浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育

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浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育

浙教版九年级上册数学《相似三角形》知识点与经典题型温馨提醒：全等三角形是相似比为1的相似三角形．知识拓展一下：若两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。

重要知识点和方法1、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形2、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：a 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；b 全等三角形是相似比为1的相似三角形。

二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．c 传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 3、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．4、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．（4）当AD AEAC=或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ． 5、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．6、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第二节

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第二节相似三角形【课本相关知识点】1、相似三角形的概念：一般地，对应角，对应边的两个三角形，叫做相似三角形。

2、相似三角形的，叫做两个三角形的相似比。

3、相似三角形的性质：对应角，对应边注意：全等是一种特殊的相似，其相似比为1【典型例题】【题型一】利用定义判断两三角形相似方法：依据定义，只需要说明两个三角形的对应角相等，对应边成比例即可。

最大边与最大边相比；次大边与次大边相比；最小边与最小边相比，看这三个比值是否相等1、下面各组所给出的两个三角形一定相似的是（）A. 两个直角三角形B. 两个等边三角形C. 两个等腰三角形D. 两个钝角三角形【题型二】运用三角形相似求线段长度及角的度数 1、如图，已知△AB C ∽△ACD（1）若∠A=58°，∠ADC=88°，求∠B（2）若AB AC =52，AD=4cm ，DC=6cm ，求AC 和BC 的长【题型三】应用相似三角形相解决生活实际问题1、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（）A. 0种B. 1种C. 2种D. 3种巩固练习1、如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB 2=BC •BD B ．AB 2=AC •BD C ．AB •AD=BD •BC D ．AB •AB=AD •CD2、在△ABC 与△ACD 中，∠ACB=∠ADC=90°，AB=15cm ，AC=12，如果图中两个直角三角形相似，则 AD=3、在4×4的正方形方格中有一个格点△ABC ，请在图中画一个格点△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C1∽△ABC 相似，且相似比不为1第1题第2题第3题4、如图所示，已知△ABC∽△ADE（1）若∠BAC=45°，∠ACB=40°，求∠AED和∠ADE的度数（2）若AE=50cm，EC=30cm，BC=70cn，求DE的长5、明明打算制作两个相似的三角形的框架，其中一个三角形的框架的三边长分别为4，6，9，已知另一个三角形一条边的长为3，求剩下的那两条边的长度。

九年级数学相似三角形的判定知识点+例题-7页精选文档

相似三角形的判定【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形举一反三：下列图形中，必是相似形的是（）．A．都有一个角是40°的两个等腰三角形B．都有一个角为50°的两个等腰梯形C．都有一个角是30°的两个菱形 D．邻边之比为2：3的两个平行四边形类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.3. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M．（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若DB=9，求MB的长．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF 于F．求证：BP2＝PE·PF．举一反三：1、如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．2、如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E.求证：DE AC EF BC.3、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．4、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？图（1）图（2）图（3）图（4）5、如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．（1）求证：≌．（2）若，，，求的值．【巩固练习一】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）．①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_______使△ADE∽△ACB.8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？【巩固练习二】一、选择题1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ).A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：162．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）.A．1条B．2条C．3条D．4条3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）.A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( ) .A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3二、填空题7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________.8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_________对.9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________________.10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,AM BMAN CM,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=____________.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13. 如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N．求证：（1）CG平分．（2）∽．14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C 是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.。

浙教版九年级上册第四章相似三角形考点分类(1)

