公式法第二课时教案
因式分解——公式法(2)教学设计
15．4．3因式分解
[课题]：2、公式法——（完全平方公式）
[学情分析]：(适用于平行班)
学生已经在前面学习了完全平方公式，并作了大量的练习，已经对公式的运用较为熟悉，要注意让学生明确用公式法因式分解与用公式作乘法运算是互逆的。
[教学目的]：
1、引导学生利用完全平方公式对简单的多项式进行因式分解．
2．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力。
[教学重点]：运用完全平方公式进行因式分解．
[教学难点]：根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解。
[教学突破点]：观察理解分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
[教法、学法设计]：创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．
[课前准备]：课件
[教学过程设计]：。
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》第2课时 教 案
第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标1.能够运用完全平方公式分解因式．发展学生的观察能力和逆向思维能力.2.让学生能够综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.二、教学重点及难点重点：用完全平方公式分解因式．难点：灵活地运用公式法或以学过的提公因式法进行分解因式，正确地判断因式分解的彻底性问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源相关图片五、教学过程（一）温故知新1．说出分解因式的平方差公式．22()()a b a b a b -=+-．即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2．下列多项式有什么特点？你能把它们分解因式吗？（1）222a ab b ++；（2）222a ab b -+．学生观察、讨论得出上面两个多项式的特点：上面两个多项式是两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，这正好是两个数的和或差的平方．我们把222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．设计意图：复习分解因式的平方差公式，便于本节课类比得出分解因式的完全平方公式；通过设置问题，让学生发现这两个多项式不具备平方差的公式特征，而是两个完全平方式，激发了学生的求知欲望．（二）探究新知1．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？学生根据上节课学习用平方差公式分解因式的经验和方法得出：将整式乘法的平方差公式反过来写就是分解因式的平方差公式．同样，把整式乘法的完全平方公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+反过来写即分解因式的完全平方公式2222()a ab b a b ++=+，2222()a ab b a b -+=-．2．你能不能用文字语言叙述呢？文字语言表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．3．下列各式是不是完全平方式？（1）244a a -+；（2）2244x x y ++；（3）2244a ab b ++； （4）22a ab b -+；（5）269x x --；（6）20.25a a -+放手让学生讨论，熟悉公式的结构特征．结果：（1）222244222(2)a a a a a -+=-⋅⋅+=-；（3）2222244(2)22(2)a ab b a a b b a b ++=+⋅⋅+=+；（6）22220.2520.50.5(0.5)a a a a a -+=-⋅⋅+=-．（2），（4），（5）都不是．方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和，还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方，从而达到因式分解的目的．设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将整式乘法公式逆用就能归纳出分解因式的完全平方公式，锻炼学生的文字概括及语言表达能力．加强对公式本质的理解，让学生进一步体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系．（三）例题解析【例1】分解因式：（1）216249x x ++；（2）2244x xy y -+-． 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．分析：在（1）中，2216(4)x x =，293=，24x ＝2•4x •3，所以216249x x ++是一个完全平方式；在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑用添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式．22(4)2433x x =+⋅⋅+2(43)x =+；（2）2244x xy y -+-22=(4+4)x xy y --22[22+(2)]x x y y =--⋅⋅2(2)x y =--．设计意图：通过例题，进一步巩固完全平方公式分解因式的应用，加深对公式本质的认识．【例2】分解因式：（1）22363ax axy ay ++；（2）2()12()36a b a b +-++．分析：（1）中有公因式3a ，应先提出公因式，再进一步分解；（2）中把a ＋b 看成一个整体，设a ＋b ＝m ，则原式化为完全平方式21236m m -+．解：（1）22363ax axy ay ++ 22=3(2)a x xy y ++2=3()a x y +；（2）2()12()36a b a b +-++222=()2()66=(6)a b a b a b +-⋅+⋅++-．通过例题解析，可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．设计意图：综合运用多种方法（提公因式法、完全平方公式法）分解因式，并进一步深化分解要彻底的思想，体会整体的数学思想，并用换元的方法将问题转化为公式的基本形式加以解决．（四）课堂练习把下列多项式因式分解：（1）221236x xy y -+；（2）422416249a a b b ++．学生独立完成．答案：22= 26(6)x x y y -⋅⋅+2(6)x y =-；（2）422416249a a b b ++222222(4)243(3)a a b b =+⋅⋅+222(43)a b =+．设计意图：为学生提供演练机会，加强完全平方公式分解因式的理解及掌握．六、课堂小结1．完全平方公式的两个特点：（1）多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．2．因式分解的步骤是：首先提取公因式，然后考虑用公式法．