随机事件样本空间及事件关系
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B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T(小时）}。
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概
率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定
的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。
三、事件之间的关系
1.包含关系(p4)“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
2.和事件： (p4)“事件A与B至少有一个发生”，记作AB
n
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
Ai
i1
3.积事件(p4) :A与B同时发生，记作 AB＝AB 3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
古典概型中的概率(P7):
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有
P( A) N ( A) N (S )
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
概率论与数理统计
序言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第一章 概率论基础知识
• 随机事件及其概率 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
1.1随机事件及其概率
一、随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E
随机事件
随机事件
1.定义 (p3定义1.1.2) 试验中可能出现或可能不出现的情 况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等
任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3)
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT, TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT }
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
随
机 现
样本空间
象
随机事件
随
机
事件的关系
试
验
包含、和、积、差、 互不相容、互逆
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
的运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标”: A B C A2 :“恰有一人命中目标”: ABC ABC ABC A3 :“恰有两人命中目标”: ABC ABC ABC A4 :“最多有一人命中目标”: BC AC AB
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
Leabharlann Baidu
1.2.1.古典概型与概率
(p6)若某实验E满足 1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：（公认） P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
4.差事件(p5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发 生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件(p5) ：AB＝
6. 互逆的事件(p5) AB＝ , 且AB＝
记作B A，称为A的对立事件 ; 易见A B AB
五、事件的运算(p5)
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S={e}； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,也记为e.
EX 给出E1-E7的样本空间
幻灯片 6
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
A5 :“三人均命中目标”: ABC
A6 :“三人均未命中目标”A: B C
• 例：设A，B，C为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列各事件：
1、A发生，B与C不发生 2、A与B都发生，而C不发生 3、A，B，C中至少有一个发生 4、A，B，C都发生 5、A，B，C都不发生 6、A，B，C中不多于一个发生 7、A，B，C中不多于两个发生 8、A，B，C中至少有两个发生
再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T(小时）}。
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概
率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定
的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。
三、事件之间的关系
1.包含关系(p4)“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
2.和事件： (p4)“事件A与B至少有一个发生”，记作AB
n
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
Ai
i1
3.积事件(p4) :A与B同时发生，记作 AB＝AB 3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
古典概型中的概率(P7):
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有
P( A) N ( A) N (S )
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
概率论与数理统计
序言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第一章 概率论基础知识
• 随机事件及其概率 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
1.1随机事件及其概率
一、随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E
随机事件
随机事件
1.定义 (p3定义1.1.2) 试验中可能出现或可能不出现的情 况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等
任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3)
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT, TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT }
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
随
机 现
样本空间
象
随机事件
随
机
事件的关系
试
验
包含、和、积、差、 互不相容、互逆
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
的运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标”: A B C A2 :“恰有一人命中目标”: ABC ABC ABC A3 :“恰有两人命中目标”: ABC ABC ABC A4 :“最多有一人命中目标”: BC AC AB
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
Leabharlann Baidu
1.2.1.古典概型与概率
(p6)若某实验E满足 1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：（公认） P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
4.差事件(p5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发 生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件(p5) ：AB＝
6. 互逆的事件(p5) AB＝ , 且AB＝
记作B A，称为A的对立事件 ; 易见A B AB
五、事件的运算(p5)
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S={e}； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,也记为e.
EX 给出E1-E7的样本空间
幻灯片 6
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
A5 :“三人均命中目标”: ABC
A6 :“三人均未命中目标”A: B C
• 例：设A，B，C为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列各事件：
1、A发生，B与C不发生 2、A与B都发生，而C不发生 3、A，B，C中至少有一个发生 4、A，B，C都发生 5、A，B，C都不发生 6、A，B，C中不多于一个发生 7、A，B，C中不多于两个发生 8、A，B，C中至少有两个发生