20080114高一数学(4.2.3直线与圆的方程的应用)
4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用一、知识点回顾与归纳直线与圆的方程的应用主要是两方面：一是直线与圆的方程的实际应用；二是用坐标法解决平面几何问题。
1、直线与圆的方程的实际应用用直线和圆的方程解决实际生活问题的步骤（1）建立适当的直角坐标系，求出直线和圆的方程，把一个实际问题转化为数学问题；（2）解决这个数学问题；（3）解释它的实际意义，回归实际问题。
2、坐标法解决几何问题坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。
这就是用坐标法解决平面几何问题的：“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
二、典型例题讲解与方法总结例1、已知一个圆形的公园，其半径长为2km，有两个村庄A和B，其中村庄A在公园的正东方向4km处，村庄B在公园的西北方向处（A，B相对公园的位置都是指相对公园的中心位置，现在要修一条连接村庄A和B的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点，试问两种方案哪种更好？例2、已知圆内接四边形的两条对角线互相垂直，求证：经过对角线交点作任意一边的垂线必平分这一条边的对边。
例3、如图，圆O上任取一点M，以点M为圆心的圆与圆O的直径AB相切于点D，圆M与圆O相交于,E F，求证：EF平分MD。
例4、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、知识点回顾与归纳1、空间直角坐标系的概念从空间中某一定点O 引三条互相垂直的数轴，通常用,,x y z 表示，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，统称为坐标轴，这三条坐标轴中的每两条都确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面。
4.2.3直线与圆的方程的应用
(5, 3 )
o
(2,0)
(6,0)
C
x
5
例 3、 有 一 大 型 商 品 , A , B 两 地 均 有 出 售 且 价 格 相 同 ,某 地 居 民 从 两 地 之 一 购 得 商 品 运 回 来 , 每 公 里 的 运 费 A地 是 B 地 的 2倍 , 若 A , B 两 地 相 距 1 0公 里 , 顾 客 选 择 A地 或 B 地 购 买 这 种 商 品 ,以 运 费 和 价 格 的 总 费 用 较 低 为 标 准 ,那 么 不 同 地 点 的 居 民 应 如 何 选 择购买此商品的地点.
§4.2.3直线与圆的方程的应用
1
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示 意图,该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m， 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑， 求支柱A2P2的长度（精确到0.01）
y
x
2
例2、已知内接于圆的四边形的对角线 互相垂直，求证圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半.
y
B (0,b)
6
例4、AB为圆的定直径,CD为动直径,自D 作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|, 求证直线CP必过一定点.
7
(c,0) C
M
A (a,0)
O
N O`
Байду номын сангаас
x
d E( , ) 2 2
3
a
(0,d) D
第一步:建立适当的坐标系,用坐标和 方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题； 第二步:通过代数运算,解决代数问题；
第三步:把代数运算结果翻译成几何结论.
4
y
(3,3 3 ) A
(0,0)
B
E P D
【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.3直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用问题导学一、直线与圆的方程的实际应用活动与探究1有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？迁移与应用一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．二、坐标法在平面几何中的应用活动与探究2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．求证：EF平分CD．迁移与应用AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x 轴和y 轴； ②充分利用图形的对称性；③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得． 三、与圆有关的最值问题活动与探究3已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．迁移与应用1．已知直线l ：3x ＋4y －1＝0，圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0上的点到直线l 的最小距离是__________，最大距离是__________．2．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求yx －4的最大值和最小值．求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．当堂检测1．过圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点M (3,0)的最长弦所在直线的方程是( ) A ．2x －y －6＝0 B ． 2x ＋y －6＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y －3＝02．实数x ，y 满足x 2＋y 2－4y ＋3＝0，则yx 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，3)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．答案：课前预习导学【预习导引】(1)适当坐标和方程代数(2)代数问题(3)代数运算结果课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a(x ＋5)2＋y 2＜a(x －5)2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＜⎝⎛⎭⎫2032．即点P 在圆C ：⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购物．迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为1,74x y+=即4x +7y －28=0，圆心(0,0)到直线4x +7y －28=0的距离d=半径r =3．∵d ＞r ，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O 和圆C 的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD 与EF 的交点是线段CD 的中点．证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系． 如图，设|AB |=2r ，D (a ,0)，则|CD ∴C (a ．∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2．两方程作差得直线EF 的方程为2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2．令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H ⎝⎛⎭⎫a ，12r 2－a 2，即H 为CD 的中点．∴EF 平分CD ．迁移与应用 证明：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2+y 2=r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD ．令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为y －y 0＝－y 0－2r －y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0．∴直线CP 过直线x ＝0与直线y ＋r ＝0的交点(0，－r )，即直线CP 过定点(0，－r )． 活动与探究3 思路分析：本题可将yx 和y －x 转化成与直线斜率、截距有关的问题，x 2＋y 2可看成是点(x ，y )与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．解：(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，易知圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3． ∴k ＝3或k ＝－3．∴yx的最大值为3，最小值为－3． (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝1，∴|3×(－3)＋4×0－1|32＋42±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．2．解：原方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示以P (－1,2)为圆心，2为半径的圆． 设k ＝yx －4，几何意义是：圆上点M (x ，y )与点Q (4,0)连线的斜率．由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值． 设切线为y －0＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0．圆心P 到切线的距离|－k －2－4k |k 2＋1＝2，化简为21k 2＋20k ＝0，解得k ＝0或k ＝－2021．∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021．【当堂检测】 1．D 2．D 3．B 4．65 5 5．13米。
课件6：4.2.3 直线与圆的方程的应用
③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的 圆或求经过两定点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论 求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用 数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形 结合讨论求解．
例 4 已知点 P(x，y)在圆 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2＋2x＋3 的最大值与最小值．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
情境导入 某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的
五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.
