1-2次作业答案

华东理工大学

复变函数与积分变换作业（第1册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第一次作业

教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念

1．填空题：

（1）3

5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i

（3）)31(2

1i +- (4) 13,1=-=y x 。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231π

ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕπϕϕπϕπϕϕϕ-=-+-=+-i e i i

(3)3

2

)3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e

e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +

3．求复数1

1+-z z 的实部与虚部 解：2|

1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2

22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-=

z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331

==-=+k e z k i π

即原方程有如下三个解：

31,2,31i i --+

5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则

23

2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+=（平行四边形法则，既6题结论，所以5,6题应该顺序颠倒比较合理）

得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样，

22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=-

6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.

212z z ++22

1z z -22122()z z =+. 并说明此等式的几何意义.

证明： 左式=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -)

=(21

z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -) =2121221121212211z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=2(2221z z z z ⋅+⋅)=2(2

221z z +)

7．求下列各式的值: (1)5)3(i -; 解：5)3(i -=65565

32)2()223(2ππi i e e i --==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+-ππ

(2)31

)1(i -；

解: 31)1(i -.2,1,0,2)2()221(23)

24(63

14

31===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--k e e i k i i ππ

π 可知31

)1(i -的3个值分别是

)12sin 12(cos 22626π

π

π

i e i -=-；

)127sin 127(cos 226276π

π

π

i e i +=

)45sin 45(cos 226456π

π

π

i e i +=

（3）求61-

解：61-=.5,4,3,2,1,0,)(6/)21(61

2-=++k e e k i k i πππ可知61-的6个值分别是

223,1,2236526

i ei e i e i i i +-==+=πππ 2

23,,2234112367i e i e i e i i i -=-=--=πππ

(4) ()(

)()()100100100100505051

1+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ⎤⎤⎫⎫⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦

8．化简2)

1()1(--+n n

i i 解：原式1222211)1(+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n i n n i ie i i i π

第二次作业

教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3复变函数

1. 填空题

(1)连接点i +1与i 41--的直线断的参数方程为10)52(1≤≤--++=t t i i z

(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为a ，短轴为b 的椭圆的参数方程为

π20sin cos ≤≤+=t t ib t a z

2．指出下列各题中点z 的轨迹，并作图. (1)12≥-i z ;

中心在i 2-半径为1的圆周及其外部。

(2）1)2Re(-=+z .

直线3-=x (3)413=+++z z

以-3与-1为焦点，长轴为4的椭圆 (4)4)arg(π

=-i z

（y-1）/x=arctan

4π=1，所以是以i 为起点的射线1+=x y