相似三角形考点分类（1）一、典型例题考点一、比例的性质（基本性质、合比性质、等比性质）（设辅助元求值）1. 若432cba==．且a +b ﹣c ＝2，则a +b +c 的值是（）A ．427B ．215C ．18D ．202. 如果423123-=-=+z y x ，且x +y +z ＝18，则2x ﹣y ﹣z 的值为（）A ．5B ．﹣15C ．10D ．153. 已知23=b a，求下列算式的值．（1）b ba +；（2）b a ba 232-+．4. 已知x ＝b a ca cbc b a+=+=+，求x 的值．考点二、比例线段的识别及计算5. 若a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝5，b ＝2.5，c ＝8，则线段d 的长为（）A ．2B ．4C ．5D ．66. 下列各组线段中，成比例线段的组是（）A ．3cm ，4cm ，5cm ，8cmB ．1cm ，3cm ，4cm ，8cmC ．0.2cm ，0.3cm ，4cm ，6cmD ．1.5cm ，2cm ，4cm ，6cm7. 已知四条线段a ，3，a +1，4是成比例线段，则a 的值为．考点三、比例线段的应用8.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4．问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由．考点四、比例中项9.若a＝2，b＝3，a是b、c的比例中项，则c＝；若b＝3，c＝2，则b、c的比例中项a＝；又线段b＝3，c＝2，则b、c的比例中项a＝10.已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．考点五、黄金分割11.已知线段AB＝10cm，P、Q是线段AB的黄金分割点，则PQ＝．12.在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）考点六、黄金分割三角形、矩形13. 已知，点D 是线段AB 的黄金分割点，若AD ＞BD ．（1）若AB ＝10cm ，则AD ＝；（2）如图，请用尺规作出以AB 为腰的黄金三角形ABC ；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．14. 在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD 中，当BC AB 215-=时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD ．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．15. 某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．证明直线CD 是△ABC 的黄金分割线．考点七、由平行线截得的比例线段的基本事实16. 如图，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若AB ＝2，AC ＝6，DE ＝3，则EF 的长为．（16）（17） 17. 如图l 1∥l 2∥l 3，若23 BC AB ，DF ＝10，则DE ＝． 18. 如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，若EF ＝2，CD ＝3，则AB 的长为多少？考点八、基本事实的综合题型19. 已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD +EC ＝9，DB ＝4，AE ＝5，求AD 的长．20. 如图，AD 是△ABC 的中线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ．求证：AE •FB ＝2DE •AF ．21. 如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN +PQ ＝2PN ．二、巩固提高1. 下列各组线段中，能组成比例线段的（）A ．2，3，4，5B ．2，3，4，6C ．2，3，5，7D ．3，4，5，62. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，如果AB 长为20，则AC 为（）A ．10510-B ．10﹣105C ．30﹣105D ．20﹣1053. 如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（）A ．215-B ．213-C ．5﹣1D ．3﹣14. 已知线段a ＝2，c ＝4，线段b 是a ，c 的比例中项，则线段b 的值为（）A ．8B ．3C ．2±D ．225. 如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ．若AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，BC ＝4，则BE 的长为（）A ．320B ．332C ．12D ．206. 如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则EF 的长为（）A ．2.4B ．3C ．3.6D ．4.8（6）（7）7. 