3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止．4．用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解用完全平方公式分解因式，掌握运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法和步骤以及注意事项．本图片资源介绍了用完全平方公式分解因式，适用于公式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】用完全平方公式分解因式.本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】因式分解的一般步骤.七、板书设计14.3.2公式法（2）完全平方公式完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+，2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．。
人教版数学九年级上册21.2.2公式法(第二课时)教学设计
b.设置典型例题，引导学生从不同角度分析问题，培养他们灵活运用求根公式的能力。
c.创设生活情境，让学生在实际问题中运用求根公式，提高他们解决实际问题的能力。
5.在课堂练习环节，设计分层练习，让不同水平的学生都能得到有效的巩固和提升。同时，鼓励学生相互讨论、交流，提高课堂互动性。
3.采用分组讨论的形式，让学生在小组合作中交流想法，培养团队合作能力及解决问题的策略。
4.设计实际应用题，让学生体验数学知识在实际生活中的应用，提高学以致用的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的热情，特别是对于代数问题的探索和研究。
2.增强学生解决问题的自信心，特别是面对复杂问题时，能够保持冷静，运用所学知识分析问题、解决问题。
4.解决实际问题时，能够将问题转化为数学模型，进而使用公式法求解一元二次方程。
（二）过程与方法
在教学过程中，引导学生通过以下方法来达成学习目标：
1.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
2.运用问题驱动法，设置不同难度层次的问题，让学生在实践中掌握公式法的步骤和要点。
五、作业布置
为了巩固学生对公式法求解一元二次方程的理解和应用，以及提高他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生巩固求根公式的记忆和基本运用。
2.提高应用题：设计一些需要运用判别式的提高题，让学生在实际问题中学会判断方程有几个解以及解的性质，提高他们分析和解决问题的能力。
5.小组合作题：分组布置一道综合性的大题，要求学生在小组内合作完成，通过讨论、分析、共同求解，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
人教版八年级数学上册《公式法》教案2
《公式法》教案教学目标1．经历用公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义．2．会用公式法对多项式进行因式分解．3．体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法．教学重难点正确利用公式法分解因式．教学过程一、回顾复习(2)(2)____________a a +-=；(3)(3)____________x x -+--=；(32)(32)____________a b a b +-=．思考多项式22a b -有什么特点？你能将它分解因式吗？二、导入新课观察平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）的项、指数、符号有什么特点？（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．例3．分解因式：（1）4x 2-9（2）22()()x p x q +-+例4．分解因式：（1）44x y -（2）3a b ab - （让学生尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）思考：把下列各式分解因式（1）222a ab b ++（2）222a ab b -+将整式乘法的平方差公式反过来即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来即分解因式的完全平方公式．所以我们容易得到： 2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-．例5．分解因式：（1）216249x x ++（2）2244x xy y -+- 例6．分解因式：（1）22363ax axy ay ++（2）2()12()36a b a b +-++（让学生尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）三、随堂练习课本第117页的练习第1、2题．课本第119页的练习第1、2题．四、课堂小结这节课你学到了什么？还有什么疑惑？五、课后作业课本习题14．3的第2、3题．。
《用公式法求解一元二次方程》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第2课时)
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第2课时 教学设计一、教学目标1．经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力．2．推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．二、教学重点及难点重点：一元二次方程求根公式的应用．难点：一元二次方程求根公式的应用．三、教学用具多媒体课件，计算器.四、相关资源《一元二次方程求根公式》动画.五、教学过程【复习引入】学生活动：用公式法解下列方程：（1）2x 2-5x +2=0；（2）2x 2=1-3x ．解：（1）因为a =2，b =-5，c =2，所以Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=25-16=9＞0．所以x =(5)22--±⨯=54， 即x 1=2，x 2=12． （2）方程化为2x 2+3x -1=0，其中a =2，b =3，c =-1．所以Δ=b 2-4ac =32-4×2×(-1)=9+8=17＞0．所以x即x 1x 2总结用公式法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）：（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出b2－4ac的值；（3）当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2.设计意图：通过复习引入，让学生回忆用公式法解一元二次方程的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】例在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等．