走进数学思维(定稿)
数学思维(课堂PPT)
例如，数学中“球”的形象，已是脱 离了具体的足球、篮球、排球、乒乓 球等形象，而是与定点距离相等的空 间内点的集合。显示了集合内的点 （球面上的点）与定点（球心）之间 的本质联系：距离相等。
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数学想象
数学想象是数学形象思维的一种重要 形式，通常可分为再造性想象和创造 性想象两种类型。
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小提示
第二、不论问什么，得到的答案只会 是点头或者摇头。不会得到具体提示。 题目要求不论问谁问什么，必须通过 得到的“点头”或“摇头”分析出唯 一的结果。
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小提示
甲 乙一个只说假，一个只说真。那么对 同样的问题，他们的回答必然是相反的。 这里存在矛盾，可以帮助判断。另外，不 论问谁，问什么问题，会得到一个点头或 摇头的答复，这里也可以帮助判断。
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因此，问题性是数学思维目的性的体 现，解决问题的活动是数学思维活动 的中心。这一特点在数学思维方面的 表现比任何思维都要突出。因此，80 年代世界数学教育将“问题解决”作 为其主要任务是有道理的。
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数学思维的类型
数学逻辑思维 数学形象思维 数学直觉思维
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数学逻辑思维
数学逻辑思维是指借助数学概念、判断、 推理等思维形式，通过数学符号或语言 来反映数学对象的本质和规律的一种思 维。
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特别是作为思维载体的数学语言的简 约性和数学形式的符号化、抽象化、 结构化倾向决定了数学思维具有不同 于其他思维的独特风格。数学思维主 要具有概括性、整体性、相似性和问 题性等特点。
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概括性
数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这 是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结 构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有 的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽 象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、 思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现， 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深 度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的 数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。
探索数学思维认识数学思维发展
探索数学思维认识数学思维发展数学思维是指通过数学的方法、原理和概念，运用逻辑推理、抽象思维以及创造性思维进行问题求解和知识探索的能力和方式。
它是数学学习和应用的核心，对于培养学生的思维能力、解决实际问题以及发展创新意识具有重要作用。
本文将探索数学思维的认识和发展。
一、数学思维的认识数学思维指的是对数学问题的思考和解决方法。
它包括以下几个方面的认识：1. 抽象思维：数学思维能够将具体问题抽象为符号、模型或公式，以便进行分析和推理。
通过抽象，我们可以发现问题背后的规律和本质。
2. 逻辑推理：数学思维强调逻辑性和严密性，需要通过推理和证明来解决问题。
逻辑推理能够使我们分析问题的因果关系，寻找解决的路径。
3. 创造性思维：数学思维培养了对问题的新颖见解和创造性的解决方法。
创造性思维能够帮助我们在面对复杂问题时找到新的角度和解决思路。
二、数学思维的发展数学思维的发展需要长期的学习和实践，以下是数学思维发展的几个阶段：1.感知阶段：幼儿时期的数学思维以感知为主，通过观察和操作物体来认识数量和形状等概念。
2.形象思维阶段：通过视觉形象和感觉经验来进行数学思维，初步建立了数量、关系和空间的概念。
3.具体运算阶段：学生具备了基本的数学计算能力，并能够将问题抽象为具体的数学模型。
4.抽象推理阶段：学生能够运用逻辑推理和数学原理进行问题解决，通过举一反三的思维方式来解决新问题。
三、培养数学思维的方法为了培养学生的数学思维，教育者可以采用以下方法：1. 引导学生思考：通过提出问题、让学生进行探究和思考，激发学生的主动性和积极性。
2. 培养逻辑思维：借助逻辑推理、证明和辩论等活动，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 创造性应用：鼓励学生设计实际问题和创造性解决方法，培养学生的创新思维和实践能力。
