走进数学思维(定稿)

小学数学中的特殊化与一般化
• 问题：小学数学中是否也有特殊化 与一般化？
[例八 “小数乘整数”与找规律 例八] 例八 （张勇成）
• “师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就 可以解决了，请看—— 0.1×4=0.4； （师：“这样的8份呢？”） 0.01×4=0.04；（师：“这样的23份呢？”） 0.001×9=0.009。（“师：这样的129个呢？） 0.001 9=0.009 129 • “师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整 数相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。 “师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时， 你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？
事后的思考
• 学生通过这一教学活动究竟学到了 什么，特别是，这些学生能否被认 为已经掌握了相应的数学知识？
更多的问题
• 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带， 问共有多少种不同的搭配方法？ • 有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？ • 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四 条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方 法？ • 有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？
• 方法一：用音乐简谱符号表示 X X X ，X X X，X X X，X X X，X X X， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 X。 16 • 方法二：用图形表示 │□ ○△│□ ○△│□ ○△│□ ○△ │ │□ ○△│□
• 方法三：用数字表示 │1 2 3│1 2 3│1 2 3│1 2 3│1 2 3│1
一、从数学抽象谈起 • 父：“如果你有一个橘子，我 再给你两个，你数数看一共有 几个橘子？” • 子：“不知道！在学校里，我 们都是用苹果数数的，从而不 用橘子。（《译林•文摘版》）
数学最基本的特性：抽象性
• “甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察 觉到数学的这些特征：第一是它的抽象 性，……。抽象性在简单的计算中就已经 表现出来。我们运用抽象的数字，却并不 打算每次都把它们同具体的对象联系起来。 我们在学校中学的是抽象的乘法表——总 是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上 苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的 价钱等等。”（亚历山大洛夫）
• “师：刚才全体小朋友认认真真地 做好了六道100以内的加减计算题， 并且做得很对。现在我们再来仔细 观察这六道题，如果我们把它们分 成两类，你有什么好办法？为什么 可以这样分？
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34+42 =76， 37+17 =54， 69 -15 =54， 59 +17=76， 91 -15 =76， 83 - 29=54。
[例四] 几何模块的分类
• 常见的组织方式。 • 问题：我们是否应当同样地去肯定 学生所提出的各种分类方法，包括 按形状、颜色和材料等进行分类？ • 什么是数学中的分类？
分析与思考
• 有益的对照：自然数的认识。 • 进一步的思考：数学中又为什么要 进行分类？
[例四 “100以内加减法练习” 例四] 例四
数学思维：一个持续的热点
• 现实中的思想障碍与问题： 第一，由于小学数学的内容较为简 单，因此就不可能很好地体现数学 思维； 第二，在现实中我们并可经常看到 “简单组合”、“随意拔高”等作 法。
当务之急
• 如何针对小学数学的实际情况、包括 具体的教学内容与学生的认知水平更 为深入去开展工作，特别是， 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容 （包括知识与技能）的教学与数学思 维的教学之间的关系。
结论之三
• 模式化的一个重要手段：引入适当 的图形或符号，从而实现与具体情 境在一定程度上的分离。
理论指导下的自觉实践：变式理论
• 关键：对照与变化 （1）“标准变式”与“非标准变式” ：变 化中的不变因素。 特别是，我们在教学中不应唯一地局限于 平时所经常用到的一些实例（“标准变 式”），也应有意识地引入一些“非标准 变式”，从而就可帮助学生切实地掌握相 关概念的本质属性。
结论之五
• 学会数学思维的又一重要内涵：思 维的必要优化。
三、数学中的类比
• 什么是类比（联想）？ • 什么又是类比联想在数学中的主要 作用？
[例七] 数学中的类比
• 由一元二次方程必有2个实根或复根（重根 计算在内），容易联想到：一元三次方程 很可能具有3个实根或复根。 • 由（正）棱锥的体积等于同底等高的（正） 棱柱的体积的三分之一，我们也可联想到： 圆锥的体积很可能等于同底等高的圆柱的 体积的三分之一。
数学与现实
第一，数学抽象源于现实生活，包 括具体的事物与现象，以及人们的 运作； 第二，数学抽象又高于现实，并是 一种建构的活动，即是包含了与现 实世界在一定程度上的分离。
分析与思考
• “数学，对学生来说，就是利用自己的 生活经验对数学现象的一种‘解 读’。”（转引自衡锋，“‘错题’ 演绎的精彩”，《小学数学教学》， 2007年第十期） • 对照：学习主要是一个“顺应”的过 程，即是如何对主体已有的认知框架 作出必要的调整或重建。
[例一] 这பைடு நூலகம்学生缺的究竟是什么？
（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”）
• 任课教师要求学生求解这样一个问 题：“52型拖拉机，一天耕地150 亩，问12天耕地多少亩？” • 一位学生是这样解题的： 52×150×12=……
接下来的对话
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结论之二
• 帮助学生学会数学抽象的关键：应 超越问题的现实情境过渡到抽象的 数学模式。（ “去情境化”） • 相关的论述：数学教学必定包括 “去情景化、去个人化和去时间 化”。
[例三] “找规律” （黄爱华、胡爱民）
• “师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里， 我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱 做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这 个乐句就变成│咚 哒啦│咚 哒啦│咚 哒啦 │…… • “请想一想：第16个音符是什么？为了能让 别人看得一清二白，请你在草稿本上用一 种合适的方式表示出来，可以写一写、画 一画、算一算。”
结论之六
• 类比在数学中一个重要作用，就是 通过两个对象的比较由已获得的知 识去引出新的猜测。 • 什么是类比联想的关键？
• 一个常见的“定义”：“我们观察 到两个或两类事物在许多属性上都 相等，便推出它们在其它属性上也 相同。这就是类比法。” • 数学中类比联想的关键：求同存异！