通过解方程，他得到小路的宽为2 m或12 m．小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同．（1）你认为小明的结果对吗？为什么？（2）你能帮小亮求出图中的x吗？（3）你还有其他设计方案吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答，最后教师给出规范解题过程．解：（1）小明的结果不正确；正确解法：设小路的宽度为x m．根据题意列方程，得1(162)(122)12162x x --=⨯⨯．整理，得x 2-14x +24=0．解得x 1=2，x 2=12．小路的宽12 m 符合所列方程，但荒地的宽为12 m ，因而小路的宽不可能是12 m ，因此x =12不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽2 m 符合这个实际问题，所以小路的宽应是2 m ．（2）在小亮的设计方案中，4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m ，根据题意，得21π12162x =⨯⨯．解得96 5.5πx =±±≈．所以图中的x 约为5.5． （3）设计方案是多种多样的，下面给出几种仅供参考：注意：一元二次方程有两个根，这些根虽然都满足所列的一元二次方程，但未必符号实际问题．因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解．设计意图：通过引导学生分析、探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【典例精析】对于例2中的花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x 吗？解：根据题意列方程，得1(16)(12)16122x x --=⨯⨯．整理，得x 2-28x +96=0． 解得x 1=4，x 2=24（不合题意，舍去）．所以图中的x 为4．【课堂练习】1．在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金色纸边的宽应该是多少？师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．2．如图，圆柱的高为15 cm ，全面积（也称表面积）为200π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？3．如图所示，要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a m，另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆总长为35 m，且要求全部用完．（1）求鸡场的长与宽各为多少米？（2）题中的墙长为a m对题目的解起着怎样的作用？师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．金色纸边的宽应该是5 cm．2．圆柱底面半径为5 cm．3．解：（1）设鸡场的宽为x m，则长为(35-2x)m．依题意可列方程为x(35-2x)=150．整理，得2x2-35x+150=0．解方程，得x1=10,x2=7.5．当x=10时，35-2x=15；当x=7.5时，35-2x=20．答：当鸡场的宽为10 m时，长为15 m；当鸡场的宽为7.5 m时，长为20 m．（2）由（1）解得的结果可知：题中墙长a m对题目的解起着严格的限制作用．当a＜15时，上述问题无解；当15≤a＜20时，上述问题只有一个解，即可建宽为10 m，长为15 m的一种鸡场；当a≥20时，上述问题有两个解．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结本节课我们主要复习了：1．用公式法求解一元二次方程．2．列一元二次方程解决简单实际问题．注意：在利用一元二次方程解决实际问题时，要检验所得的一元二次方程的解是不是实际问题的解．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.3 用公式法求解一元二次方程（2）1．用公式法求解一元二次方程．2．列一元二次方程解决简单实际问题．。
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.3 公式法 3.3公式法(2)》教案_25
我们已掌握了运用“提取公因式法因式分解”和“运用平方差公式因式分解”，尤其是“平方差公式因式分解”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解．在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，能应用这两个公式来因式分解吗？
问题解决
培养学生良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
情感态度
培养学生严谨的推理能力，以及自主合作的精神．
教学重点
能灵活运用完全平方公式进行因式分解．
教学难点
准确判断多项式是否符合完全平方公式的特点．
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
解：9x2－3x＋14＝(3x)2－2·3x·12＋(12)2＝(3x－12)2.
例2把－4x2＋12xy－9y2因式分解．
解：－4x2＋12xy－9y2＝－(4x2－12xy＋9y2)＝－[(2x)2－2·2x·3y＋(3y)2]＝－(2x－3y)2.
例3把a4＋2a2b＋b2因式分解．
解：a4＋2a2b＋b2＝(a2)2＋2·a2·b＋b2＝(a2＋b)2.
直接利用复习引入重点！
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】完全平方公式因式分解
问题1：我们把式子a2－2ab＋b2中的字母a换成3x，字母b换成1，得到多项式9x2－6x＋1，怎样把9x2－6x＋1因式分解？
问题2：我们把式子a2－2ab＋b2中的字母把a换成4x，字母b换成5，得到多项式16x2－40x＋25，怎样把16x2－40x＋25因式分解呢？
2022年教学教材《公式法2》优秀教案
公式法〔2〕本节是因式分解的第3小节，占三个课时，这是第二课时，它主要让学生经历通过逆向运用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的过程，开展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一、学生知识状况分析学生的技能根底：学生对因式分解的概念、方法等有了必要的认识和理解，并在整式乘法的公式中，学生已经学习了完全平方公式，这为今天的深入学习提供了必要的根底．学生活动经验根底：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的比照、观察等活动形式有了一定的认识，本节课采用的活动方法是学生非常熟悉的观察、比照、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用平方差公式进行因式分解的根底上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的根底。