4. 多样化问题：提供多样的数学问题和解决思路，让学生体验到数学的美妙和多样性。
5. 合作学习：通过小组合作和交流，激发学生的思维碰撞和合作创新能力。
走进数学思维-PPT精品文档115页
• 方法一：用图形表示 │□ ○△│□ ○△│□ ○△│□ ○△ │□ ○△│□
• 方法二：用数字表示
│1 2 3│ 1 2 3 │ 1 2 3│1 2 3 │1 2 3│ 1
• 基本立场：我们既应充分体现数学教 育的特殊性，同时也应高度重视教育 的整体性质。
可能的结论
（1）充分发挥数学的文化价值； （2）帮助学生学会数学地思维，乃
至“通过数学学会思维”。
进入主题：走进数学思维！
• 一个持续的热点； • 现状与问题：
第一，普遍存在的一个思想障碍：由 于小学数学的内容较为简单，因此就 不可能很好体现数学思维； 第二，在现实中我们并可经常看到 “简单移植”、“随意拔高”等作法。
数学与现实
第一，数学抽象源于现实生活，包 括具体的事物与现象，以及人们的 运作；
第二，数学抽象又高于现实，并是 一种建构的活动，即包含了与现实 世界在一定程度上的分离。
分析与思考
• “数学，对学生来说，就是利用自己的 生活经验对数学现象的一种‘解 读’。”（转引自衡锋，“‘错题’ 演绎的精彩”，《小学数学教学》， 2019年第十期）
我的推荐：一个值得关注的领域— —数学教育哲学
（1）数学教育哲学的兴起
• 必要的思考：这是否仅仅是一种时髦， 还是有其一定的必然性，合理性？
（2）数学教育哲学的主要内容
• 数学观 • 数学教育观 • 数学学习观与数学教学观
（3）回到主题
• 什么是数学教育的价值？特别是，数 学教育对于提升学生的素养究竟又能 起到怎样的作用？
• 第五，未能给予数学推理足够的重视。 尽管《课程标准》明确地指出应当培养 学生数学推理的能力，但是，就实践而 言，所唯一得到强调的只是实验与猜测 在数学发现中的重要作用，而逻辑与证 明则完全被抛弃了。
一年级数学教案培养数学思维
一年级数学教案培养数学思维一年级数学教案培养数学思维在一年级学习数学的过程中，培养学生的数学思维是非常重要的。
数学思维是指通过数学学习和解决问题时所需要的思维方式和方法。
良好的数学思维可以培养学生的逻辑思维能力、创造力和问题解决能力。
本教案旨在通过精心设计的数学教学活动，帮助一年级学生培养数学思维。
一、教学目标1. 培养学生的数学思维能力，包括逻辑思维、创造思维和问题解决思维。
2. 通过数学学习，提高学生的数学技能，包括数的认识、数的大小比较和简单的加减运算。
3. 培养学生的观察力和思维敏锐度，能够发现问题、分析问题和解决问题。
4. 培养学生的团队合作意识和沟通能力，能够与同学合作解决数学问题。
二、教学内容本教案将以小组合作的形式进行教学，重点培养学生的合作能力和问题解决能力。
1. 数的认识和排序任务：小组合作，将教室中的物品进行分类整理，并按照大小进行排序。
思考问题：如何将物品分类？如何确定物品的大小关系？教师提示：学生可以根据物品的形状、颜色、用途等特点进行分类；学生可以使用比较大小的方法，比如比较物品的长度、高度、重量等。
2. 加法运算任务：小组合作，根据教师提供的加法问题，选择正确的答案。
思考问题：如何解决加法问题？如何选择正确的答案？教师提示：学生可以使用算盘、计数棒、图形等工具辅助计算；学生可以将问题拆分成更小的部分进行计算；学生可以通过试算的方法验证答案的正确性。
3. 减法运算任务：小组合作，根据教师提供的减法问题，选择正确的答案。
思考问题：如何解决减法问题？如何选择正确的答案？教师提示：学生可以使用计数棒、图形等工具辅助计算；学生可以将问题拆分成更小的部分进行计算；学生可以通过试算的方法验证答案的正确性。
4. 线段的估算任务：小组合作，估计教室中各种线段的长度，并将其进行排序。
思考问题：如何估算线段的长度？如何将线段进行排序？教师提示：学生可以使用手指和身体部位作为参照单位来估算长度；学生可以通过比较线段的长度来进行排序。
走进数学思维
走进数学思维数学味是什么?我很迷茫。
不知道它的厚重，于是我停下来。
作为对于过去几年中课改实践的自觉反思，近年经常可以听到这样一种呼声：数学教育应当防止“去数学化”。
例如，张奠宙先生就曾明确指出：“数学教育，自然是以‘数学’内容为核心。
数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依据。
”“数学教育啊，可否更多地关注‘数学’的特性!一、数学的抽象结论之一：•学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）数学：模式的数学，这就是指数学所反映不是某一个特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
结论之二：帮助学生学会数学抽象的关键：应超越问题的现实情境，过渡到抽象的数学模式（“去情境化”）•相关认述：数学教学必定包括“去情境化、去个人化和去时间化”）结论之三：•模式化的一个重要手段，引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。
理论指导下：自觉实践：变式理论关键：对照与变化（１）“标准变式”与“非标准变式”（２）“概念本质”与“非概念本质”（反例）二、数学分类有益对照：自然数的认识进一步的思考：分类应当具有明确的目的性第一，归类：数学抽象的直接基础第二，不同类别的区分：由简到繁，由特殊到一般地开展研究分类问题也需要优化：用数学家的眼光去看待世界，分析问题，解决问题走进数学思维（三）：转向数学活动南京大学教授郑毓信作为数学课程改革的指导性文件，《数学课程标准》在经过了几年的修改以后现正处于最后的审查之中。
