2016年高考全国2卷理科数学及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷（全卷共12页）(适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南)注意事项：1． 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知i m m z )1()3(−++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（3−,1） （B ）（1−,3） （C ）（1,∞+） （D ）（∞−,3−） （2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B∈<−+=，0)2)(1(，则=B A（A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1− （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(−=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8− （B ）6− （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+−−+y x y x的圆心到直线01=−+y ax 的距离为1，则=a（A ）34−（B ）43− （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈−=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ（C ）)(122Z k k x ∈−=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s（A ）7 （B ）12（C ）17 （D ）34（9） 若53)4cos(=−απ，则=α2sin（A ）257（B ）51（C ）51− （D ）257−（10） 以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）n 4 （B ）n 2 （C ）m 4 （D ）m 2否是 0,0==s kn k >输入n x ,输出s开始 结束输入a1+=+⋅=k k ax s s（11） 已知21,F F 是双曲线E ：12222=−by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2（12） 已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f −=−，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i i y x 1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。

第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13） ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,135cos ,54cos ===a C A ，则=b ． （14） βα,是两个平面，n m ,是两条直线，有下列四个命题：①如果n m ⊥，α⊥m ，β//n ，那么βα⊥． ②如果α⊥m ，α//n ，那么n m ⊥． ③如果βα//，α⊂m ，那么β//m ．④如果n m //，βα//，β//n ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）（15） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．（16） 若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线2ln +=x y 的切线，则=b ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17） （本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =. （Ⅰ）求101111,,b b b ；某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续 保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．（19） （本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5=AB ，6=AC ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H .将DEF △沿EF 折到EF D '△的位置，10='D O .（Ⅰ）证明：⊥'H D 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角C A D B −'−的正弦值．已知A 是椭圆E ：1322=+y t x 的左顶点，斜率为)0(>k k 的直线交E 于M A ,两点，点N 在E 上，NA MA ⊥.（Ⅰ）当4=t ，AN AM =时，求AMN △的面积；（Ⅱ）当AN AM =2时，求k 的取值范围.（21） （本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数xe x x xf 22)(+−=的单调性，并证明当0>x 时， 02)2(>++−x e x x ；（Ⅱ）证明：当)1,0[∈a 时，函数)0()(2>−−=x xaax e x g x 有最小 值．设)(x g 的最小值为)(a h ，求函数)(a h 的值域．请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，G E ,分别在边DC DA ,上（不与端点重 合），且DG DE =,过D 点作CE DF ⊥,垂足为F . （Ⅰ）证明：F G C B ,,,四点共圆； （Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为25)6(22=++y x .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于B A ,两点，10=AB ，求l 的斜率.（24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2121)(++−=x x x f ，M 为不等式2)(<x f 的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当M b a ∈,时，ab b a +<+1.2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷 试题答案一、选择题：（1）A （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）C （11）A （12）C二、填空题(13)2113(14) ②③④ （15）1和3 （16）1ln 2− 三、解答题（17）（本题满分12分）（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，学.科.网解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= （18）（本题满分12分）（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.851.23EX a a=⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 （19）（本小题满分12分）（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CF=，故//AC EF .由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH D O +=+==， 故'D H OH ⊥.又'D H EF ⊥，而OH EF H ⋂=， 所以'D H ABCD ⊥平面.（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz −，则()0,0,0H，()3,2,0A −−，()0,5,0B −，()3,1,0C −，()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =−，()6,0,0AC =，()'3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z −=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =−.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则'n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =−.于是cos ,2550m n m n m n⋅<>===， 295sin ,25mn <>=.因此二面角'B D A C −−的正弦值是25（20）（本小题满分12分）（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A −. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =−代入22143x y +=得27120y y −=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++−=.由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk −=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k=−+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k −=−. 当k =因此()33212k k t k −=−.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k −+−+−=<−−， 即3202k k −<−.由此得32020k k −>⎧⎨−<⎩，或32020k k −<⎧⎨−>⎩2k <<. 因此k 的取值范围是)2.（21）（本小题满分12分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)−∞−⋃−+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x −+−−==≥++且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)−∞−−+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=− 所以(2)(2),(2)20xx x ex x e x −>−+−++>（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x−+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=−<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x −++===+于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x xxe x e e x x x +=>+++单调递增所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e（22）（本小题满分10分）（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆ 则有,,DF DEDGGDF DEF FCB CF CD CB ∠=∠=∠==所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=（23）（本小题满分10分）（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=−=12||||AB ρρ=−==由||AB =23cos ,tan 83αα==±， 所以l3或3−. （24）（本小题满分10分）（I ）先去掉绝对值，再分12x <−，1122x −≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧−≤−⎪⎪⎪=−<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤−时，由()2f x <得22,x −<解得1x >−； 当1122x −<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =−<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b −<<−<<，从而 22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +−+=+−−=−−<， 因此|||1|.a b ab +<+。