第11章 无穷级数 习题 11- (2)

n =1 n =1
n →∞
un +1 < 1 或 lim n un < 1 , 进一步运算得 n →∞ un
欲证结论.
5
7. (1)
下列命题是否正确？若正确, 给予证明, 若不正确, 试举出反例. 若级数 ∑ vn 收敛, 且 un ≤ vn (n = 1, 2,") , 则级数 ∑ un 收敛;
nπ n ∞ 3 ≤ n = v , 而 lim n v = lim n = 1 , 所以 v 收敛 , ∑ n n n n n n →∞ n →∞ 2 2 2 2 n =1
原级数收敛.
(4)
因为 un =
n cos 2
从而原级数收敛.
(5)
设 un = a n sin
∞ π a n a , 当 0 < a < b 时 , ( ) π 而 u ≤ , ( ) n 收敛 , 所以原级 ∑ n n b b n =1 b ∞ π ≤ a n , 而 ∑ a n 收敛, 所以原级数收敛; a = b = 1 n b n =1
解
(1)
设 un =
敛, 所以原级数收敛. (2) 设 un =
∞ u 4n 1 4n 2 , vn = , 而 lim n = lim = 4 , 且 ∑ vn 发 n →∞ v n →∞ ( n + 1)( n + 2) n (n + 1)(n + 2) n =1 n
散, 所以原级数发散.
(3)
∞
(3)
∑ (2n + 1)! ;
n =1
∞
3n
(4)
∑ n sin 3n+1 ;
n =1
∞
π
(5)
2 ⋅ 5" (3n − 1) ∑ 1 ⋅ 5" (4n − 3) ; n =1
(6)
x2n ∑ n2 ( x > 0) . n =1
解
(1) 设 un =
un +1 n3 (n + 1)3 2n 1 lim lim , 则 = = < 1 , 所以原级数收敛. n →∞ u n →∞ 2n +1 n3 2 2n n
nn = 0; n →∞ (2n)! lim
(2)
an = 0 (a > 1) . n →∞ n ! lim
证
(1)
∞
1 ( + 1)n un +1 (n + 1)n +1 (2n)! nn 设 un = , 而 lim = lim = lim n = 0 <1 , n →∞ u n →∞ [2( n + 1)]! n n n →∞ 2(2n + 1) (2n)! n
(2)
设 un =
un +1 2n n ! 2n +1 (n + 1)! n n 2 2 lim lim , 则 = = lim = < 1 , 所以 1 n →∞ u n →∞ ( n + 1) n +1 2n n ! n →∞ e n nn n (1 + ) n
原级数收敛.
(3)
敛.
设 un =
数收敛; 当 0 < b ≤ a < 1 时, a n sin
时原级数 ∑ 0 收敛 ; a = b > 1 时 lim a n sin
n =1 n →∞
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∞
π π =π , 当 a > b > 1 时 lim a n sin n = ∞ , n n →∞ a b
所以原级数发散; a > 1 > b 时, 原级数发散.
n =1 2
收敛 , 所以原
(7)
设 un =
u a 1 , vn = a n , 则 lim n = lim 2n n →∞ v n →∞ 1 + a 2 n 1+ a n
n
⎧1, 0 < a < 1, ⎪1 ⎪ . 因 为 = ⎨ , a = 1, ⎪2 ⎪ ⎩0, a > 1. 1 发散, 所以原级 n =1 2
(5)
数收敛.
1 n2 ⋅ n n
, vn =
∞ un 1 1 = = lim lim 1 , 而 且 , ∑ vn 收敛, 所以原级 n →∞ v n →∞ n n n2 n n =1
1
(6)
级数收敛.
因为 un = n3 + 1 − n3 =
1 n3 + 1 + n3
≤
1 2 n3
, 而∑
∞
1 n3
∞ ∞
(2)
np ∑ n! ; n =1
∞
(3)
(4)
∑
∞
∞
n cos 2
2n
1
nπ 3 ;
n =1
(5)
∑ a n sin bn (a, b均为正数) ;
n =1
∞
π
(6)
∑ 1 + a n (a > 0) .
n =1
解 数收敛.
