胡第9章 配方试验设计

可变为如下的二元二次方程：
y a b1x1 b2 x2 b12 x1x2 b x b x
2 11 1
2 22 2
可用数据分析求解回归方程
常 用 的 模 型
9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design)
9.2.1单纯形的概念(The concepts of simplex) 单纯形是指顶点数与坐标空间维数相等的 凸图形。在单纯形混料设计中，一般都是用 正单形，如正三角形，正四面体等。 平面上的正规单纯形是等边三角形，三维 空间的正规单纯形是正四面体，当维数>3时， 正规单纯形不能用图画出。
x1 (1 a j ) z1 a1 (1 0.1) z1 0 0.9 z1
x2 (1 a j ) z2 a2 (1 0.1) z2 0 0.9 z2
j 1
3
j 1 3
x3 (1 a j ) z3 a3 (1 0.1) z3 0.1 0.9 z3 0.1
例9-1：p.207~208 某种葡萄汁饮料主要
是由纯净水（x1）、白砂糖（x2）和红 葡萄浓缩汁（x3）三种成分组成，其中 要求红葡萄浓缩汁（x3）的含量不得低 于10%，试通过配方试验确定使试验指 标y最大的最优配方。试验指标为综合评 分，越高越好。
解题过程： (1)编码 依题意， x1≥0，x2≥0，x3≥0.1， 即 a1 0 ， 2 0 ， 3 0.1 ， a a

单纯形格子点设计表的选用
先将自然变量xj（j＝1，2，…，m）进行编码 编码公式：
m
x j a j (1 a j ) z j
j 1
或
zj
xj aj 1 a j
j 1 m

0≤zj≤1 若自然变量xj无约束，则xj＝zj 根据组分数m选择合适大小的设计表
9.2.2.3 单纯形格子点设计基本步骤(The basicstep of Simplex-lattice design )
(1)明确试验指标，确定混料组分 (2)选择单纯形格子点设计，进行试验设计 (3)回归方程的建立 (4)最优配方的确定 (5)回归方程的回代 有下界约束时： 将zj 转换成xj 无约束时：不用回代

将每号试验代入上述三元二次方程，得： b1 y1 6.5 b2 y2 5.5 b3 y3 7.5
b1 b3 b13 b1 b2 b12 y13 6.8 y12 8.5 2 2 4 2 2 4 b2 b3 b23 y 5.4 b12 4 y12 2( y1 y2 ) 4 8.5 2 (6.5 5.5) 10

例：当m＝3，d＝1时
3个试验点
正三角形的三个顶点：
（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）


例：当m＝3，d＝2时
6个试验点： 图示 表：{ 3，2 }单纯形格子点设计表


例：当m＝3，d＝3时
10个试验点： 图示 表：{ 3，3 }单纯形格子点设计表

表9-2 {3,2}单纯形格子点设计
9.0.3 混料参数优化必要性(The necessity of optimization of mixture parameters)
某工序若没有进行系统的混料参数优化， 混料参数搭配不合理，势必造成消耗高、 质量差、技术经济指标欠佳的状况。 若曾经采用过某些方法进行过工艺参数优 化，达到过较好的水平，但是，随着设备 的老化、原料产地的多元化等因素的影响， 工艺参数处于非最佳状态，需要采用更新 的技术进行优化，才能降低消耗、提高技 术经济指标，恢复或超越以往的辉煌。
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3

2 2 b11 x12 b22 x2 b33 x3 经变换无常数项与二次项，只有一次项与交互项 ： 最 y b1x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x2 b13 x1x3 b23 x2 x3

9.0.2 混料试验设计的应用(The applications of formula experimental design)
混料试验设计在工业、农业和科学试
验中都得到广泛的应用。在工业试验 方面，如食品、医药、汽油混合物、 混凝土、聚合物塑料、合金、陶瓷、 油漆、洗涤剂、混纺纤维及烧结矿等 产品都会遇到混料设计问题。
正规单纯形的顶点代表单一成分组成的混料，棱 上的点代表两种成分组成的混料，面上的点代表 多于两种而少于等于m种成分组成的混料，而内 部的点则是代表全部m种成分组成的混料。


高为1的正规单纯形可表示混料组成
顶点代表单一成分组成的混料


棱上的点代表两种成分组成的混料
面上的点代表多于两种而≤m 种成分组成的混料 内部的点则是代表全部m种成分组成的混料： 正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1

第9章配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design)






1.教学目标-掌握配方试验设计的基本原理及分析计算 2.教学重点-单纯形格子点的配方设计 3.教学难点-单纯形的引入，试验配方的确定 4.课形-主要讲述新课 5.课时安排-两节课讲授及操作示意，并进行第八章作 业讲评 6.教学器具-以多媒体为手段，利用计算机进行教学 7.教学方式-讲述，分析及实际操作 8.教学过程 9.板书设计 10.课后小结
①无约束单纯形格子点设计

