2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷 答案和解析
2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）A ．∅B ．{1}C ．{0}D ．{﹣1，0，2}2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥03．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a +b ＜0D ．|a |+|b |＞|a +b |4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0是奇函数，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．﹣25．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）A ．a +2b ﹣3B ．4a +2b +2C ．2a +2b +3D ．2a +3b +36．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）A ．{x |−12＜x ＜1}B ．{x ＜﹣1或x ＞12}C ．{x |﹣1＜x ＜12}D ．{x |x ＜−12或x ＞1}7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则（ ）A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，92]D ．[8，+∞）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．[﹣1，1]D ．[﹣2，1]11．若集合P ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，S ＝{x |ax ﹣1＝0}，且S ⊆P ，则实数a 的可能取值为（ ）A ．0B ．−13C ．4D ．1212．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f （x ）＝x 2+a |x|（a ∈R ）的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0，则f （f （0））＝14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合 ∁U （M ∪N ）＝ ．15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化简：lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：4−32+（94）12−（√3−1）0+√(−3)33．18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．（1）求集合A 和集合B ；（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2x−mx，且f（12）＝﹣1．（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．20．（12分）已知关于的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0．（1）当a＝3时，解关于x的不等式；（2）当a∈R时，解关于x的不等式．21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足60台时，p（x）＝x2+20x（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）＝101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）A ．∅B ．{1}C ．{0}D ．{﹣1，0，2}解：∵M ＝{﹣1，2}，N ＝{0，﹣1}，∴M ∪N ＝{﹣1，0，2}．故选：D ．2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥0 解：命题为全称命题，则命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定为存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0， 故选：A ．3．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a +b ＜0D ．|a |+|b |＞|a +b | 解：∵1a ＜1b ＜0，∴a 和b 为负数且a ＞b ，∴a 2＜b 2，故A 正确；再由不等式的性质可得ab ＜b 2，B 正确；由a 和b 为负数可得a +b ＜0，故C 正确；再由a 和b 为负数可得|a |+|b |＝|a +b |，D 错误．故选：D ．4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0是奇函数，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．﹣2 解：根据题意，函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0，若x ＞0，则﹣x ＜0，则f （x ）＝﹣x 2+2x ，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+m （﹣x ）＝x 2﹣mx ，又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即﹣x 2+2x ＝﹣（x 2﹣mx ），则m ＝2，故选：B ．5．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）A ．a +2b ﹣3B ．4a +2b +2C ．2a +2b +3D ．2a +3b +3解：ln （36e 3）＝ln 36+lne 3＝ln （22×32）+3lne＝ln 22+ln 32+3＝2ln 2+2ln 3+3＝2a +2b +3，故选：C ．6．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）A ．{x |−12＜x ＜1}B ．{x ＜﹣1或x ＞12}C ．{x |﹣1＜x ＜12}D ．{x |x ＜−12或x ＞1}解：不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，所以﹣1，2是方程ax 2+bx +2＝0的两个实数根，且a ＜0，由根与系数的关系知{−1+2=b a −1×2=2a，解得a ＝﹣1，b ＝﹣1；所以不等式2x 2+bx +a ＜0化为2x 2﹣x ﹣1＜0，解得−12＜x ＜1；所以不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为{x |−12＜x ＜1}．故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则（）A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）解：由对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0， 可得函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，所以f （2021）＜f （2020）＜f （2019），因为f （x ）为偶函数，所以f （2020）＝f （﹣2020），所以f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）．故选：A ．8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，92]D ．[8，+∞） 解：a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab 即9b+1a =2， 则a +b =12（a +b ）（9b +1a）=12（9+1+9a b +b a ）≥12（10+2√9a b ⋅b a ）＝8， 当且仅当b ＝3a ＝6，上式取得等号，由不等式a +b ≥m 恒成立，可得m ≤（a +b ）min ＝8，故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．