(1)
un =
∞ 1 1 1 1 1 ( n +1 − n) = ≤ 3 , 而 ∑ 3 收敛 , 所以原级 n n ( n +1 + n) n =1 2 n n2
∞
0 < a < 1 时,
∑ vn
n =1
∞
收敛, 所以原级数收敛; a = 1 时, 级数变为 ∑
∞ 1 1 , 而 ∑ a n 收敛, 所以原级数收敛. an n =1
数发散; a > 1 时, un ≤
2. 利用比值审敛法判定下列级数的敛散性: (1)
∑ 2n ;
n =1
∞
∞
n3
(2)
∑
∞
2n n ! ; n n =1 n
第二节
正项级数及其审敛法
习题 11 - 2
1.
利用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的敛散性:
∞
(1)
∑ n2 − n + 3 ;
n =1 ∞
5
(2)
∑ (n + 1)(n + 2) ;
n =1 ∞
∞
4n
(3)
∑ tan 2n ;
n =1 ∞
π
(4)
∑3n;
n =1 ∞
3
(5)
∑ n2 ⋅ n n
注意
当用比值审敛法去判断级数的敛散性时, 极限 lim
un +1 的具体值必须求 un
出 . 不求出极限 lim
n →∞
un +1 u 的具体值 , 仅通过观察确定 n +1 与 1 的关系 , 进而确定 un un
un +1 与 1 的关系, 从而得出级数敛散性的结论一般是错误的. n →∞ u n lim 3. (1)
(6)
设 un =
u x2n x 2( n +1) n 2 , 则 lim n +1 = lim = x 2 , 所以当 x > 1 时原级数发散; 2 2 2n →∞ →∞ n n u (n + 1) x n n
1 ( x > 0) 收敛. 2 n n =1
n →∞
∞
0 < x < 1 时原级数收敛; x = 1 时原级数变为 ∑
利用根值审敛法判定下列级数的敛散性:
∞ ∞
∑ ( n 2 − 1)n ;
n =1
(2)
∑
2n nn
;
n =1
(3)
4 42 43 + + +"; 1 ⋅ 3 2 ⋅ 32 3 ⋅ 33
(4)
n=0
∑ (a
∞
b
n
) n , 其中 lim an = a , 两正数 a ≠ b .
n →∞
解
(1) 设 un = ( n 2 − 1) n , 则 lim n un = lim ( n 2 − 1) = 0 < 1 , 所以原级数收敛.
n =1 ∞
1
;
(6)
∑(
n =1
n3 + 1 − n3 ) ;
(7)
∑ 1 + a 2n
n =1
an
(a > 0) .
∞ un 5 1 5n 2 , v = , 而 = = , 且 lim lim 5 vn 收 ∑ n n →∞ v n →∞ n 2 − n + 3 n2 − n + 3 n2 n =1 n
u 3 3n , 则 lim n +1 = lim = 0 < 1 , 所以原级数收 n →∞ u n →∞ (2n + 3)(2n + 2) (2n + 1)! n
(4)
设 un = n sin
π 3n +1
≤
vn +1 nπ nπ (n + 1) π 3n +1 1 v lim lim , = , 则 = = <1 , n n →∞ v n →∞ 3n + 2 nπ 3 3n +1 3n +1 n
n =1
∞
但 ∑ un
n =1
∞
发散.
(2)
注意
因为 unvn ≤
un + vn , 2
∞ v ∞ 1 1 ≤ ( 2 + vn ) , 所以 ∑ unvn 、 ∑ n 均收敛. n 2 n n=1 n=1 n
vn
比值审敛法或根值审敛法定理的逆命题一般不成立, 所以下述证明思路
∞ ∞
是错误的: 由正项级数 ∑ un 、 ∑ vn 收敛得 lim
n →∞ n →∞
(2)
设 un =
2n nn
, 则 lim n un = lim
n →∞
2 n
n →∞
= 0 < 1 , 所以原级数收敛.
