高中数学 1.1任意角和弧度制教案 新人教A版必修4

1.1 《任意角和弧度制》教案
【教学目标】
1.理解任意角的概念.
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.
3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：
1．初中所学角的概念.
2．实际生活中出现一系列关于角的问题.
3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
5.角的范围是什么？如何分类的？
新授课阶段
一、角的定义与范围的扩大
1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成
OA OB分别是角α的终边、始边.
一个角α，点O是角的顶点，射线,
∠”可以简记为α．说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角.
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等.
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为
x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的
射线.
4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360
k +⋅()
k Z ∈的形式；反之，所有形如
30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，
即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.
例1 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120-；（2）640；（3）95012'-. 解：（1）120240360-=-，
所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640280360=+，
所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-⨯，
所以，95012'-角终边相同的角是12948'角，它是第二象限角. 例2 若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限. 解：∵3601575(5)360225,k k α=⋅-=-⋅+ (5)k Z -∈ ∴α与225终边相同， 所以，α在第三象限.
例3 写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β 写出来：（1）60；（2）21-；（3）36314'．
解：（1）{}|60360,S k k Z ββ=
=+⋅∈，
S 中适合360720β-≤≤的元素是
601360300,
60036060,
601360420.
-⨯=-+⨯=+⨯=
（2）{}|21360,S k k Z ββ=
=-+⋅∈，
S 中适合360720β-≤≤的元素是
21036021,
211360339,212260699
-+⨯=--+⨯=-+⨯=
（3）{}|36314360,S k k Z ββ'=
=+⋅∈
S 中适合360720β-≤≤的元素是 36314236035646,
363141360314,
36314036036314.
''-⨯=-''-⨯=''+⨯=
例4 写出第一象限角的集合M ．
分析：（1）在360内第一象限角可表示为090α<<；
（2）与0,90终边相同的角分别为0360,90360,()k k k Z +⋅+⋅∈；
（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：
{}|36090360,M k k k Z ββ=⋅<<+⋅∈．
学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：
{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； {}|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； {}|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈．
说明：区间角的集合的表示不唯一.
例5 写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合. 解：当α终边落在(0)y x x =≥上时，角的集合为{}|45360,k k Z αα=+⋅∈；
当α终边落在(0)y x x =-≥上时，角的集合为{}|45360,k k Z αα=-+⋅∈；
所以，按逆时针方向旋转有集合：{}|45360
45360,S k k k Z αα=-+⋅<<+⋅∈．
二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：
∵360=2（rad ）， ∴180= rad.
∴ 1
=
0.01745.180
rad rad π
≈
180157.305718'.rad π⎛⎫
=≈= ⎪⎝⎭
2．弧长公式：α⋅=r l . 由公式：⇒=
r l αα⋅=r l . 比公式180
r n l π=简单. 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 2
1
=
，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径.
o
R S
l
注意几点：
1． 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略，如：3表示3rad ， sin 表示rad 角的正弦；
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度
3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.
任意角的集合 实数集R
例6 把下列各角从度化为弧度：
(1)252︒；（2）0
/
1115；(3) 0
30；(4)'3067︒. 解：(1)
π57 （2）π0625.0 (3) π6
1
(4) π375.0 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22º30′；（2）-210º；(3)1200º. 解：(1)
π81；（2）π67-；(3)π3
20. 例7 把下列各角从弧度化为度： （1）35π；(2) 3.5；(3) 2；(4)
4
π. 解：（1）108 º；(2)200.5º；(3)114.6º；(4)45º. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：
正角 零角
正实数 零
（1）
12π；（2）-3
4π；（3）103π. 解：（1）15 º；（2）-240º；（3）54º.
例8 知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结
1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别；
3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用； 4．象限角与相衔接集奥的写法，终边相同的角的写法. 作业 习题A 组 1 3 5
见《同步练习》 拓展提升
1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
2. 下列命题正确的是： （ ）
（A ）终边相同的角一定相等. （B ）第一象限的角都是锐角. （C ）锐角都是第一象限的角. （D ）小于090的角都是锐角.
3. 若a 是第一象限的角，则2
a -是第 象限角.
4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．
5.集合M ＝{α=k o
90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．
轴正半轴上，
C ．
轴或
轴上， D ．
轴正半轴或
轴正半轴上
6.设第一象限的角｝＝
锐角｝，的角｝　小于{G {F 90{o
==E ， ，那么有（
）．
A ．
B ．
C ．
（
） D ．
O
A
B
7.设
，
，
C ＝{α|α= k180o +45o ,k ∈Z} ， ，
.
则相等的角集合为_ _．
8．在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数.
9．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
10．选做题
如图，扇形OAB 的面积是2
4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长.
11．在～
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角： （1） ；（2）
；（3）
．
参考答案
1. 解：2小时40分=3
8小时，4803
8'180-=⨯-∴.故分针走过的角为480..
2. C
3. 一或三
4.
5. C
6.C
7. B ＝D ，C ＝E 8．答案：A=5π；B=3π；C=15
7π 9．答案：
2
25π 10．答案：1sin 4,2==AB α
11.解：（1）∵
，
∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
，∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
（3）
，
所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．。