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：AD ＝1：4，BE 的延长线交AC 于F ，则AF ：CF 的值为（）A ．1：4B ．1：5C ．1：6D ．1：78. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），如果AB 的长度为10cm ，那么AP 的长度为 cm ．9. 已知点P 是线段AB 上的一点，且AP 2＝AB •PB ，如果AB ＝2，那么AP ＝．10. 若线段a ，b ，c 满足关系b a ＝43，c b ＝53，则a ：b ：c ＝． 11. 若bc a a c b c b a k +=+=+=（k ≠0），则y ＝kx +k ﹣2一定经过第象限． 12. 若m yx z x z y z y x =+=+=+333333，则m ＝． 13. 已知四条线段a ，2，6，a +1成比例，则a 的值为．14. 已知532z y x ==，且3x +4z ﹣2y ＝40，则x 的值为． 15. 已知：如图，点D 、F 是△ABC 的AB 边上的两点，满足AD 2＝AF •AB ，连接CD ，过点F 作FE ∥DC ，交边AC于E ，连接DE ．求证：DE ∥BC ．16. 如图，点R 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AR ＞RB ，S 1表示AR 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，求S 3：S 2的值．17. 已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，求()()()abca c cb b a +++的值．18. 如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长；（2）如果DE ：DF ＝2：5，AD ＝9，CF ＝14，求BE 的长．19. 如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF ＝1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD ＝2：1，连接FD 与AC交于点N ，求FN ：ND 的值．答案一、典型例题1. C2. B3. （1）（2）4. 解：分情况进行：当a +b +c ≠0时，根据等比性质，得x ＝c b a c b a 222++++＝21；当a +b +c ＝0时，则a +b ＝﹣c ，x ＝﹣1．故x 的值为﹣1或21． 5. B6. C7. 38. 运用勾股定理求得AB ＝5，由S △ABC ＝21AB •CD ＝21BC •AC 求得CD ＝2.4，再进一步计算可得AD ，BD 的长，根据比例线段的概念即可判断9. 34 ±6 6 10. a ＝6，b ＝4，c ＝12；x 的值为2611. （105﹣20）cm ．12. ≈7.8是原方程的根，应该选择大约8厘米13. (1)（555-）cm ；(2)以A 圆心，以AB 的长为半径作弧，再以点B 为圆心，AD 的长为半径作弧，两弧交于点C ，连接BC ，则△ABC 即为所求；（3）证明：由（1）得，点D 是线段AB 的黄金分割点，∴底边AD ＝215-乘腰AB ， ∴三角形ABC 是黄金三角形．14. 如果在黄金矩形ABCD 的较长边AB 上截取AE ＝BC ，另一边DC 上截取DF ＝BC ，连接EF ，那么可以证明四边形AEFD 是正方形；然后证明矩形BCFE 的宽与长的比是黄金分割比即可．15. 略16. 617. 618. 619. AD 的值是4或520. 过点D 作DN ∥CF ，交AB 于点N ．结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．21. 根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．二、巩固提高1. B2. A3. A4. D5. B6. C7. C8. （55﹣5）9. 5﹣1或3﹣5．10. 9：12：20．11. 三．12. 6或﹣313. 314. 6．15. 首先根据平行线分线段成比例定理得到AE AC AF AD =，结合已知得到AD AB AF AD =．从而得到AEAC AF AB =，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行．16. 215-． 17. ()()()abca c cb b a +++的值为8或﹣1． 18. 9，1111 / 11 19. 2：3；过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E ，求出31=BC FE ，得出FE ＝31BC ，根据已知推出CD ＝21BC ，根据平行线分线段成比例定理推出CDEF ND FN =，代入化简即可．。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节两个三角形相似的判定【课本相关知识点】相似三角形的几个判定：1、的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【补充】：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似2、有角对应相等的两个三角形相似。

