《不等式恒成立问题》教案
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .1.设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为___．2.已知f (x )＝2x x 2＋6.若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 3.当x>1时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]4.若对任意恒成立，则的取值范围是_____5.若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 6.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．7．已知x >0，y >0，2x +y =1，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是8.不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为.9.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是________.10. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．0x >1a ≤+a ,x y ln ln 0x y +=22(2)4k x y x y +≤+k。
不等式恒成立问题教案
e
e
①错误；令 g( x) f ( x) - x x ln x x ，所以 g '( x) ln x ，可知 g (x) 在（ 0,1）上递减，（ 1， +∞）上递增，故②错；令
f ( x) h( x)
x
h' ( x)
x ln x x x ln x x2
1 ，所以 h（x）在（0，+∞）上递增，所以 f ( x1 )
f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
b 2a 或 f( ) 0
b 2a 0
b ,
或 2a f ( ) 0.
注： f (x) 0 恒成立
f ( x)min 0（注：若 f (x) 的最小值不存在， 则 f ( x) 0 恒成立
f (x) 的下界大于 0）；f ()x 0
恒成立 f ( x)max 0 （注：若 f ( x) 的最大值不存在，则 f (x) 0 恒成立 f ( x) 的上界小于 0）．
可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．
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考点 5 不等式能成立问题的处理方法
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x k 成立，则等价于在区间 D 上 f x max k ； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x k 成立，则等价于在区间 D 上的 f x min k ． 注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式
m0 0 或 16m2 16m
0
由此能求出 m 的取值范围，解得 1 m 0 ．
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考点二 分离参数法 —— 极端化原则
例 2 已知函数 f (x) x ln x ，当 x2 x1 0 时，给出下列几个结论：
2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案
不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。
正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。
今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。
（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解导数和切线方程的概念。
2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。
3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。
4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法那么几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法那么：法那么1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法那么2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法那么3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，那么复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'2.求直线斜率的方法〔高中范围内三种〕(1) tan k α=〔α为倾斜角〕； (2) 1212()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；3.求切线的方程的步骤：〔三步走〕〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕0()k f x '= 〔在0x x =处的切线的斜率〕；〔3〕点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；4.用导数求函数的单调性：〔1〕求函数()f x 的导函数()f x '；〔2〕()0f x '>，求单调递增区间；〔3〕()0f x '<，求单调递减区间；〔4〕()0f x '=，是极值点。
基本不等式及恒成立问题 - 解析版
基本不等式以及恒成立【教学目标】一、基本不等式基本不等式：如果,a b R ∈，那么22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）当0,0a b >>时，22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）【例题讲解】 二、基本不等式的构造（一）分式分离【知识点】分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x++=的最小值； 答案：9★☆☆练习1．函数241x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3★☆☆练习2．已知0x >，则24x x x−+的最小值是 答案：3解：由于0x >， 41213x x−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．★★☆练习3． 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的最小值。
