初二下四边形压轴题

合集下载

四边形压轴题

四边形压轴题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四边形压轴题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为四边形压轴题的全部内容。

1．（浙江省温州市)如图,在平面直角坐标系中,点A （,0），B （，2），C （0，2）．动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF ⊥AB ，交BC 于点F ,连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒．（1）求∠ABC 的度数；（2)当t 为何值时，AB ∥DF ；(3）设四边形AEFD 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y ＝－x2＋mx 经过动点E ，当S ＜2时，求m 的取值范围（写出答案即可）．2．(浙江省宁波市)如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6)，C （0，6)，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC 相交于P 、Q ．(1)四边形OABC 的形状是_______________，当α ＝90°时，的值是____________；(2)①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y 轴正半轴上时，求的值；②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC 上时，求ΔOPB′的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝BQ?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ,D 两点的坐标分别为(4，0），（0,3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）填空:菱形ABCD 的边长是________、面积是________、高BE 的长是________;(2）探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位,点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形,并求出k 的值．3333BQ BPBQ BP214．（吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B ＝60°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x 秒时,△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形),解答下列问题：(1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时x 的值是__________秒;(3）求y 与x 之间的函数关系式．5．(吉林省长春市）如图，直线y ＝－x ＋6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点;直线y ＝x 与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线,分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）．（1）求点C 的坐标；（2)当0＜t ＜5时，求S 与t 之间的函数关系式；(3)求（2）中S 的最大值；（4)当t ＞0时,直接写出点（4,）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．6．(山西省)如图，已知直线l 1：y ＝x ＋与直线l 2：y ＝－2x ＋16相交于点C ，l 1、l 2分别交轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上，顶点F 、G 都在轴上，且点G 与点B 重合．（1）求△ABC 的面积；(2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原地出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t ≤12）秒,矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（4)S 是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的t 值,若不存在,请说明理由．4345x 293238x x x7．(山西省太原市)问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当＝时，求的值．类比归纳在图（1）中，若＝，则的值等于___________；若＝,则的值等于___________；若＝(n 为整数），则的值等于___________．（用含的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设＝（m ＞1）,＝,则的值等于_______________．（用含m ，n 的式子表示）8．（江西省、江西省南昌市）如图1,在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ,E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1)求点E 到BC 的距离;（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC于点N ，连结PN ,设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时(如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长;若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时(如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．CDCE21BN AM CD CE 31BN AM CD CE 41BN AM CD CE n 1BN AM n BC ABm 1CD CE n 1BN AM9．（新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4,0）、C（0，2)，D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；(3）设点E是（2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;（4）设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．10．（云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC,点A坐标为(6，0），点B坐标为(3，4）,点C在y轴的正半轴上．动点M在OA边上运动，从O点出发到A点；动点N在AB边上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t （秒）．（1）求线段AB的长;当t为何值时，MN∥OC?(2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？（3)连接CA,那么是否存在这样的t值，使MN与AC互相垂直?若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．11．（甘肃省兰州市）如图①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0，10）,(8，4）,点C 在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标;（3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等,若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．12．(黑龙江省哈尔滨市）如图1，在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式;(2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围)；（3)在(2）的条件下,当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．13．（黑龙江省牡丹江市、鸡西市）如图,□ABCD 在平面直角坐标系中，AD ＝6,若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2－7x ＋12＝0的两个根，且OA ＞OB ．(1）求sin∠ABC 的值． (2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE ＝，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO 是否相似？(3)若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F,使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．31614．(辽宁省大连市）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm,AD＝3cm，点E在边DC上，且DE＝4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动,动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2)．（1）求S与t的函数关系式;(2）当S＝10时，求t的值．15．（辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合),设BE＝x．操作：在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；（2）S是否存在最大值？若存在,请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．16．（辽宁省锦州市）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC，AB⊥BC于点B,AD＝4,AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．（1）求正方形的边长；(2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式;（3）当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由．17．（辽宁省朝阳市）如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝90°,∠DAB＝60°，AD＝2,CD＝4．另有一直角三角形EFG,∠EFG＝90°,点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．（1)在上述运动过程中,请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时相对应时刻t的值或范围；（2)以点A为原点,以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；(3)探究:延长EG交（2）中的抛物线于点Q,是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．18．(山东省中招、日照市、东营市中考）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．(1）求证：EG ＝CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）19．（山东省青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6cm ，CD ＝4cm ，BC ＝BD ＝10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s,交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：(1）当t 为何值时,PE ∥AB ？（2)设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；(3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝S △BCD ？若存在，求出此时t 的值;若不存在,说明理由．(4）连接PF ,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．20．（山东省淄博市）如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20cm ，P ，Q ，M ,N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ,CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内,若BQ ＝x cm （x ≠0）,则AP ＝2x cm,CM ＝3x cm ，DN ＝x2cm ．(1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边(AD 或BC )的一部分为第三边构成一个三角形；（2)当x 为何值时,以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值;如果不能，请说明理由．25221．（山东省济宁市)在平面直角坐标系中，边长为2的正OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线ABy＝x上时停止旋转，旋转过程中，边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1)求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p,在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．22．(山东省聊城市）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4厘米,QR＝8厘米，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1厘米/秒速度在直线l上向左匀速运动，直至点R与点A重合为止，t秒时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为S平方厘米．（1）当t＝3秒时，求S的值．（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值,最大值是多少？23．（广东省）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积;(3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求此时x的值．24．（湖南省衡阳市)如图，直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB 上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．(1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由；(2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移距离为a(0＜a＜4）,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．25．（湖南省邵阳市）如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜ t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标;(2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1;（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2,①当2＜ t≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的？26．（湖南省湘潭市）如图，在平面直角坐标系中,四边形OABC 为矩形,OA ＝3，OC ＝4，P 为直线AB 上一动点，将直线OP 绕点P 逆时针方向旋转90°交直线BC 于点Q ；（1）当点P 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合)时，求证：OA ·BQ ＝AP ·BP ；（2)在(1）成立的条件下,设点P 的横坐标为m ，线段CQ 的长度为l ,求出l 关于m 的函数解析式，并判断l 是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）直线AB 上是否存在点P ,使△POQ 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．(湖南省怀化市）如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0）,B (10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动,当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位:秒）．（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t ＝2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．28．（湖南省娄底市）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，另有一直角梯形165DEFH （HF ∥DE ，∠HDE ＝90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上,且DE ＝4，∠DEF ＝∠CBA ，AH ： AC ＝2 ：3．（1）延长HF 交AB 于G ,求△AHG 的面积；（2）操作:固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动,直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图2）．探究1：在运动过程中,四边形CDH ′H 能否为正方形？若能，请求出此时t 的值；若不能，请说明理由；探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系式．29．（湖北省荆州市)如图①,已知两个菱形ABCD 和EFGH 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形（菱形ABCD 与菱形EFGH 的位似比为2 :1），∠BAD ＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y ＝x2经过AD 的中点M ．(1)填空：A 点坐标为_____________，D 点坐标为_____________； (2)操作：如图②，固定菱形ABCD ，将菱形EFGH 绕O 点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°),并延长OE 交AD 于P ，延长OH 交CD 于Q ．探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP 是平行四边形？若存在,请推断出α的值;若不存在,说明理由;探究2：设AP ＝x ，四边形OPDQ 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式,并指出x 的取值范围．30．（湖北省襄樊市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝4，点M 是AD 的中点,△MBC 是等边三角形．(1)求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ ＝60°保持不变．设PC ＝x ，MQ ＝y ，求y 与x 的函数关系式；（3)在（2）中：31① 当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数;② 当y 取最小值时，判断△PQC 的形状，并说明理由．31．（湖北省鄂州市)如图所示,将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝|CE －EO |，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．（1）试比较EO 、EC 的大小，并说明理由．（2）令m ＝，请问m 是否为定值?若是，请求出m 的值;若不是,请说明理由．(3）在（2）的条件下，若CO ＝1，CE ＝，Q 为AE 上一点且QF ＝,抛物线y ＝mx2＋bx ＋c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．（4)在（3）的条件下，若抛物线y ＝mx2＋bx ＋c 与线段AB 交于点P ,试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似？若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（湖北省随州市）如图①,已知△ABC 是等腰三直角角形，∠BAC ＝90°,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ,使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°)，如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．(3）若BC ＝DE ＝2，在（2）的旋转过程中,当AE 为最大值时,求AF 的值．33．（湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田)如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CMNO CFGHS S 四边形四边形3132∠ABC＝90°，AD＝AB＝3,BC＝4，动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形?（3）是否存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值;若不存在,请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？34．(四川省绵阳市）如图甲，在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C(m，n）．（1）若m＝n时，如图乙,求证：EF＝AE；（2）若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由；（3)若m＝tn（t＞1)时,试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E 的坐标．35．（四川省乐山市）如图,在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3：4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动,两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长;（2）当t为何值时,PC与BQ相互平分；(3）连结PQ，设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值?最大值是多少？36．(福建省福州市初中毕业班质量检查）如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．。

(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)

特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。

（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。

（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。

（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ；（2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。

（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。

(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。

（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。

（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。

GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。

八年级平行四边形压轴题

八年级平行四边形压轴题一、选择题（每题3分，共15分）1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC = 8，BD = 10，AB = 6，则△OAB的周长为（）- A. 12.- B. 15.- C. 20.- D. 16.- 解析：- 因为平行四边形对角线互相平分，所以OA = 1/2AC = 4，OB = 1/2BD = 5。

- 又已知AB = 6，所以△OAB的周长为OA+OB + AB=4 + 5+6 = 15。

答案为B。

2. 平行四边形ABCD中，∠A:∠B = 2:1，则∠C的度数为（）- A. 60°.- B. 120°.- C. 45°.- D. 30°.- 解析：- 因为平行四边形邻角互补，即∠A+∠B = 180°，又∠A:∠B = 2:1，设∠B=x，则∠A = 2x，所以2x+x=180°，解得x = 60°。

- ∠A = 120°，平行四边形对角相等，所以∠C=∠A = 120°。

答案为B。

3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）- A. AB = CD，AD = BC.- B. AB∥CD，AB = CD.- C. AB = CD，AD∥BC.- D. AB∥CD，AD∥BC.- 解析：- 根据平行四边形的判定定理，A选项两组对边分别相等可判定是平行四边形；B 选项一组对边平行且相等可判定是平行四边形；D选项两组对边分别平行可判定是平行四边形。

- C选项一组对边相等，另一组对边平行，不能判定是平行四边形，答案为C。

4. 平行四边形ABCD的周长为36cm，AB = 8cm，则BC的长为（）- A. 10cm.- B. 16cm.- C. 14cm.- D. 28cm.- 解析：- 平行四边形的周长等于两组对边之和，即2(AB + BC)=36，已知AB = 8cm，代入可得2(8 + BC)=36，16+2BC = 36，2BC = 20，BC = 10cm。

初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)

初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。

求EF的长度。

答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。

所以AG || BF。

由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。

代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。

题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。

点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。

连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。

求BC的长度。

答案二设PS的长度为2x，则PA = x。

由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。

专题05 平行四边形选填题压轴训练(原卷版)八年级数学下学期期中考试压轴题专练(人教版)

专题05 平行四边形选填题压轴训练（原卷版）一．选择题（共25小题）1．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2B．C．1D．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（）A．+n B．m+C．D．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是P A、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝66．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．128．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ 的值是（）A．B．3C．D．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.510．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（）A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠211．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（）A．﹣1B．2﹣1C．6﹣6D．4﹣212．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．215．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（）A．B．5C．D．317．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接P A，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为（）A．B．C．D．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE ＝3DE．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．221．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P 为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．23．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（）A．B．C．D．125．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（）①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共20小题）26．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．27．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN ∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为．29．如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD＝6，DE ＝，则OF的最小值为．30．正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF于点G，过点F作AE的平行线，交AD于点M，交BC的延长线于点N，CN＝3DM，AM＝，则FG的长为．31．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q 同时出发秒后其中一个新四边形为平行四边形．32．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN 交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为．33．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为．34．如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积．35．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动，当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于．36．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有．（填序号）37．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC ＝4，则BC2+DF2的值为．38．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：①△BCD≌△ECD；②当CD＝2AD时，∠ADE＝30°；③点F到直线AB的距离为a；④△CDE面积的最大值是a2．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）39．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG ⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．40．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是．41．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为．42．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝．43．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．44．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为．45．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．。

2020-2021学年苏科版八年级数学下册中心对称图形平行四边形压轴题复习(二)