因此，本课时的教学目标是：知识与技能：〔1〕使学生了解运用公式法分解因式的意义；〔2〕会用完全平方公式进行因式分解；〔3〕使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．数学能力：〔1〕开展学生的观察能力和逆向思维能力；〔2〕培养学生对完全平方公式的运用能力．情感与态度：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反响练习——学生反思．第一环节做一做活动内容：填空：〔1〕〔ab〕〔a–b〕= ；〔2〕〔ab〕2= ；〔3〕〔a–b〕2= ；根据上面式子填空：〔1〕a2–b2= ；〔2〕a2–2ab b2= ；〔3〕a22abb2= ；结论：形如a22abb2与a2–2abb2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，开展学生的观察能力与逆向思维能力，第〔1〕组a2–b2是起提示作用．本卷须知：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节辨一辨活动内容：观察以下哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．〔1〕2–42〔2〕24–42〔3〕4m2–6mn9n2〔4〕m26mn9n2结论：找完全平方式可以紧扣以下口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a2–2abb2=〔a–b〕2a22abb2=〔ab〕2活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．本卷须知：由于有了七年级的整式乘法的学习根底，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少局部同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．第三环节试一试活动内容：把以下各式因式分解：〔1〕2–44 〔2〕9a26abb2〔3〕m2–〔4〕活动目的：〔1〕培养学生对平方差公式的应用能力；〔2〕让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．本卷须知：学生对第〔3〕小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节想一想活动内容：将以下各式因式分解：〔1〕3a26a3a2〔2〕–2–424活动目的：使学生清楚地了解提公因式法〔包括提取负号〕是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．本卷须知：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：〔1〕有公因式，先提公因式；〔2〕再用公式法进行因式分解第五环节反响练习活动内容：1、判断正误：〔1〕22=〔〕2〔2〕2–2= –2〔3〕2–2–2= –2〔4〕–2–2–2=–〔〕22、以下多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：〔1〕2–〔2〕9a2b2–3ab1〔3〕〔4〕3、把以下各式因式分解：〔1〕m2–12mn36n2〔2〕16a424a2b29b4〔3〕–2–2–2〔4〕4–12〔–〕9〔–2活动目的：通过学生的反响练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．本卷须知：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回忆与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，开展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．本卷须知：学生认识到了以下事实：〔1〕有公因式那么先提取公因式；〔2〕整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；〔3〕完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后练习：课本第13页习题第1、2、3题；思考题：习题第4题〔给学有余力的同学做〕四、教学反思逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原那么，是创造思维的一个组成局部，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法那么等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的表达．。
公式法第二课时教案八年级数学上册
(1)x2+14x+49; (2)(m+n)26(m+n)+9;(3)x2+2xy+5y2+4y+1.
先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,,b可以是单项式,也可以是多项式.
[例2]把下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2; (2)x24y2+4xy.
续表
探索新知
合作探究
一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式因式分解.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“”号,然后再用完全平方公式因式分解.
教师指导
1.归纳小结
多项式同时具备条件:(1)含字母a和b;(2)三项式;(3)可提公因式后,再用公式法分解.
注意:(1)有公因式则先提取公因式.
(2)整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.填空:
(1)(a+b)(ab)=;(2)(a+b)2=;
(3)(ab)2=.
2.根据上面式子填空:
(1)a2b2=;(2)a22ab+b2=;
(3)a2+2ab+b2=.
结论:形如a2+2ab+b2与a22ab+b2的式子称为完全平方式.
探索新知
合作探究
自学指导
观察下列哪些式子是完全平方式?如果是,请将它们进行因式分解.
教学设计3：14.3.2公式法（2）
14.3.2公式法（2）教学目标：知识目标:使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；能力目标：理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力. 能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