解：对于A ：集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是23＝8，故正确；对于B ：函数y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为{x |x ≥0}，故不是同一函数，故错误； 对于C ：不等式x−2x ＞0，整理得：x （x ﹣2）＞0，所以不等式的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞），故正确；对于D ：函数y ＝f （x ）是奇函数的必要不充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称，故错误． 故选：AC ．10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．[﹣1，1]D ．[﹣2，1] 解：∵f （x ）的值域是[0，4]，∴0≤x 2≤4，∴﹣2≤x ≤2，∴f（x）的定义域可能是[﹣1，2]，[﹣2，1]，∵f（﹣3）＝9，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，∴[﹣3，2]和[﹣1，1]不可能是f（x）的定义域．故选：AD．11．若集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，S＝{x|ax﹣1＝0}，且S⊆P，则实数a的可能取值为（）A．0B．−13C．4D．12解：P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，①S＝∅，a＝0；②S≠∅，S＝{x|x=−1 a}，−1a=−3，a=13，−1a=2，a=−12；综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{−12，0，13}．故选：ABD．12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f（x）＝x2+a|x|（a∈R）的图象可能是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），易知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，若a＝0时，f（x）＝x2，选项B符合，当a＞0时，f（x）＝x2+ax=x2+a2x+a2x≥3√x2⋅a2x⋅a2x3=3√a243，当且仅当x2=a2x，即x=√a23时取等号，选项D 符合，当a ＜0时，f （x ）＝x 2+a x 在（0，+∞）上单调递增，当f （x ）＝x 2+a x=0时，解得x =−√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合，故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0，则f （f （0））＝ ﹣1 解：∵函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0， ∴f （0）=12×0−1=−1， f （f （0））＝f （﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合∁U （M ∪N ）＝ {1，4，7，8} ．解：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M ＝{2，3，5}，N ＝{2，6}，∴M ∪N ＝{2，3，5，6}，∁U （M ∪N ）＝{1，4，7，8}．故答案为：{1，4，7，8}．15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 （﹣8，0） ．解：关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，可得Δ＜0，即m 2+8m ＜0，可得m （m +8）＜0，解得﹣8＜m ＜0，即m 的取值范围是（﹣8，0）．故答案为：（﹣8，0）．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 12 ． 解：由a ＝6，b +c ＝10，得p =12（a +b +c ）=12×（6+10）＝8；所以S 2＝8×（8﹣6）×（8﹣b ）（8﹣c ）＝16[bc ﹣8（b +c ）+64]＝16（bc ﹣16）≤16×[(b+c 2)2−16] ＝16×（25﹣16）＝144，当且仅当b ＝c ＝5时取等号．所以S ≤12．故答案为：12．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化简：lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：4−32+（94）12−（√3−1）0+√(−3)33．解：（1）原式=lg(20×5)−lg80lg 54=lg100−lg80lg 54=lg 10080lg 54=lg 54lg 54=1． （2）原式=(22)−32+[(32)2]12−1+(−3)=2﹣3+32−4=1+12−328=−198． 18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．（1）求集合A 和集合B ；（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解（1）由函数y =√2x +1+√3−4x 有意义则需{2x +1≥03−4x ≥0， 解得：−12≤x ≤34，所以集合A ＝{x |−12≤x ≤34}，由不等式|x ﹣a |≥1得：x ≤a ﹣1或x ≥a +1，所以集合B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}．（2）因为“x ϵA ”是“x ϵB ”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，所以a +1≤−12或a −1≥34，所以a ≤−32或a ≥74．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x −m x ，且f （12）＝﹣1． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．解 （1）根据题意，函数f （x ）＝2x −m x ，因为f(12)=−1，所以2×12−m 12=−1，解可得m ＝1， （2）f(x)=2x −1x ，因为f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，又f(−x)=2(−x)−(−1x )=−2x +1x =−(2x −1x )=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．（3）f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数证明如下：任取x 1＞x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（2x 1−1x 1）﹣（2x 2−1x 2）＝（x 1﹣x 2）（2+1x 1x 2） 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，2+1x 1x 2＞0，所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数．20．（12分）已知关于的不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0．（1）当a ＝3时，解关于x 的不等式；（2）当a ∈R 时，解关于x 的不等式．解：（1）a ＝3时，不等式为x 2﹣5x +6＜0，即（x ﹣2）（x ﹣3）＜0；解得2＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |2＜x ＜3}；（2）当a ∈R 时，不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0化为（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0；当a ＜2时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜2}；当a ＝2时，不等式化为（x ﹣2）2＜0，解集为∅；当a ＞2时，不等式的解集为{x |2＜x ＜a }．21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本p （x ）（万元），当月产量不足60台时，p （x ）＝x 2+20x （万元）；当月产量不小于60台时，p （x ）＝101x +6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．