《不等式恒成立问题》教案

《不等式恒成立问题》

一、 教学目标：

（1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划

求最值。

（2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，

提升解决问题的能力。

（3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地

参加高考。

二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。

三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数

与方程思想的应用。

四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解

法，然后再练习习题。

五、 教具准备：多媒体课件 六、 教学过程：

高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。

①

2

11.12

52x ax x a ∈++≥0对于一切(0,]例若不等式成立，则的最小值为 （ ）A.0 B.-2C.- D.-3x 21

ax x -≥法一:不等式可化为-，().11

2x x a x

-+∴∈≥(0,]，由()11

2

x x +

在(0,]上是减函数,

max ()152x x --∴=-2

()1,.2

a f x x ax x =++=-

法二：令对称轴为02(0)0

a f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥0a ⇒≥

x 5a 2

∴≥-

1 ② ③

小结：法一利用参变量分离法，化成a >f (x)(a

a >f max (x)(a

法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。

法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。

1022()02

a a f ⎧

<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥10a ⇒-<<52a ⇒-≤≤-1

5

2

a ≥综上①②③，-

2

2

x

2

()1,.

2

a f x x ax x =++=-法三：验证法：令对称轴为2

1()10]2

a f x x =+当=0时，≥在（0,恒成立。

22

12()211]2

a f x x x x =-=-+=-当时，（）在（0,恒成立。25551

()1]()2242

11

()0()0]22

a f x x x x f x f f x =-=-+==当时，，对称轴，（0,是的减区间，

，故≥在（0,恒成立。

231

3()31]()22

111

()0,]()0242

a f x x x x f x f f x =-=-+==-<当时，，对称轴，（0,是的减区间，

故在（0,上≥不恒成立。

2

2210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。1

2

m >-

答案：22.21(1)2x m x m m x ->--例若不等式对满足≤≤2的所有都成立，求的取值范围。2()2f m x m x m =<-法一：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)122

1()02

a f ⎧-⎪⎪⎨

⎪⎪⎩≥≥

2

小结：本题利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于m 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次

函数的单调性，求出x 的取值范围。

通过以上两题，大家总结一下参变量转换法和参变量分离法的异同，各在什么情况下运用？

232(2)0kx kx k k +-+<、如果恒成立，则实数的取值范围是（ ）

(2)0(2)0f f -<⎧⎨

<⎩由题可知：2222302210

x x x x ⎧+->⇒⎨--<

⎩1122x -++⇒<<2()2f m x m x m =<-法二：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)

2x x x ±①当-1=0时，即=1，经验证，只有=1适合。2(2)0

x f ⎧<⎨-<⎩-10②2(2)0x f ⎧>⎨<⎩-10

③1122x -++<<综上①②③，可得：22||x x x x

∈++>+p 2p R p 12p 练习：对于一切≤，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

x x <->13

答案：或()()()()21............(*)

||2*||2*x x x x -+-+>1m m 1301m 2m 课堂练习：

对于不等式（）当≤，式恒成立，求实数的取值范围；（）当≤，

式恒成立，求实数的取值范围。()()2,||2,

x x x x -+-+1m m 13（1）分析：令f()=≤()01*(*)

-===1m m m 1①当时，即，式成立，故适合()()21

01,*[,]?2

(1)1:x x -><∈-∆=---<-<<1m m 22m 12m 011m 1

②当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件

为：，解得()()21

,*[,]2

3

()()()02

x x -<>∈---+--+><<

1m 0m 1221m 2m 123m ③当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件

为：f(-2)=，解得：13

::112

-<

22

[2,2]

x x x x ∈-（2）分析：令f(m)=（-+）m+(-+3),m 22(2)33300(2)30

f x x f x x ⎧-=-+>>⇔⎨=-++>⎩则f(m)

恒成立1122x -+∴<<。22.()24[1,3]2f x x ax a =-+-已知函数在区间上都不小于，求的值。

224.,(1)1x y x y x y c c +-=++≥设实数满足，且0恒成立，的

取值范围是( )