函数值域的求法PPT课件
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2.3 函数的值域与.最值课件(北师大版必修一)
(2)由
⇒ab>0.
①0<a<b时，由(1)可知：x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝2，所以
≤2⇒a≥1，
即1≤a<b，由(1)可知：x∈[a，b]时f(x)递 减，
3x－x3＝ ⇒x4－3x2＋2＝0⇒x1＝1；x2 ＝ ，所以a＝1，b＝ .
②a<b<0时，由(1)可知：x∈(－∞，0)时 f(x)递增，
5 2
使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋
∞) ．
8．求导法——当一个函数在定义域上可 导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－
x，x∈[0,2]的值域为
．
9．数形结合法——当一个函数图象可作 [0，＋∞)
时，通过图象可求其值域和最值；或利 用函数所表示的几何意义，借助于几何
解析：本小题主要考 查正六棱柱的概念与 性质，以及函数的相 关知识，考查考生运 用导数知识解决实际 问题的能力． 设被切去的全等四边 形的一边为x，如图 所示，则正六棱柱的 底面边长为1－2x， 高为 x，
所以正六棱柱的体积
V＝6×
(1－2x)2×
x(0<x<
)，
化简得V＝ (4x3－4x2＋x)． 又V′＝ (12x2－8x＋1)， 或 x＝ .
3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数 的值域由函数的定义域及其对应法则唯 一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值 域由问题的实际意义确定．
四、求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模式．常用的方法 有： [2，＋∞) 1．直接法——从自变量x的范围出发，推 出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域 为 ． (0，＋∞) 2．配方法——配方法是求“二次函数类” 值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋ bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．
求函数的最大(小)值与值域课件
D．(0,4)
解 析 ： 由 已 知 得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式 求函数的最值
例
2，求
y
x2
1 x2
9(x
0)
的最小值
解析： ； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四 利用x 导数求最值
破 令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、 用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
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《新课程标准》中函数 求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
知识梳理 1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)． ③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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第二讲 函数的定义域和值域的求解方法
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法一、定义域的求解方法：(1)若()x f 为整式，则定义域为R ；(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合；(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；(4)指数函数的定义域（也就是指数部分）为R ；（5）对数函数的定义域（真数部分）为R +；（6）幂函数的定义域要视指数的情况而定，如：2()f x x =与12()f x x =；(7)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；（*）实际问题中，确定定义域要考虑实际问题例：1、求下列函数的定义域： （1）2322---=x x x y ； （2）x x y -⋅-=11； （3）x y --=113；（4）2253x x y -+-=； （5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x f 23412、已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3、若函数()3123++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。
练习：1.求下列函数的定义域：（1）()142--=x x f ； （2）()21432-+--=x x x x f（3）()x x f 11111++=； （4）()()x x x x f -+=01已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=342x f xf y 的定义域。
二、值域的求解方法：1、直接法：直接根据函数表达式来求值域。
例：4y x =， (2,3)x ∈2、单调性法：利用函数的单调性来求值域。
例：2y x =3、图象法：利用函数图象来求值域。
例：2y x =，2(2,5)y x x =∈-4、配方法：把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求。
例：221x x y x x -=-+5、判别式法：把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求。
《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】
温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中 的 分
母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；
④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R____． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x－ －x1＞ ＞00， ， 即 1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．
0≤x2≤2
(2)由x＋1>0
，得
1＋lg（x＋1）≠0
－ 2≤x≤ x>－1 x≠－190
2 ，∴－1<x<－190或
－190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(－1，－190)∪(－190， 2]．
【解析】由 22xx－ －－＋xx11>≠≠≥1000，， ，，得xxx≥≠<－ 12，，1，
则－ x≠11≤，x<2，所以定义域是{x|－1≤x<1 或 1<x<2}．
2．(2014·山东济南模拟)若函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为