（1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．解（1）当0＜x ＜60时，y ＝100x ﹣（x 2+20x ）﹣400＝﹣x 2+80x ﹣400，当x ≥60时，y ＝100x ﹣（101x +6400x −2060）﹣400＝1660﹣（x +6400x ）， ∴y ={−x 2+80x −400，0＜x ＜60，x ∈N 1660−(x +6400x )，x ≥60，x ∈N． （2）①当0＜x ＜60时，y ＝﹣x 2+80x ﹣400＝﹣（x ﹣40）2+1200，所以当x＝40时，y取最大值1200万元，②当x≥60时，y＝1660﹣（x+6400x）≤1660−2√x⋅6400x=1500，当且仅当x=6400x即x＝80时取等号，又1200＜1500，所以当x＝80时，y取得最大值1500，故当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．解：（1）由已知f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2）＝0，可得对称轴为x＝1．又最小值为﹣1，设f（x）＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0），又f（0）＝0，∴a＝1．∴f（x）＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．（2）要使f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，则2m＜1＜m+1，所以0＜m＜1 2．（3）由（1）知，y＝f（x）的对称轴为x＝1，若t≥1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是增函数，y min＝f（t）＝t2﹣2t．若t+2≤1，即t≤﹣1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是减函数，y min＝f（t+2）＝t2+2t．若t＜1＜t+2，即﹣1＜t＜1，则y min＝f（1）＝﹣1．综上所述，当t≥1时，y min＝t2﹣2t；当﹣1＜t＜1，则y min＝﹣1；t≤﹣1，y min＝t2+2t．。
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}=12A ，,{}=23B ，,则A B ⋂= ． 2．函数y =_______.3．已知幂函数()f x x α=的图象过(，则()f x = ．4．函数2()log (2)f x x =-在[0,1]x ∈上的最大值为 ． 5．满足不等式1327x<的实数x 的取值范围是 ． 6．著名的Dirichlet 函数⎩⎨⎧=取无理数时取有理数时x x x D ,0,1)(，则)2(D =_________．7．若()2122,f x x x +=++，则()2f =___________． 8．计算21()lg 2lg 52---=_______________． 9．若2()21xf x a =-+是奇函数，则a =_______. 10．若函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ． 11．若函数()()lg 13f x x x =++-的零点为0x ，满足()0,1x k k ∈+且k Z ∈，则k= ．12．已知函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则()3log 2f =____．13．已知定义在R 上的函数是满足()()0f x f x +-=，在(,0)-∞上()()12120f x f x x x -<-，且，则使()0f x <的取值范围是___________．14．已知函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则()1cab +的取值范围是___________．二、解答题15．已知全集U =R ，集合{}|210,A x x =-≤{}2|2150B x x x =--=．（1）分别求A 、B ； （2）求U C A 和()U C A B ⋂．16．（本题满分14分）已知函数f(x)＝22 , 02(1) 1 , 0x x x x ⎧<⎪⎨--≥⎪⎩． （1）写出函数f(x)的单调减区间； （2）求解方程1()2f x =． 17．（本题满分14分）已知函数xmxx f +-=11)(． （1）当2m =时，用定义证明：)(x f 在(0,)x ∈+∞上的单调递减； （2）若不恒为0的函数)(lg )(x f x g =是奇函数，求实数m 的值．18．姜堰某化学试剂厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是351x x+-千元． （1）要使生产该产品2小时获得利润不低于30千元，求x 的取值范围；（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．（本题满分16分）已知函数(3),03()(3)(),3x x x f x x a x x -<<⎧=⎨--≥⎩．（1）求(2)(4)f f +的值；（2）若()y f x =在[3,5]x ∈上单调增，在[6,8]x ∈上单调减，求实数a 的取值范围； （3）设函数()y f x =在区间[3,5]上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式．20．已知函数1()31,[,1),3xf x a =-∈若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1212,()x x x x <，函数()()21ah x f x a =-+有两个不同的零点3434,()x x x x <． （1）若23a =，求1x 的值； （2）求2143x x x x -+-的最小值．参考答案1．{}2 【解析】试题分析：两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合{}2A B ∴⋂= 考点：集合的交集运算 2．[1,)+∞ 【分析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题. 3．12x【解析】试题分析：由题()()12122,2f f x x αα==∴==考点：幂函数 4．1 【解析】试题分析：函数由()2log ,2f t t t x ==-复合而成，由复合函数单调性的判定可知函数()f x 在定义域上是减函数，因此函数最大值为()()20log 201f =-=考点：函数单调性与最值 5．3x <- 【解析】试题分析：等式1327x<转化为333x -<，结合指数函数3xy =是增函数可得3x <-考点：指数不等式解法 6．0 【解析】为无理数，当自变量x =0D =考点：分段函数求值 7．5 【解析】试题分析：令121x x +=∴=，代入函数式得()212125f =+⨯+= 考点：函数求值 8．3 【解析】试题分析：()221()lg 2lg52lg 2lg54lg104132---=-+=-=-= 考点：指数式对数式化简 9．1 【分析】根据奇函数在0x =处有意义时()00f =可构造方程，解方程求得结果. 【详解】()f x 为奇函数且在0x =处有意义 ()010f a ∴=-=，解得：1a =本题正确结果：1 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，属于基础题.10．(,0]-∞ 【解析】试题分析：函数为偶函数()()f x f x ∴-=恒成立()21013k k f x x ∴-=∴=∴=+，减区间为(,0]-∞考点：函数奇偶性与单调性11．2【解析】试题分析：首先函数()()lg 13f x x x =++-在定义域{}0x x 上是增函数，又()2lg323lg310f =+-=-<， ()3lg433lg40f =+-=>，所以()02,3x ∈，即2k =． 考点：函数的零点． 12．89【详解】试题分析：根据对数函数的性质知函数log (3)1a y x =+-（0,1a a >≠）的图象恒过定点(2,1)A --，因为点A 在函数()3x f x b =+的图象上，所以3log 223101010813,,()3,(log 2)3.9999x b b f x f --=+∴=-∴=-∴=-= 考点：本小题主要考查对数过定点和指数、对数的运算.点评：指数函数和对数函数都恒过顶点，解题时要首先考虑是否能用这条性质简化运算. 13．