3、两边，且的两个三角形相似。

4、三边的两个三角形相似。

【典型例题】【题型一】判断两三角形是否相似（利用相似三角形的判定定理）现在我们再也不需要利用两个三角形相似的定义来判断它们相似，因为那样做太繁琐了。

1、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4；A 1B 1=24.5，B 1C 1=17.5，C 1A 1=28本题可以根据的两个三角形相似来判定。

这两个三角形（填相似或不相似）【题型二】利用相似三角形求线段的长度1、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。

若DB=9，求BM 的长【题型三】利用相似三角形证明线段比例式或等积式1、如图，四边形ABCD 内接于圆O ，E 为BA ，CD 延长线的交点。

（1）求证：△EDA ∽△EBC （2）求证：AD ﹒CE=BC ﹒AE【题型四】利用相似三角形解决实际生活问题1、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1OC OD OA OB n==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．【题型五】相似三角形中的“存在性”问题（2）设AB k BC=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。

巩固练习1、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO等于（）B. 13C. 23D. 122、如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，则图中与△ABC 相似的三角形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为（）B. 13C. 23D. 124、如图，如果∠1=∠2，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（）A. AB AC AD AE =B. AB BC AD DE= C. ∠B=∠D D. ∠C=∠AED 5、如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相邻的直角三角形的边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 有2个以上但有限D. 有无数个6、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（）A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c7、如图所示，在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP=x ，E A B第1题第2题第3题第4题A. 5x +3B. 4-5xC. 72D. 21212525x x - 8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（）9、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，有下列条件：①1111AB BC A B B C =，②1111AC BC A C B C =，③∠A=∠A 1，④∠B=∠B 1， ⑤∠C=∠C 1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的共有（）组A. 4B. 5C. 6D. 710、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DC 上，若DE:EC=1:2，则BF:BE=11、如图，FG ∥BC ，FC 与GB 相交于点A ，FG=4，BC=7，FC=10，则FA 的长为12、如图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB ∥DE ．若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=【温馨提示：一定要牢牢记住这几个结论：相似三角形的对应边上的高之比、对应边上的中线之比、对应边上的角平分线之比都等于对应边之比】13、已知：在ΔABC 中，BD 平分∠ ABC ，与AC 相交于点D ；DE // BC ，交AB 于点E ，AE=9cm ，BC=12cm ，则BE 的长度为。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)

相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ，并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。

浙教版九年级上册第四章相似三角形专题：相似三角形及其判定练习

专题：相似三角形及其判定一．选择题1. 如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A. ：2B. 1：C. ：D. ：22.如图，在直角坐标系xOy中，A（-4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A. （1，）B. （，）C. （，2）D. （，2）3.P是△ABC一边上的一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.在等边三角形ABC中，D为AC上一点，且，要在AB上取一点E，使△ADE∽△CDB，则等于（）A. B. C. D. 15. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC 于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）．A.2B.3C.4D.56. 在△ABC中，AB=m，AC=n，P是AB的中点，过点P的直线交边AC于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）A. B. C.或 D.或7. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为（）A. B. C. D.8. 如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点C，过点C作CD⊥OP于D．若OB=BC=1，则PD的长为（）A. B. C. D.二．填空题9. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=____．10. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=____．11. 如图，正方形CDEF的顶点D、E在半圆O的直径上，顶点C、F在半圆上，连接AC、BC，则=____.12. 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=____．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为______；当时，为______．（用含n的式子表示）14. 如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=______．15. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）16. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于点H，点O是AB中点，连接OH，则OH=___________.三．解答题17. 在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED.18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G.（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似.19. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，=3，连结CH并延长交AB于点G，连结GE并延长交AD的延长线于点F.（1）求证：=.（2）若∠CGF=90°，求的值.20.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：=GE·GF．21.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D作DE 垂直于点E，且CD=DE（1）求证：AD2=2AE•AB；（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．23. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．24. 如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．(1) 点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；(2) 在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．25.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图2,在△ABC中,AC=2,,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.参考答案1. D 2. B 3. C 4. C 5.B 6.D 7. B8.C9. 4．10. 5.1．11. .12.．13. ，．14. 1或．15.，16. .17.证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED.18. （1）证明：∵BF∥DE，∴==.∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF.在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5.∵点的是AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，∴∠DCB=∠DBC.∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=BD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，则BP=.综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似.19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴=；（2）作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：==3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴=，∴EG·EF=DE·EC，∵CD∥AB，∴==，∴=，∴EF=EG，∴EG·EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a ，∴==3.20.解析（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴＝，∴=GE·GF.21. 证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．22. 解：（1）连接BD，∵AB∥DC，∴=，∴∠ACD=∠BAC，∴=，∴BD=AC，∴BD=AC=AB，∵△BED为直角三角形，∴BD2=BE2+DE2，BD2=AB2=（AB-AE）2+DE2=AB2-2AB•AE+AE2+DE2，2AE•AB=AE2+DE2，∵△AED为直角三角形，∴AD2=AE2+DE2，∴AD2=2AE•AB；（2）过C作CF⊥AB，则BF=AE，CD=EF，∴BE=CD+BF=CD+AE，∴（CD+AE）2+DE2=AC2，即[CD+（AB-CD）]2+CD2=AB2，即3AB2-2AB•CD-5CD2=0，∴（3AB-5CD）•（AB+CD）=0，∵CD 不等于负数，∴CD=AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴S△ABC=AB•DE=50，∴S△ACD=DC•DE=AB•DE=S△ABC=30．23.（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE则△ECN与△MEN中有ECCN =EMNE，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．24. (1)证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG(2)解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴= ，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．25.(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC 不是等腰三角形,∵CD 平分∠ACB,.∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD ∽△BAC.∴CD 是△ABC 的完美分割线.(2)当AD=CD 时(如图①),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC 时(如图②),.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD 时(如图③),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC=∠BCD=48°与∠ADC>∠BCD 矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD ∽△BAC,,设BD=x(x>0),,解得,∵x>0,.∵△BCD ∽△BAC,,.1、最困难的事就是认识自己。

