∇+∇+∇+∇=∇(){}{}12121213|00|1020,22T T T x y h y h y y y y y y *⎧⎫⎛⎫=∇=∇==-+-=+-==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭故08)(2>=∇x x f x T ,即其为最优解.第二章、无约束优化问题一、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数,x *是问题min{f(x)|a b x ≤≤}的最优解。
最优化理论与方法
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最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度,以尽量减少成本或增加收益为目标,按照科学的方法和原则,系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论,包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
(1)最优化的基本原理:最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法,它是实现经济效益最大化的手段。
因此,最优化的基本原理是:在给定的约束条件下,优化给定的目标函数,寻求其最优解。
(2)最优化目标的定义:最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数,有时只是一个函数,有时可以是多个组合的函数。
例如,机器学习中的损失函数;优化调度中的时间耗费或成本函数等。
(3)最优化参数的表示:最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角,可以有数量上的约束,也可以没有约束。
(4)最优化的数值模型:最优化的数值模型是特定场合下,根据实际问题和最优化原理,把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
(5)求解最优化模型的方法:求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法,主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具,在满足给定条件的情况下,尽可能求得最优解的技术,它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
(1)线性规划:线性规划是指在一系列约束条件下,优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策,使目标函数达到最优值,要求目标函数和约束条件都是线性的。
(2)非线性规划:非线性规划是指在一系列非线性约束条件下,优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的,可以通过分析非线性函数的定义域和最优解,找到最优化解。
(3)动态规划:动态规划是指在一系列约束条件下,优化某一函数的最优解的过程,其特点是无论多少步,最优解都是一致的,具有很强的计算和递推性。
最优化各算法介绍
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最速下降法:算法简单,每次迭代计算量小,占用内存量小,即使从一个不好的初始点出发,往往也能收敛到局部极小点。
沿负梯度方向函数值下降很快的特点,容易使认为这一定是最理想的搜索方向,然而事实证明,梯度法的收敛速度并不快.特别是对于等值线(面)具有狭长深谷形状的函数,收敛速度更慢。
其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直,如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。
从直观上看,在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降,但是在接近极小点的地方,由于锯齿现象,从而导致每次迭代行进距离缩短,因而收敛速度不快.牛顿法:基本思想:利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数,然后精确的求出这个二次函数的极小点,从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。
优点 1. 当目标函数是正定二次函数时,Newton 法具有二次终止性。
2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时,并且能对初始点给出较好估计时,建议使用牛顿法为宜。
缺点:1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵,处理办法有:改为梯度方向搜索。