中心对称图形——平行四边形压轴题复习（二）1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、DB、BF．（1）求证：∠DEB＝∠BFD；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2．它是一个矩形吗？为什么？6．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．7．如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．9．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE交于E点，连接AE交CD于F．（1）求证：EP＝AP；（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E 作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD 的2倍的所有的角．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．12．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．13．如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且∠BED+∠F ＝180°求证：DE＝DF．14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．15．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD 于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB且DC∥AB，∵E，F分别为边AB、CD上的中点，∴DF＝DC，BE＝AB，且DF∥BE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠DEB＝∠BFD；（2）证明：∵E为边AB的中点，∴AE＝BE，∵∠ADB＝90°，∴△ADB为直角三角形∴DE＝AB＝BE，由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，∴平行四边形BFDE是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∵O是BD的中点，∴DO＝BO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DC∥AB（即DF∥BE），∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝＝＝10，∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，∴四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，即BE＝，∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．3．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴PA＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）PA＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴PA＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．4．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．5．解：四边形ABCD是矩形．理由如下：证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝AC，OB＝BD．又∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形．6．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．7．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，同理，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，∵∠B＝90°，∴四边形BHEG为矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EM＝EG＝EH，∴四边形BHEG是正方形，∴BG＝BH，∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），∴AM＝AG，CM＝CH，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则，解得，，∴AM＝3，CM＝2，∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠FAN＝∠ECM，∵∠ANF＝∠CME＝90°，∴△ANF≌△CME（AAS），∴AN＝CM＝2，∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，∵矩形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠KAE＝∠HCF，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵∠AKE＝∠CHF＝90°，∴△AEK≌△CHF（AAS），∴AK＝CH＝4，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EK＝EL＝EG，∵AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，∴四边形BGEK为正方形，∴BG＝BK，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝24．8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵DF＝．9（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，∵PG⊥BC，∴∠GPC＝90°，∴∠PGC＝45°，∴PG＝PC，∵∠DCE＝45°，∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠GPC＝90°，∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，在△PAG和△PEC中∴△PAG≌△PEC（ASA），∴PE＝PA；（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABQ＝∠D＝90°，在△ABQ和△ADF中∴△ABQ≌△ADF（SAS），∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，∵∠APE＝90°，AP＝PE，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，在△QAP和△FAP中∴△QAP≌△FAP（SAS），∴QP＝PE，∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，在△PEH和△APB中∴△PEH≌△APB（AAS），∴BP＝EH，∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ECH＝45°＝∠CEH，∴CH＝EH＝BP，设EH＝CH＝BP＝x，∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，解之得：x＝，即CH＝EH＝，∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．10．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠BDA，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF为菱形．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，∵∠ABF＝∠AEF，∴∠ABF＝2∠BAD．所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．11．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝AE，故答案为：＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，∴△ABO≌△EBO（ASA），∴AB＝BE，∴AF＝BE，又AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）如图，作AG⊥BC于点G，∵四边形ABEF是菱形，OA＝OE＝AE＝6，OB＝OF＝BF＝8，∴AB＝＝10，BE＝10，设BG＝x，则EG＝BE﹣BG＝10﹣x，∴在Rt△ABG和Rt△AEG中，根据勾股定理，得AG2＝AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2即102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2解得x＝，∴AG＝＝．∴四边形ABCD的面积为：BC•AG＝15×＝144．13．解：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，∵∠BED+∠F＝180°，∠BED+∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，又∵∠DNE＝∠DMF，∴△DNE≌△DMF（AAS）∴DE＝DF．14．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，∴x＝2﹣．15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．。

初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。

3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。

6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。

7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

）8、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。

⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

（矩形+菱形=正方形）常考题：一．选择题（共14小题）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．1711．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．812．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．1913．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13小题）15．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．16．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．21．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．22．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C （0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．三．解答题（共13小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．31．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．32．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．33．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？35．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ABD≌△EBD；（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．38．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．4．（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．6．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．10．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．11．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．12．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．13．（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．14．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13小题）15．（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（2015•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD 的周长等于20．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．18．（2007•临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．19．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．20．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65度．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．21．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．25．（2013•阜新）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014•丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．。

八年级期末各区汇总压轴题

10．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠ABC ＝α，在AB 、BC 上分别找一点E 、F ，使△DEF 的周长取最小，此时∠EDF ＝( )A ．αB ．90°－αC ．2αD ．180°－2α16．如图，在△ABC 中，已知∠CAB ＝60°，D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED ＝60°，DE ＋DB ＝CE ，∠CDB ＝2∠CDE ，则∠DCB ＝．23．(10分)(1)已知3x ＝2y ＝5z ≠0，求23x y zx y z ++−+的值．(2)某市政工程计划将安装的路灯交给甲、乙两家灯饰厂完成，已知甲厂生产100个路灯与乙厂生产150．个路灯所用时间相同，且甲厂比乙厂每天少生产10个路灯，间甲、乙两家工厂每天各生产路灯多少个？24．(12分) 如图，已知A (－3，0)，B (0，7)，C (7，0)，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，BC ⊥C D ．(1)如图1，求证：∠ABO ＝∠CAD ； (2)求四边形ABCD 的面积；(3)如图2，E 为∠BCO 的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO ＝45°，OE 与BC 交于点F ，求BF 的长．第10题图AB CDE Fα第16题图A BCD E图110．如图，将等边△ABC 折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点D 处，折痕为EF ，O 为折痕EF 上一动点，若AD ＝1，AC ＝3，△OCD 周长的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．716．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，且AC ＋CD ＝BD ，若BD ＝6，则CD ＝．23．(本题满分10分)已知，D 为等边△ABC 的边BC 上一点，点E 在射线AD 上，连接BE ，CE ． (1)如图1，点E 在线段AD 上，CE 平分∠ACB ，求证：AE ＝BE ； (2)∠CED ＝60°；①如图2，点E 在线段AD 的延长线上，求BED ∠的度数； ②如图3，点E 在线段AD 上，CE AE 2=，求BED ∠的度数．24．(本题满分12分)如图，A (－2，6)，C (6，2)，AB ⊥y 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ． (1)求证：△AOB ≌△COD ；(2)连接AC ，BD 交于点P ，求证：点P 为AC 中点；(3)如图2，点E 为第一象限内一点，点F 为y 轴正半轴上一点，连接AF ，EF ，EF ⊥CE 且EF ＝CE ，点，求证：∠OEG ＝45°．OF E DC BAAB C D E 图3图2图1ABCD ABCD E D CBAE图1图2图3AA10．如图，点E 在等边△ABC 的边BC 上，BE ＝6，射线CD ⊥BC 于点C ，点P 是射线CD 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当EP ＋PF 的值最小时，BF ＝7，则AC 为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．1016．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点E 是射线CB 上的一个动点，作AF ⊥AE ，且AF ＝AE ，连接BF 交射线AC 于点G ，若52BC BE ＝，则AG CG＝．23．(10分) CD 是△ABC 的高．(1)如图1，若∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 于点E ，求证：CE ＝CF ；(2)如图2，若∠A ＝2∠B ，∠ACB 的平分线CG 交AB 于点G ，求BC BGDG－的值；(3)如图3，若△ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，再以AD 为斜边作等腰Rt △AMD ，Q是DB 的中点，连接CQ 、MQ ，试判断线段CQ 与MQ 的关系，并给出证明．24．(12分) 在平面直角坐标系中，已知A (－m ，0)，B (0，n )，C (m ，0)．(1)如图1，若AC ＝AB ，CM ⊥AB 于点M ，MN ∥y 轴交AO 于点N (－2，0)，则m ＝__________； (2)如图2，若m 2＋2mn ＋n 2＝0，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，过AC 上一点E 作EF ∥CD ，交AB 于点F ，AG 是△AEF 的高，探究AG 与EF 的数量关系；(3)如图3，在(1)的条件下，AC 上点H 满足AH MACH MC＝，直线MH 交y 轴于点Q ，求点Q 的坐标．DPCEBFA图3图2图1Q MD ABCD BCD FABEC图2图3CBA10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，∠EAF ＝12∠BAD ，若DF ＝1，BE ＝5，则线段EF 的长为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．616．P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，则∠APC 的度数为．23．(本题10分)如图所示，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，点D 是AB 中点，点P 在线段BC 上以每秒3个单位长度的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以每秒a 个单位长度的速度运动．设运动的时间为t 秒．(1)求CP 的长(用含t 的式子表示)； (2)若以点C 、P 、Q 为顶点的三角形和以点B 、D 、P 为顶点的三角形全等，并且∠B 和∠C 是对应角，求a 和t 的值．24．(本题12分)在平面直角坐标系中，M (m ，n )且m 、n 满足m 2＋2n 2－2mn ＋4n ＋4＝0，B (0，b )为y 轴上一动点，绕B 点将直线BM 顺时针旋转45°交x 轴于点C ，过C 作AC ⊥BC 交直线BM 于点A (a ，t )．(1)求点M 的坐标；(2)如图1，在B 点运动的过程中，A 点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a 的值；若变化，写出A 点的横坐标a 的取值范围；(3)如图2，过T (a ，0)作TH ⊥BM (垂足H 在x 轴下方)，在射线HB 上截取HK ＝HT ，连OK ，求∠OKB 的度数．DABCEF BC PAA C DQB10．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是( )A BC D16．若m ＋2＝3n ，则327m n −⋅的值是．27．(本题12分)已知，关于x 的分式方程13111m x m x x +−+−=+．(1)当m ＝－1时，请判断这个方程是否有解并说明理由； (2)若这个分式方程有实数解，求m 的取值范图．28．(本题12分)在平面直角坐标系中，点A (0，4)，B (m ，0)在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．(1)如图1，若m ＝8，求AB 的长；(2)如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE DE ；(3)如图3，若m ＝，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD ＋CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．图1 图2 图3CAB10．如图,已知△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠BAC ＝30°,AB ＝4,点D 为直线AB 上一动点,将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ,连接ED 、BE ,当BE 最小时,线段AD 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．616．如图,已知∠AOB ＝α( 0°＜α＜60°),射线OA 上一点M ,以OM 为边在OA 下方作等边△OMN ,点P 为射线OB 上一点,若∠MNP ＝α,则∠OMP ＝．23．(本题10分)如图1,已知等边三角形ABC ,点P 为AB 的中点,点D 、E 分别为边AC、BC 上的点,∠APD ＋∠BPE ＝60°．(1)①若PD ⊥AC ,PE⊥BC ,直接写出PD 、PE 的数量关系：； ②如图1,证明：AP ＝AD ＋BE(2)如图2,点F 、H 分别在线段BC 、AC 上,连接线段PH 、PF ,若PD ⊥PF 且PD ＝PF ,HP ⊥EP ． ①求∠FHP 的度数；②如图3,连接DE ,直接写出PF DEPH+＝．24．(本题12分)已知,平面直角坐标系中,A (0,4) ,B (b ，0) (－4＜b ＜0),将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC ,连接B C ．(1)如图1,直接写出C 点的坐标：；(用b 表示)(2)如图2,取线段BC 的中点D ,在x 轴取一点E 使∠DEB ＝45°,作CF ⊥x 轴于点F ． ①求证：EF ＝OB ；②如图3,连接AE ,作DH ∥y 轴交AE 于点H ,当OE ＝EF 时,求线段DH 的长度．图1 图2 图3EDCBA αNMBAO图1PEDCBA HF ABCDEP图2HF ABCDEP 图310．如图，∠AOC ＝∠BOC ＝10°，OC ＝20，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ，则CM ＋MN 的最小值是( )A ．20B ．16C ．12D ．1016．如图，Rt △ ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝8，AB ＝，将Rt △ABC 折叠，使得点C 恰好落在AB边上的点E 处，折痕为AD ，P 为折痕AD 上一动点，则△PEB 周长的最小值是．23． (本题满分10分)已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点E 在边BC 上，点F 在射线EC 上，且∠EAF ＝45°．(1)如图1，画出△AEF 关于直线AF 对称的△AEF ，并写出画法；(2)如图2，若AFE ＝75°，求BEEF的值；(3)如图3，若BE ＝CF ，直接写出∠AFE 的度数为．24．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，点A (a ，0)、C (b ，0)、B (0)，a 、b 满足： a 2＋2ab ＋2b 2－4b ＋4＝0，且AB ＝AC (1)判断△ABC 的形状并证明；(2)如图1，点D 为BA 延长线上一点，AD ＝AB ，E 为x 轴负半轴上一点，F 为DE 上一点，连接CF 交AD 于点G ，∠EFC ＝120°，求的值；(3)如图2，R (3a ，0)，点P 为线段BR 上一动点，以AP 为边作等腰△APQ ，P A ＝PQ ，且∠APQ ＝∠RAB ，连接AQ ，当点P 运动时，△ABQ 的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．CBANMOPED C BAABCE FFE CBA10．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝BD ，若∠ABD ＝12∠BAC ＝α，则∠BDC 的度数为( ) A ．2αB ．45°＋12α C ．90°－α D ．180°－3α16 . 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，E 为BD 延长线上一点，∠E ＝∠C ,∠BAC 的平分线交BD 于F . 若BD DE ＝94，则ADCD的值为 .23．(本题10分)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，D 为AB 上一点，连接C D ． (1)如图1，若∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，则ADBD＝______(直接写出结果)． (2)如图2，若BD ＝AC ，E 为CD 的中点，AE 与BC 存在怎样的数量关系，判断并说明理由； (3)如图3，CD 平分∠ACB ，BF 平分∠ABC ，交CD 于F ．若BF ＝AC ，求∠ACD 的度数．24．(本题12分)在平面直角坐标系中，点A (a ，0)，B (0，b )，且a ，b 满足a 2－20b ＋b 2＋(b －4)2＝0，点C 为线段AB 上一点，连接O C ． (1)直接写出a ＝____，b ＝_____；(2)如图1，P 为OC 上一点，连接P A ，P B ．若P A ＝B 0，∠BPC ＝30°．求点P 的纵坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点M 是AB 上一动点，以OM 为边在OM 的右侧作等边△OMN ，连接CN ．若OC ＝t ，求ON ＋CN 的最小值(结果用含t 的式子表示)．DABC图3图2图1A BCDFABCD EABCD图2图110．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( )A ．3个B ．4个C ．5个 D ．无数个16 . 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且P A ＝2，以PB 为边作等边△PBM ，则线段AM 的长最大值为．23．(10分) 如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 向外作两个等边三角形△ABD ，△ACE ．连接BE 、CD 交点F ，连接AF ．(1)求证：△ACD ≌△AEB ； (2)求证：AF ＋BF ＋CF ＝C D ．24．(12分) (本题满分12分)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ＝DB ，DB ⊥A C ． ①直接写出∠ADC 的大小； ②求证：AB 2＋BC 2＝AC 2．迁移应用：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE 、CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若∠BAF ＝45°，求BF 的长．D CBA B C C B b a FEDBAE DCBAMF EDCBA东湖高新区10．如图，AD 为△ABC 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，点F 为BC 上一点，若∠B ＝2∠C ，且AC ＝AB ＋BF ，AC FCDF−的值为( )A ．1B ．2C ．1.5D ．316．如图，∠AOB ＝35°，C 为OB 上的定点，M 、N 分别为OA 、OB 上两个动点，当CM ＋MN 的值最小时，∠OCM 的度数为．23．(本题10分)如图1，△ABC 为等腰直角三角形，△ABD 为等边三角形，连接C D ． (1)求∠ACD 的度数；(2)如图1，作∠BAC 的平分线交CD 于点E ，求证：DE ＝AE ＋CE ； (3)如图2，在(2)的条件下，M 为线段BC 右侧一点，满足∠CMB ＝60°，求证：EM 平分∠CM B ．图1 图224．(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)、B (0，b )，且│a ＋4│＋b 2－8b ＋16＝0． (1)求a 、b 的值； (2)如图1，C 为y 轴负半轴上一点，连CA ，过点C 作CD ⊥CA ，使CD ＝CA ，连BD ，求证：∠CBD ＝45°； (3)如图2，若有一等腰Rt △BMN ，∠BMN ＝90°，连AN ，取AN 中点P ，连PM 、PO ．试探究PM 和PO 的关系．图1 图2AB C MN AB CDE MABCE D10．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC ，其中B 、C 的坐标分别为(1，0)和(2，0)．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x 轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A 、B 、C 中，会过点(2018，1)的是点( )A ．A 和B B ．B 和C C ．C 和AD ．C16．正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE ＝DF时，∠BAE 的大小是．23．(本题10分)如图1，点A 在x 轴上，点D 在y 轴上，以OA 、AD 为边分别作等边△OAC 和等边△ADE ，A (2，0)．(1)若∠DAC ＝10°，求∠AEC 的度数．(2)如图2，若点P 为x 轴正半轴上一动点，点P 在点A 的右边，连PC ，以PC 为边在第一象限内作等边△PCM ，延长MA 交y 轴于点N ，当点P 运动时，①∠ANO 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由；②AM ﹣AP 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．图1 图224．(本题12分)已知等边△ABC 中，点D 为射线BA 上一点，作DE ＝DC ，交直线BC 于点E ．(1)当点D 在线段AB 上时，如图1，线段CE 、AD 、AC 之间的数量关系是；(2)当点D 在BA 的延长线上时，如图2，求证：CE ＝AC ﹣AD ；(3)在(2)的条件下，∠ABC 的平分线BF ，交CD 于点F ，过点A 作AH ⊥CD 于H ，当∠EDC ＝30°，CF＝10时，求DH 的长．图1 图2 备用图E DC B A ED C B A F HA B C DE10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD的右側作等边△ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为( )A ．1B ．2C ．3 D16．如图，△ABC 中，∠ BAC ＝60°，D 为线段AC 上一点，若BD 平分∠ABC ，∠C ＝80°，AD ＝m ，AC ＝n ，则BC ＝．(用含m ，n 的式子表示)23．(本题满分10分)已知△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α．(1)如图1，∠ABG ＝∠BCG ，则∠G ＝ (用α表示)；(2)如图2，点E ，M 分别为BC 、AC 上的点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝2∠CFE ＝2α，求ABF ACFS S ∆∆的值； (3)如图3，CD 为AB 边上的高，∠ACD 的平分线CP 交AB 于P ，过P 作PH ⊥BC 于H ，PH 与CD 交于点Q ，连接BQ ．若PD ＝a ，BD ＝b ，请直接用含有a ，b 的代数式表示△BQC 的面积为．图1 图2 图324．(本题满分12分)已知△ABC 是等边三角形．(1)如图1，点D 是BC 边的中点，点P 在直线AC 上，若△P AD 是轴对称图形，则∠APD 的度数为；(2)如图2，点D 在BC 边上，∠ADG ＝60°，DG 与∠ACB 的外角平分线交于G ，GH ⊥AC 于H ，当点D 在BC 边上移动时，请判断线段AH ，AC ，CD 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点D 在BC 延长线上，连接AD ，E 为AD 上一点，AE ＝AC ，连接BE 交AC 于F ，若AF ＝2ED ＝3，则线段CF 的长为．图1 图2 图3A B C D EA B C DA BC G E MF AB C QPH A B C D A BC D H G M A B C D AB C D E F。