R，则实数 a 的取值范围是__[0_，__3_)__．
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
【解析】因为函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为 R， 所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， 即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点． 当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点； 当 a≠0 时，则 Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)．
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
函数值域的求解方法
值域解法：
例1：求函数y=-x2+1在区间[-1,1]上的值域。
解：
（1）函数是闭区间上的连续函数，值域为闭区间[m,M]； （2）驻点为0，则最大值M=f(1)=1 （3）驻点左边区间递增，则f(-1)最小，驻点右边区间递减，
f(1)最小，则函数最小值m=min(f(-1),f(1))=0
函数值域的求解方式
小y主讲 2016年1月6日10:20:46
值域的定义：f(x)是定义在区间I上的函数，则集合{y|y=f(x),x∈I}就 是函数的值域。
值域解法：
求函数值域的方式很多，但无外乎三种情况。
1.闭区间上的连续函数，可以根据最大最小值定理，知道该函数的值域 是一个闭区间，求出闭区间的端点即可，可以用的方法有驻点（导数为0） 法求解。 2.开区间上的连续函数，与上述方式基本一样，但是需要求出区间两端 的收敛性，然后求得其值域。 3.如果函数的定义域有多个区间，可在每个区间上求出区间值域，然后 求各区间值域的并集求得函数的值域
所以，其值域为[0,1]
值域解法：
例2：求函数y=1/x在区间（的连续函数； （2）无驻点，函数在区间上递减，则值域是开区间（m,M）； （3）x
→ -1时，y → -1,则M=-1;x→0时，y→-∞，m=-∞；
所以，值域为（-∞，-1）
以上方法是求函数值域的一般方法，对特殊函数的值域还可以用： 1）换元法（复杂问题简单化）； 2）反解法（用y表示x反解含有y的不等式） 3）不等式法（用不等式的性质，是一种函数思想）； 4）图像法（代数问题几何化）； 5）分解转化法（是以上方法的综合）等途径解决。
求函数值域的方法 课件
例3.求函数 y x 2x 1 的值域.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
函数定义域值域求法
使f ( x 2)有意义的条件是1 x 2 4
即-1 x 2
则f ( x 2)的定义域为 1, 2]. [
例：已知f ( x 1)的定义域为[0, 3], 求f ( x)的定义域。
分析：函数f ( x 1)和f ( x)中的x并不是同一个量，若 设u x 1则f ( x 1)变为f (u ), 那么u的取值范 围就是f ( x)的定义域。
又f x0 =8,则x0 =
几类函数的定义域： （1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果求 [ f ( x)] ，那么函数的定义域是使 f(x)不 等于0的实数的集合. （5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的 交集） （6）满足实际问题有意义
函数的值域问题
例3：求下列函数的值域：(配方法)
2
(1)y =x 4 x 6; (2) y =x 4 x 6; x 0, 3
2
(3)y= - x +x +2
2
函数的值域问题
例4：求下列函数的值域：(换元法)
(1)y =2x +4 1+x ;
(2)y =2x +4 1-x ; 变式x -,-3
x 1 例：若函数f ( x) 的定义域为R，求m的取值范围。 2 mx mx 3
3
解：要使原函数有意义，必须mx 2 m 3 0, 由于函数的定义域是R，故mx 2 mx 3 0 对一切实数x恒成立。
【三维设计】高考数学第二章第二节函数的定义域和值域课件新人教A版
5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为 (0，＋∞) ． π 6．y＝tan x的定义域为 {x|x≠kπ＋2，k∈Z} ． 7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所
为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
1 3．函数y＝ 2 的值域为 x ＋2 A．R 1 C．{y|y≤2}
2
(
)
1 B．{y|y≥2} 1 D．{y|0<y≤2}
1 1 1 解析：∵x ＋2≥2，∴0< 2 ≤ .∴0<y≤2. x ＋2 2
答案： D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x－ 4 4．(教材习题改编)函数f(x)＝ 的定义域为________． |x|－5
1 (2011· 江西高考)若 f(x)＝ ，则 f(x)的定 log 1 2x＋1
2
(
)
[自主解答]
1 x>－ ， 2x＋1>0， 2 由已知得 log 1 2x＋1≠0， ∴ 2x＋1≠1. 2
1 即x>－2且x≠0.
[答案]
C
2x－1 若本例中的函数变为f(x)＝ ，试求f(x)的定义域． log 1 2x＋1
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y≥ 4a } ．
函数的定义域与值域PPT精品课件
函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间 [-3，0]上的值域及最大值、最小 值。
八、导数法
综合
设函数f(x)=x3―x2/2―2x＋5，当 x∈［1,2］时，f(x)＜m恒成立， 求实数m的取值范围。
求函数值域的方法：
1、数形结合 2、反函法
3、 Δ法
4、单调法
5、换元法 6、复合函数
7、结构分析 8、导数法
形如：y ax b cx d 的函数可令 cx d t(t 0)， 则 x t 2 d 转化为关于t的二次函数求值。
c
形如含有 a2 x2 的结构的函数，可用三角换元令
x=acosθ求解。
①反函数法或分离常数法：{y y 1 且y R}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求 最值，再得值域； ⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
应用举例 例1．求下列函数的值域
① y 4 3 2x x2 ①配方法[2，4]
② y 2x 1 2x ③ y x 1 x2
②换元法：(, 5]
4
③三角换元法：[1, 2]
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y x 的值域 x 1
适用于一 次分式
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分母除以分子
y 1 1 x 1
图象法： y 1 如何平移 y 1 1
x
x 1
界线法： x≠-1 , y≠1
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题 的实际意义确定。
江苏省响水中学高中数学 第二章《分段函数与值域的求法》课件 苏教版必修1
; ②函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x) .
