第二章参数估计习题修改

,0 x , 7.设母体X具有均匀分布密度 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差 的最大似然估计量的值. 解: X U (0, ) ， 的最大似然估计 ＾ max x 2.2 i ＾ ＾ EX , 1.1 f ( x)
2
s 40 1000 1.96 992.2 10 n s 40 1000 1.96 1007.8 10 n
区间为(992.2,1007.8)小时.
19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长 度(单位:cm)为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2. 12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布 为正态的，试求母体平均数 的置信概率 为90%的置信区间 ：（1）若已知 0.01(cm); （2）若 未知。 解：n=16, x 2.125, s* 0.017 x (1)若已知 0.01(cm) ，构造函数u / n N (0,1) 给定置信概率90%，有 P{ u u } 1 2 0 0 即 P( x u x u ) 1
L (1 p) xi 1 p (1 p)
i 1
n
xi n
i
pn
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
i
d ln L n 1 i 0,＾ p dp 1 p p x
n xi
3.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其 分布密度为 f(x)=
i
Dx

2
n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布 P ( ) 母体 的一个子样。试验证：子样方差 S *2 是 的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2 也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均 数 解： P(), EX , DX , E X , ES *2 X
i 1
n 1
(n 1) 2 0 (n 1) 2 2(n 1) 2
( xi 1 xi )2
i
E[
2(n 1)
1 ] , c 2(n 1)
2
18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平 均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子 管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%). 解:n=100, x 1000 小时,s=40小时
似然函数
L f ( xi ) e ( xi )
为了使L达到最大， xi n 0 ，尽可能小， i 尽可能大，而＾ xi , min xi x(1)
1i n
d ln L ln L ( xi n ), 0无解 d i
12设母体X服从正态分布 N (,1),( X1, X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X 1 X 2 1
2

12
4.设母体X的分布密度为 f(x)=
x ,0 x 1
0, 其他
1
其中
0
(1) 求 的最大似然估计量; (2)用矩法求 的估计量. 1 x ,0 x 1 解:
x f ( x)
1最大似然估计 L xi 1 n xi 1
2
给定置信概率1

n
/ n
，有 u ，使
2
2
P{ u u } 1
即
P( x u
2
x u
2u
2

n
) 1
置信区间长度

n
2
L
n 4 u / L
2 2 2
2
23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样， * 算得子样标准差 s 的数值。设（1）n=10, s * =5.1(2)n=46, s * =14。试求母体标准差 的置信概率为0.99的置信区间。 X N (, 2 ), , 2未知 解： （1）n=10, s*2 5.1 (n 1) s*2 *2 2 2 2 (n 1) 用 s 估计 ,构造函数 2 给定置信概率1 =99%,查表得
2
s/ n
即
m 1m m m 1m m p( u (1 ) p u (1 )} 1 n nn n n nn n 2 2
故p的置信概率为95%的置信区间为 （0.25±0.11）
22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽 取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为1 的置信区间的长度不大 于L? 解： X N (, 2 ), 2已知 x 构造函数 u N (0,1)
ln L n ln ( 1) ln xi
i
i 1 i 1
0, 其他 n
( 0)
n
d ln L n ＾ n ln xi 0, d i ln xi
i
2矩法估计

EX
用
X 用估计EX


x f ( x)dx x x dx
3 3 3 3 3 3
3 5 1 1 ＾ 2 1 5 ＾ 1 ＾ 1 D1 ( ) 2 ( ) 2 , D2 ( ) 2 ( ) 2 , D3 ( ) 2 ( ) 2 3 3 9 4 4 8 2 2 2
＾ 方差最小为有效 3
n i 1
＾ 对形如 xi xi , 且 xi 1时, E ,以 x 为最有效
2
n
置信区间为( x u
2
0
n
2
n
)为(2.125 0.0041)
（2）若 未知 x 构造函数 T * t (n 1) 给定置信概率90%，查得 t0.05 (15) 1.7531 ，有
p( T t (n 1)) 1
S / n
∴母体平均数 * 的置信概率为90%的置信 s ( x t0.05 (15) ) ，即（2.125±0.0075） 区间为
n
2
21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相 同但未知。如果在60次独立试验中，事件A 出现15次，试求概率p的置信区间（给定置 信概率为0.95）。 m m m x 解：n=60,m=15,x~“0-1”分布， n , s n (1 n ) x p 近似 构造函数u N (0,1) 给定置信概率95%，有P{ u u } 1
f(x)= （） { ex ) 0 ( x解： e , x 0
第二章 参数估计 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度 为 e x , x 0 f(x)= 0, x 0 其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x e( ) f(x)=