答案：9解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。
知识点要点总结：关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。
（二）整式凑分式分母形式【知识点】对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。
需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。
【例题讲解】★☆☆例题1．已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
答案：1 12)45x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
不等式恒成立问题
不等式恒成立问题【教学目标】（1）理解恒成立问题的充要条件，掌握解决此类问题的基本方法；（2）培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论的思想、数形结合与转化思想； （3）通过问题的探究，体验成功的喜悦【教学重点】理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能 【教学难点】利用转化思想，通过函数性质和图像化归至最值问题来处理恒成立问题 【学情分析】经过一轮复习，学生较系统的复习了高中数学所有的基本知识点，对恒成立问题在不同的知识点都有所涉及，但缺乏系统的归纳整理，本节的重点即在学生已有的方法基础上，对高中数学解决此类问题进行梳理、归纳、整合、引申，形成方法的体系，并能对一些结论和规律适当拓展，扩大学生的知识面，达到训练的目的。
【教学设计】一．基础回顾，提炼方法【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围 (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围 (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围【归纳总结一】对于二次不等式),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：0<a 且0<∆（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）二次不等式02>++c bx ax 的解集是0,0≤∆<⇔a φ （4）二次不等式02<++c bx ax 的解集是0,0≤∆>⇔a φ【归纳总结二】二次项系数分类【归纳总结三】解决不等式恒利问题的基本方法 （1）判别式法（二次不等式专用） （2）函数性质0)(≥x f 在[]b a ,恒成立0)(min ≥⇔x f 0)(≤x f 在[]b a ,恒成立0)(max ≤⇔x f（3）分离系数法)(,x f a M x ≥∈∀M x x f a ∈≥⇔....)(max )(,x f a M x ≤∈∀M x x f a ∈≤⇔....)(min（4）数形结合法 （5）变换主元法 二． 反馈练习，小试牛刀（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立,求a 的取值范围（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 C ．()2,1D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围 （4）若函数kxex x f ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围三．归纳总结，积累经验1. 解决恒成立问题的基本方法有哪些？2. 本节学习体现了那些基本数学思想？（1）化归转化思想 （2）数形结合思想 （3）分类讨论思想专题——不等式恒成立问题学习要求：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围. (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围. (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围.(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.【问题二】选择恰当的方法解决下列问题，积累解题经验（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立，求a 的取值范围.（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围.A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0 C ．()2,1 D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围. （4）若函数kxe x xf ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围.。
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学教案
教师姓名韩贺凤单位名称巴州第一中学填写时间2020·8·15学科数学年级/册高一年级教材版本人教A版课题名称必修五第三章第二节3.2 解决一元二次不等式的恒成立问题难点名称根据实物，概括棱柱、棱椎、棱台的结构特征难点分析从知识角度分析为什么难对一元二次不等式恒成立的理解与一元二次不等式的解集二者之间的关联性。
从学生角度分析为什么难1、一元二次不等式的解法在教材中是利用二次函数的图像分析出来的，学生往往只重视结果，而忽视了它的形成过程。
2、一元二次不等式恒成立的理解不能与解法有机结合。
难点教学方法数形结合的思想方法教学环节教学过程导入从教材的一道例题的解法作为本节课的导入复习一元二次不等式的解法，教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集知识讲解（难点突破）通过由简入难的螺旋思维形成过程，设计三道例题例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解集是R，求a的取值范围。
分析：不等式的解集是R，意思是x取任何实数，都能使不等式成立，因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保证x为任何实数时，都要使y>0，所以，∆=1-4a<0,从而得到a>¼例2：已知关于x的不等式x2-ax+4≥0的解集是R，求a的取值范围分析：同样不等式的解集为R，意思是x取任何实数不等式都成立，因此，二次函数y=x2-ax+4的图像也就要保证x取任何实数都要使y≥0，所以，∆≤0，即：a2-16≤0,从而得到-4≤a≤4例3：已知关于x的不等式2ax2+ax-83<0对一切实数x都成立，求a的取值范围。