1
2 已知函数 f(x)=4x -3,x∈{-1,0,1},则它的值域为 {1,-3} .
【解析】因为 f(-1)=1,f(0)=-3,f(1)=1,所以函数的值 域为{1,-3}.
2
下列函数中的 f(x)与 g(x)是相等函数的序号 ④ 是 . ①f(x)=x,g(x)=( x) ;
2x + 3,x < -1. (1)求 f(11 2 -1 3 2
),f(f(f(-2)))的值;
(2)求 f(3x-1)的解析式; (3)若 f(a)= ,求 a 的值.
【解析】(1)∵1∴f(11 2- 1 1 2- 1
=1-( 2+1)=- 2<-1,
)=f(- 2)=-2 2+3;
∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+ = .
2 2 1 3 2 3 1 3x
(2)当 3x-1>1,即 x> 时,f(3x-1)=1+
2 3
3x -1 3x -1
=
;
2 2
当-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ 时,f(3x-1)=(3x-1) +1=9x -6x+2; 当 3x-1<-1,即 x<0 时,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
2
18
,又知
4
作出函数 y=2x -4x-3(0≤x<3)的图象,并根据图象求出函 数的值域.
2
【解析】∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线 2 y=2(x-1) -5 介于[0,3)之间的一段弧,如图所示. 由图象可以看出,函数在[0,3)上的值域为[-5,3).
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第2讲 函数的定义域与值域课件 文
[解析] 要使函数的定义域为 R，则 mx2＋4mx＋3≠0 恒成立． (1)当 m＝0 时，得到不等式 3≠0 恒成立； (2)当 m≠0 时，要使不等式恒成立，
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
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第三十三页，共四十一页。
或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
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第三十一页，共四十一页。
已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数 值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围．
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第三十二页，共四十一页。
若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义， 则 3－2x－x2≥0， 解得－3≤x≤1， 则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
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第二十二页，共四十一页。
求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
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或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
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已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数 值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围．
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若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义， 则 3－2x－x2≥0， 解得－3≤x≤1， 则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
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求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.
1.1函数的定义域、值域的求法
函数的定义域、值域的求法第一讲：函数的定义域（一）基础知识回顾：1．自变量的取值范围叫做函数的定义域；函数值的集合叫做函数的值域.2．求定义域的主要依据是：整式函数实全体；分式分母 不为0_；偶次根式被开方数为 大于等于0；对数的真数 大于0；实际问题具体分析，要符合_题意. 3.复合函数的定义域：已知f(x)的定义域是]b ,a [x ∈，求f[g(x)]的定义域，就是求满足不等式a<g （x ）<b 的 x 的集合。
（二）例题分析： 1．求下列函数的定义域（1）)1(log log 225.0+=xy （2）y=log a [log a (log a x)]（3）x x y sin lg 162+-=2．设f(x)是定义在[－3，2]上的函数，求下列函数的定义域（1）)2(-=x f y（2）)0)((≠=a axf y（3）y=f(2x)+f(x+m) (m>0)3．若函数3412++-=ax axax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.4．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r 与面积S 之间的函数关系式及其定义域. 【备用题】 5函数315coslog+=x y π的定义域是（ ）A ．（－3，+∞）B ．),2[+∞-C ．（－3，－2）D ．]2,(--∞ 6若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 21x f 的定义域是（ ）A ．]2,21[B ．]2,0(C ．),2[+∞D ．]21,0(7函数1122---=x x y 的定义域是___________，函数y=(1+x)的定义域是____________.8函数y=log 2x －1(32－4x)的定义域是____________.9若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f(x+1)+f(x －1)的定义域为____________. 10函数11)(+-=xx ee xf 的反函数f －1(x)的定义域是_____________.【拓展练习】 11函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2x x x x x x f 的定义域为____________.12函数|)|lg(42x x xy+-=的定义域为__________________,2|1|42-+-=x xy的定义域为____________.13已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其中0<－a<b ，则F(x)=f(x)－f(－x)的定义域为___________，若y=log 2(x 2－2)的值域为[1，log 214]，则其定义域为_____________. 14已知f(x)的定义域为[0，1]，则]2[lg2x xf +的定义域为______________.15若x 为三角形内角，x 取何值时，xxtan 12sin-无意义___________________.16若函数aax axy12+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为______________.17求函数y=log a (a x－1) (a>0,a ≠1)的定义域.18求函数)4lg(3sin 1x x xy-+-+=的定义域.19在△ABC 中，BC=2，AB+AC=3.中线AD 的长为y ，若以AB关系，指出其定义域.20在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD 向点A 运动，设 点P 移动的中程为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y=f(x)及其定义域.21求函数2))(1(lg+--=x a x x y 的定义域.第二讲 函数的值域的求法1.求函数值域主要的方法与技巧: (1)分析观察法；（2）配方法；（3）数形结合法；（4）最大（最小）值法；（5）利用函数的单调性；（6）换元法 （7）反函数法注：由于值域取决于定义域和对应法则，所以不论采取什么方法求值域，都要考虑定义域。
函数值域的求法_精品1完整ppt课件
(1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
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(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; 精品(4课)件[3, +∞)
6
(5)
y=
sinx 2-cosx
;
3 3
]
六、均值不等式法
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要 注意满足条件“一正、二定、三等”.
