结构力学图乘法详述演示文稿

EI
N EPAkG Q P A
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
M E M PI d s N E N Pd A s kQ G Q Pd As
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MMP EI
ds
（2）桁架
N E N PA d s N E N PA d s N E N P lA
三、位移计算的一般步骤:
K
t1 t2
c2
K
c1
1
R1
M .N .Q .Rk R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M.N.Q.Rk表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
结构力学图乘法详 述演示文稿
( M N Q )ds Rkck
适用范围与特点：
1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
折减抗弯刚度
q=625N/m
0.85EI=3.6465 ×104Nm2
1
w1
2002.2220 2
y1
2 3
0.8
0.533
w2
23782.2555 3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
200
378
ω2
ω1
ω3
y2
10.80.4 2
w3
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4lБайду номын сангаас5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 13a3aPa EI2 4
1 EI
Paa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2Pa
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
⑦非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
MiMkdxw1y1w2 y2
a
ω1
Mi
ω2
b
l/3
l/3
l/3
al 2c d bl c 2d
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
否则取负。
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
02
l EI
l 2
2
l EI
Pl 2
积分常可用图形相乘来代替
16 EI
§6-5 图乘法 位移计算举例
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
Mi是直线
1
EI
B
M
A
k
xtgadx
1 EI
tga
B
A xM k dx
tga EI
B A
xdw
1 EI
tga ×w
a h
b ＝a
+
b h
c l
d
S
l
6 (2ac 2bd
ad
bc )
2hl 3
cd 2
例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土
q=625 N/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
容重为25000N/m3，求C点的挠度。
§6-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
( M N Q )ds
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 MP.NP.QP的方程，可经由荷载内力应力应变
过程推导应变表达式。
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。
P
A
EI
B
l/2
Pl/4 l/2 MP
例：求梁B点竖向线位移。
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4
1/2 M
BE1I12P4ll•121P6E2l I
M
11q2l 3 q4l
BEI3
2
l• l 4 8EI
（3）拱
M E MP Id sN E NPAds
例4：求图示等截面梁B端转角。
P
解：1）虚拟单位荷载
A
EI
B
2）MP 须分段写
x1 x2
l/2
l/2
M(x)x (0xl) l
B
l MPM dx 0 EI
MP(x)P 2x
(0xl) 2
P (lx) M P(x) 2
(lxl) 2
m=1
l2P( xx)1d xl P (lx)(x)1dx
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
3
9
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
9
b)非标准抛物线乘直线形
x0
1 EI
wy0
y
dω
Mk
ω
x
dx
x0
MM EI
P
dx
w y0
EI
α
Mi y0
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
注： ①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。