初二数学下压轴题题

1.如图所示，四边形ABCD 是正方形，M 是ＡＢ延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点Ｄ，且直角顶点Ｅ在ＡＢ边上滑动（点Ｅ不与点Ａ、B 重合），另一直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.（1）如图1，当点E 在AB 边得中点位置时:①通过测量DE 、EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是________________.②连接点E 与ＡＤ边的中点Ｎ，猜想ＮＥ与ＢＦ满足的数量关系是_________________. ③请证明你的上述两个猜想.（2）如图2，当点E 在ＡＢ边上的任意位置时，猜想此时ＤＥ与ＥＦ有怎样的数量关系．2. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BD 于P 点，点A 在y 轴上，点C 、D 在x 轴上．（1）若BC=10，A （0，8），求点D 的坐标；（2）若BC= 213，AB+CD=34，求过B 点的反比例函数的解析式；（3）如图，在PD 上有一点Q ，连接CQ ，过P 作PE ⊥CQ 交CQ 于S ，交DC 于E ，在DC 上取EF=DE ，过F 作FH ⊥CQ 交CQ 于T ，交PC 于H ，当Q 在PD 上运动时，（不与P 、D 重合），PHPQ的值是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出其值．图（1）图（2）P30米l3.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？4、由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.5、如图，ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，连接DE ，从E 作EH ⊥AC 交AC 于H 。