据相关报道：新的“修订稿”与原来的“实验稿”相比在“课程目标”上有较大改动：不仅重新引入了过去一贯强调的“双基”，而且又新增加了两个：一个是“基本(数学)思想”，另一个是“基本(数学)活动经验”；由于对“双基”的突出强调正是我国数学教学传统的一项重要内容，因此，重新提出“双基”清楚地表明了这样一种立场：在强调改革的同时，我们也应十分重视优良传统的继承和发展。
另外，就我们当前的论题而言，我们显然应特别关注后两项新增加的内容。
数学思维pdf
数学思维：逻辑、抽象与解决问题的艺术数学，作为一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，不仅是科学之母，还是逻辑思维的基础。
在我们的日常生活中，无论是物理、工程还是金融等领域，数学都起着至关重要的作用。
而数学思维，作为一种独特的思维方式，涵盖了逻辑推理、抽象思维、演绎推理、归纳推理、数学建模、问题解决和空间思维等多个方面。
一、逻辑推理逻辑推理是数学思维的核心。
它涉及到从已知的前提推导出结论的思维方式，其基本形式包括归纳和演绎。
在数学中，逻辑推理的应用广泛，比如公理化系统中的推理规则。
通过逻辑推理，我们可以验证数学命题的真实性，并建立各个命题之间的联系。
二、抽象思维抽象思维是数学思维的另一个重要组成部分。
在数学中，抽象思维意味着从具体事物中提取共性，并形成概念和模型。
通过抽象思维，我们可以把复杂的现象简化为可操作的数学模型，从而使问题变得更容易处理。
例如，几何学中的点、线、面等概念就是抽象思维的产物。
三、演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理方式，它的主要手段是三段论（大前提，小前提和结论）。
在数学中，演绎推理通常用于证明定理和推导结论。
通过演绎推理，我们可以从已知的数学原理出发，推导出新的结论。
四、归纳推理归纳推理是从特殊到一般的推理方式，它通过对个别事物的观察和分析，总结出一般规律。
在数学中，归纳推理常用于探索未知的数学规律。
例如，通过归纳推理，我们可以发现数列的通项公式或几何图形的性质。
五、数学建模数学建模是运用数学语言描述实际问题的过程。
通过数学建模，我们可以把现实世界的问题转化为数学问题，然后运用数学工具进行求解。
数学建模在科学研究和工程实践中有着广泛的应用，如物理定律的数学描述、经济模型的建立等。
六、问题解决问题解决是数学思维的核心能力之一。
在数学中，问题解决不仅包括解决已经给出的问题，还包括发现新问题和解决新问题的过程。
问题解决需要我们具备创新思维和批判性思维，能够从多个角度看待问题，并运用适当的数学工具和方法解决问题。
华师大版七年级上册数学第一章《走进数学世界》教案
_________________ 第1一走进敢学世办课题数学伴我们成长人类离不开数学【学习目标】1.让学生通过生活实例感受数学与现实世界的密切联系、数学价值和应用意识；2.让学生通过对比初步体验到数学是一门充满着观察、实验、归纳、类比和猜测、探索过程的学科;3.在学习的过程中养成独立思考与合作交流的习惯.【学习重点】让学生感受数学与现实世界是密不可分的.【学习难点】培养学生独立思考与合作交流的习惯.救学环节指导行为堤岳：创设问题，情境导入，结合生活中的实际例子，充分调动学生的积极性，激发学生求知欲望.行为提示：让学生阅读教材，尝试完成''自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，率先做完的小组内互查，大部分学生完成后，进行小组交流.知识链接:小学学过的数学知识：1.整数、小数、分数的四则运算；2.初步认识元角分、年月日、长度单位、重量单位；3. 了解简单的几何图形；4.初步了解统计、概率的简单知识.5.初步了解方程及其简单的解法.做这一类我的技巧是：1.从已知中寻找突破口，发现变化的规律；2. 一般采用“从一般到特殊”的思维方式；3.掌握用“加、减、乘、除”的基本形式表达发现的规律.椅景导人生成问我在我们的周围，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，生物之谜，日用之繁……，大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献，让我们一起走进数学世界，去领略一下数学的风采.自学互研生成能力知识模块一数学伴我们成长阅读教材P2,完成下面的内容.从出生到步入七年级，我们都在不断地学习数学，回忆一下，我们在小学阶段学习的数学知识主要有哪些？归纳：(1)数与式：认识、计算、方程、解应用题；(2)图形：图形的认识、图形的画法、图形的计算：⑶统计知识：条形统计图、扇形统计图、折线统计图及从图中获取相应的信息.范例：计算并观察下面的几组算式：(1)1+3=_4_=(_2_)2:(2)1 +3+5=9=(3)2；(3)1 +3+5+7=J6=(4)2：(4)你能举一个类似的例子吗？1+3+5+7+9+11 + 13+15+17+19=」0Q =( @ P(5)一般地：1+3+5+7 + ……+(2〃-1)=(K仿例：如图1,线段A3，当在线段A8上加上1个点(该点不与点A、5重合)时，共有3条线段：当在线段A8上加上2个点(这2个点不与点A、8重合)时，如图2,共有6条线段：当在线段AB上加上3个点(这3个点不与点A、B重合)时，如图3,共有10条线段.................A B,图1) A11_1,困2)A_~~F,图3) /i ' ' '_i 图4)⑴当在线段AB上加上5个点(这5个点不与点A、8重合)时，如图4,共有2L条线段:行为提示：感受数学的魅力，人类离不开数学.