若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看 电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转
播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、 P3、P4是AC的五等分点，你能判断出转播台应建在何 处吗？
取 10 km 为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的 圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)， 轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线的方程为7x＋4y＝1，即 4x＋7y－28＝0. 圆心 O(0,0)到直线 4x＋7y－28＝0 的距离为： d＝ 4|22＋8| 72＝ 2685>3， 所以直线 4x＋7y－28＝0 与圆 O 外离， 所以轮船不会受到台风的影响．
预习自测 1．某洞口的横截面是半径为 5 cm 的半圆，则该半圆的 方程是 ( D ) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随着建立的直角坐标系的变化而变化
2．如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水平面跨度 AB＝24 m，拱高 OP＝8 m．现有一船，宽 10 m，水面以 上高 6 m，这条船能从桥下通过吗？为什么？
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.3 直线与圆的方程的应用
由点斜式方程知，直线CP过定点(0，－r)．
题后反思
利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程， 直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标 系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得 结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到 几何问题中，对几何问题作出合理解释．
探究点2
用坐标法解决平面解析几何问题的注意事项
问题3：用坐标方法解决平面几何问题应注意什么？ 【提示】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适 当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
实际问题也可采用这种方法转化.
谢谢大家！
典例精讲：题型二：定点定值问题 证明：以线段 AB所在直线为 x轴，以 AB 中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＝ r2(r 为常数， r>0) ，直径AB位
于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，
则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r)，
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 例3:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 解:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
规律方法 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数
表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几
高一数学人教A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
一二三
知识精要 典题例解 移应用
证明:如图所示,以 O 为原点,以直径 AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系,
设☉O 的半径为 r,|OE|=m,则☉O 的方程为 x2+y2=r2,设 C(m,b1),D(m,b2).
则有 m2+������12=r2,m2+������22=r2, 即 b1,b2 是关于 b 的方程 m2+b2=r2 的根,
则 2a (������ + 5)2 + ������2<a (������-5)2 + ������2,
整理得
������ + 25
3
2
+y2<
20 3
2
.
即点 P 在圆 C:
������ + 25
3
2
+y2=
20 3
2
的内部.
也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物.
同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物.
������ 7
+
���4���=1,
即 4x+7y-28=0,圆心(0,0)到直线 4x+7y-28=0 的距离 d=
|28| 4 2 +72
=
28 ,半径 r=3.
65
∵d>r,
∴直线与圆相离,∴轮船不会受到台风的影响.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
二、坐标法在平面几何中的应用 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过 代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,
4.2.3直线与圆的方程的应用 课件(人教A版必修2)
则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= y12 ,
即 x2+y2-2x1x-2y1y+ x12 =0.②
①-②,得 2x1x+2y1y-1- x12 =0.③
③式就是直线 EF 的方程
设 CD 的中点为 H,其坐标为(x1,y1 ),将 H 代入③式,得 2
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立方 程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建 立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的直角坐标系,设出 圆的方程,为求解方程或计算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结 果. (4)翻译成具体问题.
y=-24+12 6 ≈5.39(m)(负值舍去).
答:支柱 A2P2 的长约为 5.39 m.
反思:在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法解 决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对 称轴为坐标轴;②常选特殊点作为直角坐标系的原点;③尽量使已知点位于坐标 轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.