八年级下册平行四边形压轴题专题专练

八年级下册平行四边形压轴题专题专练学校:___________姓名：___________班级：___________一、解答题（本大题共20小题，共160.0分）1.如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；的值．（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE//BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请说明理由.3.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN=∠PNM．4.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，请你分别以E，F为一端点，和图中已标字母的某点连成两条相等的新线段（只需证明一组线段相等即可）．（1）连接______；（2）结论：______=______；（3）证明：5.如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．，求AB的长．（2）若GB=3，BC=6，BF=326.（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为______；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．7.如图,点O为▱ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90∘,∠BOC=60∘,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.(1)求线段EF的长.(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化?若不变,求出这个定值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何发生变化的.8.如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．9.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE//AC交直线AB于点E,DF//AB交直线AC于点F.(1)当点D在边BC上时,如图 ①,求证:DE+DF=AC;(2)当点D在BC的延长线上时,如图 ②;当点D在BC的反向延长线上时,如图 ③,请分别写出这两个图中DE、DF、AC之间的数量关系(不需要证明);(3)若AC=6,DE=4,则DF= .10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为3秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？211.如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a=3，b=2时，求矩形中空白部分的面积．12.已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP.（1）如图1，若∠ACB=90°，∠CAD=60°，BD=AC，AP=√3，求BC的长.（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD=60°，BD=AC，求证：BC=2AP.（3）如图3，若∠CAD=45°，是否存在实数m，当BD=mAC时，BC=2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，E（1，1）为平面内一点．（1）点E是否在一次函数y＝﹣2x+3的图象上？说明理由；x+b的图象经过E点，与x轴交于C点．（2）一次函数y＝﹣13①求BC的长；②求证：AB平分∠OBC；③正比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝﹣2x+3的图象交于P点，O、P到一次函x+b的图象的距离相等，直接写出符合条件的k值．数y＝﹣1314.如图1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是____，位置关系是____；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝6，请直接写出△PMN 面积的最大值．15.如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M．（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示∠AMB的度数为______．（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，直接写出答案即可．16.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．17.我们定义:如图 ①,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180∘时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知(1)在图 ② ③中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”. ①如图 ②,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; ②如图 ③,当∠BAC=90∘,BC=8时,AD长为 .(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)猜想论证(2)在图 ①中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.18.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB'C'，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[40°，√7]得△AB'C'，则S△AB'C'：S△ABC=______；直线BC与直线B'C'所夹的锐角为______度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=2，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、B'在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．19.如图,在长方形纸片ABCD中,翻折∠B,∠D,使BC,AD都恰好落在AC上,F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.(1)求证:四边形AECG是平行四边形;(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.20.如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DCE，∠B＝∠D＝90°，BC＝2AB．(1)若AB＝2，求点B到AC的距离；(2)当Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连AE，取AE中点H，连BH，DH，如图2,求证：BH⊥DH；(3)在(2)的条件下，若AB＝2，P是DE中点，连接PH，当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF=180°，∴∠CBE=∠DAF，同理得∠BCE=∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵{∠CBE=∠DAF BC=AD∠BCE=∠ADF，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE=S△ADF，∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴S T =S12S=2．【解析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，可得结论．2.【答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵AD 是BC 边上的中线,∴AD ⊥BC .即∠ADB =90∘.∵AE //BC ,∴∠EAC =ACB .∴∠B =∠EAC .∵CE ⊥AE ,∴∠CEA =90∘.∴∠ADB =∠CEA .又∵AB =CA ,∴△ABD ≌△CAE (AAS ).(2)解:DE //AB 且DE =AB .理由如下:∵△ABD ≌△CAE ,∴AE =BD .又∵AE //BD ,∴四边形ABDE 是平行四边形.∴DE //AB 且DE =AB .【解析】略3.【答案】解：∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴NP ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PN =12BC ，PM =12AD ，PN ∥BC ，PM ∥AD ，∴∠NPD =∠DBC ，∠MPB =∠ADB ，∵AD=BC，∴PN=PM，故△NMP是等腰三角形．∴∠PMN=∠PNM．【解析】根据中位线定理和已知，易证明△NMP是等腰三角形和PN∥BC，PM∥AD，进而得到∠NPD=∠DBC，∠MPB=∠ADB，根据等腰三角形的性质即可得到结论．此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4.【答案】BE，DF BE DF【解析】解：连接BE，DF，∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．此题的答案不唯一．可以连接BE，DF或连接BF，DE．根据平行四边形的性质和已知条件证明全等三角形，从而证明BE=DF或BF=DE．此题是一道开放性试题．能够根据平行四边形是中心对称图形，发现怎样连接所得的两条线段一定相等．5.【答案】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AEF和△CED中，∵{∠AFE=∠CDE ∠AEF=∠CED AE=CE，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB ∥CD ，即AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）∵AB ∥CD ，∴△GBF ∽△GCD ，∴GB GC =BF CD ，即33+6=32CD ，解得：CD =92，∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF =CD =92，∴AB =AF +BF =92+32=6．【解析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．（1）由E 是AC 的中点知AE =CE ，由AB ∥CD 知∠AFE =∠CDE ，据此根据“AAS ”即可证△AEF ≌△CED ，从而得AF =CD ，结合AB ∥CD 即可得证；（2）证△GBF ∽△GCD 得GB GC =BF CD ，据此求得CD =92，由AF =CD 及AB =AF +BF 可得答案．6.【答案】解：（1）AD =AB +DC ；（2）AB =AF +CF ，证明：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G ，∵E 是BC 的中点，∴CE =BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE =∠G ，在△AEB 和△GEC 中，{∠BAE =∠G ∠AEB =∠GEC BE =CE，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB =GC ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG =∠FAG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠G ，∴∠FAG =∠G ，∴FA =FG ，∴AB =CG =AF +CF ；（3）AB =23（CF +DF ），证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，∵AB ∥CF ，∴△AEB ∽△GEC ，∴AB CG =BE EC =23，即AB =23CG ，∵AB ∥CF ，∴∠A =∠G ，∵∠EDF =∠BAE ，∴∠FDG =∠G ，∴FD =FG ，∴AB =23CG =23（CF +DF ）．【解析】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，{∠BAF=∠F∠AEB=∠FEC BE=CE，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）见答案；（3）见答案.【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=23CG，计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．7.【答案】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB.∵DE=OF,∴EF=OD=12BD=4.(2)S 1+S 2的值不变.理由如下:连接AF .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO =OC .∴S △AOF =S △COF .∵DE =OF ,∴S △ADE =S △AOF =S △COF .∴S 1+S 2=S △AEF =S △AOD .∵∠BCO =90∘,∠BOC =60∘,∴∠DAC =90∘,∠AOD =60∘.∴AO =12OD =2.在Rt △AOD 中,AD =√OD 2−AO 2=2√3.∴S 1+S 2=S △AOD =12AD ⋅AO =12×2√3×2=2√3.【解析】略8.【答案】（1）证明：∵∠A =∠F ，∴DE ∥BC ，∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF ，∴∠DMF =∠2，∴DB ∥EC ，则四边形BCED 为平行四边形；（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN =∠CBN ，∵EC∥DB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=DE=2．【解析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9.【答案】(1)证明：∵DF//AB，DE//AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵DF//AB，∴∠FDC=∠B，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴DE+DF=AF+CF=AC.(2)题图 ②中，AC+DF=DE；题图 ③中，AC+DE=DF.(3)2或10.【解析】略10.【答案】（1）证明：连接CD 交AE 于F ，∵四边形PCOD 是平行四边形，∴CF =DF ，OF =PF ，∵PE =AO ，∴AF =EF ，又CF =DF ，∴四边形ADEC 为平行四边形；（2）解：当点P 运动的时间为32秒时，OP =32，OC =3，则OE =92，由勾股定理得，AC =√OA 2+OC 2=3√2，CE =√OC 2+OE 2=32√13， ∵四边形ADEC 为平行四边形，∴周长为（3√2+32√13）×2=6√2+3√13．【解析】（1）连接CD 交AE 于F ，根据平行四边形的性质得到CF =DP ，OF =PF ，根据题意得到AF =EF ，又CF =DP ，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据题意计算出OC 、OP 的长，根据勾股定理求出AC 、CE ，根据平行四边形的周长公式计算即可．本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．11.【答案】解：（1）S =ab -a -b +1；（2）当a =3，b =2时，S =6-3-2+1=2；【解析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；（2）将a =3，b =2代入（1）中即可；本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．12.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∠CAD=60°，∴AB=ACcos60∘=2AC，∵BD=AC，∴AD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP=√3，∴AC=APsin60∘=2，∴BC=AC×tan60°=2√3，（2）证明：连接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP=∠DEP，在△CPA和△DPE中{∠CAP=∠DEP ∠CPA=∠EPD CP=DP，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP=EP=12AE，DE=AC，∵BD=AC，∴BD=DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE=∠CAD=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE，∠EBD=60°，∵BD=AC，∴AC=BE，在△CAB和△EBA中{AC=BE∠CAB=∠EBA AB=BA，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE=BC，∴BC=2AP，（3）存在这样的m，m=√2．理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，由（2）同理可得DE=AC，∠EDB=∠CAD=45°，AE=2AP，当BD=√2AC时，∴BD=√2DE，∵∠EDB=45°，作BF⊥DE于F，∴BD=√2DF，∴DE=DF，∴点E，F重合，∴∠BED=90°，∴∠EBD=∠EDB=45°，∴BE=DE=AC，同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC=AE=2AP，∴存在m=√2，使得BC=2AP【解析】（1）证△ADC是等边三角形，P为CD中点，通过等边三角形三线合一，得到AP⊥CD，解三角形即可；（2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE，得出AP=EP=12AE，DE=AC，再证明△CPA≌△DPE，即可得出结论；（3）由（2）总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题．本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形函数的计算等知识，构造出全等三角形是解决（2）的关键，类比（2）来解决（3）是解决几何题常用的方法，体现了变中不变的思想．13.【答案】解：（1）在，理由如下：∵在y ＝﹣2x +3中，当x =1时，y =-2×1+3=1， ∴点E 在一次函数y =-2x +3的图象上；（2）①∵一次函数y =-13x +b 的图象经过E 点，∴1=-13+b ，∴b =43，∴y =-13x +43，当y =0时，x =4，∴点C （4，0），∴OC =4，∵一次函数y =-2x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴点A （32，0），点B （0，3），∴OB =3，OA =32，∴BC =√OB 2+OC 2=√16+9=5；②如图，取点D （0，-2），连接AD ，∴BD =BO +OD =5=BC ，∵AO =32，∴AC =4-32=52，AD =√AO 2+OD 2=√4+94=52， ∴AD =AC ，在△ABD 和△ABC 中，{AB =AB AD =AC BD =BC，∴△ABD ≌△ABC （SSS ），∴∠ABD =∠ABC ，∴AB 平分∠OBC ；③当点O ，点P 在直线AB 的同侧时，∵O 、P 到一次函数y =-13x +43的图象的距离相等， ∴OP 与直线y =-13x +43平行，∴k =-13，当点O ，点P 在直线AB 的异侧时，过点O 作OH ⊥CE 于H ，过点P 作PQ ⊥CE 于Q ，直线y =kx 交CE 于F ，∵O 、P 到一次函数y =-13x +43的图象的距离相等，∴OH =PQ ，又∵∠PFQ =∠OFH ，∠PQF =∠OHF ，∴△PQF ≌△OHF （AAS ），∴PF =OF ，∵直线y =kx 的图象与直线y =-2x +3的图象交于P 点，∴{y =kx y =−2x +3， ∴{x =3k+2y =3k k+2， ∴点P （3k+2，3k k+2），∴点F 坐标为[32(k+2)，3k 2(k+2)]，∵点F 在一次函数y =-13x +43上，∴3k 2(k+2)=-13×32(k+2)+43， ∴k =13，经检验k 的值是此分式方程的根，综上所述：k =-13或13．【解析】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．（1）将点E 坐标代入解析式可求解；（2）①分别求出点B ，点C 坐标，由勾股定理可求解；②由“SSS ”可证△ABD ≌△ABC ，可得∠ABD =∠ABC ，可得结论；③分两种情况讨论，全等三角形的性质和平行线的性质可求解．14.【答案】解：（1）PM =PN ；PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由：如图2，连接BD ，CE ，由旋转知，∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，利用三角形的中位线得，PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，利用三角形的中位线得，PM // CE ，∴∠DPM ＝∠DCE ，利用三角形的中位线得，PN // BD ，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB +∠PNC ＝∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCE +∠DCB +∠DBC＝∠BCE +∠DBC ＝∠ACB +∠ACE +∠DBC＝∠ACB +∠ABD +∠DBC ＝∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB +∠ABC ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；（3）如图3，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，∴DE // BC 且DE 在顶点A 上面，∴MN 最大＝AM +AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，DE ＝2，∠DAE ＝90°，∴AM ＝1，在Rt △ABC 中，BC ＝6，AN ＝3，∴MN 最大＝1+3＝4，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×42＝4．【解析】【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM =12CE ，PN =12BD ，解（2）的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，解（3）的关键是判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，是一道中考常考题．（1）利用三角形的中位线得出PM =12CE ，PN =12BD ，进而判断出BD =CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM ∥CE 得出∠DPM =∠DCA ，最后用互余即可得出结论；（2）连接BD ，CE ，先判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD =CE ，同（1）的方法得出PM =12BD ，PN =12BD ，即可得出PM =PN ，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大=AM +AN ，最后用面积公式即可得出结论.【解答】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN ∥BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，∴PM ∥CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴BD =CE ，∴PM =PN ，∵PN ∥BD ，∴∠DPN =∠ADC ，∵PM ∥CE ，∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°，∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM ⊥PN ，故答案为：PM =PN ，PM ⊥PN ，（2）见答案；（3）见答案. 15.【答案】α【解析】（1）证明：如图1，∵∠ACB =∠DCE =α，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，{CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）解：如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAC+∠ABC=180°-α，∴∠BAM+∠ABM=180°-α，∴∠AMB=180°-（180°-α）=α；（2）△CPQ为等腰直角三角形，理由如下：如图2，由（1）可得，BE=AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，{CA=CB∠CAP=∠CBQ AP=BQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD；（2）由三角形内角和定理可求解；（3）由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．16.【答案】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=1（180°-30°）=75°，2∴∠ADE=90°-75°=15°；（2）证明：连接AD，如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=1AC，2∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，∴AB=1AC，2∴BF=AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，则∠DFC=∠ABC=90°，∠FDC=∠ACB=30°，DC=AC，∴△CFD≌△ABC(AAS)，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【解析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．（1）如图1，利用旋转的性质得CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余计算出∠ADE的度数；AC，利用含30度的直角三（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=12AC，则BF=AB，再根据旋转的性质得到∠BCE=∠ACD=60°，角形三边的关系得到AB=12CB=CE，DE=AB，从而得到DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF=BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．17.【答案】解： (1) ①1. ②4.2BC.(2)猜想:AD=12证明:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接B'E,C'E.∵AD是△ABC的“旋补中线”,∴B'D=C'D,∴四边形AB'EC'是平行四边形,∴EC'//B'A,EC'=B'A,∴∠AC'E+∠B'AC'=180∘.由旋补三角形的定义可知∠B'AC'+∠BAC=180∘,B'A=BA,AC=AC',∴∠AC'E=∠BAC,EC'=BA,∴△AC'E≌△CAB,∴AE=CB.∵AD=1AE,2∴AD=1BC.2【解析】略18.【答案】解：（1）7；40；（2）如图②中，∵四边形ABB'C'是矩形，∴∠BAC'=90°．∴θ=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=90°-30°=60°．在Rt△ABB'中，∠ABB'=90°，∠BAB'=60°，∴n=AB′=2；AB（3）如图③中，∵四边形ABB'C'是平行四边形，∴AC'∥BB'，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC'=∠ACB=72°∴∠C'AB'=∠AB'B=∠BAC=36°，∴θ=∠BAB'=72°，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△B'BA，∴AB2=CB•B'B=CB•（BC+CB′），∵CB'=AC=AB=B'C'，BC=2，∴AB2=2•（2+AB）∴AB=1+√5或1-√5（舍），∵AB＞0，∴B 'C '=AB =1+√5，∴n =B′C′BC =√5+12．【解析】解：（1）如图①中，设直线BC 与直线B 'C '的交点为H ，AB '交BH 于O ．∵△ABC ∽△AB 'C '，AB ：AB '=√7，∴S △ABC ：S △AB 'C '=7，∵∠B =∠B '，∠AOB =∠HOB '，∴∠OHB =∠BAO =40°，故答案为：7，40;（2）见答案；（3）见答案.【分析】（1）根据变换[40°，√7]的定义，即可解决问题．（2）想办法求出∠CAC '，以及AC′AC 的值即可．（3）想办法求出∠BAB '，以及B′C′BC 的值即可本题考查四边形综合题、相似三角形的性质、一元二次方程、变换[θ，n ]的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19.【答案】(1)证明:由翻折的性质可得∠GAH =12∠DAC ,∠ECF =12∠ACB .∵四边形ABCD 是长方形,∴DA //BC ,AB //CD ,∠B =90∘.∴∠DAC =∠ACB .∴∠GAH =∠ECF .∴AG //CE .又∵AE //CG ,∴四边形AECG 是平行四边形.(2)解:由翻折的性质可得BC =CF =3 cm ,BE =EF ,∠B =∠CFE =90∘.在Rt △ABC 中,根据勾股定理得AC =5 cm ,∴AF =2 cm .设EF =BE =x cm ,则AE =(4-x )cm ,在Rt △AEF 中,根据勾股定理得AE 2=AF 2+EF 2,即(4−x)2=22+x 2.解得x =32.∴线段EF 的长为32 cm .【解析】略20.【答案】解：（1）在Rt △ABC 中，∵AB =2，BC =2AB =4，∴AC =√AB 2+BC 2=√22+42=2√5，设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABC =12AB ·BC =12AC ·h ， ∴2×4=2√5h ， ∴h =4√55, 即点B 到AC 的距离为4√55. （2）证明：延长BH 到F 点，使HF =BH ，连FE ，延长BC 、FE 交于点G ，连BD 、DF . ∵HF =BH ，∠EHF =∠AHB ，EH =AH ，∴△EHF ≌△AHB ，∴EF=AB，∠FEH=∠BAH，∴EF∥AB，由Rt△ABC≌Rt△DCE可得CD=AB，∴EF=CD，∵EF∥AB，∴∠ABC=∠FGC=90°，∵∠CDE=90°，∠CKD=∠EKG，∠BCD=∠CDE+∠CKD，∠DEF=∠FGC+∠EKG，∴∠BCD=∠DEF，又∵EF=CD，BC=DE，∴△BCD≌△DEF，∴DB=DF，∵HF=BH，∴DH⊥BH；（3）√5−1⩽PH⩽√5+1.【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理、三角形中位线的性质、三角形三边关系，解题关键是掌握旋转的概念和性质. （1）在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC，再由三角形的面积公式列式可以求出点B 到AC的距离；（2）延长BH到F点，使HF=BH，连FE，延长BC、FE交于点G，连BD、DF.先证明△EHF≌△AHB，得出EF=AB，EF∥AB，进而证明∠BCD=∠DEF，再证明△BCD≌△DEF，得出DB=DF，由等腰三角形的三线合一即可证明结论；AD，根据三角形三边关系可知：当Rt△DCE （3）连AD，由三角形中位线的性质可得PH=12绕点C顺时针旋转的过程中，点D运动到AC的延长线上时，有AD=AC+CD，此时线段AD最长，PH也最长；当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，点D运动到线段AC上时，有AD =AC -CD ，此时线段AD 最短，PH 也最短；据此可以求出PH 的取值范围.【解答】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）如下图1，连AD ，∵P 是DE 中点，H 是AE 中点，∴PH =12AD ，由题意得：AC =2√5，CD =AB =2，在△ACD 中，AD < AC +CD ，当Rt △DCE 绕点C 顺时针旋转的过程中，点D 运动到AC 的延长线上时（如下图2），有AD =AC +CD ，此时线段AD 最长，PH 也最长，所以PH 的最大值=12AD =12（AC +CD ）=12（2√5+2）=√5+1；当Rt △DCE 绕点C 顺时针旋转的过程中，点D 运动到线段AC 上时（如上图3），有AD =AC -CD ，此时线段AD 最短，PH 也最短，所以PH 的最小值=12AD =12（AC -CD ）=12（2√5-2）=√5−1，因此PH 的取值范围为√5−1⩽PH ⩽√5+1.故答案为√5−1⩽PH ⩽√5+1.。