发现数学的奥秘，是人类智慧的结晶.知识链接：同一种形状或不同形状的地砖，铺在地面上无空隙即可称为密铺.学生指导：两个不同形状的地砖的角(或多个角)铺成一个周角.行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评分.展示目标：知识模块一展示重点在于让学生理解数学与我们的生活密不可分；知识模块二展示重点在于让学生知道我们的生产、生活、科学实验与研究等都离不开数学. (2)猜测：当在线段AB上加上〃个点（这〃个点不与点A、8重合）时，共有_ + _条线段.变例：观察下而一列数：2, 5, 10, x, 26, 37, 50, 65,…，根据规律，其中x所表示的数是1Z.分析：第二个数比第一个数大3,第三个数比第二个数大5,第六个数比第五个数大11,由此可知：x比10 大7, 26比x 大9,所以x必为（10+7）或（26—9）.知识模块二人类离不开数学阅读教材P?〜P4,完成下面的内容.大千世界，无奇不有！大至宇宙，小至微粒，无不蕴涵着丰富的数学奥秘！如蜜蜂营造的蜂房，公园中用不同形状的图形铺设的绚丽多彩的地面……，数学奇妙吧？下面就让我们一起研究一些数学问题吧！范例：哪些形状的砖可以密铺地而？下图分别是用同样大小的正方形和正六边形的地砖铺成的，它们可以铺成平整、无空隙的地面.那么除了这两种形状的地砖外，还有哪些形状的地砖能够像上图那样铺满地面呢？解：三角形、长方形、平行四边形、菱形等.仿例：用同一种形状的地砖密铺地而，下列形状的地砖不能采用的是（C ）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形变例：用两种不同形状的地砖密铺地而，这样的两种地砖的形状可以是正三角形和正六边形（任举一例）.交流展岳生成新知阈现捌剧1.各小组共同探讨''自学互研”部分，将疑难问题板演到黑板上，小组间就上述疑难问题相互释疑；2.组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行展示.知识模块一数学伴我们成长知识模块二人类离不开数学检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书：【课后检测】见学生用书.课后反思杳漏补缺1.收获：___________________________________________________________________________2.存在困惑：___________________________________________________________________________课题人人都能学会数学【学习目标】1.让学生体会数学与我们的生活密切相关；2.让学生从现实生活中抽象出点、线、面、体等图形，培养学生的观察能力、分析能力，感受学习数学的乐趣；3.在学习的过程中养成独立思考与合作交流的习惯.【学习重点】让学生感受数学伴随着我们的成长，我们的成长离不开数学.【学习难点】让学生树立学习数学的信心.教学环节指导行为堤岳：创设问题，情境导入，结合生活中的实际例子，充分调动学生的积极性，激发学生求知欲望.行为提示：让学生阅读教材，尝试完成'‘自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，率先做完的小组内互查，大部分学生完成后，进行小组交流.知识链接：1.数与式：认识、计算、解方程、解应用题；2.图形：图形的认识、图形的画法、图形的有关计算.椅景导人生成问我1.数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，人人都能学会数学.学好数学，要对数学有兴趣，要有刻苦钻研的精神，善于发现和提出问题，善于独立思考.2.思考并解决下列问题：(1)某地出租车收费标准为：起步价5元，3km后每千米1.2元，某人乘坐出租车5km,应付款7.4 元.(2)如图，阴影部分的面积相等的是(D )① ② ③ ④A.①与④B.①与③C.②与③D.①与②、③11学互研生成能力知识模块人人都能学会数学阅读教材巴〜P7,完成下面的内容.1.点动成—线线动成—面_，而动成—性_：而与面相交得到一线_，线与线相交得到—息2.三棱柱有—红个顶点，2条棱,一个而,它的侧面的形状都是—长方点它的底而是—两个形状相同的三角形3.如图，是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，那么至少要买适合台阶宽度的地毯多少m?分析：要在台阶上铺地毯，实际上并不需要测出每一级台阶的长度，可以把图想象为由一根绳子围成的图形，将它拉成为一个长和宽分别为3.ln］和2m的长方形，所以台阶的总长就是：3.1+2=5.1(m).解：3.1+2=5.1(01).・••至少要买适合台阶宽度的地毯5.1m.归纳：(1)发展进一步获得的数学基础知识和基本技能：(2)体会数学知识间的联系，培养逻辑思维方式；(3)感受数学的价值，养成独立思考的学习习惯.做这一类题的技巧是：1.从已知中寻找突破口，发现变化的规律；2. 一般采用“从一般到特殊”的思维方式；3.掌握用“加、减、乘、除”的基本形式表达发现的规律.学生指导：解决寻找规律问题的方法是：观察第2个数(或图形)与前一个数(或图形)有什么联系、变化，类推下一个，由一般到特殊.学法指导：这些橘子的个数一定是3的倍数.