无约束的配方设计：是指除了配方设计的约束条 件，不再有对各组分含量加以限制的其它条件 各组分含量xj的变化范围可用高为1的正单纯形表 示


每种组分的百分比xj的取值与阶数d有关，为1/d的 倍数：
xj＝0，1/d，2/d，…，d/d＝1

xj 编码：xj＝zj 对于无约束单纯形格子设计，不 必区分规范变量与自然变量。
说明：在混料设计中，每个混料成分的含量都必须
表示成分的百分比。显然每个成分的含量百分比 应该是非负的并且它们的总和必须等于1。这也是 混料设计与独立变量设计最主要的区别。
9.1.2 混料配方设计中的数学模型(The mathematical models of formula experimental design) 例：试验指标y与x1，x2，x3之间的三元二次回 归方程
j 1
3
(2)试验方案 由于m=3，故可以选择{3,2}单纯形格子点 设计，试验方案和试验结果见表9-4。
试验 z1 号 1 2 3 4 1 0 0 z2 0 1 0 z3 0 0 1 0 纯净 白砂 红葡萄 评分y 水x1 糖x2 浓缩汁x3 0.9 0 0 0 0.9 0 0.1 0.1 1 0.1 6.5(y1) 5.5(y2) 7.5(y3) 8.5(y12)
9.2.2.1 设计原理(Design principle)
小结：

正三角形格子点集：{3，d}


3——单纯形的3个顶点，表示3种组分
d——每边等分数，称为阶数


四顶点单纯形格子点集：{4，d}
配方试验点在单纯形格子点上
9.2.2.2 单纯形格子点设计试验方案的确定 (Determining the experimental layout of simple-lattice design
9.1 配方试验设计约束条件 (Constraint conditions of formula experimental design)
9.1.1 约束条件(Constraint conditions) 若y表示试验指标，x1，x2，…，xm表示配方中m 种组分各占的百分比，则混料约束条件 ： xj≥ 0 （j＝1，2，…，m） x1＋x2＋…＋xm＝1
b13 4 y13 2( y1 y3 ) 4 6.8 2 (6.5 7.5) 0.8 b23 4 y23 2( y2 y3 ) 4 5.4 2 (5.5 7.5) 4.4
9.0 概述(Overview)
所谓混料，是指若干种不同成分按百分比 混在一起。如饮料、巧克力等。 9.0.1配方试验设计(Formula Experimental Design)，又称混料试验设 计(Mixture Experimental Design)：其目 的是合理地选择少量的试验点，通过一些 不同配比的试验，得到试验指标与成分百 分比之间的回归方程，并进一步探讨组成 与试验指标之间的内在规律。
z3
0 0 1 0 0 1/3 2/3 1/3 2/3
②有约束单纯形格子点设计

除配方设计的约束条件，还要受其它约束条件限制， 如： aj ≤xj≤bj， j＝1，2，…，m
②有约束单纯形格子点设计


有下界约束的单纯形格子点设计 ： aj ≤xj
试验范围为原正规单纯形内的一个规则单纯形

试验号 1 z1 1 z2 0 z3 0
2
3 4
0
0 1/2
1
0 1/2
0
1 0
5
6
1/2
0
0
1/2
1/2
1/2
表9-3 {3,3}单纯形格子点设计
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
z1
1 0 0 2/3 1/3 2/3 1/3 0 0
z2
0 1 0 1/3 2/3 0 0 2/3 1/3
9.2.2 单纯形格子点设计 （Simplex-lattice design ）
9.2.2.1 设计原理(Design principle)
9.2.2.1 设计原理(Design principle)



将图a中高为1的等边三角形三条边各二等分，如图b。 则此三角形的三个顶点与三个边中点的总体称为二阶 格子点集，记为{3，2}单纯形格子点设计，其中3表 示正规单纯形的顶点个数，即组分数m＝3，2表示每 边的等分数，即阶数d＝2。 将等边三角形各边三等分，如图c。为三阶格子点集， 记为{3，3}单纯形格子点设计，前面的3表示了正规 单纯形顶点个数，即组分数m，后面的3表示了每边 的等分数，即阶数d。 用类似的方法，可得到其它各种格子点集。三顶点正 规单纯形的四阶格子点集记为{3，4}，总共有15个点。 四顶点正规单纯形的二阶和三阶格子点集分别用{4， 2}和{4，3}表示，如图e和f所示。
第9章 配方(混料)试验设 计(Formula Experimental Design)
第9章 配方(混料)试验设计 (Formula Experimental Design)
9.0 简述(Overview) 9.1 配方试验设计约束条件(Constraint conditions of formula experimental design) 9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design) 9.3 配方均匀设计(Uniform mixture design)

9.0.3 混料参数优化必要性(The necessity of optimization of mixture parameters)


要进行新产品的开发，按照全面质量管理的要求， 质量是设计出来的，而不是生产出来的。在产品 的设计开发阶段，优化工艺参数，使产品达到高 质量、低消耗、低成本、高效益，在一个较高的 水平上进入市场，在国内外市场上才能占有一席 之地。要实现这一目标，没有高超的试验设计手 段是不行的。 因此，新产品的开发和老产品的技术改造都需要 工艺参数优化。搞好工艺参数优化可促进科学技 术转变为生产力，对企业提高技术管理水平和经 济效益大有益处。
1/2 1/2
0.45 0.45
5 6
Βιβλιοθήκη Baidu1/2 0
0
1/2 0.45 0
0 0.45
0.55 0.55
6.8(y13) 5.4(y23)
1/2 1/2
(3)回归方程的建立
本例{3,2}单纯形格子点设计的回归方程为三 元二次方程，即：
y b1z1 b2 z2 b3 z3 b12 z1z2 b13 z1z3 b23 z2 z3