(5,0)(5,)-⋃+∞ 【解析】 试题分析： ∵定义在R 上的函数是满足()()0f x f x +-=，∴即()()f x f x -=-，所以函数是奇函数；又∵函数在(,0)-∞上()()12120f x f x x x -<-，∴函数在(,0)-∞上是减函数，则在()0,+∞上也是减函数； ∵，∴()()550f f -=-=，∴()()()055f x f f <==-，即505x x -<或， 则使()0f x <的取值范围是505x x -<或. 故答案为(5,0)(5,)-⋃+∞.考点：函数的奇偶性和单调性. 14．()16,64 【解析】作出函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图所示．∵a b c <<时，()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，则4log =0ab ，∴11464a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264c c ab =<+=<=，即()1cab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.15．（1）1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，{}3,5B =-（2）1,2U C A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(){}5U C A B ⋂=【解析】试题分析：解一元一次不等式得到的x 的取值范围即集合A ，解一元二次方程得到的x 的取值即集合B ，U C A 为在全集中但不在集合A 中的所有元素构成的集合，()U C A B ⋂为集合U C A 与集合B 的相同的元素构成的集合试题解析：（1）解不等式可得12x ≤，所以1(,]2A =-∞ 解方程得35x =-或，所以{}3,5B =-（2）1(,)2u C A =+∞{}()5u C A B ⋂=考点：1．一元一次不等式解法；2．一元二次方程解法；3．集合的交并补运算 16．（1）单调减区间(0,1)；（2）方程的解为1,1- 【解析】试题分析：（1）分段函数求减区间，需在两段内分别求对应的减区间，如若有多个减区间，之间用“，”分隔开；（2）方程的根即函数值为12时对应的自变量的值，求解时需令每一段函数式都为12来求解满足相应范围的自变量x 值 试题解析：（1）当0x <时，由解析式可知不存在减区间； 当0x ≥时，函数为二次函数，对称轴为1x =，因此减区间为(0,1)（2）由1()2f x =得1212x x =∴=-，或()2121112x x --=∴=±，所以方程的解为1,1-±考点：1．函数单调性；2．函数求值 17．（1）详见解析（2）1=m 【解析】试题分析：（1）证明函数单调性一般采用定义法，首先在定义域内任取12x x <，判断()()12f x f x -的正负，若()()12f x f x <则函数是增函数，若()()12f x f x >则函数为减函数；（2）由()g x 是奇函数，则有()()g x g x -=-，代入函数式整理得1=m ，求解时要注意验证()g x 是否恒为零试题解析：（1）12()1x f x x -=+，设120x x <<()()()()()211212311x x f x f x x x -∴-=++12211200,10,10x x x x x x <<∴->+>+>()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此函数在(0,)x ∈+∞上的单调递减；（2）因为函数x mxx g +-=11lg)(是奇函数， mxxx mx x mx x g x g -+=+--=-+-=-∴11lg11lg 11lg ),()(， ,1111mxx x mx -+=-+∴即,11222x x m -=-∴ ,0)1(22=-∴x m .1±=∴m当1-=m 时，011lg)(=++=xxx g 与不恒为0矛盾，所以1=m 考点：1．函数单调性证明；2．函数奇偶性判断18．（1）310x ≤≤（2）该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元 【解析】试题分析：（1）借助于每小时的利润得到关于2小时的利润不等式32(51)30,x x+-≥在不等式两边同乘以x 将分式不等式转化为整式不等式，进而解一元二次不等式求x 的取值范围；（2）由题意建立利润和生产速度的函数关系式2120331(51)120(5),[1,10]y x x x x x x=+-=-++∈，将其转化为二次函数求最值问题 试题解析：（1）由题意可知：32(51)30,x x+-≥25143(51)(3)0,x x x x ∴--=+-≥13,5x x ∴≤-≥或又因为110x ≤≤，310x ∴≤≤…（2）2120331(51)120(5),[1,10]y x x x x x x =+-=-++∈ 令11[,1]10t x =∈，2120(35)y t t ∴=-++当16t =即6x =时，max 610y ∴=千元．答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元． 考点：1．函数的实际应用；2．二次函数求最值；3．分式不等式解法19．（1）(2)(4)2f f a +=-；（2）[7,9]；（3）20,3(3)(),3742(5),7a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）函数求值只需要将自变量值代入相应的函数解析式即可；（2）结合二次函数单调性可确定对称轴32a x +=与单调区间边界值的大小关系，解不等式得到实数a 的取值范围；（3）讨论对称轴与区间[3,5]的关系，从而得到函数单调性，求得不同的函数最值，因此()g a 的表达式为分段函数试题解析：（1）()()()(2)(4)2324342f f a a +=-+--=- （2）当3x ≥时()()()()()33f x x a x x x a =--=---，对称轴为32a x +=，结合单调性可知352362a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解不等式得实数a 的取值范围[7,9]考点：1．函数求值；2．函数单调性与最值；3．分情况讨论 20．（1）11x =-（2）1 【详解】试题分析：（1）将23a =代入得到关于x 的方程，解方程可求得x 的值，其中比较小的值为1x ；（2）首先由()0g x =解方程得到12,x x ，由()0h x =解方程得到34,x x ，将其值代入2143x x x x -+-中化简，转化为用a 表示的函数式，即转化为求以a 为自变量的函数的最值问题试题解析：（1）当23a =时，2()3103xg x =--=，即15333x =或，121,1x x x <∴=-（2）()310,31x x g x a a =--=∴=±121323log (1),log (1),x x x a x a <∴=-=+()310,312121x x a ah x a a =--=∴=±++ 343343log (1),log (1),2121a ax x x x a a <∴=-=+++2143333(1)(1)13421log log log (3)11(1)(1)21aa a a x x x x a a a a a ++++∴-+-===-----+34log (3)1y a =--在1[,1)3a ∈上单调递增，所以当13a =时，2143x x x x -+-的最小值为1．。
江苏省泰州中学2020至2021学年高一期中(数学)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
１．____________________ ２．____________________
３．____________________ ４．____________________
５．____________________ ６．____________________
·
∵y=2x在(-∞,+∞)上为增函数且x1<x2，∴
且y=2x>0恒成立，∴
∴f(x1)-f(x1)>0
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数………………………………………………………10分
(3)∵f(x)是奇函数f(x2-x)+f(2x2-t)<0等价于f(x2-x)<-f(2x2-t)=f(-2x2+t)……12分
17．已知 (a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t(件)，价格近似满足f(t)=20- |t-10|
②f(x)表示 -2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；
③如果 在[-1,∞ 上是减函数，则实数a的取值范围是(-8,-6 ；
