选修4-4 第二节 参数方程剖析

x＝1－12t，
5．直线 y＝
23t，
(t 为参数)被曲线xy＝＝co3ssiθn，θ， (θ 为参
数)所截得的弦长为________．
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解析：直线方程可化为 3x＋y－ 3＝0， 曲线方程可化为 x2＋y32＝1.
y＝－ 3x＋ 3，
由x2＋y32＝1，
得 x2－x＝0，∴x＝0 或 x＝1.
当圆心在(0,0)时，方程为xy＝＝rrscionsαα.，
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3．椭圆
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以
下两种情况：
(1)椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程是
x＝acos φ，
y＝bsin
φ
. 其中 φ 是参数．
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(2)椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是
y＝t
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[自主解答] 由xy＝＝sin5θcosθ， (0≤θ＜π)得x52＋y2＝1(y≥0)，
由x＝54t2， y＝t
(t∈R)得 x＝54y2，∴5y4＋16y2－16＝0，
解得 y2＝45或 y2＝－4(舍去)，则 x＝54y2＝1，又 y≥0， 得交点坐标为1，2 5 5.
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本例中条件“θ∈[0，π)，
可得交点为 A(0， 3)，B(1,0)．
∴|AB|＝ 1＋3＝2.
答案：2
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1．在直线的参数方程xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数)中 t 的几何意义 是表示在直线上过定点 P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的模且在直线上任意两点 P1、P2 的距离 为|P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
x＝bcos φ，
y＝asin
φ
其中
.
φ
是参数．
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1．(教材习题改编)直线xy＝＝3－＋1t＋cotssi4n04°0°， (t 为参数)的倾 斜角为________． 解析：将参数方程化为xy＝＝3－＋1t＋sintc5o0s°50°， 得倾斜角为 50°.
答案：50°
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2．参数方程xy＝＝t3－t＋12， (t 为参数)的普通方程为________． 解析：由y＝t－1得t＝y＋1代入x＝3t＋2. 得x＝3y＋5，即x－3y－5＝0. 答案：x－3y－5＝0
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几种常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 xy＝＝x0y＋0＋tcotssαin，α. (t为参数)．
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2．圆的参数方程
以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方
程是
x＝a＋rcos α，
y＝b＋rsin
α
其中
.
α
是参数．
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4．直线yx＝＝ttscions
α， α
(t 为参数)与圆xy＝＝24s＋in2φcos φ，
(φ 为参
数)相切，则此直线的倾斜角 α＝________.
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解析：直线：y＝x·tan α，圆：(x－4)2＋y2＝4， 如图，sinα＝24＝12， ∴α＝π6或56π. 答案：π6或56π
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[精析考题]
[例 2] (2012·西安模拟)若直线 l1：xy＝＝21＋－k2tt， (t 为参数)与直线 l2：
x＝s， y＝1－2s
(s 为参数)垂直，则 k＝________.
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[自主解答] 直线 l1 的方程为 y＝－k2x＋4＋2 k，斜率为－k2；直线 l2 的方程为 y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1 与 l2 垂直，∴(－k2)×(－2) ＝－1⇒k＝－1.
化为普通方程是________．
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解析：由题意得：xy＝－21s＝in2θc，os θ， 平方相加得(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
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2．参数方程x＝t＋1t (t 为参数)表示的曲线是________． y＝2
解析：由 x＝t＋1t 知 x≥2 或 x≤－2， ∴曲线方程为 y＝2(x≥2 或 x≤－2)， 表示两条射线．
选 修
第
4-4
二
坐
节
标
系 与
参
参
数
数 方
方
程
程
抓基础 明考向 提能力
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[备考方向要明了] 考什么
1.了解参数方程，了解参数的意义． 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
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怎么考 从高考内容上看，直线、圆与椭圆的参数方程及 应用是命题的热点.着重通过参数方程与普通方程的互 化考查直线与圆、椭圆的位置关系等问题.题目大多属 于容易题.
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2．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌 握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的 一致性，这一点最易忽视．
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[精析考题] [例 1] (2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为xy＝＝sin5θcosθ， (0≤θ＜π)和x＝54t2， (t∈R)，它们的交点坐标为________．
答案：两条射线
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[冲关锦囊] 消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体
上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围 的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g (t)的值域，即x和y的取值范围.
和x＝54t2 ”若变为“θ∈R， y＝t
x＝－1＋t y＝2t
”(t 为参数)试判断
两曲线的位置关系．
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解：由条件知，x52＋y2＝1 及 y＝2(x＋1)，因为直线经过定点 (－1,0)，而(－1,0)在椭圆的内部故直线与椭圆相交，即两曲 线必相交．
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2011·黔西南州模拟)将参数方程xy＝＝21s＋in2θcos θ， (θ 为参数)
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3．直线x＝1＋12t， y＝－3 3＋
23t
(t 为参数)和圆 x2＋y2＝16 交于 A、
B 两点，则 A、B 的中点坐标为________．
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解析：把直线代入圆得：1＋12t2＋－3 3＋ 23t2＝16， ∴t2－8t＋12＝0.∴t1＋t2＝8.∴t1＋2 t2＝4. ∴中点坐标为xy＝＝－1＋312×3＋4＝233×，4＝－ 3， ∴中点坐标为(3，－ 3)． 答案：(3，－ 3)