• 为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有 各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一 方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓 “求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出 两个对象的“类似之处”。 • 所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简 单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别 是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须 注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据 对象的具体情况作出适当的“调正”。
（2）“概念变式”与 “非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式” 事实上起到了“反例”的作用，这样， 通过与“正例”（ “概念变式”）的 对照，也就可以帮助学生更好地去掌 握概念的本质。
二、数学中的分类
• 课改以来的一个共识：数学课应当 很好体现数学课所应当具有的“数 学味”。 • 相应的思考：究竟什么是所说的 “数学味”？
• 方法一：按照得数相同来分； • 方法二：按加法和减法来分； • 方法三：按不进位加法和不退位减法、以 及进位加法和退位减法来分； • 方法四：把 37+17、59 +17分成一组，把 34+42、69-15、91-15 、83-29分成一组。 • 方法五：把34 + 42 = 76分成一组，剩下的 为一组。……
小学数学教学要培养学生 数学思维
---学习体会 周仲武
• “这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解 读更精彩，从某种角度讲，能用恰恰相到 好处的实例来解读理论的人，比只会给出 抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消 化理论的能力，也代表了思考的透彻与思 想的成熟。您能我们看到了浓缩的理论后 面丰富的实践风景，同时也引发了新的思 维风暴。”
结论之七
• 相对于归类与分类而言，类比联想 是一种更为高级的思维形式。 • 教学中的关键：如何能够针对学生 的认知发展水平去有针对性地去进 行教学？
四、数学中的特殊化与一般化
• 什么是数学中的“特殊化”？ “是从考虑一组给定的对象集合过渡到考 虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对 象。”（波利亚） • 什么是数学中的“一般化”？ “是从考虑一个对象过渡到包含该对象的 一个集合，或者从考虑一个该小的集合过 渡到包含该较小集合的更大集合。”（波 利亚）
教师的总结
• “教学中教师有意识地引导学生从不同的角 度来分析问题——进行合理的分类，让学 生通过相互的交流，从中感受到分类结果 在不同标准下的多样性，感受到不同标准 的分类有着不同的意义和作用，就能使学 生的思维得到发散，使学生的不同思想方 法得到充分有效的交流。” • 但是，我们究竟为什么要进行分类？
启而不发？
• “我们换一个题目，比如你每天吃 两个大饼，5天吃几个大饼？” • “老师，我早上不吃大饼的。” • “那你吃什么？” • “我经常吃粽子。” • “好，那你每天吃两个粽子，5天 吃几个粽子？”
“老师，我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没 学）粽子，5天吃几个粽子？” • “两个半。” • “怎么算出来的？” • “两天一个，5天两个半。”……
结论之四
• 分类应当具有明确的目的性。 第一，归类：数学抽象的直接基础； 第二，不同类别的区分：由简到繁、 由特殊到一般地去开展研究。 • 分类问题也需要优化。（用数学家的 眼光去看待世界、分析问题、解决问 题。）
[例五] “三角形的分类”
• 究竟什么应是这一堂课的教学重点： 是角的度量？还是分类的必要性与 合理性？
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结论之一
• 学会数学思维的首要涵义：学会数 学抽象（模式化）。 • 数学：模式的科学。这就是指，数 学所反映的不只是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
[例二 这能否算一堂真正的数学课？ 例二] 例二
• 这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要 求一群三年级的学生求解以下的问题： “某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和 三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配 方法？” • 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题： 学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种 可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生 都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正 确的解答。
一个相关的研究：数学家与初学者 （学生）的比较 • 问题的不同分类： 按问题的“表层结构”（事实性内 容与表述方式）与“深层结构” （内在的数学结构、解题方法）。 • 学会数学地思维的又一重要内涵： 由“表层结构”逐步深入到“深层 结构”。
[例六 水池问题 例六] 例六 （祝中录）
• “学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开 进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不 会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而 是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问 题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千 米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿 笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？ （2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月 工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在 银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？ 通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于 出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”