平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念向量的物理背景与概念向量的几何表示相等向量与共线向量教学目标1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)[基础·初探]教材整理1 向量及其几何表示阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题．1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB→的长度(或称模)，记作|AB→|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB→，CD →.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量可以比较大小．( )(2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量．( )(3)某个角是一个向量．( )(4)体积、面积和时间都不是向量．( )解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√教材整理2 向量的有关概念阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容，完成下列问题. 零向量长度为0的向量，记作0 单位向量长度等于1个单位的向量 平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a 、b 平行，记作a ∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a 与b 相等，记作a ＝b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)单位向量都平行．( )(2)零向量与任意向量都平行．( )(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)|AB →|＝|BA →|.( )(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．[再练一题]1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB→与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．解：①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．②错误.0的模|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB→、CD →必须在同一直线上． 【答案】 ③向量的表示及应用某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB→，BC →，CD →； (2)求AD→的模. 【导学号：00680033】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD→放在直角三角形中求得|AD →|. 解：(1)作出向量AB→，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋（10）2＝55(米)，所以|AD→|＝55米． 1．向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB→，CD →，EF →等． 2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[再练一题]2．一辆汽车从点A 出发，向西行驶了100公里到达点B ，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D ．(1)作出向量AB→，BC →，CD →； (2)求|AD→|. 解：(1)如图所示．(2)由题意知AB→与CD →方向相反，∴AB →与CD →共线， ∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，又∵|AB→|＝|CD →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD→|＝|BC →|＝200(公里)． [探究共研型]相等向量与共线向量探究1 向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，向量a 与c 是否共线？ 向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线．探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．(1)(2016·潍坊高一检测)如图2－1－1，在等腰梯形ABCD 中．图2－1－1①AB→与CD →是共线向量； ②AB→＝CD →；③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)下列说法中，正确的序号是________．①若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则AB→＝DC →； ⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断．解：①因为AB→与CD →的方向不相同，也不相反，所以AB →与CD →不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确．(2)因为向量AB→与CD →是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A ，B ，C ，D 也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB→＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确．【答案】 (1)A (2)②④相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．(4)三点A ，B ，C 共线⇔AB→，AC →共线． [再练一题]3.如图2－1－2所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．图2－1－2①分别写出图中与OA→，OB →，OC →相等的向量； ②与OA→的长度相等、方向相反的向量有哪些？→相等的向量有EF→，DO→，CB→；与OB→相等的向量有DC→，解：①与OA→，FA→；与OC→相等的向量有FO→，ED→，AB→.EO②与OA→的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.[构建·体系]1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解：只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．【答案】 B2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤解：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．【答案】 D3．(2016·三明市期末)设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A．e1＝e2B．e1∥e2C．|e1|＝|e2|D．以上都不对解：单位向量的模都等于1个单位，故C正确．【答案】 C4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．解：由向量的相关概念可知④⑥正确．【答案】④⑥5.如图2－1－3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE→相等的向量．是矩形，找出与向量AB图2－1－3→，解：由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC→与AB→的长度相等且方向相同，所以与向量AB→相等的向量为DC→和ED→.ED学业分层测评[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的．A．0B．1C．2 D．3解：(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误．【答案】 B2．下列结论正确的是()A．向量必须用有向线段来表示B．表示一个向量的有向线段是唯一的C ．有向线段AB→和BA →是同一向量 D ．有向线段AB→和BA →的大小相等 解：向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A 错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B 错误；有向线段AB →和BA →的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C 错误、D 正确．【答案】 D3．给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中的正确命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选A ．【答案】 A4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．3解：易知|AB →|＝2－(－1)＝3，故选D ． 【答案】 D5．(2016·长春十一中期末)若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解：由BA→＝CD →知四边形为平行四边形； 由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．故选C ． 【答案】 C 二、填空题6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC→是共线向量，则m ＝________. 解：因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB→且m ∥BC →，所以m ＝0. 【答案】 07．给出以下五个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．解：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.【答案】 ①③④ 三、解答题8.O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－4所示的向量中：图2－1－4(1)分别找出与AO→，BO →相等的向量； (2)找出与AO→共线的向量； (3)找出与AO→模相等的向量； (4)向量AO→与CO →是否相等？ 解：(1)AO→＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO→共线的向量有：BF →，CO →，DE →. (3)与AO→模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO→与CO →不相等，因为它们的方向不相同． 9．如图2－1－5所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB→＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.图2－1－5【证明】 因为AB→＝DC →， 所以|AB→|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA→|＝|CB →|且DA ∥CB ．又因为DA →与CB →的方向相同， 所以CB→＝DA →. 同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM→＝NA →. 因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →| 所以|MB→|＝|DN →|. 又DN→与MB →的方向相同， 所以DN→＝MB →. [能力提升]1．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO →，BO →分别是与a ，b 同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )A ．AO →＝BO →B ．AO→＝BO →或AO →＝OB → C ．AO→＝OB → D ．AO→与BO →的长度相等 解：因为a 与b 方向关系不确定且a ≠0，b ≠0， 又AO→与a 同方向， BO→与b 同方向， 所以AO→与BO →方向关系不确定，所以A ，B ，C 均不对． 又AO→与BO →均为单位向量， 所以|AO →|＝|BO →|＝1. 【答案】 D2．已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．画图表示向量AB →，BC →，CD →，并指出向量AD→的模和方向． 解：以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系．据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB→，BC →，CD →如图所示， 由已知可得，△ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km. 又∠ACD ＝45°，CD ＝1 000 2 km. 所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.故向量AD→的模为1 000 2 km ，方向为东南方向．。