(3)
(4)
设 un =
4n 4 4 , 则 lim n un = lim n = > 1 , 所以原级数发散. n n →∞ n →∞ 3 ⋅ n 3 n⋅3
n =1 n =1
∞
∞
vn n
均收敛.
n=1
n=1
(1)
由题知 lim un = 0 , 故存在正整数 N > 0 , 使得当 n > N 时有 0 < un < 1 ,
n →∞
∞
从而 un 2 < un , 所以 ∑ un 2 收敛. 但反之不成立, 如对 un =
n =1
1 , n
∑ un 2 收敛,
2
故 ∑ vn 收敛, 所以原级数收敛.
n =1
∞
注意 当直接用比值审敛法去判断级数的敛散性但求极限问题较复杂时, 应考 虑先将级数通项变形, 再用比值审敛法. u 2 ⋅ 5" (3n − 1) 3(n + 1) − 1 3 (5) 设 un = , 则 lim n +1 = lim = < 1 , 所以原级数收 n n →∞ →∞ 1 ⋅ 5" (4n − 3) 4(n + 1) − 3 4 un 敛.
设 un = (
b n b b ) , 则 lim n un = lim = , 所以当 b > a 时原级数发散 ; 而 n →∞ n →∞ a an a n
3
b < a 时原级数收敛. 4. 利用适当方法判定下列级数的敛散性:
(1)
1 ∑ n ( n +1 − n) ; n =1 π ∑ n2 (1 − cos n2 ) ; n =1
n =1 n =1 ∞ ∞ ∞
(2)
若正项级数 ∑ un 收敛, 则必有 lim
n =1
n →∞
un +1 = l , 且l <1. un
解
∞ ∞
(1) 不正确. 如设 un = −
1
1 1 , vn = 2 , 显然 un ≤ vn (n = 1, 2,") , 而 n n
∑ vn = ∑ n2 收敛,
n =1 n =1
∞ ∞ 1 但 ∑ un = ∑ (− ) 发散. n n =1 n =1 ∞ ∞
(2)
不正确. 如对于 p -级数 ∑
1 , 当 p > 1 时, p n =1 n
∑ n p 收敛,
n =1
1
但
un +1 np 1 = lim = lim =1. n →∞ u n →∞ ( n + 1) p n →∞ 1 p n ( + 1) n lim
所以级数 ∑ un 收敛, 因此 lim un = 0 .
n =1 n →∞
∞ u an a n +1 n ! a = = < , 所以级数 , 而 lim n +1 = lim lim 0 1 un ∑ n →∞ u n →∞ ( n + 1)! a n n →∞ n + 1 n! n =1 n
(2)
u π π 设 un = tan n , vn = n , 而 lim n = lim n →∞ vn n →∞ 2 2
tan
π ∞ 2n = 1 , 且 v 收敛, 所以原 ∑ n π n =1 2n
级数收敛.
(4)
因为所给级数为 p − 级数, 且 p = 设 un =
1 < 1 , 故原级数发散. 3
设 un =
收敛, 因此 lim un = 0 .
n →∞
注意
级数收敛必要条件是证明数列极限的一种方法. 若正项级数 ∑ un 收敛, 证明 ∑ un 2 收敛, 并说明反之不成立;
n =1 n =1
∞ ∞ ∞ ∞
6. (1)
(2)
证
若正项级数 ∑ un 、 ∑ vn 均收敛, 证明 ∑ unvn 、 ∑
(6)
因为
1 1 < n , 当 a >1 时, 级数 n a 1+ a
4
∑ an
n =1
∞
1
收敛, 所以原级数收敛; 而
0 < a < 1 时, lim
5. (1)
∞ 1 1 = 1 , 原级数发散; a = 1 时, 原级数变为 ∑ 发散. n n →∞ 1 + a n =1 2
利用收敛级数的性质证明:
(2)
设 un =
u np (n + 1) p n ! , 则 lim n +1 = lim = 0 < 1 , 所以原级数收敛. n →∞ u n →∞ ( n + 1)! n p n! n sin
(3)
π 2 u 1 1 π π un = n 2 (1 − cos 2 ) = 2n 2 sin 2 2 , lim n = lim ( 2n ) 2 = π 2 , 所 以 1 1 n n →∞ →∞ 2 2 n 2n 2 2 2n n