2020-2021学年苏科版八年级数学下册第九章中心对称图形—平行四边形压轴题提优复习(一)

八年级数学苏科版下册《中心对称图形—平行四边形》压轴题提优复习（一）1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC 于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE＝，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．2．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线交AD于E，交BC于F，连接BE、DF．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）若AB＝8，AD＝16，求BE的长．3．已知：如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF⊥AC，交AD，AB于点F，H．求证：CF＝CH．4．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE ＝OF．求证：AE＝BF．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．7．已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线，延长AC至F，反向延长AC至E，使AE ＝CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．8．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．（1）求证：AN＝BN；（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．9．如图，已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且EB＝FD．求证：四边形AECF是平行四边形．10．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD 于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．11．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．12．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，求AC．13．如图，已知点C为线段AB上一点，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．15．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．2．解：（1）四边形BEDF是菱形；理由如下：∵EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，BF＝DF，∴∠EBD＝∠EDB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBF＝∠EDB，∴∠EBD＝∠DBF，∵BD⊥EF，∴BE＝BF，∴BE＝DE＝DF＝BF，∴四边形BEDF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，由（1）知：BE＝DE设BE＝DE＝x，则AE＝AD﹣x＝16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，∴BE的长为10．3．证明：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠FAE＝∠HAE＝45°，∵EF⊥AC，∴∠FEA＝∠HEA＝90°，∴∠AFE＝∠FAE＝45°，∴AE＝FE，同理可证：AE＝HE，∴EF＝EH，∴AC是FH的垂直平分线，∴CF＝CH．4．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS）∴AE＝BF．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AE，∵AB＝BE，∴CD＝BE，CD∥BE，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：过D作DH⊥AE于H，∵AB＝BD＝4，∴BE＝AB＝4，∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，∴BH＝3，∴DH＝＝＝，∴平行四边形BECD的面积＝BE•DH＝4×＝4．7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，且AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．8．解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA＝OB，∵AN∥BD，BN∥AC，∴四边形OANB是平行四边形，∵OA＝OB，∴▱OANB是菱形，∴AN＝BN，（2）由（1）可知：BN＝OB＝OD，∴BD＝2BN，∵DN⊥NB，∴∠DNB＝90°，∴∠BDN＝30°，∵BN∥AC，∴∠DFO＝∠DNB＝90°，∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．答：∠DOC的度数为120°．9．证明：∵平行四边形ABCD，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴BO﹣BE＝DO﹣DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．11．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△PAF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．12．解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∵∠AHB＝∠OHC，∴∠ABO＝∠ACO，在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝＝12，即AC＝12+4＝16．13．证明：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACN＝∠BCM＝90°，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．14．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS）．∴DC＝AF．∴AB＝AF；（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，∵∠BCD＝100°，∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，∵BC＝2AB，∴BF＝BC，∴BE平分∠CBF，∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°15．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝．。

八年级下册数学期末压轴题专辑(含解析-Word版)

--八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ＯＮ为∠AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PH⊥OB 于 H，交 ON 于点 Q,PM∥OB 交 ON 于点 M，ＭＤ⊥OB 于点 D，QR∥OB 交 MＤ于点Ｒ,连结 PR 交 QM 于点 S。

（1）求证:四边形 PQRM 为矩形;（2）若 OP= 1 PR,试探究∠ＡOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。

2(1)证明:∵PH⊥OB,MD⊥OB,∴PＨ∥MＤ， ∵PM∥OB,QＲ∥ＯB，∴PM∥QR,∴四边形 PQRM 是平行四边形，‫∵ﻫ‬PＨ⊥OB，∴∠PHO=90°, ∵ＰM∥ＯB,∴∠MPQ=∠ＰＨO=９０°，∴四边形 PＱRＭ为矩形; (２）∠AOB=3∠ＢON．理由如下:∵四边形ＰQRM 为矩形,∴PＳ＝ＳＲ=ＳQ= 1 ＰR，∴∠SQR=∠SRQ， 2又∵ＯＰ= 1 PR,∴ＯＰ＝PS,∴∠POＳ=∠PSO，‫∵ﻫ‬QＲ∥OB，∴∠SQＲ=∠BON， 2在△SQＲ中，∠PSO＝∠SQR＋∠SRQ=2∠SＱR=2∠BON，∴∠POS＝2∠BON， ∴∠AＯB＝∠POS+∠BON＝2∠BＯN+∠BＯN=3∠BＯＮ,即∠ＡOB＝3∠BON.2.如图，矩形 OAＢＣ在平面直角坐标系内(Ｏ为坐标原点),点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上,点 B 的坐标分别为（-２,2 3 ) ，点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上,且 AＨ＝ 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 交 2于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在ＨＧ上，并与 HG 上的点Ｄ重合，折痕为 EＦ，点 F 为折痕与 y 轴的交点。

（1)求∠ＣEF 的度数和点 D 的坐标; (2)求折痕ＥF 所在直线的函数表达式; (3）若点 P 在直线 EF 上，当△ＰFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个?请求出点Ｐ的坐标,并写出解答过程。

浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)

浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ．（1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ．（1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ，在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ，即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ．在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ，又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ，又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ，又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ，则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ，在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2）同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）．在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=，此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ，理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°，由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ；（3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为：过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。