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x,y∈R都满足
f(x·y)=x·f(y)+y·f(x)，则f(x)是奇函数.
其中正确说法的序号是____________________(注：把你认为是正确的序号都填上).
江苏省泰州市姜堰区2021届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟 总分：160分） 命题人、审核：姜堰区高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．） 1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ .2．函数()1f x x =-的定义域是 ▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ .4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f =▲ . 5．若3sin 3α=，则cos2α= ▲ .6．在ABC ∆中，若1,2,30AB BC C ==∠=，则A ∠= ▲ . 7．设向量(,1),(1,2)a m b ==，且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则6S =▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ .11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上（包含端点）的动点P与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =，则PA PQ ⋅的最小值是 ▲ .13．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424x y z x y z+=+=，则z 的最小值为 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 最小正周期；（2）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域； （3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式.16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===.（1）求ABC ∆的周长； （2）求cos()A C -的值.17．（本题满分14分）已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0f s f t +=，设22,2s t s ta b +=+=.（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =（无需求函数()g a 的定义域）.18．（本题满分16分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角EFH ∆，其中FE FH ⊥．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片ABCD (不计损耗) ，////,//AD BC HF AB EF ，且点,A B 在弧EF 上．点,C D 在斜边EH 上,,AD BC 分别交EF 于,M N ．设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式，并写出其定义域； （2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为nS ，且23415,16a a S ⋅==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,n n n n b a b b a a ++=-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知常数0a >，函数312()4(1),()ln(1)32x f x ax a x g x ax x =--=+-+. （1）当1a =时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程； （2）争辩()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若f (x )在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点12,x x ，且12()()0g x g x +>，求实数a 的取值范围．（参考公式：'(ln(1))1aax ax +=+）AD OFC HE BθMN2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学参考答案1.{2}2.[1,)+∞3.[1,)+∞4.25.136.907.12 8.6 9.52 10.3 11.(0,)+∞ 或[0,)+∞ 12.3413．46[10,10] 14.25log 33-15．解：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-)24x π=+ ---4分（1）所以最小正周期22T ππ== ---6分（2）当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，sin(2)[42x π+∈，所以()f x的值域为2] ---10分（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到())]22842g x x x ππ=-+= ---14分16．解：（1）由余弦定理可得，22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2c = ---4分 所以ABC ∆的周长为5. ---6分（2）在ABC ∆中，由于1cos 4C =，所以sin 4C =---7分 由正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 8A =, ---10分 由余弦定理得2227cos 28b c a A bc +-==---12分 所以11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=---14分17．（1）令2x t =，当[1,1]x ∈-时，1[,2]2t ∈， --3分 函数可化简为2()h t t t =-，可以推断()h t 在1[,2]2上单调递增，所以()h t 的值域为1[,2]4-， 即()f x 的值域在[1,1]-的值域为1[,2]4-. --7分（2）由()()0f s f t +=可得42420s s t t-+-=，化简得2(22)22(22)0s t s t s t ++-⋅-+=， --10分 由于22,2s t s t a b +=+=，所以220a b a --=，即22a a b -=，2()2a a g a -=. --14分 18．（1）由于,1AOE BOF OA OB θ∠==∠==，所以1cos sin ,1cos sin ,2cos AD BC AB θθθθθ=-+=++= --4分所以()2(1sin )cos ,(0,)22ABCD AD BC AB S πθθθ+⋅==+∈ --7分（2）'22()2[cos (1sin )sin ]2(2sin sin 1)S θθθθθθ=-+=-+- 2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+，(0,)2πθ∈ --9分当06πθ<<，'()0,()S S θθ>单调递增,当62ππθ<<，'()0,()S S θθ<单调递减, --12分所以当且仅当6πθ=时，max S =. --16分答：当6πθ=时，梯形铁片ABCD 的面积S最大，最大值为19． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由23415,16a a S ==，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以21n a n =- --5分（2）①由于11111,n n n n b a b b a a ++=-=，所以1111111111,()(21)(21)22121n n n n b a b b a a n n n n ++==-===--+-+，所以1121321111(1)23111()235...111(),(2)22321n n b a b b b b b b n n n -==-=--=--=-≥--累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以32,221n n b n n -=≥- --9分11b =也符合上式．