线段最值问题解法汇编

线段最值问题解法汇编

一、定点到定点⇒连线段

点P在直线l上，AP+BP何时最小？

二、定点到定线⇒作垂线

点P在直线l上，AP何时最小？

三、定点到定圆⇒连心线

点P在圆O上，AP何时最小？

线段最值问题一般转化为上述三个问题.

例题赏析：

1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为．

思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，周长即为P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值，得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.

2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．

思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时，最小值为2√2.

3.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A

上一动点，F是BC上的一动点，则FE+FD的最小值是．

思路：点D沿BC翻折至D'，DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离，易求D'E＝4.

4.在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小

值，则这个最小值是 .

思路：点E沿AC翻折，转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题）

5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .

思路：取AB中点E，连接DE、OE，由两点间线段最短，得OD≤OE+DE，最大为1+√2.

6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．

思路：B'点运动路径为以C为圆心，BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距离AC-B'C=1.

7.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 .

思路：D是定点，C是直线AC上的动点，转化为求点到线的最短距离.

8.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差.

思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.

E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2.

问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？

答：当动点所在直线不在定点（定线或定圆）之间时，需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3，动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'，即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧，同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.

关键方法：动中求定，动点化定线；以定制动，定点翻两边. （1）动中求定，动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹，一般动点所在轨迹为线或圆. （2）以定制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5，定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.