期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题-【微专题】八年级数学下册常考点微专题提分精练

八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题1. （1）问题背景：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，BE ＝DF ，M 为AF 的中点，求证：①∠BAE ＝∠DAF ；②AE ＝2DM ．（2）变式关联：如图2，点E 在正方形ABCD 内，点F 在直线BC 的上方，BE ＝DF ，BE ⊥DF ，M 为AF 的中点，求证：①CE ⊥CF ；②AE ＝2DM ．（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 在线段BC 上，F 在线段BD 上，BE ＝DF ，直接写出()2AE AF +的最小值．2. 已知：正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，连接CE ，作EF CE ⊥交AB 于点F ．（1）如图（1），求证：CE EF =；（2）如图（2），作EM BD ⊥交AD 于点M ，连接BM ，求证：BM =；（3）如图（3），延长CE 交DA 于点N ，若BE =6AN =，则CE =_________．3. 已知，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，6AB =，E 、F 分别为AD 、CD 上一点．（1）如图1，若60EBF ∠=︒，求证：AE DF =；（2）如图2，E 为AD 中点，1DF =，线段EG 交BC 于G ，FH 交AB 于H ，60EOF ∠=︒，若BH x =，CG y =．①求y 与x 之间的函数关系式；②若6x y +=，则HF =______．4. （1）问题背景：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CB CD ⊥交AB 的延长线于F 求证：CE CF =；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB 、EF 交于M ，请探究DM 、BM 与BF 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB 和CE 交于点N ，连接CM 并延长交AB 于点P ，已知DE =，15DME ∠=︒，直接写出PB 的长________．5. 正方形ABCD 的边长为4．（1）如图1，点E 在AB 上，连接DE ，作AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．①求证：DF CG =；②如图2，对角线AC ，BD 交于点O ，连接OF ，若3AE =，求OF 的长；（2）如图3，点K 在CB 的延长线上，2BK =，点N 在BC 的延长线上，4CN =，点P 在BC 上，连接AP ，在AP 的右侧作PQ AP ⊥，PQ AP =，连接KQ ．点P 从点B 沿BN 方向运动，当点P 运动到BC 中点时，设KQ 的中点为1M ，当点P 运动到N 点时，设KQ 的中点为2M ，直接写出12M M 的长为________．6. 如图，已知四边形ABCD ，∠A ＝∠C ＝90°，BD 是四边形ABCD 的对角线，O 是BD 的中点，BF 是∠ABE 的角平分线交AD 于点F ，DE 是∠ADC 的角平分线交BC 于点E ，连接FO 并延长交DE 于点G ．（1）求∠ABC +∠ADC 的度数；（2）求证：FO ＝OG ；（3）当BC ＝CD ，∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°时，求证：DM ＝2AB7. 如图，已知在ABC 和ADE 中，AB AC =．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AD AE =，4AC =，3CE =，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，若60BAC DAB ∠=∠=︒，AD AB =，E 、F 分别为BC AB 、边上的动点，CF 与AE 相交于点M ，BCF CAE ≌，连接DM ，点N 是DM 的中点，证明：2AM CM AN +=；（3）在（2）的条件下，G 是AC 的中点，1AC =，连接GE ，H 是ABC 所在平面内一点，连接HE HG 、，HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，连接HD ，求HD 的最小值．8. 在□ABCD 中，对角线AC AB =，且AC AB ⊥，E 为CD 边上一动点，连接BE 交AC 于点F ，M 为线段BE 上一动点，连接AM ．（1）如图1，若8AB =，2CF =，M 为BF 的中点，求AM 的长；（2）如图2，若M 在线段BF 上，45AME ∠=︒，作CN AM ∥交BE 于点N ，连接AN ，求证：AN AB =；（3）如图3，若M 在线段EF 上，将△ABM 沿着AM 翻折至同一平面内，得到AB M ' ，点B 的对应点为点B '．当30ABE ∠=︒，90BMB '∠=︒时，请直接写出B M EM AM'-的值．9. 在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，连接AC 、AF 、EF ．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，若CE CF =，5AF =，6EF =，求AG 的长；（2）如图2，若60ABC ∠=︒，DAF EFC ∠=∠，求证：BE CF =；（3）如图3，在（2）的条件下，将BEF △沿BF 翻折至同一平面内，得到BE F ' ，连接CE '与BF 交于点O ，记CEF △、CE F ' 、BCF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，当O 为BF 中点时，请直接写出3213S S S -的值．10. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ．（1）如图1，点F 为DE 的中点，连接AF ，若BE AE =，求FAD ∠的度数；（2）如图2，BEM △是等边三角形，连接DM ，H 为DM 的中点，连接AH ，猜想线段AH 与AE 之间的数量关系，并证明．（3）在（2）的条件下，N 为AD 的中点，连接AM ，以AM 为边作等边 AMP ，连接PN ，若AD =PN 的最小值．11. 问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．12. 矩形ABCD 中，将矩形沿AE 、AG 翻折，点B 的对应点为点F ，点D 的对应点为点Q ，A 、F 、Q 三点在同一直线上．（1）如图1，求EAG ∠的度数；（2）如图2，当AB BC =时，连接BD ，交AE 、AG 于点M 、N ，若3BM =，4DN =，求MN 的长度；（3）如图3，当8AB =，9AD =时，连接EG ，45GEC ∠=︒，求BE 的长．13. 如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在CD 边上运动（不与点C 、D 重合）．过点B 作AE 的平行线交DC 的延长线于点F ，过点D 作AE 的垂线DN 分别交于AE ，BF 于点M 、N ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形；（2）若13DE DC =，求线段MN 的长；（3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．14. （1）如图1，在正方形ABCD 中，AE ，DF 相交于点O 且AE ⊥DF ．则AE 和DF 的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边AD ，BC ，CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF ＝BG ．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE ＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．15. 已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且BP ．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．（1）如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；（2）当∠FPB＝60°时，求△BEP的面积；（3）当△BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．16. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D 不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．=-．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF BC CD（2）如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；（3）如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．18. 在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC 的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）8【解析】【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF （SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出2AP则可得出答案．【详解】解：（1）问题情景：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∵M为AF的中点，AF，∴DM=12∴AE=AF=2DM；（2）变式关联：①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，CD=CB，∵BE⊥DF，∴∠BGD=∠BCD=90°，∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE=∠CDF，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，∴CE⊥CF；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，∵M为AF的中点，∴AM=MF，∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)，∴AN=DF，∵△CBE ≌△CDF ，∴BE =DF =AN ，∠NAM =∠DFM ，∴AN ∥DF ，∴∠DAN +∠ADF =180°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°，AB =DA ，∵∠BGD =90°，∴∠ABE +∠ADF =180°，∴∠ABE =∠DAN ，∴△ABE ≌△DAN (SAS)，∴AE =DN =2DM ；（3）拓展应用：过点D 作DP ⊥DF ，且使PD =AB ，连接PF ，PA ，过点P 作PQ ⊥AD ，交AD 的延长线于点Q ，∴△ABE ≌△PDF (SAS)，∴AE =PF ，∵∠ADB =45°，∴∠PDQ =45°，DQ =PQ ，∴AF +AE =AF +PF ≥AP ，即当A ，F ，P 三点共线时，AE +AF 的最小值为AP ，∵AD =AB =DP =2，∴PQ =DQ ，∴(2222228AP AQ QP =+=++=+∴()2AE AF +的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【2题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，由“ASA ”可证△ECH =△EFG ，可得CE =EF ；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AD 于Q ，EG ⊥AB 于G ，交CD 于P ，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF 是等腰直角三角形，从而得到CF =，再证得四边形AGPD 是矩形，四边形DQHC 是矩形，四边形DQEP 是矩形，从而得到DQ =QM =GF =AG ，由“SAS ”可证△ABM ≌△BCF ，可得BM =CF ，可得结论；（3）过点E 作GE ⊥AB 于点G ，EQ ⊥AD 于点Q ，可得△EGB 是等腰直角三角形，进而得到BG =EG =7，再根据四边形AGEQ 是矩形，可得AQ =EG =7，从而得到QN =1，再由勾股定理列出方程可求EF 的长．【小问1详解】证明：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD =∠CBD =45°，∵EG ⊥AB ，EH ⊥BC ，∠ABC =90°，∴四边形FGBH 是正方形，∴GE=EH，∠GEH=90°，∴∠CEF=∠GEH=90°，∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，在△ECH和△EFG中，∵∠CEH=∠GEF，EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，∴△ECH≌△EFG（ASA），∴CE=EF；【小问2详解】证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴PG⊥CD，QH⊥AD，∵CE=EF，CE⊥EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF ，∵PG⊥AB，QH⊥AD，∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，∴DQ=CH，DP=AG，∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，∴EP=EQ，∴四边形DPEQ是正方形，∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，∵△ECH≌△EFG，∴GF=CH=DQ，∵ME⊥BD，∠ADB=45°，∴△DEM是等腰直角三角形，∵EQ⊥AD，∴DQ=QM，∴DQ=QM=GF=AG，∴DM=AF，∵AD=AB，∴AM=BF，又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，∴△ABM≌△BCF（SAS），∴BM=CF，∴BM=；【小问3详解】解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，由（2）得：AG=GF=QE，∵EG⊥AB，∠ABD=45°，∴△EGB是等腰直角三角形，∵BE=，∴BG=EG=7，∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，∴四边形AGEQ是矩形，∴AQ=EG=7，∵AN =6，∴QN =1，∵22222NF EN EF AN AF =+=+，222EN QE QN =+，222EF EG GF =+，∴222364149GF GF GF +=+++，∴27GF =，∴249756EF =+=，∴EF CE ==．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【3题答案】【答案】（1）证明见解析（2）①4y x =+；②【解析】【分析】（1）连接DB ，由菱形的性质得出∠ABD =∠BDC =60°，60,A C ∠=∠=︒证出△ABD 为等边三角形， AB =BD ，证明△ABE ≌△DBF （ASA ），由全等三角形的性质可得出结论；（2）①过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，证明四边形BMEG 为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG =EM =6-y ，得出AM =y -3，同理DN =1+x ，由（1）得AM =DN ，得出y -3=x +1，则可得出答案； ②过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由题意求出x =1，y =5，得出BH =1，CG =5，由直角三角形的性质求出AM =3，由勾股定理求出答案即可．【小问1详解】证明：如图1，连接DB ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，∴∠ABD =∠BDC =60°，,,AB CD AD BC ∥∥60,A C ∴∠=∠=︒∴△ABD 为等边三角形，∴AB =BD ，∵∠EBF =60°，∴∠ABE =∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中， ,ABE DBF AB BD A BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DBF （ASA ），∴AE =DF ；【小问2详解】解：①如图2，过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，∵,AD BC BM EG ∥∥，∴四边形BMEG 为平行四边形，而6,,,AB BC CD AD CG y BH x ====== ∴BG =EM =6-y ，∵E 是AD的中点，∴3,AE DE ==∴AM =y -3，同理DN =1+x ，∵BN HF ∥，∴∠EOF =∠EIN =60°，∵BM EG ∥，∴∠MBN =∠EIN =60°，由（1）得，AM =DN ，∴y -3=x +1，∴y =x +4；②如图3，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由①知y =x +4，又∵x +y =6，∴x =1，y =5，∴BH =1，CG =5，∵DM ⊥AB ，AB CD ∥，∴DM ⊥CD ，∴四边形MDFN 为矩形，∴DM =NF ，DF =MN =1，∵∠A =60°，AD =6，∴AM =12AD =3，∴DM ==，∵AB =6，∴NH =AB -AM -MN -BH =6-3-1-1=1，∴HF ===，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．【4题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝BMBF；（3【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；（3）由直角三角形的性质可得AFAE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE和△CBF中，D CBF DC BCDCE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△CDE≌△CBF（ASA），∴CE＝CF；（2）DM＝BMBF，理由如下：如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠FBH＝45°，∵FH⊥AB，∴∠FBH＝∠H＝45°，∴BF＝FH＝DE，∴BH BF，∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，∴△DME≌△HMF（AAS），∴DM＝MH，EM＝MF，∴DM＝MB＋BH＝MB BF；（3）连接EP，∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，∴∠AFE＝30°，∴AF，∴AB＋BF AB−DE），∴AB ＋=-+，∴AB ＝，∴AE ＝，AF ＝，∵EC ＝CF ，∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴CP 是EF 的垂直平分线，∴EP ＝PF ，∵PE 2＝AE 2＋AP 2，∴PF 2＝24＋（−PF ）2，∴PF ＝，∴PB +，【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）①见解析；（2）【解析】【分析】（1）①证明△ADF ≌△DCG ，即可求证；②连接OG ，由①得：△ADF ≌△DCG ，可得AF =DG ，可证得△AOF ≌△DOG ，从而得到OG =OF ，∠DOG =∠AOF ，进而得到△FOG 为等腰直角三角形，可得到OF FG =，再由1122ADE S AE AD AF DE =⨯=⨯ ，求出125DG AF ==，从而得到165DF =，进而得到FG = 45，即可求解；（2）取CK 的中点Y ，连接MY ，CQ ，可得12YM CQ =，从而得到点M 的运动轨迹为线段YM ，然后分别计算出当点P 运动到BC 中点时，当点P 运动到N 点时，YM 1，YM 2的长，即可求解．【小问1详解】①证明：在正方形ABCD 中，AD =CD ，∠DAB =∠ADC =90°，∴∠ADF +∠CDG =90°，∵AF D E ⊥，CG DE ⊥，∴∠AFD =∠CGD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠DAF =∠CDG ，∴△ADF ≌△DCG ，∴DF =CG ；②解：如图，连接OG ，在正方形ABCD 中，OA =OD ，∠BAO =∠ADO =45°，∠AOD =∠BAD =90°，∴∠DAF +∠EAF =90°，∠EAF +∠OAF =∠ODG +∠ADF =45°，由①得：△ADF ≌△DCG ，∴AF =DG ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠ADF =∠EAF ，∴∠OAF =∠ODG ，在△AOF 和△DOG 中，∵AF =DG ，∠OAF =∠ODG ，OA =OD ，∴△AOF ≌△DOG ，∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，∴△FOG为等腰直角三角形，∴FG==，∴OF FG=，在Rt AED△中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，∴5DE=，∵AF⊥DE，∴1122ADES AE AD AF DE=⨯=⨯，∴125 DG AF==，∴165 DF=，∴FG=DF-DG=45，∴OF==；【小问2详解】解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，∵点M为KQ的中点，∴12YM CQ=，YM∥CQ，∴点M的运动轨迹为线段YM，如图，当点P运动到BC中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPJ=90°，∴∠BAP=∠QPJ，∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，∴△ABP≌△PJQ，∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，∴CJ=2，∴CQ==YM=∴1如图，当点P运动到N点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，同理：△ABP≌△PLQ，∴QL=BP=8，PL=AB=4，∴CL=8，∴CQ ==，∴2YM =，∴12M M 的长为21YM YM -==．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）180°（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）在四边形ABCD 中，内角和为360°，因为∠A ＝∠C ＝90°，所以∠ABC +∠ADC ＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF +∠CBF +∠ADE +∠CDE ＝180°，根据BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线，得到∠ABF +∠ADE ＝90°，由∠ABF +∠AFB ＝90°，得∠ADE ＝∠AFB ，求出BF ∥ED ，所以∠BFG ＝∠FGD ，得证BFO ∆≌DOG ∆，由此得出结论；（3）证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN ，易证BCD BKD ∆≅∆，所以BK ＝CD ，可证∆≅∆BAD NAD ，所以2=NB AB ，由22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，可证∆≅∆BKN MCD ，所以2==MD BN AB ；证法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ，可得∆≅∆BAD BND ，所以=AB NB ，再由∆≅∆LND BND 得=NB NL ，所以2=BL AB ，易证LBC MDC ∠=∠，则∆≅∆LCB MCD ，所以2==BL MD AB ．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 的内角和为360°，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ABC +∠ADC ＝180°．【小问2详解】证明：由（1）可知，∠ABF +∠CBF+∠ADE +∠CDE ＝180°，∵BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线∴∠ABF ＝∠CBF ；∠ADE ＝∠CDE ，∴2∠ABF +2∠ADE ＝180°，∴∠ABF +∠ADE ＝90°，又∵∠ABF +∠AFB ＝90°，∴∠ADE ＝∠AFB ，∴BF ∥ED ，∴∠BFG ＝∠FGD ．在BFO ∆和DOG ∆中BFO DGO BO ODBOF DOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆≅∆BFO DOG ，∴OF OG =；【小问3详解】证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN，∴四边形BCDK 是矩形，∵BC=CD ，∴四边形BCDK 是正方形，∴BCD BKD ∆≅∆，∴BK ＝CD ，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∠BDK ＝45°，∴∠ADN ＝22.5°=∠BDA ，在△BAD 和△NAD 中ADB ADN AD AD BAD NAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BAD NAD （ASA ）∴2=NB AB ，∵22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，在△BKN 和△MCD 中22.5ABK MDC BK CD BKN MCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BKN MCD （ASA ）∴2==MD BN AB ；解法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ．∵BC=CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∴∠BDM ＝22.5°，在△BAD 和△BND 中ADB BDN BD BDBAD BND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，BAD BND ∴∆≅∆（ASA ），AB NB ∴=，在△LND 和△BND 中90BND LDN ND ND BDN LDN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LND BND ∴∆≅∆（ASA ），NB NL ∴=，2BL AB ∴=，∴LBC MDC ∠=∠，在△LCB 和△MCD 中BCL BCD BC CD LBC MDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LCB MCD ∴∆≅∆（ASA ），2BL MD AB ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【7题答案】【答案】（1（2）证明见解析（312-【解析】【分析】（1）先证明45ABC ACB ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌，得到45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，则90CBD ∠=︒，求出BC =CD =；（2）如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，先求出60CAQ ∠=︒，再由已知条件得到AD AB AC AQ ===，即可证明ABC ACQ △，△都是等边三角形，得到60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，由全等三角形的性质得到CAE BCF ∠=∠，即可证明60CMH ∠=︒，推出MCH △是等边三角形，则60CM HM CH MCH ===︒，∠，证明QCM ACH △≌△得到QM AH =，再证明AN 是DMQ △的中位线，得到2QM AN =，即可证明2AM CM AN +=；（3）如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，根据轴对称的性质得到CG HG =，则12AG CG HG ===，由三角形三边的关系得到HD DG HG ≤-，则当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG -，过点G 作GT AD ⊥交DA延长线于T ，求出14AT =，TG =54DT =，即可求出DG =，则12HD =-最小值．【小问1详解】解：如图所示，连接BD ，∵90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AB AC =，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，又∵AD AE =，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，∴90CBD ∠=︒，∵4AC =，∴BC ==，∴CD ==【小问2详解】证明：如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60CAQ ∠=︒，∵AD AB =，AB AC =，∴AD AB AC AQ ===，∴ABC ACQ △，△都是等边三角形，∴60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，∵BCF CAE ≌，∴CAE BCF ∠=∠，∴60CMH CAE ACM BCF ACM ACB =+=+==︒∠∠∠∠∠∠，∴MCH △是等边三角形，∴60CM HM CH MCH ===︒，∠，∴MCH ACM ACQ ACM +=+∠∠∠∠，即QCM ACH =∠∠，∴()SAS QCM ACH △≌△，∴QM AH =，∵N 是DM 的中点，AD AQ =，∴AN 是DMQ △的中位线，∴2QM AN =，∴2AH AN =，即2AM MH AN +=，∴2AM CM AN +=；【小问3详解】解：如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，∵HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，∴CG HG =，∵G 是AC 的中点，∴1122AG CG HG AC ====，∴HD DG HG ≤-，∴当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG HG DG -=-，过点G 作GT AD ⊥交DA 延长线于T ，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60GAT =︒∠，∴30AGT =︒∠，∴1124AT AG ==，∴TG ==，54DT AD AT =+=，∴DG ==，∴12HD =-最小值．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）5；（2）证明过程见解析；（3）'B M EM AM-=．【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出AF 的长度，再用勾股定理求出BF 的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM 的长度即可；（2）过点A 作AG ⊥AM ，交BE 于点G ，连接CG ，先证出△ABM 和△ACG 全等，再证出BG ⊥CG ，再证出△ACG 和△ANG 全等，得到AC =AN ，即可得到结论；（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF 、AN 、MN 、AB 、AM 的长度，然后表示出BM 、EM 的长度，最后求出答案即可．【小问1详解】∵8AC AB ==，2CF =，∴826AF AC CF =-=-=，∵AC AB ⊥，∴在Rt ABF 中由勾股定理得：10BF ===，∵M 为BF 的中点，∴1110522AM BF ==⨯=．【小问2详解】作AG AM ⊥交BE 于点G ，连接CG ，∵AC AB ⊥，AG AM ⊥，∴1+3=90∠∠︒，2390∠+∠=︒，∴12∠=∠．∵45AME ∠=︒，∴AMG 为等腰直角三角形，∴AM AG =．在ABM 和ACG 中，∵12AB AC AM AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABM ≌ACG （SAS ），∴45∠=∠．∵67∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，∵//CN AM ，∴845AME ∠=∠=︒，∴CNG △为等腰直角三角形，∴GN CG =，∵45AGM ∠=︒，∴9135∠=︒，∴3609135AGC CGN ∠=︒-∠-∠=︒．在ACG 和ANG 中，∵9AG AG AGC CG NG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACG ≌ANG （SAS ），∴AC AN =，∴AN AB =．【小问3详解】'B M EM AM-=．解析：作AN BE ⊥于点N ，设FN a =，∵130∠=︒，90BMB '∠=︒，∴根据折叠知2690245∠=∠=︒÷=︒，又AN ⊥BE ，∴5360∠=∠=︒，430∠=︒，∴22AF FN a ==，在Rt △AFN 中根据勾股定理得AN ==，∴AN MN ==，同理AM ==，2AB AN ==，同理3BN a ==，'3B M BM BN NM a ==+=+．∵2222BE BF EF AF FC AC AB =+=+===，∴()26BM EM BM BE BM BM BE a -=--=-=-，∴'B M EM AM -==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．【9题答案】【答案】（1）4（2）证明见解析（3）16【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知AG EF ⊥，EG FG =，可得132FG EF ==，根据勾股定理即可求出AG 的长；（2）在AD 上截取DH DF =，连接FH ，则AH CF =，因为60ABC ∠=︒，所以120AHF ECF ∠=∠=︒，则可证AHF △≌FCE △（ASA ），所以CE HF DF ==，又因为BC =CD ，所以BE CF =；（3）延长CE '交AB 于点I ，连接FI ，则△BOI ≌△FOC ，所以BI =CF ，又因为BI ∥CF ，所以四边形ACFI 是平行形，BFI BFC S S =△△，由BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，设''BE I FE I S S x ==△△，则32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△，1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x =-=-=+=△△△△△△，代入计算可得321136-=S S S ．【小问1详解】解：∵在菱形ABCD 中，AC 平分BCD ∠，CE CF = ，∴AG EF ⊥，EG FG =．∵6EF =，∴116322FG EF ==⨯=在Rt AFG 中，90AGF ∠=︒，5AF =，∴4AG ===．【小问2详解】证明：在AD 上截取DH DF =，连接FH ．∵在菱形ABCD 中，DA DC =，∴DA DH DC DF -=-，即AH CF =．∵60ABC ∠=︒，∴60D ABC ∠=∠=︒．∴DFH 为等边三角形．∴60DHF ∠=︒．∴180********AHF DHF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵//AD BC ，∴180********BCD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴AHF ECF ∠=∠．在AHF △和FCE △中，∵DAF EFC AH FC AHF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AHF △≌FCE △（ASA ）．∴CE HF DF ==．∵BC DC =，∴BC CE DC DF -=-，即BE CF =．【小问3详解】321136-=S S S．解析：延长CE '交AB 于点I ，连接FI ．∵AB ∥CD ，∴∠ABF =∠BFC ，∵点O 是BF 的中点，∴BO =FO ，∵∠BOI =∠FOC ，∴△BOI ≌△FOC ，∴BI =FC ，∴四边形ACFI 是平行形，∴BFI BFC S S =△△，∵BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，∴''BE I FE I S S x ==△△．∴3BCF CFI S S S ==△△．∴32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△．∵BEF △沿BF 翻折至同一平面内得到BE F ' ，∴'BEF BE F S S =△△，∴1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x=-=-=+=△△△△△△∴32113326S S x S x -==⨯．【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．【10题答案】【答案】（1）30°；（2）AE＝2AH，证明见解析；（3【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN 长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，∵BE＝AE，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，∵点F为DE的中点，DE，∴AF＝DF＝12∴∠FAD＝∠ADB＝30°；【小问2详解】AE＝2AH，证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BEM是等边三角形，∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，∴∠ABM＝∠EBC，∴△AMB≌△CEB（SAS），∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴AD＝AC，∵AD＝AF，∴AF＝AC，∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，∴∠FAB＝∠ACB＝60°，∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，∴△FAM≌△ACE（SAS），∴MF＝AE，∵FA＝AD，H为DM的中点，MF，∴AH＝12∴AE＝MF＝2AH；【小问3详解】连接NC、PC、NP，∵△AMP为等边三角形，∴∠MAP＝60°，AM＝AP，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，∴△AMB≌△APC（SAS），∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，∵AC＝CD，N为AD的中点，∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，∵AD＝，∴DN＝12AD，∴NC DN＝3，∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，∴∠PNC＝30°，∴PC＝12NC＝32，∴PN PC PN．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【11题答案】【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【解析】【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和=90DAE ∠︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解；（2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠= ．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴= ≌．∴矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒= ，,ABH DAE AH DE ∴∴= ≌．又,DE AF AH AF =∴= ，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．∵四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆ ≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴= ．60,AHB AHF ∠=︒∴ 是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）45°（2）5（3）4【解析】【分析】（1）由折叠的性质得()290EAQ GAQ ∠+∠=︒，则45EAG EAQ GAQ ∠=∠+∠=︒；（2）连接MF ，NF ，BF ，DF ，由折叠的性质知AE 垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，则3BM MF ==，4DN NF ==，再求出90MFN ∠=︒，利用勾股定理可得答案；（3）设BE x =，则9EC x =-，()891DG CD GC x x =-=--=-，1QF =，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，证明四边形FQGH 是矩形，求出EH ，在Rt GHE 中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【小问1详解】解：由折叠的性质可知：BAE QAE ∠=∠，DAG QAG ∠=∠，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，90BAE QAE DAG QAG ∴∠+∠+∠+∠=︒，()290EAQ GAQ ∴∠+∠=︒，45EAG EAQ GAQ ∴∠=∠+∠=︒；【小问2详解】如图，连接MF ，NF ，BF ，DF ，若AB BC =，则四边形ABCD 是正方形，由题意可知点Q 与点F 重合，由折叠的性质可知：点B 与点F 关于AE 对称，点D 与点F 关于AG 对称，AE ∴垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，3BM MF ∴==，4DN NF ==，BD 为正方形ABCD 的对角线，1452MBE MFE ABC ∴∠=∠=∠=︒，1452NDG NFG ADC ∠=∠=∠=︒，18090MFN MFE NFG ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt MFN 中，由勾股定理得：5MN ==．【小问3详解】设BE x =，由题意可知：45GEC ∠=︒，90ECG ∠=︒，180EGC GEC ECG ∴∠=︒-∠-∠ 1804590=︒-︒-︒ 45=︒，GEC EGC ∴∠=∠，EC CG ∴=，ECG ∴ 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中，9BC AD ==，8CD AB ==，BE x = ，9EC GC BC BE x ∴==-=-，()891DG CD GC x x =-=--=-，)9EG x ∴==-，由折叠的性质可知：BE EF x ==，1DG QG x ==-，90AFE ABE ∠=∠=︒，90AQG ADG ∠=∠=︒，9AQ AD ==，8AF AB ==，1QF AQ AF ∴=-=，如图，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，则90FHG HFQ FQG ∠=∠=∠=︒，∴四边形FQGH 是矩形，1FH QG x ∴==-，1GH QF ==，121EH EF FH x x x ∴=+=+-=-，在Rt GHE 中，由勾股定理得：222GH EH EG +=，即)2221(21)9]x x +-=-，整理得：()()2040x x +-=，解得4x =或20(x =-舍去)，4BE ∴=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．【13题答案】【答案】（1）见解析（2）MN = （3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变，且45CND ∠=︒【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得出AB CD ，再根据AE BF ∥，即可证明四边形ABFE 是平行四边形；（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出AE =，再根据平行四边形的面积求出EF 的长即可；（3）在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，根据“SAS ”证明DGC BNC ≌，得出CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，说明△GCN 为等腰直角三角形，即可得出结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ，即AB EF ∥，∵AE BF ∥，∴四边形ABFE 是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴6AB BC CD AD ====，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，∵123DE DC ==，∴在Rt △ADE 中根据勾股定理得：AE ===，∵ABFE S AB BC AE MN =⨯=⨯ ，∴AB BC MN AE ⨯===【小问3详解】解：点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变；在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，如图所示：∵DN ⊥AE ，∴90DME ∠=︒，∵AE BF ∥，∴90DNF DME ∠=∠=︒，∴90F NDF ∠+∠=︒，∵18090BCF BCD ∠=︒-∠=︒，∴90F FBC ∠+∠=︒，∴NDF FBC ∠=∠，∵在△DGC 和△BNC 中DC BC CDG CBN DG BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DGC BNC ≌（SAS ），∴CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，∴90BCN BCG BCG DCG ∠+∠=∠+∠=︒，∴190452CND CGN ∠=∠=⨯︒=︒．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．【14题答案】【答案】（1）AE ＝DF ；（2）见解析；（3）CN 的长度为3【解析】【分析】（1）证明∠BAE =∠ADF ，则△ABE ≌△DAF （AAS ），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG =∠MEF ，证明△BCG ≌△EMF （ASA ），即可求解；（3）证明△EHF ≌△MGN （ASA ），则NG =HF ，而AE =2，BF =4，故NG =HF =4-2=2，进而求解．【详解】解：（1）∵∠DAO +∠BAE =90°，∠DAO +∠ADF =90°，∴∠BAE =∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中，BAE ADF ABE DAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AE =DF ，故答案为：AE =DF ；（2）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，则四边形ABME 为矩形，则AB =EM ，在正方形ABCD 中，AB =BC ，∴EM =BC ，∵EM ⊥BC ，∴∠MEF +∠EFM =90°，∵BG ⊥EF ，∴∠CBG +∠EFM =90°，。