故32,21n n b n N n *-=∈-． --10分②假设存在正整数,,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列，则22n mb b b +=．又24323131,,321242242n m n b b b n n m -===-=----， 所以43131()2()3242242n m +-=---化简得7292711n m n n -==-++ --12分当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意． 所以存在正整数3m =，8n =，使得2,,m nb b b 成等差数列． --16分20. 解：(1) 当1a =时，'214()=1(2)g x x x -++，当0(0)0x g ==时,所以，()g x 在点(0,0)处的切线方程为0y = --4分（2）由题意可知：'2()4(1)f x ax a =-- 当1a ≥时，'()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． --6分当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0, 2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增．--10分 （3）由（2）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )ax ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 --12分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的微小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2 --14分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h (x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1． --16分姜堰区2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（附加题）（考试时间：30分钟 总分：40分） 命题人、审核人：高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效. 1．（本题满分10分）已知集合2{|230},{|}A x x x B x x a =--≤=≥. （1）求集合A ； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围.2.（本题满分10分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,)2a b πααα==-∈，若a b ⊥，求： （1）||a b +；（2）cos()4πα+的值.3.（本题满分10分）已知函数22()ln (2)g x m x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； 4．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学（附加题）参考答案1.解：（1）解不等式2230x x --≤得13x -≤≤，即[1,3]A =-， ---5分（2）由于A B A =，所以A B ⊆，所以1a ≤- ---10分2．由于(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==-，且a b ⊥，所以12-20cos tan 1220sin 0ααα=-=，所以3sin 5α=； ---2分 又由于(0,)2πα∈，所以43cos ,tan 54αα==; （1）(4,4),(3,3),|||(7,1)|a b a b ==-+===---4分（2）43cos()(cos sin )()4225510πααα+=-=-=---4分 3.解： 由已知条件可得222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ---2分（1）当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ---4分 （2）当0m <时，由()0g x '=，得2m x=-或1x m =-，①若m =，则12m m -=-，此时()0g x '≤， 函数()g x 在(0,)+∞上单调递减； ---6分②若0m <<，则12m m -<-，由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得10+2m x m ∈--∞（，）（，），所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1+m-∞（，）上单调递减； ---8分③若m <12m m ->-，同理可得，函数()g x 在1(,2mm --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减. ---10分综上所述①当0m≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减.4. （1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ； ---2分设数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解得3,41==d b ，所以13+=n b n ---5分 （2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-.所以223+⋅=n n n T . ---10分。
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学理联考试题含解析
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4），关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确的序号为（）A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．③④⑤参考答案：C【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】画出函数的图象，利用函数的图象与性质推出结果即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4），关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），画出三个函数的图象如图，由图象可知：当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；当x＞1时，乙走在最前面；由指数函数的性质以及幂函数的性质可知，当x=10时，210﹣1=1023＞103=1000，如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．正确的命题是：②③④⑤．故选：C．2. 定义域为R的函数恰有5个不同的实数解等于( )A．0 B． C． D．1参考答案：C3. 已知数列{}的通项公式为，那么是它的A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项参考答案：A略4. （5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案：C考点：平面的基本性质及推论．专题：常规题型．分析：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解答：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．5.A． B． C． D．参考答案：C6. 下列命题正确的是（）A．如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面B．如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线C．如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面D．