分析：不等式对一切实数x都成立，意思是不等式的解集为R，也就是实数x取任何值，不等式都成立，因此二次函数y=2ax2+ax- （a≠0)的图像就要保证x取任何实数都要使y<0，从而得到-3<a<0我们可以发现,题中并没有告诉a≠0，所以需检验a=0的情况，看是否也能保证题意成立。
最新高三教案-不等式恒成立问题 精品
不等式恒成立问题一、知识梳理：不等式与函数、数列有关恒成立的综合运用 二、训练反馈：1．若关于x 的不等式a a x x ≥-+-2在R 上恒成立，则a 的最大值是（ ） A. 0 B. 0 C. -1 D. 22．不等式022224≥--++a a x x 恒成立，则a 的取值范围是 。
3．不等式)1(122->-x m x 对于满足2≤m 的一切实数m 都成立，则x 的范围是 。
4．（04启中模拟）对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、-∞(，－2］B 、［－2，2］C 、［－2，)+∞D 、［0，)+∞5．（04淄博月考）对任意a ∈[－1,1]，函数f(x)=x 2+(a －4)x+4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是 （ ）A ．1<x<3B ．x<1或x>3C ．1<x<2D ．x<1或x>26．（04苏中模拟）已知)1lg()(2x x x x f +++=,若)3(x m f ⋅+)239(-+-x x f0<恒成立，则m 的取值范围是__________.7．（04黄冈模拟）设函数3)(x x f =（x ∈R ），若2π0≤≤θ时，)sin (θm f +)1(m f - 0>恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）A 、（0，1）B 、（-∞，0）C 、-∞(，)21 D 、-∞(，)1 三、例题例1：)1lg()(+=x x f ，)2lg(2)(t x x g += 当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤恒成立，求的范围。
例2：已知)(x f 定义在)1,1(-上，且有)1()()(xyyx f y f x f ++=+，若数列)}({n x f 满足 21112,21nn n x x x x +==+。
（1） 求数列)}({n x f 的通项公式 （2） 是否存在整数M ，使不等式M x f x f x f n >+++)(1...)(1)(121对任意+∈N n 恒成立？若存在，求出M 的最大值；若不存在，请说明理由。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
不等式恒成立问题
法
例3 已知函数f x是定义在R上的减函数,且f a2 x f a 1 2x2 对x R恒成立,求实数a的取值范围；
解 f x在R上单调递减,且f a2 x f a 1 2x2
a2 x a 1 2x2 a2 a 2x2 x 1对x R恒成立
令g
x
2x2
x
1, 在x
恒 成 立不 等 式 中求 参 问 题
1、几个结论
a f x 恒成立 a fmax x
a
f
x 恒成立
a
fmin x
a f x 恒成立 a fmax x
a
f
x 恒成立
a
fmin x
2、题目中一般会有两个参数，一个是已知参数，另一个是欲求 参数；
例1
1当x
1 4
x 1 x 1
x 1
x 1
x2 4x 2a 4
x 1
已知关于x的函数y x2 ax a,当x 2, 时恒大于0,求a的
取值范围；
方 法
x0
a 2
二 ：
1 a
2
2
a
4
fmin
x
f
2
4a
0
a
4
二 次 函 数
2
a 2
2
a
4
fmin
x
f
a 2
a
a2 4
0
0
a
4
综合12可得a 4
的
值
域
求
解 2x 1 m x2 1m x2 1 2x 1 0
方 令f m x2 1 m 2x 1, f m 0,当m 2, 2
法 三
f
2
0
教案 不等式恒成立
教案不等式恒成立教案标题：不等式恒成立教学目标：1. 了解和理解不等式的概念和性质；2. 掌握解不等式的方法和技巧；3. 能够判断和证明不等式是否恒成立；4. 能够应用不等式恒成立的性质解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教师备课笔记、教学课件、教学素材、练习题；2. 学生准备：课本、笔记本、笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 教师通过提问和讨论引导学生回顾不等式的概念和性质，例如“什么是不等式？不等式有哪些符号表示？不等式有哪些基本性质？”等。
知识讲解与示范：2. 教师结合教学课件，详细讲解不等式恒成立的概念和判断方法。
a. 解释什么是不等式恒成立，即对于给定的不等式，无论取任何满足条件的变量值，不等式都成立；b. 介绍判断不等式恒成立的基本方法，如代入法、变形法等；c. 通过具体的例子演示如何判断不等式是否恒成立。
练习与巩固：3. 学生进行个人或小组练习，解决一些简单的不等式恒成立的题目，巩固刚才所学的知识。
4. 教师在课堂上解答学生的问题，引导学生发现解题的关键点和方法。
拓展与应用：5. 学生通过课堂讨论或小组合作的方式，解决一些复杂的不等式恒成立的问题，培养学生的分析和推理能力。
6. 学生将所学的不等式恒成立的知识应用到实际问题中，例如通过不等式恒成立解决最优化问题、约束条件问题等。
总结与评价：7. 教师对本节课所学的内容进行总结，强调不等式恒成立的重要性和应用领域。
8. 学生进行自我评价，回顾自己在本节课中的学习情况和收获。
作业布置：9. 布置一些相关的课后作业，以巩固学生对不等式恒成立的理解和应用能力。
教学反思：教师根据本节课的教学情况和学生的反应，进行教学反思和调整，为下一节课的教学做好准备。
不等式恒成立问题教案
不等式恒成立问题教案教学目标：1．掌握解决不等式恒成立问题的基本方法：最值分析法、变量分离法、图像法等；能根据题目的构成特征，合理选择解题最优策略；2．在解决不等式恒成立问题的过程中，体验数形结合，函数与方程，分类讨论的数学思想方法；3．养成眼睛的思维习惯，提高分析解决问题的能力.教学重点: 处理不等式恒成立问题的基本方法．教学难点：不等式恒成立问题解法的合理选择．教学内容：一、复习二次不等式的恒成立问题二、例题分析例题1. 对于一切实数x，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式1：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式2：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．例题2. 若关于的不等式对任意在恒成立，则实常数的取值范围是.答案：巩固练习1：1. 在上定义运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 _________________2．若函数在上有意义，则实数a的取值范围是______3. 已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。