教学重点：运用完全平方式分解因式.教学难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学方法：探究法教学过程：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.提出问题，得到新知和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a 2+2ab +b 2=(a+b )2； a 2－2ab +b 2=(a －b )2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a 2+2ab +b 2及a 2－2ab +b 2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x 2+6x +9； (2)x 2+xy +y 2； (3)25x 4－10x 2+1； (4)16a 2+1.例1：分解因式：（1）16x 2+24x +9 （2）-x 2+4xy -4y 2 （3）3ax 2+6axy +3ay 2（4）（a+b ）2-12（a+b ）+36（5）25x 4+10x 2+1 （6） 1－ 21m +162m 课堂练习1.填空：(1)x 2－10x +（ ）2=（ ）2；(2)9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2(3)1－（）+m2/9=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？思考一下，然后与小组内其他同学交流。
公式法(2) 优质课教案
运用完全平方公式分解因式【教学内容】湘教版七年级数学（下）第65——66页。
【教材分析】《运用完全平方公式分解因式》是七年级数学下册第三章《因式分解》第三节《公式法》的第2节课。
是学生在学完了整式乘法中的平方差公式、完全平方公式，因式分解的意义、提取公因式法、平方差公式分解因式后，对一类特殊的三项多项式进行因式分解的方法的探索。
通过本节课的学习，全面解决了简单的多项式的因式分解问题，保证了多项式因式分解方法的完整性。
本节课的重点是掌握用完全平方公式分解因式的方法并能熟练地运用公式进行因式分解；难点是探索出用完全平方公式分解因式的多项式的特点和灵活运用公式进行因式分解。
【学情分析】《用完全平方公式分解因式》是基于学生学完了整式的乘法、平方差公式、完全平方公式和因式分解中平方差公式法后继续学习的，学生具有学习新内容的知识基础，能类比平方差公式分解因式的方法和逆向思维能力，探索出完全平方公式分解因式的方法和步骤；学生能够在教师科学设计的数学活动中，通过自主学习、探究学习，很容易的主动构建新知。
【教学目标】知识与技能：掌握用完全平方公式分解因式的方法并能熟练地运用公式进行因式分解；过程与方法：经历用完全平方公式进行整式乘法的计算过程，观察计算出来的多项式的特点，分析能用完全平方公式分解因式的多项式的特征，概括用完全平方公式分解因式的方法和步骤，培养学生逆向思维能力和类比思维能力。
情感态度价值观：学生在自主学习和合作探究学习的过程中，感受成功的喜悦，激发学习数学的热情，培养数学学习的兴趣。
【教学重点】掌握用完全平方公式分解因式的方法并能熟练地运用公式进行因式分解；【教学难点】探索出用完全平方公式分解因式的多项式的特点和灵活运用公式进行因式分解。
【教学方法】以问题为载体，学生自主学习，教师点拨、分析【教具准备】PPT课件、贴条若干【教学设计】一、唤醒旧知，生长新知师：前面我们学了整式乘法的几个公式和因式分解的一些方法，下面请大家回顾一下：（出示PPT 课件，学生自主完成）1.计算填空 2)(b a +=（ ）（ ）= ； 2)(b a -=（ ）（ ）= ； 2)3(+x =（ ）（ ）= ； 2)2(y x -=（ ）（ ）= ；2.分解因式 =++222b ab a ； 222b ab a +-= ； 962++x x = ； 2244y xy x +-= 。
《公式法+第2课时》精品教学方案
第十四章整式的乘法与因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标1. 理解完全平方公式，让学生掌握完全平方公式的特点和形式；2. 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，灵活运用完全平方公式把多项式分解因式；3.能综合运用不同的方法分解因式，培养观察、比较以及运算能力；4.培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.二、教学重难点重点：理解完全平方公式，让学生掌握完全平方公式的特点和形式.难点：掌握运用完全平方公式分解因式的方法，灵活运用完全平方公式把多项式分解因式.三、教学用具电脑、多媒体四、教学过程设计【观察思考】你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出的图形为：这个大正方形的面积可以怎么求？(a+b)²=a²+2ab+b²【典型例题】(1)16x²+24x+9 (2)-x²+4xy-4y²解：(1)16x²+24x+9=(4x)²+2·4x·3+ 3²=(4x+3)²(2)-x²+4xy-4y²=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)²将负号提出来，是解决此题的关键【做一做】把下列多项式因式分解.(1)x4-2x2y2+y4(2)-2xy-x²-y²解：(1)原式=(x²)²-2x²y²+(y²)²=(x²-y²)²=[(x+y)(x-y)]²=(x+y)²(x-y)²因式分解要彻底，分析多项式的特征，两项，考虑平方差公式，三项，考虑完全平方公式.(2)原式= -( x²+2xy+y²)= -(x+y)²【典型例题】(1)3ax2+6axy+3ay2(2) (a+b)²-12(a+b)+36解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x²+2xy+y²)= 3a(x+y)²(2)(a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-2·(a+b)·6+6²=(a+b-6)²利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式、完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法【做一做】分解因式：(1) -3a²x²+24a²x-48a²(2) 4-12(x-y)+9(x-y)²解：(1)原式=-3a²(x²-8x+16)=-3a²(x-4)²有公因式要先提公因式以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。
14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解
1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验．
经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课前预学任 务（前提测评内容）
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
因式分解：81a4－16.
情境导入
出示目标
导学活动预设
教师活动
学生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入因式：
(1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2.