如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．[来源:学科网]【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，这条直线有可能包含于这个平面；在B中，这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面；在C中，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面；在D中，由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线．【解答】解：在A中，如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面或包含于这个平面，故A错误；在B中，如果一条直线平行一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面，故C错误；在D中，如果一条直线垂直一个平面，那么由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7. 在中，若三个角成等差数列，且也成等差数列，则一定是（）Ａ．有一个角为的任意三角形Ｂ．有一个角为的直角三角形Ｃ．正三角形Ｄ．以上都不正确参考答案：C略8. 已知点，，则直线AB的斜率是（）A. 1B. －1C. 5D. －5参考答案：A【分析】由,即可得出结果.【详解】直线的斜率.【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C10. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：①若α//β，则；②若③若，则；④若其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算：。
江苏省泰州市姜堰第三高级中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析
江苏省泰州市姜堰第三高级中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．2. 设集合，则等于 ( )A．B．C． D．参考答案：D3. 函数的零点所在的区间是（）A、B、C、D、参考答案：C略4. 函数（，－<<）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，参考答案：A5. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则( )A. B.C. D .参考答案：B6. 在下列函数中，最小值为2的是( )A．B．C． D．参考答案：D7. 三个数，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C8. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：C9. 设x，y满足约束条件若z=mx+y取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值是（）A．B．C．﹣2 D．1参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=mx+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z=mx+y的几何意义是直线mx+y﹣z=0与直线x﹣2y+2=0平行，即两直线的斜率相等即﹣m=，解得m=﹣．故选：A．10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱参考答案：B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若方程有两个不相等的实根，求出的求值范围为____________.参考答案：略12. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________．参考答案：1略13. 设、是平面外的两条直线，给出下列三个论断：①；②；③．以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：．参考答案：①②③（或①③②）略14. 下列四个命题（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________。
江苏省泰州市姜堰白米中学2020年高一数学理测试题含解析
江苏省泰州市姜堰白米中学2020年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．2. 已知等比数列{a n}中，，，则的值是( )．A. 16B. 14C. 6D. 5参考答案：D【分析】由等比数列的性质可求得，进而求得；根据等比数列通项公式可知，代入求得结果. 【详解】由等比数列性质可知：由得：本题正确选项：D3. 集合A={，B={，则A、B之间关系为（）A．B．C．B A D．A B参考答案：C4. 等差数列中，若，，则…（）A． B． C． D．参考答案：Ｄ略5. 流程图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框Ｃ．圆形框Ｄ．椭圆形框参考答案：6. 圆的圆心坐标是（）A、（2,3）B、（-2,3）C、（-2，-3）D、（2，-3）参考答案：D略7. 设集合，集合，则A∩B=（）.A. {4}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {0,1,2,3,4}参考答案：B由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
8. 已知直线经过点A（-1，2）、B（1、3），则直线AB的斜率是（）A．2 B． C．-2 D．参考答案：B9. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.参考答案：B10. 已知等差数列的首项为，公差为，且方程的解为1和，则数列的前n项和为( )A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调增加区间是__________.参考答案：[1,+∞)设t=x2+3x﹣4，由t≥0，可得（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞），则函数y=，由t=x2+3x﹣4在[1，+∞）递增，故答案为:（1,+∞）（或写成[1,+∞））12. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为参考答案：13. 轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是．参考答案：9：16【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，得到圆锥的表面积，求出外接球的表面积，即可求出比值．【解答】解：圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；圆锥的侧面积为：2πr2；所以圆锥的表面积为3πr2；设外接球的半径为R，则4r2=r?2R，∴R=r，∴外接球的表面积为4πR2=πr2；∴轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是9：16．故答案为：9：16．【点评】本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力，是送分题．14. 已知（），①如果，那么=4；②如果，那么=9，类比①、②，如果，那么 .16略15. 在一支长15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85 g / cm 3，现在点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学文模拟试卷含解析