例题3.：如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是_______巩固练习2：2. 当x(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．3. 设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：三、知识回顾，方法总结；1．最值分析法2．分离变量法3．图像法四、结束语：数学常见恒成立,最值分析来考虑;变量分离和图像,往往也来共参与.五、教学反思1. 第三轮复习的内容可以参照二模的一些新题型，提高学生的学习兴趣2. 复习的内容偏重于基础，可以在思维上再加深一些难度。
3. 课上学生的含参问题的计算能力不强，需要在以后的教学过程中加以改进教学说明：不等式的恒成立问题是高考中常见的一类问题，解题方法比较多，需要让学生在复习过程中加以提炼。
所以我在第三轮复习时选择了这个课题让学生研究。
在教学过程中主要抓住了解不等式恒成立问题的一些基本类型加以复习巩固和课堂练习。
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案
函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数,有),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=1）对恒成立; 0)(>x f R x ∈⎩⎨⎧<∆>⇔00a 2）对恒成立 0)(<x f R x ∈.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1：若不等式的解集是R ，求m 的范围。
02)1()1(2>+-+-x m x m 例2 设函数f(x)＝ mx 2-mx-1．(1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立a x f >)(min)(x f a <⇔2）恒成立a x f <)(max)(x f a >⇔例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
[]2,2x ∈-23x ax a ++≥a 例2．设，当时，恒成立，求实数的取22)(2+-=mx x x f ),1[+∞-∈x m x f ≥)(m 值范围。
巩固．已知函数，若对任意，恒),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ),1[+∞∈x 0)(>x f 成立，求实数的取值范围。
a 练习2 已知，若恒成立，求a 的取值范围.a ax x x f -++=3)(22)(],2,2[≥-∈x f x 22210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。
陕西省西安经发中学高中数学 3.2一元二次不等式恒成立问题教案 新人教A版必修5
x yO6362+-=x y “一元一次不等式与一次函数”教案设计教 学 目 标知识与能力：通过做函数图象、观察函数图象，使学生进一步理解函数的概念，体会一元一次等式与一元一次函数的内在联系。
掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。
情感、态度、价值观：提供问题的策略化，发展学生的个性，发展学生的数学才能，感悟知识的价值。
教 学 重 点 难 点 教学重点：培养学生对函数图象的观察能力，进一步理解函数的概念。
用函数的知识求一元一次不等式的解集。
教学难点：对函数图象的理解和体会，一次函数图象与一元一次不等式一次函数的关系。
教 学 用 具小黑板或PPT 课件。
课 时安 排 1课时 学 习 任 务1．回顾什么叫一元一次函数？什么叫不等式？2．已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答： ⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为 思考：⑵当x ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为 ⑶当x 时，y 总结：当y=0时，正好是图象与 轴的交点 当y ＞0时，图象位于 轴 方 当y ＜0时，图象位于 轴 方四 总结1、本节课学习的数学知识是一次函数与一元一次不等式的关系 ⑴若方程0=+b ax （a 、b 为常数且a ≠0）的解为b ax -=，那么不等式0＞b ax +（或0＜b ax +）（a ≠0）的解集就是一次函数b ax y +=（a ≠0）函数值大于0（或小于0）时x 的取值范围。
⑵若解不等式ax+b ＞cx+d （或ax+b ＜cx+d ）（a 、b 、c 、d 为常数且a 、c 都不为0）则可化为最简一元一次不等式，再利用一次函数图象求解。
也可两边分别看成一次函数、利用图象求解。
2、本节课学习的数学方法——数形结合。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
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《不等式恒成立问题》
一、 教学目标：
（1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划
求最值。
（2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，
提升解决问题的能力。
（3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地
参加高考。
二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数
与方程思想的应用。
四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解
法，然后再练习习题。
五、 教具准备：多媒体课件 六、 教学过程：
高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
①
2
11.12
52x ax x a ∈++≥0对于一切(0,]例若不等式成立，则的最小值为 （ ）A.0 B.-2C.- D.-3x 21
ax x -≥法一:不等式可化为-，().11
2x x a x
-+∴∈≥(0,]，由()11
2
x x +
在(0,]上是减函数,
max ()152x x --∴=-2
()1,.2
a f x x ax x =++=-
法二：令对称轴为02(0)0
a f ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥0a ⇒≥
x 5a 2
∴≥-
1 ② ③
小结：法一利用参变量分离法，化成a >f (x)(a <f (x))型恒成立问题，再利用
a >f max (x)(a <f min (x))求出参数范围。
法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。
法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。
1022()02
a a f ⎧
<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥10a ⇒-<<52a ⇒-≤≤-1
5
2
a ≥综上①②③，-
2
2
x
2
()1,.