0, x 0
1
2
DX
2

2
2
12
＾2 1 ＾2 0.4033 ,
12
8.设母体X的分布密度为 f(x)=
e
( x )
,x
0, x 0 e ( x ) , x 0, x 0
n i 1
试求 解：
的最大似然估计。
X f ( x)
n i 1
i 1 n
k
(k 1)!
xi k 1e xi
n xi 1 ( )n nk ( xi )k 1 e i (k 1)! i 1
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi ) k 1 xi
i 1 i
n
d ln L nk k ＾ k xi 0,＾ 或 d x x i
1 ,a x b ba 0, 其他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计 量. ab 1 X U [a, b], EX , DX (b a ) 2 解:
2 12
用 X 和 aS b分别估计EX和DX 得 X 2 ＾ X 3S a (b a ) 2 ＾ X 3S b S2
E( X (1 )S *2 ] EX (1 )ES *2 (1 )
N (, 2 ) 的一个子 14 .设X1,X2,…,Xn为母体
C ( X i 1 X i )2 样。试选择适当常数C,使
n 1 i 1
为
2
的无偏估计。 解： ( x x )2 [( x ) ( x )]2 i1 i i 1 i

x
1 1 E E ( xi ) E xi n i n i
＾ 是 的无偏估计.
Fra Baidu bibliotek
6.设母体X具有分布密度
k
f(x)= (k 1)!
0, 其他
x k 1e x , x 0
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大 似然估计量. 解:似然函数
L
3 3 1 3 2 （2）＾ 4 X 1 4 X 2 1 1 （3）＾ X 1 X 2 3 2 2
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 2 1 2 1 2 1 解：＾ E ( x1 x2 ) Ex1 Ex2 E 1 ＾ 同理： 2和＾都是 的无偏估计。 3
e x , x 0
0, x 0
（
x
0
1
）
Ex

xf ( x)dx xe
0
dx

x
用样本 x 估计Ex，则有 x
1

＾ 1 ,
2.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计
1
0
1
1
X 估计EX
X 1 X
1 e 5.设母体X的密度为 f ( x) 2

x

, x
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. x x n 解： n 1 1 n
i
L f ( xi )
i 1 i 1
x 近似 N (0,1) 用 x 估计 ,构造函数 u s/ n 给定置信概率 1 ,有 P{ u u } 1
即
P( x u
2
置信下限 x u 置信上限 x u
s s 2 x u ) 1 n n 2
2
整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信
( xi ) 2 2 ( xi 1 )( xi ) ( xi ) 2
i i
E( xi1 )( xi ) 0
n 1 i 1 2 2 i i
i
i
i
E ( xi 1 xi ) E ( xi 1 ) 2 E ( xi 1 )( xi ) E ( xi ) 2
EX k (1 p)
k 1
x 1 x 1 1 (( (1 x) ) ' [ ]' ( )' 2 ) 1 (1 x) x x i
i
1 ＾ p x
k 1
1 1 p p[(1 p) ]' p 2 p p k
k
(2)极大似然估计
2
e
(
i
ln L n ln 2 n ln
i d ln L n i 2 0 d
x
i
2
) e
i
x

＾ 1 x 得 n
i
i

E xi E X



x f ( x)dx
x



1 1 x e dx 2 x e dx 2 2 0