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学设计预案
课 题
14.3.2运用完全平方公式因式分解
授课时间
年 月 日
星 期
第 节
课标及教材解读
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点．
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
《公式法》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想．2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式．3.经历通过整式乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力．二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式．难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式．三、教学用具多媒体等．四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.计算下列各式:(1)(x+2)2= ________ ,(2)(2x+1)2= ________，(3)(x-3)2= ________ ,(4)(3x-1)2= ________，预设：（1）x2+4x+4；（2）4x2+4x+1(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1根据上面算式填空:(1) x2+4x+4=_____________,(2)4x2+4x+1=_____________,(3)x2-6x+9=_______________，(4)9x2-6x+1=_____________.预设：（1）(x+2)2；（2）(2x+1)2;(3)(x-3)2;(4)(3x-1)2.提问：你有什么发现呢？预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.【归纳】完全平方公式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.【想一想】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；(2)有两个同号的数或式的平方；(3)中间是这两个数的积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.【做一做】观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？预设：a2+2ab+b2=(a+b)2)，是正确的.提问：你能验证完全平方差公式吗？以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容: 教科书第103页习题4.5 第2、3、4题.。
公式法第2课时教案人教版八年级数学上册
14.【教学目标】1.理解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解；综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.3.感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验，进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.【教学重难点】重点：应用完全平方公式分解因式.难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.【教学方法】观察、探究推理法.【教学过程】新课导入：回顾旧知：1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？（1）提公因式法：ac+bc=c (a+b)；（2）平方差公式：a2b2=(a+b)(ab).思考探究：用图形验证完全平方和公式与完全平方差公式；自己动手画图验证平方差公式.新课讲授：（一）完全平方公式因式分解我们把a²+2ab+b²和a²2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：a2+2ab+b2，a2－2ab+b2.（1）每个多项式有几项？（三项）（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？这两项都是数或式的平方，并且符号相同.（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？是第一项和第三项底数的积的±2倍.引导学生归纳结论：完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.课堂练习：1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a24a+4；是（2）1+4a2；不是（3）4b2+4b+1；是（4）a2+ab+b2不是．2.对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：（1）x²+4x+4= ( x)² +2·(x)·( 2 )+( 2 )² =( x+2 )²；（2）m²6m+9=( m )²2·(m )·( 3)+( 3 )²=( m3 )².3.如果x26x+N是一个完全平方式，那么N是( B )A . 11 B. 9 C. 11 D. 9解析：根据完全平方式的特征，中间项6x=2x×(3)，故可知N=(3)2=9.解析：∵16=(±4)2，故m=2×(±4)，m=±8.例1：(1) 16x2+24x+9；(2) x2+4xy4y2.课堂练习：分解因式：(1) (xy)2+2(xy)+1；(2)解：(1) (xy)2+2(xy)+1=(xy)2+2(xy)+12=(xy+1)2例2：分解因式.(1) 3ax 2+6ax +3ay 2； (2) (a +b )212(a +b )+36.(3) 3a 2x 2＋24a 2x 48a 2； (4)(a 2＋4)216a 2.解：22222363323ax axy ay a x xy y a x y （）（）；(1)++=++=+22212366a b a b a b （）（）（）()+-++=+-；(3) 3a 2x 2＋24a 2x 48a 2＝3a 2(x 28x ＋16)＝3a 2(x －4)2；(4) (a 2＋4)216a 2＝(a 2＋4)2 (4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a 2)2.观察总结：（1）有公因式要先提公因式；（2）用整体的思想进行因式分解.（3）要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．课堂练习：分解因式：(1) 4x 38x 2+4x ； (2) 6abx 212abx +6ab ；(3)4(2a +b )24(2a +b )+1； (4) y 2+2y +1x 2.解：(1) 4x 38x 2+4x =4x (x 22x +1) =4x (x 1)2；解：(2) 6abx 212abx +6ab =6ab (x 22x +1) =6ab (x 1)2；(3) 4(2a +b )24(2a +b )+1=[2(2a +b )]² 2·2(2a +b )·1+(1)² =(4a +2b 1)2；(4) y 2+2y +1x 2=(y +1)² x ²=(y +1+x )(y +1x ).归纳：公式法把整式乘法的平方差公式：(a +b )(ab )=a 2b 2和完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(ab )2=a 22ab +b 2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a 2b 2=(a +b )(ab )，a 2+2ab +b 2=(a +b )2，a 22ab +b 2=(ab )2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.例3：把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=（100－99)² =1；(2)原式＝(34＋16)2=2500.计算：2－＋2；2222014201440262013().-⨯+解：(1)原式＝－48.9)2=100；（2）原式222(2014)220142013(2013)(20142013)1=-⨯⨯+=-=.例4：已知x 2－4x ＋y 2－10y ＋29＝0，求x 2y 2＋2xy ＋1的值．解：∵x 2－4x ＋y 2－10y ＋29＝0，∵(x －2)2＋(y －5)2＝0.∵(x －2)2≥0，(y －5)2≥0，∵x －2＝0，y －5＝0，∵x ＝2，y ＝5，∵x 2y 2＋2xy ＋1＝(xy ＋1)2＝112＝121.课堂练习：已知a ，b ，c 分别是△ABC 三边的长，且a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．解：由a 2＋2b 2＋c 2－2b (a ＋c )＝0，得a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．课堂小结：说一说本节课都有哪些收获.说一说完全平方公式的结构特点；掌握因式分解的步骤和因式分解的注意事项.作业布置：1.分解因式:(1)4x 2＋4x ＋1；(2)13x 2－2x ＋3.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.解:(1)原式＝(2x )2＋2•2x •1＋1＝(2x +1)2；(2)原式＝13(x 2－6x ＋9)＝13(x －3)2.2.完成本节配套习题.完全平方公式分解因式公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.特点：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.【课后反思】以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式.本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然. 其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.。