专题4.3相似三角形的判定与性质(一)-知识点梳理+练习(含解析)-浙教版九年级数学上册

A．①②③
B．①②④
C．①③④
【题型 3 根据图形数据判断两三角形相似】
试卷第 4 页，共 13 页
D．②③④
【例 3】（2023 春·河北保定·九年级统考期末） 9．如图， ABC 中， A 78 ， AB 4 ， AC 6 ．将 ABC 沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（）
A．①②③
B．③④
C．①②③④
D．①②④
【变式 3-1】（2023 春·河南新乡·九年级统考期末）
10．如图，已知△MNP ．下列四个三角形，与△MNP 相似的是（）
A．
B．
C．
D．
【变式 3-2】（2023 春·山西阳泉·九年级统考期末） 11．如图是老师画出的 ABC ，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的 ABC 不一定相似的是（）
试卷第 6 页，共 13 页
P ，它与 A , C 两点形成的三角形与 ABC 相似，则 P 点的坐标是．
【变式 4-3】（2023 春·山东淄博·九年级统考期末） 16．平面直角坐标系中，直线 y 1 x 2 和 x、y 轴交于 A、B 两点，在第二象限内
2 找一点 P，使△PAO 和△AOB 相似的三角形个数为( )
A． OB 6 CD 5
B．
6 5
C．
S1 S2
6 5
【变式 1-1】（2023 春·九年级上海市民办文绮中学校考期中）
D．
C1 C2
6 5
2．两个相似三角形的面积之差为 3cm2 ，周长比是 2：3，那么较小的三角形面积是 cm2 ．
【变式 1-2】（2023 春·四川成都·九年级成都实外校考期中）

相似三角形知识点总结及习题.doc

相似三角形知识点总结及习题相似三角形基本知识(一)比例的性质1.比例的基本性质:比例式化积、积化比例式.2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.(k=1、2、3…)应用:已知证明:∵∴∴∴3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.若则.4.比例中项:若的比例中项.(二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.已知l1∥l2∥l3,ADl1BEl2CFl3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC 由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(三)相似三角形1、相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.特别提醒：①是特殊的相似图形，具有位似中心；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.相似三角形（基础训练）一、选择题（每题2分，共30分）1.已知，则下列式子中正确的是（） A.a:b=c²：d²B.a:d=c:dC.a:b=(a+c):(b+d)D.a:b=(a-d):(b-d)2.一个运动场的实际面积是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（）A.6.4cm²B.640cm²C.64cm²D.8cm²3.测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（）4.已知线段d是线段b、c、a的第四比例项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（）A.1cmB.10cmC.2.5cmD.1.6cm5.①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有；②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC 的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC=.其中正确的判断有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（）7.下列图形中相似的多边形是（）A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的正方形D.所有的等腰梯形8.下列判断中，正确的是（）A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似；B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似；C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似；D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.9.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10.点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:√211.，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.无法确定12.下列说法正确的是（）A.两位似图形的面积比等于位似比；B.位似图形的周长之比等于位似比的平方；C.分别在△ABC的边AB、AC 的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；A.B.C.D.D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比13.如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个14.如图，在△ABC中，D 为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为()A.1B.C.2D.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（）A.9:4B.9:2C.3:4D.3:2二、填空题（每题2分，共20分）16._____,_____.17.如果x:y:z=1:3:5,那么_____.18.E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.19.在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.20.两个相似三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.21.△ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△的两边长分别为1和√2，如果△ABC∽△，那么△的第三边长为_____.22.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB 到E,使AB=2BE，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.23.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯墙一点D距强1.2m，BD长0.5m，则梯长为_____.（23题）(24题)24.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D 是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______.25.如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MOC∽△AOC面积的比为_____.三、作图题（5分）26.三角形的顶点坐标分别是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，试将△ABC缩小，使缩小后的△DEF与△ABC的对应边比为1:2，并且直接写出点D、E、F的坐标.四、解答题（27题、28题5分，29题10分，共20分）27.如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.28.如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.求的值.29.如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.（1）求的值（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.五、证明题（30题5分，31题、32题10分，共25分）30.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.求证：AP²=PQ·PR.31.如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F.求证：BF=CD.32.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.（1）求证：△CEB ≌△ADC；（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第一节