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4精, 品+课∞件 )
4
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用
[- 2 , 2 ]
[
1 2
,
+∞)
5
九、导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而 求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(1)y=x+
4 x
,
x∈[1,
4];
(2)y=x5-5x4+5x3+2, x∈[-1, 2].
[4, 5] [-9, 3]
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域:
(3) y=sinx+cosx+sinx精c品os课x件+1 .
值域的求法
归纳小结
1、函数的最大（小）值及其几何意义． 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
2 y 因此,函数 x 1 在区间[2,6]上的两个端
2 y x 1
巩固练习 1.函数y=-2x-6在[-3,2)的最大值是____. 2 2.求函数 y 2 x 4 x 5 在[-1,4]上的最大值与 最小值.
2x 1 3.求函数 y 在[-1,2]上的值域. x3
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 (4.9) 4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 4 (4.9)
函值域
1．最大值 最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有 f ( x) M ; f ( x) M （2）存在x0∈I，使得 f ( x0 )= M
那么，称M是函数 y
f ( x) 的最大值
最小值
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
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2x2+4x-7 练习：求函数y=x2+2x+3
的值域。
方法五：换元法(变形)：
例6：求下列函数的值域 y 5 x 3x 1
解 ： 令t 3x 1,则x 1（t 2 1) 3
且t 0,
y 5 1 (t 2 1) t 1 (t 3)2 65
例8：求函数 f x 1 x 1 x
的值域。
练习：1、求函数y=
4x x2+4
的值域
方法七、分段函数图象法
2x2 (0 x 1)
例9、函数f (x) 2 (1 x 2) 的值
A. R B. 0, C. 0,3 D. 0,2 3
方法二、分式分离常数法(或解x法)
例2 : 求函数 y 2x 1 的值域 x3
方法归纳：形如y=
cx+d ax+b
(a≠0)函数
的值域：
y
y
c a
,
且y
R
练习：求下列函数的值域：y 3x 5 2x 3
方法三、配方法(结合图像、单调性)：
例4：求函数y=x2+2x+5的值域。
练习：求函数 f (x) | x 1 | (x - 2)2 的值域。
值域逆向问题举例
1.函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
m
,
值域为
25 4
,4,
求m的取值范围
解 :
y
x2
3x
4
x
3 2
2
25 4
25 4
m 3 2
又 ymax 4 f 0
万能的。要顺利解答求函数值域的问题，
必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点
选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
方法一、直接法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5}, 求f(x)的值域
练习1. 求函数
y
1 x
的值域。
2. 求函数 y 3 x 的值域。
函数值域的求法
明确：
函数的值域是由全体函数值所构成
函数的值域取决于定义域和对应关系, 不论用什么方法求函数的值域应先考虑 其定义域.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、
图像法（数形结合法）、函数的单调性
法以及均值不等式法等。这些方法分别
具有极强的针对性，每一种方法又不是
方法归纳：形如y=ax2+bx+c（a≠0)的值域，
均可用此方法求。
练习（1）求y=-x2-2x+3(-5≤x ≤ -2)的值域。
（2）求 y= -x2+x+2 的值域。
方法四、判别式法：
例5：求函数y=
x2-x+3 x2-x+1
的值域。
方法归纳：形如y= aa12xx22++bb12xx++cc1（2 a1≠0或a2 ≠0) 的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
注意逆向思 维
m 3
m的取值范围是
m
3, 2
3
3
3 2 12
3 2
0,
ymax
65 12
值 域 为( ，65] 12
归纳总结：形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。
练习：求函数y=2x+ 1-2x 的值域。
方法六、函数单调性法 例7．求函数 y x 1 在区间 x 0,
x
上的值域。