公式法(二) 优秀教案
公式法（二）教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。
学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。
本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。
这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重点：掌握完全平方公式的特点，熟记公式。
教学难点：学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。
三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——联系拓广——自主小结．第一环节 复习回顾活动内容：活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．第二环节 学习新知活动内容：活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如的多项式称222b ab a +±为完全平方式．定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节 联系拓广活动内容：1. 用简便方法计算：222003200340102005+⨯-2.将再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？142+x 3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”活动目的：题1考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的数感将拆成20034010⨯-的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算。
《公式法 第2课时》 示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
4.3《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1．经历通过整式乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 理解完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式。
二、教学重点及难点重点：能较熟练地运用完全平方公式分解因式．难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，并且能正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【复习导入】问题1：计算下列各式：（1）(x－3y)2；（2）(x＋3y)2；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．答案：（1）x2－6xy＋9y2；（2）x2＋6xy＋9y2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．问题2：分解因式：（1）4x2－9y2；（2）xm2－xn2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．答案：（1）(2x＋3y)(2x－3y)；（2）x(m＋n)(m－n)；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．设计意图：通过问题1，让学生复习完全平方公式在整式乘法中的应用，为引入利用完全平方公式进行因式分解打下基础，埋下伏笔；问题2让学生首先复习前面学过的因式分解的方法，而后通过（3）和（4）两个小题让学生在交流和感悟中体会逆向思维所引申出的新的知识应用．【探究新知】1．探讨完全平方公式的结构特征．问题1：如果我们将整式乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2反过来，就得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．你能谈谈完全平方公式在反过来前后各有什么不同的用途吗？答案：问题2：我们将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．你能谈谈一个完全平方式的结构具有什么样的特征吗？答案：完全平方式是一个三项式；三项中有两项的和是两数的平方和，另一项是加上(或者减去)这两数的积的2倍．公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2本身可以用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．问题3：16x 2＋24x ＋9是完全平方式吗？请说说你的理由．答案：是完全平方式．因为原式可以写成(4x )2＋2·4x ·3＋32，其满足完全平方式的结构特征．问题4：在横线上填上适当的单项式，使x 2＋__________＋14y 2是一个完全平方式． 答案：±xy在教学时教师可以放手让学生独立解答这些问题，相信学生完全可以解答出来的，问题3和问题4是让学生复习巩固完全平方式而准备的，教师在这里可以多增加这样的问题让学生来练习．2．归纳总结，引入概念由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．设计意图：进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系；明确运用公式法应具备的特征．【典型例题】例1 把下列完全平方式分解因式：（1）x 2＋14x ＋49；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9．分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式．用完全平方公式分解因式时，要根据第二项的符号来正确选择运用完全平方公式．解：（1）x 2＋14x ＋49＝x 2＋2×7x ＋72＝(x ＋7)2；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9＝(m ＋n )2－2(m ＋n )×3＋32＝[(m ＋n )－3]2＝(m ＋n －3)2．例2把下列各式分解因式：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ．分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．解：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2＝3a (x 2＋2xy ＋y 2)＝3a (x ＋y )2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ＝－(x 2－4xy ＋4y 2)＝－[x 2－2·x ·2y ＋(2y )2]＝－(x －2y )2．在问题1的处理上可采用直观的对照操作法．比如：x 2＋14x ＋49＝这样便于引导学生对照完全平方公式，进而确定公式中的a 、b 在此题中分别是什么．对于问题2可以安排学生分小组进行交流学习，自主解决，教师只进行引导，而后让一些学生谈一谈解题思想．设计意图：引导学生对照完全平方公式确定公式中的 ab 在题中分别是什么；进一步体会若有公因式要先提公因式，再进一步分解；引导学生注意，当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数．【课堂练习】1．下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2－x ＋14； （2）9a 2b 2－3ab ＋1；（3）14m 2＋3mn ＋9n 2；（4）x 6－10x 3－25． 2．把下列各式分解因式：（1）x 2－12xy ＋36y 2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4；（3）－2xy －x 2－y 2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2．答案：1．（1）是完全平方式．x 2－x ＋14＝x 2－2·x ·12＋(12)2＝(x －12)2． （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求．（3）是完全平方式．14m 2＋3mn ＋9n 2＝(12m )2＋2×12m ×3n ＋(3n )2＝(12m ＋3n )2． （4）不是完全平方式．2．