八年级下册四边形选择填空压轴题

八年级下册四边形选择
填空压轴题
work Information Technology Company.2020YEAR
八年级下册四边形选择填空压轴题
1．一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体
a°（1＜a＜180），照这样走下去，如
果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于
2.如图，已知正方形ABCD的面积为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则
DE长为
第2题第3题
3.设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF．再以对
角线AE为边作第三个正方形，如此下去…
（1）记正方形ABCD的边长为a1=1．按照上述方法所作的正方形边长依次记为a2，a3，
a4，…，请写出a2，a3，a4的值；
（2）根据以上规律，请你写出用含字母n的代数式表示第n个正方形的边长．
4. 如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等
分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的
平面图形一定是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
如图，△中，∠＝°，以斜边为边向外作正方形，且正方形对角线交于点
O，连接OC，已知AC＝5，，则另一直角边BC的长为________．
2。

(完整版)八年级下册数学几何压轴题

八年级下册数学几何压轴题1.如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是---------------------；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是-----------------------------；2.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm.射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为--------------------s时，四边形ACFE是菱形；②当t为何值时，EF⊥BC，并加以说明；3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°；⑴求BE、QF的长；⑵求四边形PEFH的面积；4.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，∠DBC=30°，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D 运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．5如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．6如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）当点P在AB、CD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．8..问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN.当CE1AM的值.=时，求CD2BNAM方法指导：为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设AB＝2BN类比归纳：在图1中，若则CE1AM CE1AM CE1的值等于---------；若的值等于--------------；若=，则=，则=(n为整数)，CD3BN CD4BN CD n AM的值等于--------------------- (用含n的式子表示)BNAB1CE1AM的值等于-----------------；（用含m，n的式子表示）=(m＞1)，=，则BC m CD n BN联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设。