共轭梯度法:优点:收敛速度优于最速下降法,存贮量小,计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点:变度量法:较好的收敛速度,不计算Hesse 矩阵1.对称秩1 修正公式的缺点(1)要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0(2)不能保证B ( k ) 正定性的传递2.BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同,对一般可微函数效果可能不同。
1) BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法;(2) BFGS 算法要解线性方程组,而DFP 算法不需要。
基本性质:有效集法:算法思想:依据凸二次规划问题的性质2,通过求解等式约束的凸二次规划问题,可能得到原凸二次规划问题的最优解。
有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题,获取一般凸二次规划问题解的方法。
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1.2 经典极值问题
在微积分中函数的极值问题就是最简单的最优化问题。 例 1 :对边长为 a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水
槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解: x
f ( x) (a 2 * x) 2 * x f ( x) 2 * (a 2 * x) * (2) * x (a 2 * x) 2 (a 2 * x)(a(6 * x) 0
2h 4r 2rh 0 2r r 2 0 r 2 h 4 3 0
2 3
解得: r 3
, h 23
2 3
此时圆柱体的表面积是 6 2 3 3
2
以上都是微积分中典型的求极值问题。二次大战前,人们把优化狭隘地理解为,取 导数求极值,但是有些函数难以求导,或根本不可能求导,但又明显地具有极大值或极 小值,所以这种古典的极值理论或古典微分法就无能为力了。二次大战时,由于军事业 的需要,产生了运筹学,从而产生了解决多变量大型问题的新的最优化理论和方法,我 们把它称为近代最优化理论与方法,与此相对,我们把古典的极值理论或古典微分法就 称为经典最优化理论与方法。 二者之间的差别在于: 函数是否可微 变量个数的多少 带不带约束方程,特别是带不带不等式约束方程。 最优化是一门崭新的学科,有关的理论和方法还很不完善,有许多问题有待解决, 目前正处于迅速发展之中。
或 r 2h
4 3
h
0
这是一个具有约束条件的二个变量(r,H)的非线性最优化问题。 该问题可用拉格朗日乘子法求解。 首先构造 Lagrange 函数
L(r, h, ) 2rh 2r 2 (r 2 h 4 3)
分别对 r,h,λ求偏导数,并令其等于零。
L r L h L
f(X) 优点,因此为了简便,今后只研究求极小的问题。 如果约束中含有“小于等于”的,即
s ( X) 0
两边同乘以负号,就变成“大于等于”了,即
s ( X) 0
注意:不等式约束都要写成这种形式。
首先,把上节课讲过的比较重要的内容再复习一遍 原问题 max f (X) x 2x 2
2 * *
*
*
*
*
-f(X)
f (X * ) 1 , 很 明 显 , 它 改 变 符 号 后 的 函 数 f (X) x 2 2x 2 一 定 在 同 一 点 X * 1 处 取 得 极 小 值 f (X * ) 1。由此可见 max f (X) 与 min f (X)具有相同的最
a 由此解得两个驻点: x1
a 2
x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a 6
第一个驻点不合实际意义。现在来判断第二个驻点是否为最大点
f ( x) 2 * (a 6 * x) (a 2 * x) * (6) 24 8 * a a a f ( ) 24 * 8 * a 4a 0 6 6
向量式:
(1-2)
min f (X) X h ( X ) 0 s.t s( X ) 0
(1-3)
式中 f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大)。 优化过程就是优选 X,使目标函数达到最优值:f(X)->Optimization si(X)称为不等式约束,它的向量表示法可以写成: T s(X)=[ s1(X), s2(X), …,sm(X)] hj(X)称为等式约束 n X∈Ω,称为集约束,在我们的问题中集约束是无关重要的,这是因为有时Ω≡ R , 不然的话,Ω也可以用不等式约束表达出来,如:
对 X x , 其 中 x 1 0, x 2 0 , 此 时 集 约 束 可 以 用 不 等 式 来 代 替 , 如 2
x1
s1 (X) x 1 0 s 2 (X) x 2 0
故今后不再考虑集约束。 例如:前面例子球铸成圆柱体, X
2 min f (X) 2x 1 x 2 2x 1 2 4 s.t h 1 (X) x 1 x 2 3 0
x2
x12 x 2 4 0 3
x1
0
曲线上每一个点都是容许点,容许点的集合称为容许集,每个容许点都是一种可能 的方案(可计算出一个目标函数) ,所谓优化就是要在容许集中找一点 X ,使得
a 是极值点,极值为: f min (x) f (a 6) (a 2 * a 6) 2 * a 6 6
