棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课件

相关概念
底面( 底) ：两个互相 __平__行____的面； 侧面：其__余__各__面__； 侧棱：相邻侧面的
_公__共__边___； 顶点：侧面与底面的 _公__共__顶__点_ 底面：_多__边__形_面； 侧面：有公共顶点的 各个_三__角__形__面_； 侧棱：相邻侧面的
_公__共__边___； 顶点：各侧面的 _公__共__顶__点_
(续表)
多面体
定义
图形及表示
相关概念
上底面：原棱锥的
_截__面___；
用一个_平__行__于__棱_ _锥__底__面_ 的 平 面
棱台 去截棱锥，底面
下底面：原棱锥的
__底__面__； 侧面：其余各面；
与截面之间 部分叫做棱台
的
上图可记作：棱台 _A_B_C__D_-_A_′_B_′C__′D__′ ____
图 1-1-1
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个 平行面作底面，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符 合棱柱定义．
(2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 BMB1-CNC1，下方部 分是四棱柱 ABMA1-DCND1.
题型 2 空间想象能力的训练 【例 2】 图 1-1-2 是一多面体的展开图，每个面内都给了 字母，请根据要求回答问题：
A．力
图 1-1-3
Leabharlann Baidu
B．获
C．有
D．定
解析：利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题， 把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体(如图 D3)，然后看“努”相对面．故选 C.
答案：C
图 D3
题型 3 有关分割问题 【例 3】 如图 1-1-4，将一个直三棱柱 ABC -A′B′C′分 割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
图 D2
[方法·规律·小结] 棱柱的两个本质特征． (1)有两个面(底面)相互平行． (2)其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平 行． 因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形， 棱柱必须满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行．但是要注意“有两个 面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱 柱．
②在棱锥中用一个平面截去一个小棱锥，剩下的部分就是
一个棱台；
③面数最少的多面体一定是三棱锥；
④五面体是三棱柱或三棱台．
其中正确的个数是( ) A．4 个 B．3 个 答案： D
C．2 个
D．1 个
棱柱、棱锥和棱台是立体几何后继学习中最主 要的解题背景，只有熟练地掌握它们的结构特征才能准确迅速 地解题，把握的关键有两个方面：
正四面体的棱长也都等于 a.当这两个正四面体各有一个面与正
四棱锥的侧面 PAD 、侧面 PBC 完全重合时，得到一个新的多面
体，该多面体是( C )
A．五面体
B．七面体
C．九面体
D．十一面体
【例 4】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 几何体是否为棱柱？
易错分析：对棱柱的概念理解不透彻． 解：不一定是棱柱，如图 D2.
侧棱：相邻侧面的公 共边； 顶点：侧面与上(下)
底面的公共顶点
注意：要判断一个多面体是不是棱台，首先看两个底面是
否平行，其次把侧棱延长看是否相交于一点，这两条都满足的 几何体才是棱台．
练习 1：在棱柱中，下列说法正确的是( D ) A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行 C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行 练习 2：一个棱锥至少有____4____个面，它既叫做__四____ 面体，又叫做___三_____棱锥.
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．空间几何体 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)分类：分为多面体和旋转体．
2．多面体的分类
多面体
定义
图形及表示
有两个面互相
__平__行____，其余各面都
是__四__边__形__，并且每相
答案：不一定．如图 D1.
图 D1 点评：判定棱台的步骤：先看上下两个平面是否平行，再 看各条侧棱延长后是否交于一点，只具备其中一条的不是棱台． 今后可以证明：如果两底面的对应边平行且成比例，那么这个 几何体是棱台．
题型 1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例 1】 给出下列四种说法： ①棱柱的棱都相互平行且相等；
棱柱 邻两个四边形的公共 边些叫都做面互棱所相柱围_平_成_行__的_，多由面这体上 _A_B图__C可_D_记_-A_作_′B_′：_C_′棱_D_′柱____
有一个面是_多__边__形___， 其余各面都是有一个 棱锥 公共顶点的__三__角__形__，
由这些面所围成的多 面体叫做棱锥
上图可记作：棱锥 ___S__-A_B__C_D_____
图 1-1-4
解：如图 1-1-5 所示的直三棱柱 ABC -A′B′C′，连接 A′B，B′C，CA′.则截面 A′CB 与面 A′CB′，将直三棱柱 分割成三个三棱锥即 A′-ABC，A′-BCB′，C -A′B′C′.
图 1-1-5
【变式与拓展】
3．四棱锥 P-ABCD 的侧棱长和底面边长都等于 a，有两个
【问题探究】 1．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这 个几何体可能是______棱__锥__、__棱__柱__、__棱__台__、__圆__锥_____． 提示：注意观察，前三种多面体都可以截出三角形面，其 实在旋转体中，圆锥也可以．
2．上、下两个平面平行，其余各侧面都是梯形的多面体是 不是棱台？
图 1-1-2
(1)如果 A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面________； (2)如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么哪一个面会在 上面________； (3)如果从左面看是面 C，面 D 在后面，那么哪一个面会在 上面________． 答案： (1)F (2)E (3)A
【变式与拓展】 2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、 下面、左面、右面”表示，图 1-1-3 是一个正方体的表面展开 图，若图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是 ()
棱柱
棱锥
都是平行四 (有公共顶点的)
侧面的特征
边形
三角形
棱台 都是梯形
相互平行且 侧棱的特征
相等
相交于一点
同一方向延长 后交于一点
【变式与拓展】 1．如图 1-1-1，长方体 ABCD -A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的 几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果 不是，说明理由．