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第一节比例线段【课本相关知识点】1、如果两个数的比值与另两个数的相等，就说这四个数成比例2、比例的基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么；反之，如果ad=bc （a ，b ，c ，d 均不为零），那么或3、两条线段的叫做这两条线段的比4、四条线段a ，b ，c ，d 中，如果，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段5、一般地，如果三个数a ，b ，c 满足比例式，那么b 就叫做a 与c 的比例中项6、如果线段AB 上有一点P ，把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使得，那么称线段AB 被点P 黄金分割，线段AP 与AB 的比叫做黄金比，黄金比的比值为，约等于【典型例题】【题型一】比例尺的应用1、该图是一个工厂建筑物俯视图的平面图，比例尺是1：10000，根据图中尺寸（单位：cm ）求围墙的长度42【题型二】比例的基本性质的应用 1、若213m n n -=，则m n= 2、已知578a b c ==，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c= （设比例系数k ）【题型三】成比例线段的应用1已知三条线段的长度分别是1cm ，2cm ，请再找出一条线段，使这四条线段为成比例线段。

【题型四】黄金比的应用1、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点（即BD 是AB 与AD 的比例中项），【题型五】比例的应用1、如图所示，连结A ，B 两城的高速公路全长120km ，在AB 上建有两个收费站。

已知AC ：CB=1:5,AD:DB=11:1,一辆车从C 到D 行驶了34小时，那么汽车速度是每小时巩固练习1、若3，6，5，x 可以组成比例，那么x=2、已知578a b c ==，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c= 3、2和18的比例中项是；已知线段AB=3cm ，CD=6cm ，则线段AB 、CD 的比例中项是4、一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积约为（）A. 400m 2B. 200m 2C. 0.4m 2D. 0.2m 25、一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点、将这张报纸沿着直线EF 对折后 AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（）1 B. 2：：2 D. 1：26、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到最好效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A ．4cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm7、如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ；取AB 的中点P ，连接PD ；延长BA 至点F ，使PF=PD ，以线段AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上。

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。

« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。

α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。

d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。

浙教版数学九年级上册第4章相似三角形知识点汇总及例题讲解

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

浙教版九上数学第四章相似三角形整章课件课件

4
3
H1
B M1
A
D
E
N1
G
F
C
D
H1
N1
B M1
G
2
A E
F
C
（5）将上题中的Rt△BDG的内接正方形HMGN变形为
Rt△BDG的内接矩形H1M1GN1,则这样的矩形有几个?是否存在着面积最大的内接矩形?若存在,请求出面积
的最大值;若不存在,请说明理由.
Copyright 2004-2009 版权所有盗版必究
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1.如图：Rt△ABC中∠A=Rt∠,BG=4,FC=1,正方形DGFE内接于三角形ABC.
△ADE∽△EFC∽
(1)试找出图中相似的三角形； △BDG∽△ABC
（2）试求出正方形的边长 2
（3）试求出 ADE的面积 4
A
5
D
E
B
G
FC
（4）如图,试求出△BDG的内接正方形HMGN的边长.
1 1.2
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墙 2 9.6
4.小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度__2_._4_米____.(设网球是直线运动) 5.为了测量一条水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE 延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则池塘的宽度_2_0_m__
比例中项是_4_c_m_.
(3)已知1，2 ，2三个数，请你再添上一个
数，写出一个比例
。
(4) 已知线段AB=10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP ，则AP= 5( 5 1)cm。

