随机模型与计算机模拟

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来
进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机
观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统
的某些参数．
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用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框图要正确反映系统各部 分运行时的逻辑关系。
第七讲 随机模型与计 算机模拟
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随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量.
Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人，… …)
概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t
o(t)
P n(t t) P n 1(t)b n 1 t P n 1(t)d n 1 t P n(t)1 可( 编 辑b ppn t t d n t) o ( t)5
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
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模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道 （也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的 概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
2．产生m n阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)
产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand
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3 . 产 生 m n 阶 均 值 为 ， 方 差 为 的 正 态 分 布 的 随 机 数 矩 阵 ： n o r m r n d ( , , m , n )
建模
微分方程
dP d n tb n 1 P n 1 ( t) d n 1 P n 1 ( t) ( b n d n )P n ( t)
bn=n，dn=n
d d n P t( n 1 ) P n 1 ( t)( n 1 ) P n 1 ( t) () n n ( t) P
1, Pn(0)0,
产 生 一 个 均 值 为 ， 方 差 为 的 正 态 分 布 的 随 机 数 ： n o r m r n d ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布。
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2、数学模拟
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运 行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进 行的，称为计算机模拟。
计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数 都比较容易。
在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统， 用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实 际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时， 计算机模拟几乎成为唯一的选择。
nn0 nn
(t=0时已知人口为n0)
0
~一组递推微分方程——求解的困难和不必要
转而考察X(t)的期望和方差
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基本方程 d d n P t( n 1 ) P n 1 ( t)( n 1 ) P n 1 ( t) () n n ( t) P
求解 X(t)的期望 E(t)nPn(t) n1
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率；
dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
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建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).
事件X(t +t)=n的分解 X(t)=n-1, t内出生一人 X(t)=n+1, t内死亡一人 X(t)=n, t内没有出生和死亡
dE n dPn dt n1 dt
n-1=k
dE dt
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n ( n 1) Pn 1 (t ) n 1
k(k1)Pk(t) k 1
n ( n 1) Pn1 (t )
k(k1)Pk(t) k1
n 1
n+1=k
( ) n 2 Pn (t )
n 1
d d E t() n 1nn(P t) ()E (t)
模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含 所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获 得所要研究系统的必要信息
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模拟的方法
1、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。
例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。
物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模 型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统 无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。
[2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随 机现象．
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产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数， 命令如下： 1．产生m n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：
unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)
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求解
dE ( )E(t)
dt E(0) n0
E(t)n0er,t r
r ~ 增长概率
比较：确定性指数增长模型 x(t)x0ert r ~ 平均增长率
X(t)的方差
E
D(t)n2Pn(t)E2(t)
n1
D (t)n0
e [e ()t ()t
1]n0
E(t)+(t) E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
- = r D(t) , D(t)
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目的 内容
学习计算机模拟的基本过程与方法。
1、模拟的概念。 2、产生随机数的计算机命令。 3、计算机模拟实例。
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模拟的概念
模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实 系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。