第7章 拟合优度检验
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 拟合优度检验
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
上一张 下一张 主 页 退 出
7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
２．总体参数未知 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以１０人 调查到幼儿园接小孩的家长性别， １０人 为一组，记录每组女性人数，共得到１００组数 为一组，记录每组女性人数，共得到１００组数 １００ 据，列在表７-１中的第２列。 列在表７ 中的第２ 问女性家长人数是否符合二项分布。 问女性家长人数是否符合二项分布。
零假设： （６）零假设：因为拟合优度χ2检验不是针对 总体参数做检验的， 总体参数做检验的，因而零假设不需提出具体 参数值，只需判断观测数是否符合理论数或某 参数值， 一理论分布。 一理论分布。它的零假设是观测数与理论数相 符合，可形象化记为Ｈｏ：Ｏ－Ｔ＝０。 符合，可形象化记为Ｈ ：Ｏ－Ｔ＝０ （７）按（7.1）或（7.2）式计算出χ2值并 7.1） 7.2） 与χ2临界值做比较，当χ2＞ χ2ａ时拒绝Ｈｏ； 临界值做比较， 时拒绝Ｈ 当χ2＜χ2ａ时接受Ｈｏ 时接受Ｈ
上一张 下一张 主 页 退 出
该检验包括两种类型: 该检验包括两种类型: I:检验观测数与理论数之间的一致性。 I:检验观测数与理论数之间的一致性。 检验观测数与理论数之间的一致性 II:通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 II:通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 事件之间的独立性。 事件之间的独立性。 这两种类型的问题都是用χ2检验，但这个χ2检 检验， 验与5.1.5所讲的 检验是截然不同的，5.1.5的 验与5.1.5所讲的χ2检验是截然不同的，5.1.5的
总计
问是否符合自由组合（独立分配）率？ 问是否符合自由组合（独立分配）
上一张 下一张 主 页
退 出
解 当性状相互独立时，根据孟德尔独立分配律， 当性状相互独立时，根据孟德尔独立分配律， Ｆ２代的表型可由二项分布给出，记显性性状出现 代的表型可由二项分布给出，
ϕ 的概率为ϕ， ＝３／４，因一种表型是由一对等
根据常识，人群中男女性人数应各占一半， 根据常识，人群中男女性人数应各占一半， 但是去幼儿园接小孩的家长中男女性是否各占一 半并不一定。因此二项分布的参数 ϕ 未知， 半并不一定。 未知，需由 样本数据估计。 样本数据估计。
第 列 数＝0.59 三 总 ϕ= 10 1） 0（0
∧
上一张 下一张 主 页
=1 k
=n
上例第1类的理论数为： =876×1/2=438。 上例第1类的理论数为：T1=876×1/2=438。 (5)Oi与Ti进行比较，判断Oi与Ti之间总的不符 进行比较，判断O 合程度是否由于机会所造成的。 合程度是否由于机会所造成的。
上一张 下一张 主 页 退 出
为了得到总的不符合程度和相对的不符合 为权求加权值， 程度，以Ti为权求加权值，由此得出的统计量 程度， 为 χ 2:
结论：正常翅与残翅 的分离比不符合3：1 的分离比不符合3
上一张 下一张 主 页
退 出
下面计算矫正后的χ2
正常翅 |O-T|-0.5 |O-T|(|O-T|-0.5)2 |O-T|16.5 272.25 0.926 残翅 16.5 272.25 2.778
( O −T − 0.5) T
2
X2=0.926+2.778=3.704, X2< X20.05,p>0.05 ,p>0.05 结论：可以认为正常翅与残翅的分离比例符合3 结论：可以认为正常翅与残翅的分离比例符合3：1
χ
2 0
}=
α
从而得拒绝域为
χ ≥ χα
2
2
退 出
上一张 下一张 主 页
§7.2拟合优度检验 拟合优度检验
7.2.1 一般程序： 一般程序： （１）按§1.2所介绍的方法对数据进行分组 1.2所介绍的方法对数据进行分组 （对于离散数据，组间距通常是１）。 对于离散数据，组间距通常是１ （２）根据总体分布类型和样本含量ｎ计算理论 根据总体分布类型和样本含量ｎ 数Ｔｉ。
表7-1
羔羊性别实际观察次数与理论次数
上一张 下一张 主 页
退 出
7.1.2 拟合优度检验的统计量 H0: 观测数与理论分布一致 拟合优度检验的一般做法是： 拟合优度检验的一般做法是： （1）将观测值分为k种不同类别。 将观测值分为k种不同类别。 （2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数 共获得n个独立观测值， 目为O 目为Oi.
退 出
展开二项式（0.41＋0.59） 得到表７ 展开二项式（0.41＋0.59）10得到表７-１的第 ４列理论频率p( χｉ )，根据Ｔｉ＝Ｎｐ（ χｉ ） 列理论频率p( 根据Ｔ 求出理论数，列在第５列。 求出理论数，列在第５ 第５列的前４个数都小于５，应当合并，合并 列的前４个数都小于５ 应当合并， 后的值为6.25。 后的值为6.25。
2 k Oi − Ti (O − T ) 2 =∑ i i χ = ∑ Ti Ti Ti i =1 i =1 k 2
２分布， 分布， 充分大时， 但要求每一组内的理论数都不得小于５ 但要求每一组内的理论数都不得小于５，若理论 数小于５时应将相邻组合并，直到等于或大于５ 数小于５时应将相邻组合并，直到等于或大于５。
位基因决定的，本例为两对基因的自由组合， 位基因决定的，本例为两对基因的自由组合，故 ｎ＝２。根据二项展开式 ｎ＝２
9 3 3 1 3 1 4 + 4 = 16 + 16 + 16 + 16
2
可以得出理论分离比为： 可以得出理论分离比为：
Y_R_:Y_rr:yyR_:yyrr=6/16:3/16:3/16:1/16
315 9/16 312.75 2.25 5.0625 0.016
X2=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470
上一张 下一张 主 页 退 出
理论数Ｔｉ均大于５，不需要合并 理论数Ｔ 均大于５ Ｈ０：Ｏ－Ｔ＝０，α＝0.05 ：Ｏ－Ｔ＝０ 因为计算理论数时参数 ϕ 3/4是已知的，并 是已知的， ＝3/4是已知的 不需要用样本数去估计，因此ａ＝０，自由度 不需要用样本数去估计，因此ａ＝０ ａ＝ df＝４－１＝３。 χ23，0.05＝７.８１５， df＝ ８１５，
最后的2个数也都小于5 合并后仍小于5 最后的2个数也都小于5，合并后仍小于5，所 以将最后3个数合并，合并后的值为15.17。 以将最后3个数合并，合并后的值为15.17。相应 的观测数也应做类似的合并。合并后的ｋ＝6。参 ｋ＝6 的观测数也应做类似的合并。合并后的ｋ＝ 数ϕ 是用样本数据估计的，因而ａ＝1，自由度df 是用样本数据估计的，因而ａ＝ ａ＝1 自由度df ＝6-1-1＝4。
上一张 下一张 主 页
退 出
解
计算过程见以下两表
正常翅 残翅 81 98 -17 289 2.949 总数 392 392 311 294 17 289 0.983
实际观测数 理论数 O-T(未加矫正) T(未加矫正) （O-T）2 (O-T)2/T (O-
X2=0.983+2.949=3.932 H0:O-T=0,a=0.05,df=1,x20.05=3.841, x2> x20.05，p<0.05 :O0.05，
χ2＜ χ2０.０５， Ｐ＞０.０５ Ｐ＞０
结论是接受Ｈ 结论是接受Ｈ０，符合９：３：３：１的分离 是接受 符合９ 由于df＝ 不需要矫正。 比。由于df＝３，不需要矫正。
当df＝１时一定要做矫正，否则甚至会得 df＝ 时一定要做矫正， 到相反结论，见下例。 到相反结论，见下例。 例7.2 用正常翅的野生型果蝇（νg＋ νg＋ ）与 用正常翅的野生型果蝇（ 残翅（ νg νg ）的果蝇杂交，Ｆ１ 代均表现正常 的果蝇杂交， 残翅（ 翅（ νg＋ νg）。Ｆ１ 代自交（ νg＋ νg× νg＋ νg ）， ）。Ｆ 代自交（ 所得Ｆ 代中包括３１１个正常翅（ 所得Ｆ２ 代中包括３１１个正常翅（ νg＋ νg＋和 ３１１个正常翅 νg＋ νg ）和８１个残翅（ νg νg ）。问这一分离 ）。问这一分离 ８１个残翅（ 个残翅 比是否符合孟德尔３：１的理论比。 比是否符合孟德尔３ 的理论比。
上一张 下一张 主 页 退 出
（３）有时需用样本数据估计总体参数。记所 有时需用样本数据估计总体参数。 估计参数的个数为a 估计参数的个数为a。 （４）分别合并两个尾区的理论数，使之不小 分别合并两个尾区的理论数， 于５，合并后的组数记为ｋ。 合并后的组数记为ｋ。 （５）相应于(２)的自由度为ｋ－１，相应于 相应于( 的自由度为ｋ－１ ｋ－ (３)的自由度为ｋ－１－ａ。 的自由度为ｋ－ ｋ－１
将以上数据列成下表
Y_R_
实际观测数 理论频率 理论数T 理论数T O-T (O-T)2 (O(O −T)2 T
Y_rr
101 3/16 104.25 -3.25 10.5625 0.101
yyR_ yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 14.0625 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 7.5625 0.218
当df=1时，（7.1）式应做连续性矫正， df=1时，（7.1）式应做连续性矫正， 矫正的χ2为
x =∑
2 i =1 k
( O −T
i
i
− 0.5
)
2
Ti
(7.2) （7.3） 7.3）
χ２的自由度为df=k-1-a 的自由度为df=k拒绝域的确定：P{拒绝 拒绝H 为真} 拒绝域的确定：P{拒绝H0|H0为真} =P{χ2 >
上一张 下一张 主 页
退 出
• 若总体参数已知，ａ＝０，自由度df＝k-1， 若总体参数已知，ａ＝ ，ａ＝０ 自由度df＝ • 若总体参数未知，需由样本数据做点估计，根 若总体参数未知，需由样本数据做点估计， 据点估计得出Ｔｉ，自由度df=k-1-a，其中 自由度df=k据点估计得出Ｔ ａ为需要由样本估计的参数个数。 为需要由样本估计的参数个数。
∑O = n
i i=1
k
(3)相互独立自由组合的情况下， (3)相互独立自由组合的情况下，第i类的概率 相互独立自由组合的情况下 为Pi, ∑pi =1 上例中，取得第1类的概率为p1= ，上例中，取得第1类的概率为p
i= 1 k
1/2 。
∑ (4)第 类的期望数即理论数为T (4)第i类的期望数即理论数为Ti，Ti=npi， Τι ι
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
上一张 下一张 主 页 退 出
7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
２．总体参数未知 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以１０人 调查到幼儿园接小孩的家长性别， １０人 为一组，记录每组女性人数，共得到１００组数 为一组，记录每组女性人数，共得到１００组数 １００ 据，列在表７-１中的第２列。 列在表７ 中的第２ 问女性家长人数是否符合二项分布。 问女性家长人数是否符合二项分布。
零假设： （６）零假设：因为拟合优度χ2检验不是针对 总体参数做检验的， 总体参数做检验的，因而零假设不需提出具体 参数值，只需判断观测数是否符合理论数或某 参数值， 一理论分布。 一理论分布。它的零假设是观测数与理论数相 符合，可形象化记为Ｈｏ：Ｏ－Ｔ＝０。 符合，可形象化记为Ｈ ：Ｏ－Ｔ＝０ （７）按（7.1）或（7.2）式计算出χ2值并 7.1） 7.2） 与χ2临界值做比较，当χ2＞ χ2ａ时拒绝Ｈｏ； 临界值做比较， 时拒绝Ｈ 当χ2＜χ2ａ时接受Ｈｏ 时接受Ｈ
上一张 下一张 主 页 退 出
该检验包括两种类型: 该检验包括两种类型: I:检验观测数与理论数之间的一致性。 I:检验观测数与理论数之间的一致性。 检验观测数与理论数之间的一致性 II:通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 II:通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 事件之间的独立性。 事件之间的独立性。 这两种类型的问题都是用χ2检验，但这个χ2检 检验， 验与5.1.5所讲的 检验是截然不同的，5.1.5的 验与5.1.5所讲的χ2检验是截然不同的，5.1.5的
总计
问是否符合自由组合（独立分配）率？ 问是否符合自由组合（独立分配）
上一张 下一张 主 页
退 出
解 当性状相互独立时，根据孟德尔独立分配律， 当性状相互独立时，根据孟德尔独立分配律， Ｆ２代的表型可由二项分布给出，记显性性状出现 代的表型可由二项分布给出，
ϕ 的概率为ϕ， ＝３／４，因一种表型是由一对等
根据常识，人群中男女性人数应各占一半， 根据常识，人群中男女性人数应各占一半， 但是去幼儿园接小孩的家长中男女性是否各占一 半并不一定。因此二项分布的参数 ϕ 未知， 半并不一定。 未知，需由 样本数据估计。 样本数据估计。
第 列 数＝0.59 三 总 ϕ= 10 1） 0（0
∧
上一张 下一张 主 页
=1 k
=n
上例第1类的理论数为： =876×1/2=438。 上例第1类的理论数为：T1=876×1/2=438。 (5)Oi与Ti进行比较，判断Oi与Ti之间总的不符 进行比较，判断O 合程度是否由于机会所造成的。 合程度是否由于机会所造成的。
上一张 下一张 主 页 退 出
为了得到总的不符合程度和相对的不符合 为权求加权值， 程度，以Ti为权求加权值，由此得出的统计量 程度， 为 χ 2:
结论：正常翅与残翅 的分离比不符合3：1 的分离比不符合3
上一张 下一张 主 页
退 出
下面计算矫正后的χ2
正常翅 |O-T|-0.5 |O-T|(|O-T|-0.5)2 |O-T|16.5 272.25 0.926 残翅 16.5 272.25 2.778
( O −T − 0.5) T
2
X2=0.926+2.778=3.704, X2< X20.05,p>0.05 ,p>0.05 结论：可以认为正常翅与残翅的分离比例符合3 结论：可以认为正常翅与残翅的分离比例符合3：1
χ
2 0
}=
α
从而得拒绝域为
χ ≥ χα
2
2
退 出
上一张 下一张 主 页
§7.2拟合优度检验 拟合优度检验
7.2.1 一般程序： 一般程序： （１）按§1.2所介绍的方法对数据进行分组 1.2所介绍的方法对数据进行分组 （对于离散数据，组间距通常是１）。 对于离散数据，组间距通常是１ （２）根据总体分布类型和样本含量ｎ计算理论 根据总体分布类型和样本含量ｎ 数Ｔｉ。
表7-1
羔羊性别实际观察次数与理论次数
上一张 下一张 主 页
退 出
7.1.2 拟合优度检验的统计量 H0: 观测数与理论分布一致 拟合优度检验的一般做法是： 拟合优度检验的一般做法是： （1）将观测值分为k种不同类别。 将观测值分为k种不同类别。 （2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数 共获得n个独立观测值， 目为O 目为Oi.
退 出
展开二项式（0.41＋0.59） 得到表７ 展开二项式（0.41＋0.59）10得到表７-１的第 ４列理论频率p( χｉ )，根据Ｔｉ＝Ｎｐ（ χｉ ） 列理论频率p( 根据Ｔ 求出理论数，列在第５列。 求出理论数，列在第５ 第５列的前４个数都小于５，应当合并，合并 列的前４个数都小于５ 应当合并， 后的值为6.25。 后的值为6.25。
2 k Oi − Ti (O − T ) 2 =∑ i i χ = ∑ Ti Ti Ti i =1 i =1 k 2
２分布， 分布， 充分大时， 但要求每一组内的理论数都不得小于５ 但要求每一组内的理论数都不得小于５，若理论 数小于５时应将相邻组合并，直到等于或大于５ 数小于５时应将相邻组合并，直到等于或大于５。
位基因决定的，本例为两对基因的自由组合， 位基因决定的，本例为两对基因的自由组合，故 ｎ＝２。根据二项展开式 ｎ＝２
9 3 3 1 3 1 4 + 4 = 16 + 16 + 16 + 16
2
可以得出理论分离比为： 可以得出理论分离比为：
Y_R_:Y_rr:yyR_:yyrr=6/16:3/16:3/16:1/16
315 9/16 312.75 2.25 5.0625 0.016
X2=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470
上一张 下一张 主 页 退 出
理论数Ｔｉ均大于５，不需要合并 理论数Ｔ 均大于５ Ｈ０：Ｏ－Ｔ＝０，α＝0.05 ：Ｏ－Ｔ＝０ 因为计算理论数时参数 ϕ 3/4是已知的，并 是已知的， ＝3/4是已知的 不需要用样本数去估计，因此ａ＝０，自由度 不需要用样本数去估计，因此ａ＝０ ａ＝ df＝４－１＝３。 χ23，0.05＝７.８１５， df＝ ８１５，