浙教版初中九年级上册数学精品教学课件第4章相似三角形 4.3 相似三角形

相等
相等
相等
1
相似三角形
不一定相等
成比例
正实数
典例1如图，在正方形网格内有和.
（1）这两个三角形相似吗？为什么？
解：由勾股定理可得，，，，，，，.由测量可得，，，，.
依据定义判断两个三角形是否相似时，对应边成比例，对应角相等，两者缺一不可
（2）在上边的网格内再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比.
解：如图，与相似，它们的相似比是.
知识点2 相似三角形的性质重点
1.性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.几何语言：如图.
，，，，.
典例2如图，若，则的度数为_____.
[解析]，，.，.
(2)结合图形确定.
(1)通过“”确定.用“”连结的两个三角形对应顶点是确定的.
例题点拨
确定相似三角形对应关系的两种方法
A.B.C.10D.
A
[解析]如图1所示，由已知可得，，则.
设，，则，解得
，，故选项B,D不符合题意.如图2所示，由源自知可得，，则图1图2
设，，则，解得
，,故选项C不符合题意.如图3所示，由已知可得，，
图3
此时两个直角三角形的斜边长分别为6和7.综上，选项A符合题意.
链接教材本题取材于教材第128页例2，主要考查了利用相似三角形的性质求线段的长.教材例题考查得很基础，直接利用对应边成比例列出比例式求解即可，而中考真题考查难度较大，需要先画出各种情况的草图，再列比例式求线段长，不仅情况多样，计算难度也较大.得分的关键是：①分析出三种情况；②列出比例式；③正确解方程组.
第4章相似三角形
4.3 相似三角形
学习目标
1.了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.

九年级上册数学第四章：相似三角形知识总结与练习

图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例项．知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。

九年级数学相似三角形浙江版1知识精讲

九年级数学相似三角形某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1 相似三角形应用举例（一）相似三角形应用举例（二） 3. 相似三角形复习二. 本周教学目标：1. 掌握相似三角形性质进行线段、面积的计算、证明。

2. 掌握方程与相似三角形、函数与相似三角形的综合题解法。

3. 复习相似三角形单元测试三. 重点与难点： 1. 重点：应用性质的线段的长度计算，几何证明。

2. 难点：[例1] 如图（1BC 上，AH ⊥BC 形DEFG 的周长。

解：因为:DE 因为DG 所以183x = 所以DE=6，EF=9，所以矩形DEFG 的周长为30cm 。

解析：本题的解答利用了相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，从而充分利用已知线段BC ，AH 的长，得到所需的方程。

[例2] 如图（2），在ABC ∆中，AC AB >，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE 。

直线DE 和BC 的延长线交于点P 。

求证：CEBDCP BP =。

因为在PBC ∆和PDA ∆中，P P ∠=∠，︒=∠=∠=∠90PBC ABC D ，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以PD PBAD BC PA PC ==。

所以xx x x 213322+=+，所以2233242x x x x +=+ 整理得0)322(2=-+x x ，0=x 或232-=x 。

因为BC 0≠，所以BC=232-，AD=34-解析：四边形中的问题，如果不能直接用四边形的性质来解决，一般转化为几个三角形之间的关系，并利用三角形的性质来解决。

常用的转化方法是添对角线，由于本题中的A ∠，B ∠，D ∠都是特殊角，添对角线将破坏︒90和︒60角的完整性，不便于利用三角形的性质，本解法所添的辅助线使四边形转化为含︒30角的直角三角形，问题得以顺利解决。

[例4] 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD <，且AD=5，AB=DC=2。

浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育