行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评分.展示目标：知识模块展示重点在于通过解决数学问题，让学生知道数学并不是那么难，只有通过自身的努力才能学好数学.范例：如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作：然后，将其中的一个正方形再剪成4个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成4个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作：……根据以上操作，若要得到2017个小正方形，则需要操作的次数是§72,.分析：本题是规律类型的数学题，通过观察，我们容易发现，当操作第n(n为正整数)次时，共得到(3n+l)个小正方形，从而我们可以列一个关于n(以n为未知数)的方程，解出n的值即可.解：设操作n次可以得到2017个小正方形，根据题意得：3n+1=2017,解得：n=672.答：需要操作的次数是672.仿例：根据前而几个数的规律填空：(1)5, 8, 13, 21, 34, .55.；J 2 3 5 8 B （2）,亨亍 * 1T _五_.分析：(1)规律：第1个数加上第2个数得到第3个数，第2个数加上第3个数得到第4个数，第3个数加上第4个数得到第5个数，第4个数加上第5个数得到第6个数…；(2)规律：前一个分数的分母是下一个分数的分子，前一个数的分子与分母的和是后一个分数的分母.变例：在学校体育课上，老师准备了一些橘子给同学们，小明非常勤快，帮老师数橘子，他7个7个地数，还余4个，5个5个地数，还余3个，3个3个地数，正好数完，则老师至少为同学们准备了四个橘子.交流展示生成新知1.各小组共同探讨''自学互研”部分，将疑难问题板演到黑板上，小组间就上述疑难问题相互释疑；2.组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行展示.尿圉攫团知识模块人人都能学会数学检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书：【课后检测】见学生用书.课后反思杳漏补缺1.收获: ___________________________________________________________________________2.存在困惑：___________________________________________________________________________。
走进数学思维·郑毓信共69页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
Байду номын сангаас 谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
走进数学思维(四)数学思维的教学
外我们硅然卫应防止町能的遗漏． 正是基于这样的考虑．我们就可提 出如ｒ的启发性艨则 但ｍ仔细的审视ｎＴ以看出， 这儿种可能性醍终都将导致“矛 盾”从而Ｉ必须放ｎ其他的位 置。 觋假设把１放拈Ｉ，排中Ｍ的位 置．这时就必铆将９救在下排中例 的位霞造时２仍有ｉ种可能的位 置（如同５）。 系统化原则最统地上进行Ｉ． 作会有裉太的帮助， 例如．我“Ｊ¨』以按照递增的次
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现麒设把１放在左上角，这时 就必须将９放在右下角．这样才能 保｝ｌ｝！相应的对角线上的数的和为 １５。进而再考虑２的可能位置同样 依据对称性这时罹然Ｈ需考虑如 同４的－种Ｉ・Ｊ能性
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后告听大家这就是男孩于的集 合：她义让所有的身授于站起来． 并说这是女孩子的集合；接下米， ｘ艇ｒ１人接了的集合黑人梭子的 集合 最后，教师Ｍ全班：‘大
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—二］
走进数学新课标_走进数学思想
·
优的重要标志。然而，随着社会的发展，特别是人类知识的快速 “分而治之、各个击破、综合归纳”。
大
增长，只是强调“双基”已经不能满足现实的需要，必须在“双 基”的基础上有所发展。《标准(实验稿)》提出过程性目标以及重
争 新课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种
有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑
3“. 基本数学思想”的提出是培养创新型人才的要求 从培养创新型人才来看，双基是培养创新型人才的一个基 础，但是创新型人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培 养。实际上，一个人要具有创新精神，需要四个基本要素：扎实 基础、数学思想、数学经验和创新机遇。也就是说，要创新，需要 具备知识技能、需要掌握思想方法、需要积累有关经验，几方面
Little Learner Magazine Teaching Practice June 2012
走进数学新课标，走进数学思想
筅山西 ＼ 张少家
《数学新课程标准（2011）》总体目标指出“通过义务教育阶 变的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等。数
