第十二章 电磁感应-电磁场(二)作业答案

一. 选择题
[ C ] 1 (基础训练8)、 如图12-21，平板电容器
(忽略边缘效
应)充电时，沿环路L 1的磁场强度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H
的
环流两者，必有：
(A) >
'⎰⋅1
d L l H
⎰⋅'2d L l H
. (B)
=
'⎰⋅1
d L l H ⎰⋅'2
d L l H .
(C) <
'⎰⋅1
d L l H
⎰⋅'2d L l H
. (D)
0d 1
='⎰⋅L l H
.
【提示】全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。

另，在忽略边界效应的情况下，位移电流均匀分布在电容器两极板间，而环路L 1所包围的面积小于电容器极板面积，故选（C ）。

即0d I I =，20L H dl I ⋅=⎰ ，1
S d d L I H dl J S S ⋅==⎰ 极板，其中S 是以L 1为边界的面积。

[ A ] 2 (自测提高3)、对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确．
(A) 位移电流是指变化电场．
(B) 位移电流是由线性变化磁场产生的． (C) 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律．
(D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理．
[ B ] 3 (自测提高6)、如图12-27所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表
面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零． 【提示】
如图所示的载流圆筒等同于一长直螺线管。

在筒内产生的时变磁场是空间均匀的，在筒外无磁场，所以（C ）错；
筒内的时变磁场将产生涡旋感生电场，涡旋电场在筒内不是均匀分布的（d 2d r B
t
），所以（A ）错；
涡旋电场沿任意闭合回路的积分为感生电动势≠0，所以（D ）错；
磁场（无论是变化的还是稳恒的）与感生电场都是涡旋场，其相应的场线都是一些闭合
图12-21
图12-27
曲线，故穿过任意闭合曲面的通量都为零，所以选（B ）。

二. 填空题
4 (基础训练12)、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为
⎰⎰⋅=V
S
V S D d d ρ
， ①
⎰⎰⋅⋅∂∂-=S
L S t B l E
d d ， ②
0d =⎰⋅S
S B
， ③
⎰⋅⎰⋅∂∂+=S
L S t D
J l H
d )(d ． ④
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的．将你确定的方程式用代号
填在相应结论后的空白处．
(1) 变化的磁场一定伴随有电场； _____② (2) 磁感线是无头无尾的； ③ (3) 电荷总伴随有电场; _①______
5 （基础训练13）、平行板电容器的电容C 为20.0 μF ，两板上的电压变化率为d U /d t =1.50×105
V ·s -1
，则该平行板电容器中的位移电流为3A ．
【提示】0()3d dq d CU dU
I I C A dt dt dt
==
=== 6（自测提高11）、 图示12-30为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场E ，其方向垂直纸面向内，E
的大小随时间t 线性增加，P 为柱
体内与轴线相距为r 的一点则
(1)P 点的位移电流密度的方向为垂直纸面向内里． (2) P 点感生磁场的方向为竖直向下． 【提示】
（1）d dD dE
J dt dt
ε==
，当E 的大小随 t 增加时，d J 与E 同向，垂直于纸面向内； （2）由安培环路定理0()d d
l
s
H dl J J s ⋅=+⎰⎰⎰ 知：d J 与H 的关系与0J 与H 的关系一样，满足右手螺旋关系，故P 点感生磁场的方向竖直向下。

7（自测提高12）、半径为r 的两块圆板组成的平行板电容器充了电，在放电时两板间
的电场强度的大小为E = E 0e -t /RC ，式中E 0、R 、C 均为常数，则两板间的位移电流的大小为
2
00t RC
E r e
RC
επ-
-
，其方向与场强方向相反．
图12-30
【提示】 000 t RC d dD dE
J E e
dt dt RC
εε-===- ，负号表示位移电流的方向与场强的方向相反。

位移电流的大小为 00t RC d d S
I J S E e RC
ε-== .
8（第十一章：基础训练10）、 一个绕有500匝导线的平均周长50 cm 的细环，载有 0.3 A 电流时，铁芯的相对磁导率为600．(1) 铁芯中的磁感强度B 为0.226T ． (2) 铁芯中的磁场强度H 为300A/m ． 【提示】3r 500=600, 10,0.5
N n l μ=
== 73200 410600100.37.2100.226,300/r r
B nI T B
H nI A m
μμππμμ--==⨯⨯⨯⨯=⨯==
==
9 （第十一章： 自测提高15）、 如图11-54所示为三种不同的
磁介质的B ~H 关系曲线，其中虚线表示的是B = μ0H 的关系．说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ~H 关系曲线：
a 代表____铁磁质_________的B ~H 关系曲线．
b 代表____顺磁质___ _____的B ~H 关系曲线．
c 代表____抗磁质__ ______的B ~H 关系曲线． 三. 计算题
10（自测提高19）、平行板空气电容器接在电源两端，电压为U ，如图12-37所示，回路电阻忽略不计．今将电容器的两极板以速率v 匀速拉开，当两极板间距为
x 时，求电容器内位移电流密度．
解：如图建立一维坐标系。

电容器两极板之间的电场强度为
U E i x
=
式中U 为常数（电容器一直与电源相连）。

电容器内位移电流密度为
()
0002 d d E U dD dE dx J v i dt dt dx dt x
εεε===⋅=-
所以，其大小为02
Uv
x ε，方向从右向左。

11（自测提高20）、设一电缆，由两个无限长的同轴圆筒状导体所组成，内外圆筒之间充满了相对磁导率为r μ的磁介质。

内圆筒和外圆筒上的电流I 方向相反而大小相等，
设内、
图11-54
图12-37
x
O
外圆筒横截面的半径分别为R 1和R 2，如图12-38所示。

试计算长为l 的一段电缆内的磁场所储藏的能量。

解：根据安培环路定理⎰∑=⋅L
L l d H 内
I
求解两圆筒之间的磁感
应强度分布。

设场点P 到轴线的距离为r ，以r 为半径做一圆环为安培环路，则有
2I L H r I π⋅==∑内
，
2I H r
π=，002r r I
B H H r
μμμμμπ===
该处的磁能密度为
2022
1
28r m I w BH r
μμπ== 在该处选取一个长度为l ，厚度为d r 的圆柱薄层，则薄层的体积为2dV rldr π=，薄层内
所储藏的磁场能量为
220022284r r m I I l
w dV rldr dr r r
μμμμπππ==
所以，长为l 的一段电缆内的磁场所储藏的能量为
2
1
22002
1
ln
44R r r m V
R I l I l R W w dV dr r R μμμμππ==
=⎰⎰⎰⎰
四、附加题
12（基础训练7）、如图12-20所示．一电荷为q 的点电荷，
以匀角速度ω作圆周运动，圆周的半径为R ．设t = 0 时q 所在点
的坐标为x 0 = R ，y 0 = 0 ，以i 、j
分别表示x 轴和y 轴上的单位矢量，则圆心处O 点的位移电流密度为：
(A) i t R q ωω
sin 42π (B) j t R q ωωcos 42
π
(C) k R
q
2
4πω (D) )cos (sin 42j t i t R q ωωω-π 解：设在0—t 的时间内，点电荷转过的角度为ωt ，此时，点电荷在O 点产生的电位移矢
量为
0D E ε= , ()222000cos sin ,444r q
R q q
E e ti tj R R R R ωωπεπεπε=-=-=-+
式中的r e
表示从O 点指向点电荷q 的单位矢量。

()2sin cos 4d dD q J ti tj dt R
ωωωπ∴==- 。

图12-38
r
μ。