直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系

直线与圆锥曲线（椭圆为例）位置关系

【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 垂直：则121k k =-；

直线所在的向量120v v =r r

g

平行：斜率相等，截距不等。

2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，

则1212,b c

x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式：

点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标M （x,y ）其中（1212

,y 22

x x y y x ++==，）。 4、弦长公式：

若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB =

或者

AB =

【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:14x y C m

+

=始终有交点，求m 的取值范围 解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。 14m m ≤≠且。

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ∆=--=-+>即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：2122

21

,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =

-，则211

(,0)22

E k - ABE ∆Q 为正三角形，

∴211(

,0)22E k -到直线AB 的距离d 。

AB =Q 2

k =d =

=

解得13

k =±

满足②式， 此时053x =。

例题3、已知椭圆C：22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的离心率为

3，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线:(2)

l x t t

=>与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率3

2

c

e

a

==，2

a=,

则得3,1

c b

==。

从而椭圆的方程为221

4

x

y

+=

（II）设

11

(,)

M x y，

22

(,)

N x y，直线

1

A M的斜率为

1

k,

则直线

1

A M的方程为

1

(2)

y k x

=+，

由1

22

(2)

44

y k x

x y

=+

⎧

⎨

+=

⎩

消y整理得222

121

(14)161640

k x k x k

+++-=

1

2x

-

Q和是方程的两个根，

2

1

12

1

164

2

14

k

x

k

-

∴-=

+

则21

12

1

28

14

k

x

k

-

=

+

，1

12

1

4

14

k

y

k

=

+

，

即点M的坐标为211

22

11

284

(,)

1414

k k

k k

-

++

，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为222

22

22

824

(,)

1414

k k

k k

--

++