2 27
x
a3
例 2:用长为 L,宽为 B 的一块薄板,弯成梯形槽,x 和 a 为多少时,容积最大? 分析: x α 对本题:V=F*L,即如何弯时横断面积 F 最大 B
max F
复习回顾:上节课讲了古典微分法与近代最优化理 论与方法的区别 二次大战前,人们把优化狭隘地理解为,取导数求极值,但有些函数难以求导或根 本不可能求导,但又明显地具有极大值或极小值,所以这种古典的极值理论或古典微分 法就无能为力了,二次大战后,由于军事业的需要,产生了运筹学,从而,产生了解决 多变量大型问题的新最优化理论和方法,我们把它称为近代最优化理论与方法,与此同 时,我们把古典的极值理论或古典微分法就称为经典最优化理论与方法,二者的区别: 函数是否可微 变量个数的多少 带不带约束方程,特别是带不带不等式约束方程。 什么是容许点(容许解) 、容许集、最优点、最优值、最优解。 1.3.3 最优化问题的分类
*
f (X * ) min f (X) 。
对问题(1-3)的求解是指,在容许集中找一点 X ,使得目标函数 f(X)在该点取极 小值,即
*
f (X * ) min f (X) s.t. s(X * ) 0 h (X * ) 0
这样的点 X 称为问题(1-3)的最优点,面相应的目标函数值 f (X ) 称为最优值; 合起来 (X , f (X )) 称为最优解,但习惯上,把 X 本身称为最优解。 最优化问题的一般形式(1-3)中是取极小,如果遇到取极大值的问题,只须把目标 函数反号就可以转化为求极小的问题。 例 如 : f (X) x 2x 2 在 X 1 时 有 极 大 值
1.3 最优化问题的基本概念
1.3.1 最优化问题的向量表示法 研究最优化问题,一般都采用问量表示法,例如前面例子中的(r.H)可以看做是二 X2 维问题中的一个向量区的两个分量,即
r x 1 h x 2 T 或 x 1 x 2
对于 n 维向量空间 R 中一个向量 X 的 n 个分量,即
最优化原理与方法
首先讲几个问题: 1> 本部分以讲最优化原理和方法为主,联系金属加工工艺(轧钢)生产为辅。 因为最优化原理与方法不仅用于金属加工(轧钢生产), 而且适用于国民经济的各个部门。 2> 最优化(原理)是近化应用数学的一个新的分支。 最优化主要是研究在给定的条件下,如何做出最好的决策去完成所给的任务。 本门课程的基础是微积分和线性代数,本门课程的计算工具是电子计算机。因为用 的数学知识和证明较多,我们在讲课中力求深入浅出,对有些证明我们予以省略,这一 方面是由于学时有限,另一方面不要用过多的证明冲淡我们对方法的掌握,我们的重点 是“实用” 。但要求对一些基本概念要有清晰的了解。 3> 主要参考书是“轧制变形规程优化设计”(刘战英,冶金工业出版社)。 参考书是“最优化原理与方法” (东北工学院,薛嘉庆,冶金工业出版社) 。本书的 规定学时是 70 学时, 所以我们不能全讲, 只讲其中一部分, 有些内容还是这本书没有的。 另一本参考书是“最优化技术基础” (范鸣玉、张莹,清华大学出版社) 4> 学习方法 a、 认真听课,认真做笔记,基本概念和基本方法一定要掌握,要及时复 习。 b、 认真完成作业 c、 上机操作 5> 考核方式 a、 作业完成情况 b、 笔试(闭卷 6> 学习目的 对优化技术入门,能编制简单的优化程序,最好能在毕业设计和论文中加以应用。
则
2 min( 2x 1 x 2 2x 1 ) 2 s.t x 1 x2 4 3 0 x1 0 x2 0
下面介绍一下容许解或容许点 满足所有约束的向量区称为容许解或容许点。容许点的集合称为容许集。 例:球铸成圆柱体
r x X 1 h x 2
2
转化为: min{f (X)} x 2x 2
2
-f(X) min{-f(X)}=1 max{f(X)}= -1 (1-3)
因此,今后为了简便,我们只研究极小的问题,这 也就是为什么最优化问题的一般形式为下式的原因:
X* 1
f(X)
min f (X) X h ( X ) 0 s.t s( X ) 0
min f (X) s.t h (X) 0
其中 s.t 是 subject to 缩写,表示“满足于” , “受…约束” 1.3.2 最优化问题的一般形式 以后我们所要讨论的最优化问题有如下形式: 一般式:
(1-1)
min f (X) X h j (X) 0, j 1,2,..., L s.t s i (X) 0, i 1,2,..., m
2 f (X) 2x 1 x 2 2x 1 2 h 1 (X) x 1 x2 4 3 0
r h
x1 x 2
这个问题的集约是: ( x 1 , x 2 ) x 1 0, x 2 0
T
实际上都可以用不等式约束来代替:
s1 (X) x 1 0 s 2 (X) x 2 0
n
x2 x1
X X1
x1 x X 2 或 X x1 x n
x2 xn
于是前面所描述的求极小值问题可以简记为:minf(X) 这里的 f(X)称为向量变量的实值函数。 设有 L 个向量变量的实值函数:h1(X), h2(X), …,hL(X) L 给定 X 后, 又可以把这 L 个实值函数看做是 L 维空间 R 中的一个向量 h(X)的 L 个分 T 量,记为:h(X)=[ h1(X), h2(X), …,hL(X)] 。 按照这种表示方法,具有 L 个等式约束的求极小问题可记为: