1-2次作业答案

华东理工大学
复变函数与积分变换作业（第1册）
班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________
第一次作业
教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念
1．填空题：
（1）3
5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i
（3）)31(2
1i +- (4) 13,1=-=y x 。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

(1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231π
ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕπϕϕπϕπϕϕϕ-=-+-=+-i e i i
(3)3
2
)3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e
e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +
3．求复数1
1+-z z 的实部与虚部 解：2|
1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2
22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-=
z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331
==-=+k e z k i π
即原方程有如下三个解：
31,2,31i i --+
5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则
23
2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+=（平行四边形法则，既6题结论，所以5,6题应该顺序颠倒比较合理）
得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样，
22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=-
6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.
212z z ++22
1z z -22122()z z =+. 并说明此等式的几何意义.
证明： 左式=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -)
=(21
z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -) =2121221121212211z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=2(2221z z z z ⋅+⋅)=2(2
221z z +)
7．求下列各式的值: (1)5)3(i -; 解：5)3(i -=65565
32)2()223(2ππi i e e i --==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+-ππ
(2)31
)1(i -；
解: 31)1(i -.2,1,0,2)2()221(23)
24(63
14
31===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--k e e i k i i ππ
π 可知31
)1(i -的3个值分别是
)12sin 12(cos 22626π
π
π
i e i -=-；
)127sin 127(cos 226276π
π
π
i e i +=
)45sin 45(cos 226456π
π
π
i e i +=
（3）求61-
解：61-=.5,4,3,2,1,0,)(6/)21(61
2-=++k e e k i k i πππ可知61-的6个值分别是
223,1,2236526
i ei e i e i i i +-==+=πππ 2
23,,2234112367i e i e i e i i i -=-=--=πππ
(4) ()(
)()()100100100100505051
1+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ⎤⎤⎫⎫⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦
8．化简2)
1()1(--+n n
i i 解：原式1222211)1(+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n i n n i ie i i i π
第二次作业
教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3复变函数
1. 填空题
(1)连接点i +1与i 41--的直线断的参数方程为10)52(1≤≤--++=t t i i z
(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为a ，短轴为b 的椭圆的参数方程为
π20sin cos ≤≤+=t t ib t a z
2．指出下列各题中点z 的轨迹，并作图. (1)12≥-i z ;
中心在i 2-半径为1的圆周及其外部。

(2）1)2Re(-=+z .
直线3-=x (3)413=+++z z
以-3与-1为焦点，长轴为4的椭圆 (4)4)arg(π
=-i z
（y-1）/x=arctan
4π=1，所以是以i 为起点的射线1+=x y
(5) 12
3≥--z z 直线2
5=x 及其右半平面 3．指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指出是有界区域还是无界区域，多连通还是单连通的。

(1)11<--z
a a z ; 解：z a a z -<-1
)1)(1())((z a z a a z a z --<--
0)1)(1(2
2<--a z 1<a 时，表示单位圆的内部，有界单连通域。

1>a 时，表示单位圆的外部，无界单连通域，1=a 不表示任何区域。

(2)4)2()2(≤--+-z i z i z z
圆9)1()2(22=++-y x 及其内部区域，有界，单连通区域。

(3)141+<-z z 中心在1517-
=z ，半径为158的圆外部区域，无界，多连通 (4)2)2arg(6π
π
<+<i z 且.2>z
解：（解一）i y x i z )2(2++=+x y 2tan +=⇒θx
y i z 2arctan )2arg(+=+⇒ 且有422222>+⇒>+=y x y x z 。

故图形为以i 2-为顶点，两边分别与正实轴成角度
6π与2π的角形域内部，且以原点为圆心，半径为2的圆外部分，无界单连通区域。

（解二）由于2)2arg(6π
π
<+<i z 知复数(2)x y i ++在第一象限，因此0x >且
23y x +<<+∞。

当2y x
+=+∞，有20,0y x +>=
2y x +<，
有2y >-。

故区域为以原点为圆心，半径为2的圆外部分且夹在直线20y +>
和2y >之间。

4．设 t 是实参数，指出下列曲线表示什么图形 (1)t
i
t z +=; ;1,1=⎪⎩
⎪⎨⎧==⇔+=+=xy t y t x t i t iy x z 即为双曲线 (2)it it be ae z -+=。

1)()(2
2
22=-++b a y b a x ，为椭圆。

5．已知函 数z w 1=
，求以下曲线的像曲线. (1)422=+y x ; 解：,,,1122222222y
x y v y x x u y x y i y x x iy x z w +-=+=+-+=+== 411)(222222222
=+=++=+y x y x y x v u ，是w 平面上一圆周。

(2)1=x ；
解：由,1=x 知,1,1122y
y v y u +-=+=从而u y v u =+=+22211 此为2
22)21()21(=+-v u ，是平面上一圆周。

（3）x y =； x i i x w 21)1(1-=+=，则，x
v x u 21,21-==，像曲线为v u -=。