段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需 学推理的思想派生出的有：归纳的思想、化归的思想、联想与类
1“. 基本数学思想”的提出是时代发展的必然趋势 “双基”是我国数学教育多年形成的传统，也是我国数学教 育的优势所在。一直以来“双基”是学生数学基础好、数学成绩
论 体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐
类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解
坛 决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题
一、提出“基本数学思想”的必要性
法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。下面就谈谈其中
走进数学世界主题班会
走进数学世界主题班会尊敬的老师们、亲爱的同学们：大家好！今天，我很荣幸有机会和大家一起走进数学世界，这是一个神奇而又美妙的世界。
或许，有些同学会认为数学是一个难以逾越的障碍，它让人头疼。
但是，我相信，在我接下来的分享中，你们一定会对数学有一个全新的认识。
一、数学的起源与发展走进数学世界，我们首先需要了解数学的起源与发展。
据考古学证实，数学的起源可以追溯到远古时期，人类是通过物质和生活的需要来逐渐认识和发展数学。
当初人们是通过数手指头来计数的，这就是最原始的数术。
随着时间的推移，人们发现了一些规律和定律，进而形成了更为完整的数学体系。
在古代，数学的发展经历了中国、印度、阿拉伯、希腊等文明的交汇与碰撞。
中国的《九章算术》、《《周髀算经》和《算法会集》等古籍，秦朝的杨辉三角和唐朝的李元用算术，无一不在中国的数学史上留下了浓墨重彩的一笔；印度人的“阿拉伯数字”和“零”的发明，为后来的数学符号和计算方式奠定了基础；古希腊的毕达哥拉斯定理、欧几里德几何学，使数学从几何学走向抽象的代数学。
二、数学的学科与分类走进数学世界，我们还需要了解数学的学科和分类。
数学是一门庞大而广袤的学科，主要可以分为四个方面：数论、代数、几何和数学分析。
数论是数学的基石，研究一切与整数相关的问题，如素数、整除性、同余等。
代数研究的是数及其运算的性质，包括代数方程、矩阵等。
几何研究的是形状、位置和空间的性质，涉及线、面、体及其运动等。
数学分析则是研究数理关系的一种方法，包括微积分、数理逻辑、概率论和统计学等。
这四个方面构成了数学体系的主要框架。
除了主要的学科外，数学还包括了一些重要的分支和应用领域，如数学物理、数学经济学、数学生物学等。
这些分支学科的出现深化和丰富了数学的内涵，更加广泛地将数学应用到实际问题中。
三、数学思维与数学能力走进数学世界，我们需要培养的是数学思维和数学能力。
数学思维是指通过观察、推理和解决问题过程中所运用的思考方法和策略。
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结论之三
• 模式化的一个重要手段：引入适当 的图形或符号，从而实现与具体情 境在一定程度上的分离。
理论指导下的自觉实践：变式理论
• 关键：对照与变化 （1）“标准变式”与“非标准变式” ：变 化中的不变因素。 特别是，我们在教学中不应唯一地局限于 平时所经常用到的一些实例（“标准变 式”），也应有意识地引入一些“非标准 变式”，从而就可帮助学生切实地掌握相 关概念的本质属性。
事后的思考
• 学生通过这一教学活动究竟学到了 什么，特别是，这些学生能否被认 为已经掌握了相应的数学知识？
更多的问题
• 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带， 问共有多少种不同的搭配方法？ • 有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？ • 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四 条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方 法？ • 有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？
结论之五
• 学会数学思维的又一重要内涵：思 维的必要优化。
三、数学中的类比
• 什么是类比（联想）？ • 什么又是类比联想在数学中的主要 作用？
[例七] 数学中的类比
• 由一元二次方程必有2个实根或复根（重根 计算在内），容易联想到：一元三次方程 很可能具有3个实根或复根。 • 由（正）棱锥的体积等于同底等高的（正） 棱柱的体积的三分之一，我们也可联想到： 圆锥的体积很可能等于同底等高的圆柱的 体积的三分之一。
结论之六
• 类比在数学中一个重要作用，就是 通过两个对象的比较由已获得的知 识去引出新的猜测。 • 什么是类比联想的关键？
• 一个常见的“定义”：“我们观察 到两个或两类事物在许多属性上都 相等，便推出它们在其它属性上也 相同。这就是类比法。” • 数学中类比联想的关键：求同存异！