2
a f x x ax x =++=-法三：验证法：令对称轴为2
1()10]2
a f x x =+当=0时，≥在（0,恒成立。
22
12()211]2
a f x x x x =-=-+=-当时，（）在（0,恒成立。
25551
()1]()2242
11
()0()0]22
a f x x x x f x f f x =-=-+==当时，，对称轴，（0,是的减区间，
，故≥在（0,恒成立。
231
3()31]()22
111
()0,]()0242
a f x x x x f x f f x =-=-+==-<当时，，对称轴，（0,是的减区间，
故在（0,上≥不恒成立。
2
2210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。
1
2
m >-
答案：22.21(1)2x m x m m x ->--例若不等式对满足≤≤2的所有都成立，求的取值范围。
2()2f m x m x m =<-法一：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)122
1()02
a f ⎧-⎪⎪⎨
⎪⎪⎩≥≥
2
小结：本题利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于m 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次
函数的单调性，求出x 的取值范围。
通过以上两题，大家总结一下参变量转换法和参变量分离法的异同，各在什么情况下运用？
232(2)0kx kx k k +-+<、如果恒成立，则实数的取值范围是（ ）
(2)0(2)0f f -<⎧⎨
<⎩由题可知：2222302210
x x x x ⎧+->⇒⎨--<
⎩1122x -++⇒<<2()2f m x m x m =<-法二：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)
2x x x ±①当-1=0时，即=1，经验证，只有=1适合。
2(2)0
x f ⎧<⎨-<⎩-10②2(2)0x f ⎧>⎨<⎩-10
③1122x -++<<综上①②③，可得：22||x x x x
∈++>+p 2p R p 12p 练习：对于一切≤，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
x x <->13
答案：或()()()()21............(*)
||2*||2*x x x x -+-+>1m m 1301m 2m 课堂练习：
对于不等式（）当≤，式恒成立，求实数的取值范围；（）当≤，
式恒成立，求实数的取值范围。
()()2,||2,
x x x x -+-+1m m 13（1）分析：令f()=≤()01*(*)
-===1m m m 1①当时，即，式成立，故适合()()21
01,*[,]?2
(1)1:x x -><∈-∆=---<-<<1m m 22m 12m 011m 1
②当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件
为：，解得()()21
,*[,]2
3
()()()02
x x -<>∈---+--+><<
1m 0m 1221m 2m 123m ③当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件
为：f(-2)=，解得：13
::112
-<<m m 综上①②③可知适合条件的的范围是。
22
[2,2]
x x x x ∈-（2）分析：令f(m)=（-+）m+(-+3),m 22(2)33300(2)30
f x x f x x ⎧-=-+>>⇔⎨=-++>⎩则f(m)
恒成立1122x -+∴<<。
22.()24[1,3]2f x x ax a =-+-已知函数在区间上都不小于，求的值。
224.,(1)1x y x y x y c c +-=++≥设实数满足，且0恒成立，的
取值范围是( )
3
参考答案： 七、 课时小结与作业：
1、通过参变量分离法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。
2、化归二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。
3、通过参变量转换法化成一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
4、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理，或者化成f(x) -g(x) ≥0再处理。
八、 板书设计：
5.1x x kx k +如果对任意实数，不等式≥恒成立，则实数的取值范围是( )
26.(2)2(2)40m x m x m -+-+>已知不等式的解集为R ，则的
取值范围( )117.00
0k
a b k a b a b
>>+++设，，且不等式≥恒成立，则实数的最小值等于（ ）
3.1k -<≤0
4.1c k
5.0≤≤1
6.26m <≤
7.4
-2R ()(43)2m f x m x x m ∈=--+作业练习：已知，求函数在区间[0，1]上的
最大值。