解：（1）x 2－12xy ＋36y 2＝x 2－2·x ·6y ＋(6y )2＝(x －6y )2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4＝(4a 2)2＋2·4a 2·3b 2＋(3b 2)2＝(4a 2＋3b 2)2；（3）－2xy －x 2－y 2＝－(x 2＋2xy ＋y 2)＝－(x ＋y )2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2＝22－2×2×3(x －y )＋[3(x －y )]2＝[2－3(x －y )]2＝(2－3x ＋3y )2．【课堂小结】1．本节课学习的因式分解公式是什么？它有什么特征？在运用时应如何把握？本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍．在具体应用时要特别关注第二项的符号．2．把一个多项式进行因式分解的一般思路是怎样的？你能归纳吗？将一个多项式分解因式时，先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止．3．在应用平方差公式和完全平方公式时，你怎样做到不混淆？在运用公式法分解因式的过程中，什么时候运用什么样的公式完全取决于对多项式结构特征的把握能力，一般的二项式要考虑平方差公式，而三项式要考虑完全平方公式．用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处在于：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．【板书设计】完全平方式的结构特征：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．。
《因式分解——公式法》参考教案
12.5 因式分解一、课题：12.5 因式分解（第二课时—公式法）二、教学目标：1、能熟练使用公式将多项式实行因式分解.2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.3、提升对因式分解的理解和将多项式因式分解的水平.重点：掌握公式法实行因式分解.难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.三、教学过程：（一）读一读：学生自主学习课本第44页例题1（3）（4）的内容，回答以下问题：1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.2.乘法公式假设反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢？这些公式用语言能够怎样表达？3.用这种方法对多项式实行因式分解的方法叫( )（二）查一查：以下各式能否用公式来分解因式？假设能够，应分解成什么式子？假设不能够，请说明理由.(1)x2-4x+4； (2)1+16a2 (3)4x2+4x-1；(4)x2+6x+9（三）学一学例1、对以下多项式实行因式分解：（1）25x2 -16y2（2）-z2+(x-y)2分析：以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用( )公式实行因式分解.例2 把多项式x2+4xy+4y2分解因式．分析：(1)判断左边是否为完全平方式．(2)判断中间一项为哪一项哪两个数积的二倍．(3)看清中间一项的符号，写出因式分解结果例3. 把以下多项式分解因式(1) 4x3y+4x2y2+xy3(2) 3x3 -12xy先用( )方法分解因式,再用( )方法分解因式.（四）练一练:课本45页练习题（五）比一比：(学生独立完成)1.把以下各式分解因式：（1）-492+x2（2）4(x+m)2 -(x-m)22.把以下各式分解因式：(1)x2-12xy+36y2；(2)a2-14ab+49b2；(3)16a4+24a2b2+9b4；(4)49a2-112ab+64b2．3.把以下各式分解因式。
(1) a3-14a2+49a (2) 3a3-27ab2(3) 2am+an+2bm+bn (4) -25xy+25x2+4y2（六）谈一谈：让学生自由发言，谈出本节课的收获，解答此类问题的关键。
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14.3.2公式法教案（第2课时）
教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。
2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。
3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。
教学重点：运用完全平方公式法分解因式。
教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。
教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。
教学过程：
一、创设情境导入新课
上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式，
即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。
利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是
两个数的平方的差的形式）。
1、【做一做】把下列各式分解因式：
（1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b)
请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。
在上面的因式分解中，你都用了哪些
因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？
从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。
2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容
二、探索新知：
你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？
a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2.
一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？
学生小组内合作交流：（代表发言）
（1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。
多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？
x2 - 2 x (2y) + (2y)2
a2 - 2 a b + b2
是一个完全平方式。
1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？
（1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2
2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。
(1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4
3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式：
（1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2
分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：
16x2 + 24x+9 =（4x）2+2·4x·3+ 32
a 2 + 2·a ·
b + b2
解：（1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2
=（4x）2 +2·4x·3+32 = -[x2 - 4xy +4y2]
=（4x+3）2 = -[x2 - 2x·2y +(2y)2]
= -(x +2y)2
（2）例6、利用完全平方公式分解因式：
（1）3ax2 +6axy+3ay2（2）(a+b)2 - 12(a+b) +36
分析：（1）中有公因式3a，应先提取公因式，再进一步分解；（2）中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36。
解：（1）3ax2 +6axy+3ay2（2）(a+b)2 - 12(a+b) +36
=3a（x2 +2xy+y2）=(a+b)2 - 2(a+b)·6 +62
=3a（x+y）2=[(a+b)-6]2
=(a+b-6)2
三、牛刀小试：
1、因式分解：
（1）x2+12x+36 （2）-2xy -x2 -y2（3）ax2+2a2x+a3（4）- 3x2+6xy -3y2
2、拓展延伸：
已知m2+kmn+9m2是完全平方式，则k=
分析：公式中的a、b分别代表m与3n，所以中间的项kmn应该是2m·3n
即：kmn=6mn，所以k=6.因为完全平方式有2个，中间项的符号可以为“+”，也可以为“-”所以k=6或-6
3、练习：
（1）已知，4x2+ax+49 是完全平方式，则a=
（2）利用分解因式计算：1012+202×99+992
（3）分解因式：（a -4）2 -16a2
（4）已知多项式x2+1与一个单项式的和是一个整式的完全平方式，请你找出一个满足条件的单项式.
四、回顾提升：
紧张而愉快的一节课即将过去，相信每个同学都有所收获.下面让我们一起说说本节课的收获以
及还存在的疑惑吧！
五、课后作业：课本119页复习巩固3；4
六、教学反思：。