答案:B
2 与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0, 则 a=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:x2+y2-4x+3=0 化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),
∵(2,0)关于直线 x-y-1=0 对称的点为(1,1),
C§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．1381401．圆与圆的位置关系有.2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .二、新课导学※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20OP m=,建造时每间隔4m需要用一根=,拱高4AB mA B的高度(精确0.01m)支柱支撑,求支柱22变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2y x =+与曲线y =.三、总结提升※ 学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．13. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 . 5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 .课后作业1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
课件3：4.2.3 直线与圆的方程的应用
变式与拓展 4－1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋y2＝4 上有且仅有 四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围 是_(_－__1_3_,1_3_)_．
解析：圆半径为 2，圆心(0,0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离 |c|
小于 1，12 <1，c 的取值范围是(－13,13)．
解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线． 3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点关于 直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于_3_. 解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心． 4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点， 则实数 m 的取值范围是__(－__∞__，__0_)∪__(_1_0_，__＋__∞_)__．
3，3＋4
3 .
例 4：已知直线 l：y＝x＋b 与曲线 C：y＝ 1－x2有两个公 共点，求 b 的取值范围．
错因剖析：忽略了曲线 C：y＝ 1－x2表示一个半圆，而没
有考虑变量的取值范围． 正解：如图，曲线C：y = 1 x2表示一个圆，直线与半圆有两个 交点，b 为直线在 y 轴上的截距，
显然 1≤b＜ 2.
－y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
∴k·0－0k＋ 2＋31k－32＝3，解得 k＝－34.
∴此直线方程为 y＋32＝－34x＋3，
即 3x＋4y＋15＝0. 当斜率 k 不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3， 代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4. 弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． ∴所求直线方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0.
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离 水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米.
解析答案
类型二 坐标法证明几何问题 例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切 于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
返回
|0－0＋m|
即 2 >1， 故 m<－ 2.
解析答案
规律与方法
1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代 数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归 的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归. 所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归 为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识. 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特 征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识 并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.
车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )
A.1.4 m
B.3.5 m
C.3.6 m
D.2.0 m
解析 如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8， 所以弦心距|OB|＝ 3.62－0.82≈3.5(m).
解析答案
1 23 4
2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以 每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区 将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约 为________h(结果精确到0.1 h).
4.2.3 直线与圆的方程的应用
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3．保持例3条件不变，求(x－3)2＋(y－4)2的最大值和最小
值．
解：圆x2＋y2＋4x＋3＝0可化为(x＋2)2＋y2＝1.
∴其圆心坐标和半径分别为C(－2,0)，r＝1.
令A(3,4)，则(x－3)2＋(y－4)2表示圆上的点与A点距离的平
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直线与圆的方程的实际应用
如图所示，某粮食储备库 占地呈圆域形状，它的斜对面有一 条公路．从储备库中心A向正东方向 走1 km是储备库边界上的点B，接着 向正东方向走2 km到达公路上的点 C；
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【规范解答】 如图所示，设 M(x，y)，则点 M 在圆 C：(x＋2)2＋y2＝1 上， 令 Q(1,2)，设 k＝xy－－12， 即 kx－y－k＋2＝0.2 分
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过点 Q 作圆 C 的两条切线 QA、QB，则直线 QM 夹在两切
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【题后总结】解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意 以下几个方面：
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1．有一种商品，A、B两地均有出售，且价格相同，某地居 民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运 费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10 km，顾客选A或B地 购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、 B两地售货区域的分界线的曲线形状．
课件4：4.2.3 直线与圆的方程的应用
3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是( ) A.都是两个点 B.一条直线和一个圆 C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆 D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆
解析:x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2-1=0,
则它表示一条直线x=0和一个圆x2+y2=1;
π(| PA |)2 π(| PB |)2 π(| PO |)2 π (| PA |2 | PB |2 | PO |2 ).
2
2
24
∴所求面积的最大值为 11π ,
2
最小值为 9π .
2
变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范 围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正 北40 km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台 风的影响?
D. 1 1 ≥1 a2 b2
答案:D
题型二 用坐标法求圆的方程 例2:如图所示,点M是弓形弧 OMA 的中点,弦|OA|=8,弓形 的高为2 m,求此弧所在圆的方程.
解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r, 那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2. 由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上
| c | 1. a2 b2
答案:B
2.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则
A､B两点之间的最短距离为( )
A.2 5
B.2 5 2
2 0)2 (5 1)2 2 5 4 r1 r2, ∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为 2 5 4. 答案:C
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思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
2
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
P
C X O
A
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
M O12，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
2
x2+(y+10.5)2=14.52
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o M N D y A x
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） 2 P P
4.2.3
直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
C o M N A x
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？ B
C M A
E
D
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？