• 为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有 各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一 方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓 “求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出 两个对象的“类似之处”。 • 所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简 单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别 是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须 注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据 对象的具体情况作出适当的“调正”。
• “师：刚才全体小朋友认认真真地 做好了六道100以内的加减计算题， 并且做得很对。现在我们再来仔细 观察这六道题，如果我们把它们分 成两类，你有什么好办法？为什么 可以这样分？
• • • • • •
34+42 =76， 37+17 =54， 69 -15 =54， 59 +17=76， 91 -15 =76， 83 - 29=54。
பைடு நூலகம்
数学与现实
第一，数学抽象源于现实生活，包 括具体的事物与现象，以及人们的 运作； 第二，数学抽象又高于现实，并是 一种建构的活动，即是包含了与现 实世界在一定程度上的分离。
分析与思考
• “数学，对学生来说，就是利用自己的 生活经验对数学现象的一种‘解 读’。”（转引自衡锋，“‘错题’ 演绎的精彩”，《小学数学教学》， 2007年第十期） • 对照：学习主要是一个“顺应”的过 程，即是如何对主体已有的认知框架 作出必要的调整或重建。
结论之二
• 帮助学生学会数学抽象的关键：应 超越问题的现实情境过渡到抽象的 数学模式。（ “去情境化”） • 相关的论述：数学教学必定包括 “去情景化、去个人化和去时间 化”。
[例三] “找规律” （黄爱华、胡爱民）
• “师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里， 我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱 做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这 个乐句就变成│咚 哒啦│咚 哒啦│咚 哒啦 │…… • “请想一想：第16个音符是什么？为了能让 别人看得一清二白，请你在草稿本上用一 种合适的方式表示出来，可以写一写、画 一画、算一算。”
（2）“概念变式”与 “非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式” 事实上起到了“反例”的作用，这样， 通过与“正例”（ “概念变式”）的 对照，也就可以帮助学生更好地去掌 握概念的本质。
二、数学中的分类
• 课改以来的一个共识：数学课应当 很好体现数学课所应当具有的“数 学味”。 • 相应的思考：究竟什么是所说的 “数学味”？
数学思维：一个持续的热点
• 现实中的思想障碍与问题： 第一，由于小学数学的内容较为简 单，因此就不可能很好地体现数学 思维； 第二，在现实中我们并可经常看到 “简单组合”、“随意拔高”等作 法。
当务之急
• 如何针对小学数学的实际情况、包括 具体的教学内容与学生的认知水平更 为深入去开展工作，特别是， 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容 （包括知识与技能）的教学与数学思 维的教学之间的关系。
• 方法一：按照得数相同来分； • 方法二：按加法和减法来分； • 方法三：按不进位加法和不退位减法、以 及进位加法和退位减法来分； • 方法四：把 37+17、59 +17分成一组，把 34+42、69-15、91-15 、83-29分成一组。 • 方法五：把34 + 42 = 76分成一组，剩下的 为一组。……
[例一] 这个学生缺的究竟是什么？
（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”）
• 任课教师要求学生求解这样一个问 题：“52型拖拉机，一天耕地150 亩，问12天耕地多少亩？” • 一位学生是这样解题的： 52×150×12=……
接下来的对话
• • • • • • • • • • “告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了。” “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” “除。” “怎么除？” “大的除以小的。” “为什么是除呢？” “老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。”
结论之七
• 相对于归类与分类而言，类比联想 是一种更为高级的思维形式。 • 教学中的关键：如何能够针对学生 的认知发展水平去有针对性地去进 行教学？
四、数学中的特殊化与一般化
• 什么是数学中的“特殊化”？ “是从考虑一组给定的对象集合过渡到考 虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对 象。”（波利亚） • 什么是数学中的“一般化”？ “是从考虑一个对象过渡到包含该对象的 一个集合，或者从考虑一个该小的集合过 渡到包含该较小集合的更大集合。”（波 利亚）
小学数学中的特殊化与一般化