平行四边形压轴题20道

平行四边形压轴题20道平行四边形是初中数学中一个重要的概念，其在几何中的应用非常广泛。

下面是 20 道有关平行四边形的初中奥数题，其中包括一些难题和压轴题。

1. 一个平行四边形的对角线相交于一点，那么这个点的坐标是多少？2. 一个三角形的三个顶点坐标都是公理，那么这个三角形是不是平行四边形？3. 一个矩形的对角线相等，并且矩形的两条边长之和等于第三边的长，那么这个矩形的周长是多少？4. 已知平行四边形的一边长为 3，另一边长为 5，那么这个平行四边形的对角线长是多少？5. 已知三角形的两边长分别为 3 和 5，那么这个三角形的第三边长是多少？6. 一个矩形的对角线相交于一点，那么这个点的坐标是多少？7. 已知平行四边形的一边长为 4，另一边长为 6，那么这个平行四边形的周长是多少？8. 已知三角形的两边长分别为 4 和 5，那么这个三角形的第三边长是多少？9. 一个平行四边形的对角线相等，并且平行于另外两条对角线，那么这个平行四边形的面积是多少？10. 已知矩形的一边长为 3，另一边长为 5，那么这个矩形的对角线长是多少？11. 一个矩形的对角线相交于一点，那么这个点的坐标是多少？12. 已知平行四边形的一边长为 3，另一边长为 4，那么这个平行四边形的周长是多少？13. 已知三角形的两边长分别为 3 和 4，那么这个三角形的第三边长是多少？14. 一个矩形的对角线相交于一点，那么这个点的坐标是多少？15. 已知平行四边形的一边长为 3，另一边长为 4，那么这个平行四边形的面积是多少？16. 已知三角形的两边长分别为 3 和 4，那么这个三角形的面积是多少？17. 一个矩形的对角线相等，并且平行于另外两条对角线，那么这个矩形的面积是多少？18. 已知矩形的一边长为 4，另一边长为 6，那么这个矩形的周长是多少？19. 一个矩形的对角线相交于一点，那么这个点的坐标是多少？20. 已知平行四边形的一边长为 4，另一边长为 6，那么这个平行四边形的周长是多少？以上 20 道平行四边形的初中奥数题，有些难度较高，需要学生有一定的几何思想和解题能力。

特殊的四边形(压轴题)

特殊的四边形压轴题题一．解答题（共30小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P 作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．9．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．10．如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．13．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG 的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD 平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．22．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD=8cm，求线段BE的长．23．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．24．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．25．如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，连接AF、CF．（1）请你猜想图中与点F有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想．26．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．27．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．28．（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交▱ABCD的四边于点E、F、G、H．已知S▱BHPE=3，S▱PFDG=5，则S△PAC=；（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．29．将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，然后展开，折痕为EF，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形．30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，AE∥DC，EC∥AD，连接DE交AC于点O，（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB=AO，求tan∠OCE的值．2017年11月04日数学1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： AH=AB ；（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB ，（2）延长CB 至E ，使BE=DN ，证明△AEM ≌△ANM ，能得到AH=AB ，（3）分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH=x ，则MC=x ﹣2，NC=x ﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，解得x ．【解答】解：（1）如图①AH=AB ．（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE=DN ．∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠D=∠ABE=90°，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE=AN ，∠EAB=∠NAD ，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM 和△ANM 中，，∴△AEM ≌△ANM ．∴S △AEM =S △ANM ，EM=MN ，∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB=AH ．（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD ．设AH=x ，则MC=x ﹣2，NC=x ﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC 2+NC 2∴52=（x ﹣2）2+（x ﹣3）2（6分）解得x 1=6，x 2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．【点评】主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【分析】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF=ED，∴DF=BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（3）当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B=60°，∴BC=AB，∵DB=AB，∴DB=CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．5．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．方法2、利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．【解答】解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在Rt△PBC中，PB==4，∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，解得x=，∴AQ=．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，∵M是QC的中点，∴DM=QC，PM=QC，∴DM=PM，在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，∴ME=，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，∴DM=CM，∴∠DMQ=2∠DCQ，∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，∴MP=CM，∴∠PMQ=2∠PCQ，∵∠DMP=90°，∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，∵∠CPQ=90°，∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，∴AQ=AP=2．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．6．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．7．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是CD边的中点；（2）求证：∠MBC=2∠ABE．【分析】（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根据AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可证出点F是CD边的中点；（2）延长AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，证△FDG≌△FCB，求出B，F，G共线，再证△ABE ≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论．（1）证明：∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；（2）证明：延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD∴AE=CF，∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC 于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF 和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．【点评】本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键．9．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM=PD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90°设PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=．DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0 x=2或x=8．故当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．10．如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出．【解答】解；图中的等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，∴DC=DC′=DA，∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC′=60°，∴△AC′D为等边三角形，∴AC′=AD=AB，∴△C′AB为等腰三角形，∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，∴∠CDC′=∠C′AB，在△DCC′和△ABC′中，∴△DCC′≌△ABC′（SAS），∴CC′=C′B，∴△BCC′为等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．11．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．（1）若AE=2，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．【分析】（1）连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出∠AGF=60°，然后判断出点A、E、G、F四点共圆，从而得到∠AGE=∠AFE=60°，再求出∠CGE=60°，延长GE交AB的延长线于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CGE=60°，再求出∠GAF=∠HAE，然后利用“角角边”证明△AFG和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，FG=EH，从而得证；方法二：在AG上截取GH=FG，可得△FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH=FG，∠FHG=60°，再求出∠AFH=∠EFG，然后利用“边角边”证明△AFH和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等AH=GE，然后证明即可．【解答】（1）解：如图，连接EF，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=2，∵BE=DF，BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EC=EF=×2=；（2）方法一：证明：∵∠AGC=120°，∴∠AGF=180°﹣∠AGC=180°﹣120°=60°，又∵△AEF是等边三角形，（已证）∴∠AEF=60°，∴点A、E、G、F四点共圆，∴∠AGE=∠AFE=60°，∴∠CGE=∠AGC﹣∠AGE=120°﹣60°=60°，如图（2）①延长GE交AB的延长线于H，∵AB∥CD，∴∠H=∠CGE=60°，∴∠H=∠AGF，又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，∴∠GAF=∠HAE，在△AFG和△AEH中，，∴△AFG≌△AEH（AAS），∴AG=AH，FG=EH，∵∠AGE=60°，∴△AGH是等边三角形，∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，即AG=EG+FG．方法二：如图（2）②在AG上截取GH=FG，∵∠AGC=120°，∴∠AGF=60°，∴△FGH是等边三角形，∴FH=FG，∠FHG=60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，∴∠AFE=∠GFH=60°，∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，即∠AFH=∠EFG，在△AFH和△BFG中，，∴△AFH≌△EFG（SAS），∴AH=GE，∴AG=AH+GH=EG+FG，即AG=EG+FG．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）先求出四点共圆，然后求出∠AGE=∠AFE=60°，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．【分析】（1）根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；（2）在BF上截取BH=CF，连接OH．通过条件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，∴∠OCF=∠ECF．∵OC=CG，CF=CF，∵在△OCF和△GCF中，，∴△OCF≌△GCF（SAS）．∴FG=OF=4，即FG的长为4．（2）证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°﹣∠BOC﹣∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC．∴OB=OC．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°﹣∠BOC﹣∠OMB=90°﹣∠OMB，∠OCF=180°﹣∠BFC﹣∠FMC=90°﹣∠FMC，且∠OMB=∠FMC，∴∠OBH=∠OCF．∵在△OBH和△OCF中，∴△OBH≌△OCF（SAS）．∴OH=OF，∠BOH=∠COF．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．∴∠OHF=∠OFH=（180°﹣∠HOF）=45°．∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF≌△GCF，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°﹣∠GFC﹣∠OFC=90°．∴∠FGO=∠FOG=（180°﹣∠OFG）=45°．∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．∴OG∥FH，OH∥FG，∴四边形OHFG是平行四边形．∴OG=FH．∵BF=FH+BH，∴BF=OG+CF．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．13．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求三角形DBF的面积．（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求三角形DBF的面积．【分析】（1）三角形的面积为×底×高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解．（2）正方形ABCD的面积加上以CD为长CE为宽的长方形的面积减去△ABD，△BEF，△DGF的面积即可求出解．（3）两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积可求出解．【解答】解：（1）三角形DBF的面积：×3×3=．（2分）（2）三角形DBF的面积：32+3×1﹣×3×3﹣（3+1）×1﹣×2×1=．（3）三角形DBF的面积：a2+b2﹣•a•a﹣（a+b）•b﹣（b﹣a）•b=．（2分）结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关，与b无关．【点评】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到．14．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG 的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．【分析】（1）①根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADE=∠CDE，然后利用边角边定理证明△ADE 与△CDE全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；②根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MG，然后据等边对等角的性质得到∠G=∠MCG，所以∠2=∠MCG，然后根据∠FCG=90°即可证明∠MCE=90°，从而得证；（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等∠G=∠GEC，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，在△ADE与△CDE，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2，②∵AD∥BG（正方形的对边平行），∴∠1=∠G，∵M是FG的中点，∴MC=MG=MF，∴∠G=∠MCG，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠MCG，∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，∴EC⊥MC；（2）解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．理由如下：∵△ECG为等腰三角形，∴∠G=∠CEG，又∵∠1=∠2=∠G，∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，即3∠1+90°=180°，解得∠1=30°．故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路．15．如图，正方形ABCD中，M为BC上除点B、C外的任意一点，△AMN是等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN．（1）求证：BM+DF=MF；（2）求∠NCE的度数．【分析】（1）截长补短类型题目，延长CD至G使DG=BM，证明△ADG≌△ABM，将BM+DF转化到一条线段GF上，再证明MF=GF；（2）过点N作NH⊥EB，证△MHN≌△ABM，再根据线段间的关系得到NH=HC，从而得到△CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得∠NCE=45°．【解答】（1）证明：延长CD至G使DG=BM，在△ADG和△ABM中，，∴△ADG≌△ABM（SAS），∴AG=AM，又∵△AMN为等腰直角三角形，∴∠MAN=45°，∴∠FAD+∠MAB=45°，∵∠DAG=∠BAM，∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠MAN，在在△AFG和△AFM中，，∴△AFG≌△AFM（SAS），∴MF=GF，又∵GF=GD+DF，GD=BM，∴BM+DF=MF；（2）解：过点N作NH⊥EB于点H，∠AMB=180°﹣∠AMN﹣∠NMH=90°﹣∠NMH=∠MNH，在△ABM≌△MHN中，，∴△ABM≌△MHN（AAS），∴AB=MH，BM=NH，∵CH=MH﹣MC=AB﹣MC=BC﹣MC=BM=NH，∴△CHN是等腰直角三角形，∴∠NCE=∠NCG=45°．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）连接BD，求出△ABD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DM⊥AB，然后根据矩形的定义证明．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，∵点E是AD中点，∴DE=AE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE（AAS），∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）AM=1．理由如下：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AM=1，AB=2，∴AM=MB=1，∴DM⊥AB，即∠DMA=90°，又∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）求出∠B=∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等；（2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B=60°，AB=AC，得出等边△ABC，推出AB=BC即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．【解答】证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．【分析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，∴∠EFD=∠BCD．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初二下四边形压轴题 Prepared on 24 November 2020
1、已知D 、E 分别为x 轴、y 轴的点 OD ＝5，OE ＝10， A 为OD 中点．
（1）平面内是否存在点F ，使以点E 、F 、A 、D 为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出点F 的坐标；
（2）点M 是直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形
是菱形若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
边上，且（1
（2AE =（3，设BE =x 定义域。

3、ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ．
（1ABDE 的面积；
（2AB =a ，BC ＝b ，试求PD 的长（用a 、b 表示）
4、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一动点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ．
（1）当点P 移动到AD 边的中点时，求BE 的长；
（2）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式。

5、在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边
AB 、BC 、DA 上，AE =2。

（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积。

（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积。

（用含a 的代数式表示） x x P H G
A B C D
E F B A C B D P H G A B C
D E F
6
2的正方形
y 轴、x 轴的正半轴上，点O 绕点O y =x 上时停止旋转，旋转
M ，BC 边交（1）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；
（2）设△MBN 的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化请证明你的结论.
7E 在边AB 上（点E 与AB 不重合），FG DE ，FG 与边BC 相交G 。

（（2，设AE =x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析
式。

（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为
2
5，求点C 到直线DE 的距离。

8（1）如图1所示，BD 、CE 分别是△A BC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 分别交于点M 、N ，那么线段FG 与△ABC 的周长存在的数量关系是什么
即：FG ＝（AB ＋BC+AC ）（直接写出结果．．．．．．．）．
（2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与ΔABC 三边之间又有怎样的
数量关系请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，C E 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG
与ΔABC
D A
E B G F
C C
D H
三边又有怎样的数量关系直接写出你的猜想即可．不需要证明。

9、已知：如图，在梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ， AD =2
，AB =3
线上一点，联结BP ，E 、F 分别为BP 、DC 的中点．（
1）设DP =x ，EF =y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（2）联结DE 和PF ，若DE =PF ，求PD 的长．
10，∠C =45°AD 上一点，联
结BE BE ⊥EF ，联结BE ．
（1）如图，E 是线段AD 上，
○1求证：BE =EF ；
○2设DE =x ，△BEF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（2）射线AD 上是否存在点E ，使△BEF 的面积是△ABE 的面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长． F G A B E N D C M F G A
B
E D C B 备用图 A D
A
C
B E F。