最后的2个数也都小于5 合并后仍小于5 最后的2个数也都小于5，合并后仍小于5，所 以将最后3个数合并，合并后的值为15.17。 以将最后3个数合并，合并后的值为15.17。相应 的观测数也应做类似的合并。合并后的ｋ＝6。参 ｋ＝6 的观测数也应做类似的合并。合并后的ｋ＝ 数ϕ 是用样本数据估计的，因而ａ＝1，自由度df 是用样本数据估计的，因而ａ＝ ａ＝1 自由度df ＝6-1-1＝4。
上一张 下一张 主 页
退 出
解
计算过程见以下两表
正常翅 残翅 81 98 -17 289 2.949 总数 392 392 311 294 17 289 0.983
实际观测数 理论数 O-T(未加矫正) T(未加矫正) （O-T）2 (O-T)2/T (O-
X2=0.983+2.949=3.932 H0:O-T=0,a=0.05,df=1,x20.05=3.841, x2> x20.05，p<0.05 :O0.05，
χ2＜ χ2０.０５， Ｐ＞０.０５ Ｐ＞０
结论是接受Ｈ 结论是接受Ｈ０，符合９：３：３：１的分离 是接受 符合９ 由于df＝ 不需要矫正。 比。由于df＝３，不需要矫正。
当df＝１时一定要做矫正，否则甚至会得 df＝ 时一定要做矫正， 到相反结论，见下例。 到相反结论，见下例。 例7.2 用正常翅的野生型果蝇（νg＋ νg＋ ）与 用正常翅的野生型果蝇（ 残翅（ νg νg ）的果蝇杂交，Ｆ１ 代均表现正常 的果蝇杂交， 残翅（ 翅（ νg＋ νg）。Ｆ１ 代自交（ νg＋ νg× νg＋ νg ）， ）。Ｆ 代自交（ 所得Ｆ 代中包括３１１个正常翅（ 所得Ｆ２ 代中包括３１１个正常翅（ νg＋ νg＋和 ３１１个正常翅 νg＋ νg ）和８１个残翅（ νg νg ）。问这一分离 ）。问这一分离 ８１个残翅（ 个残翅 比是否符合孟德尔３：１的理论比。 比是否符合孟德尔３ 的理论比。
上一张 下一张 主 页 退 出
（３）有时需用样本数据估计总体参数。记所 有时需用样本数据估计总体参数。 估计参数的个数为a 估计参数的个数为a。 （４）分别合并两个尾区的理论数，使之不小 分别合并两个尾区的理论数， 于５，合并后的组数记为ｋ。 合并后的组数记为ｋ。 （５）相应于(２)的自由度为ｋ－１，相应于 相应于( 的自由度为ｋ－１ ｋ－ (３)的自由度为ｋ－１－ａ。 的自由度为ｋ－ ｋ－１
将以上数据列成下表
Y_R_
实际观测数 理论频率 理论数T 理论数T O-T (O-T)2 (O(O −T)2 T
Y_rr
101 3/16 104.25 -3.25 10.5625 0.101
yyR_ yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 14.0625 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 7.5625 0.218
当df=1时，（7.1）式应做连续性矫正， df=1时，（7.1）式应做连续性矫正， 矫正的χ2为
x =∑
2 i =1 k
( O −T
i
i
− 0.5
)
2
Ti
(7.2) （7.3） 7.3）
χ２的自由度为df=k-1-a 的自由度为df=k拒绝域的确定：P{拒绝 拒绝H 为真} 拒绝域的确定：P{拒绝H0|H0为真} =P{χ2 >
上一张 下一张 主 页
退 出
• 若总体参数已知，ａ＝０，自由度df＝k-1， 若总体参数已知，ａ＝ ，ａ＝０ 自由度df＝ • 若总体参数未知，需由样本数据做点估计，根 若总体参数未知，需由样本数据做点估计， 据点估计得出Ｔｉ，自由度df=k-1-a，其中 自由度df=k据点估计得出Ｔ ａ为需要由样本估计的参数个数。 为需要由样本估计的参数个数。
∑O = n
i i=1
k
(3)相互独立自由组合的情况下， (3)相互独立自由组合的情况下，第i类的概率 相互独立自由组合的情况下 为Pi, ∑pi =1 上例中，取得第1类的概率为p1= ，上例中，取得第1类的概率为p
i= 1 k
1/2 。
∑ (4)第 类的期望数即理论数为T (4)第i类的期望数即理论数为Ti，Ti=npi， Τι ι