• 问题：小学数学中是否也有特殊化 与一般化？
[例八 “小数乘整数”与找规律 例八] 例八 （张勇成）
• “师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就 可以解决了，请看—— 0.1×4=0.4； （师：“这样的8份呢？”） 0.01×4=0.04；（师：“这样的23份呢？”） 0.001×9=0.009。（“师：这样的129个呢？） 0.001 9=0.009 129 • “师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整 数相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。 “师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时， 你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？
一个相关的研究：数学家与初学者 （学生）的比较 • 问题的不同分类： 按问题的“表层结构”（事实性内 容与表述方式）与“深层结构” （内在的数学结构、解题方法）。 • 学会数学地思维的又一重要内涵： 由“表层结构”逐步深入到“深层 结构”。
[例六 水池问题 例六] 例六 （祝中录）
• “学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开 进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不 会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而 是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问 题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千 米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿 笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？ （2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月 工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在 银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？ 通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于 出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”
教师的总结
• “教学中教师有意识地引导学生从不同的角 度来分析问题——进行合理的分类，让学 生通过相互的交流，从中感受到分类结果 在不同标准下的多样性，感受到不同标准 的分类有着不同的意义和作用，就能使学 生的思维得到发散，使学生的不同思想方 法得到充分有效的交流。” • 但是，我们究竟为什么要进行分类？
小学数学教学要培养学生 数学思维
---学习体会 周仲武
• “这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解 读更精彩，从某种角度讲，能用恰恰相到 好处的实例来解读理论的人，比只会给出 抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消 化理论的能力，也代表了思考的透彻与思 想的成熟。您能我们看到了浓缩的理论后 面丰富的实践风景，同时也引发了新的思 维风暴。”
• • • •
结论之一
• 学会数学思维的首要涵义：学会数 学抽象（模式化）。 • 数学：模式的科学。这就是指，数 学所反映的不只是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
[例二 这能否算一堂真正的数学课？ 例二] 例二
• 这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要 求一群三年级的学生求解以下的问题： “某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和 三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配 方法？” • 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题： 学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种 可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生 都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正 确的解答。
• 方法一：用音乐简谱符号表示 X X X ，X X X，X X X，X X X，X X X， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 131415 X。 16 • 方法二：用图形表示 │□ ○△│□ ○△│□ ○△│□ ○△ │ │□ ○△│□