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 半径为的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）.[来源:高&考%资(源#网 wxc]A. B. C. D.参考答案：C2. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )（A）种（B）种（C）种（D）种参考答案：B3. 在△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定参考答案：C为钝角4. 数列{a n}中，如果a n＝3n(n＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )A. 公差为2的等差数列B. 公差为3的等差数列C. 首项为3的等比数列D. 首项为1的等比数列参考答案：B【分析】由题意结合数列的通项公式确定数列的性质即可.【详解】由数列的通项公式可得：为定值，故数列是公差为3的等差数列.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的定义与判断，属于基础题.5. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为0；④在（0，1）上为减函数。
其中正确命题的序号为 ---------（注：将所有正确命题的序号都填上）参考答案：② ③略6. 偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有（）A. B.C. D.参考答案：A略7. （4分）在定义域内满足f（x）?f（y）=f（x+y）的函数为（）A．f（x）=kx（k≠0）B．f（x）=a x（a＞0且a≠1）C．f（x）=log a x（a＞0且a≠1）D．f（x）=ax2+bx+c（a≠0）参考答案：B考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数的表达式分别进行判断即可．解答：A．若f（x）=kx，则f（x+y）=k（x+y）=kx+ky=f（x）+f（y），不满足条件．B．若f（x）=a x（a＞0且a≠1），则f（x+y）=a x+y=a x?a y=f（x）?f（y），满足条件．C．若f（x）=log a x（a＞0且a≠1），则f（x+y）=log a（x+y）≠log a xlog a y，不满足条件．D．若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x）?f（y）=f（x+y）不成立，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数关系是解决本题的关键．8. 给出平面区域如图所示，若目标函数仅在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据取值的不同，进行分类讨论. 当时，不符合题意；当时，由目标函数得，利用数形结合，可以求出的取值范围.【详解】解：画出已知约束条件的可行域为内部(包括边界)，如图，易知当时，不符合题意；当时，由目标函数得，则由题意得，故.综上所述，.答案：C【点睛】本题考查了已知线性目标函数最值情况，求参数问题，数形结合是解题的关键.9. 下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是参考答案：C10. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（?U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和并集的定义，写出（?U A）∪B即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则?U A={0，4}，所以（?U A）∪B={0，2，4}．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是实数，若集合｛｝是任何集合的子集，则的值是参考答案：略12. 已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为__________.参考答案：513. 文科做）已知ΔABC中，A:B:C=1:2:3，a=1，则=参考答案：略14. 关于函数f (x )＝cos＋cos ，有下列命题：①y ＝f (x )的最大值为；②y ＝f (x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间上单调递减；其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)参考答案：①②③.15. 已知，且对于任意的实数有，又，则。
2020-2021学年江苏省泰州市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省泰州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知命题p ：0R x ∃∈，200104x x -+≤，则p ⌝为 A ．0R x ∃∈，200104x x -+> B ．0R x ∃∈，20104x x -+< C ．R x ∀∈，2104x x -+≤ D ．R x ∀∈，2104x x -+> 【答案】D【分析】根据特称命题的否定变法，即可得到所求答案 【详解】因为：命题p ：0R x ∃∈，200104x x -+≤ 所以：R x ∀∈，2104x x -+> 故选:D【点睛】考查特称命题的非命题等价与命题的否定2．已知集合{A x y ==，}{2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．}{0,1,2 B ．}{1,2C ．}{2D ．}{1,2--【答案】B【分析】先根据10x -≥求出x 的范围，即集合A 的元素构成，再求A B .【详解】集合{A x y ==中10x -≥，即1x ≥；而集合}{2,1,0,1,2B =--，那么集合B 中大于等于1的数为1,2，所以A B =}{1,2.故选：B【点睛】要注意集合A 中的元素符号为x ，即x 的取值为集合A 中的元素. 3．命题“a b >”是“11a b<”的（ ） A ．既不充分又不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．充分不必要条件【答案】A【分析】举反例即可.【详解】令1,1,a b ==-则,a b > 而11a b>不是充分条件 若11,a b < 即0,b a ab-< 00b a ab -<⎧∴⎨>⎩ 或,0b a ab ->⎧⎨<⎩即,a b 同号时a b >，,a b 异号时a b <, 不是必要条件 故选：A.4．已知集合{}2A x x =>，{}B x x m =<，若AB R =，则实数m 的取值范围（ ）A ．2m ≤B ．2m <C ．2m ≥D ．2m >【答案】D【分析】根据并集的定义，即集合A 与集合B 中的所有元素即全体实数R 来求解m 的范围.【详解】因为A B R =，即集合A 与集合B 包含了所有的实数，那么m >2.故选：D.【点睛】特别注意当x =2时，是否满足题目要求，要检验. 5．已知函数()f x 和()g x 的定义如下表：则方程[()]1f g x x =-的解集是（ ） A ．}{2016 B ．}{2017C ．}{2018D ．以上都不对【答案】B【分析】根据选项一一代入检验即可．【详解】当2016x =时， ()[(2016)]2016201720161f g f ==≠-，则A 错； 当2017x =时， ()[(2017)]2018201620171f g f ===-，则B 正确； 当2018x =时， ()[(2018)]2017201820181f g f ==≠-，则C 错；故选：B6．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立； 当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D7．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->， ∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数， ∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.8．已知*()21(N )f n n n =+∈，集合{12 3 4 5} {3 4 5 6 7}A B ==，，，，，，，，，，记(){|()} (){|()}f A n f n A f B m f m B =∈=∈，，()()f A f B ⋂= A ．{12}， B ．{1 2 3}，， C ．{3 5}， D ．{35 7}，， 【答案】A【分析】根据集合新定义，求得集合()f A 与集合()f B ，再求两个集合的交集即可. 【详解】根据对集合()(),f A f B 的定义：(){}(){}1,2,1,2,3f A f B ==故()()f A f B ⋂={}1,2. 故选：A.【点睛】本题考查集合新定义，问题的关键是要理解()f A 的含义，属集合中档题.二、多选题9．下列各图中，是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】根据函数的定义，直接判断选项.【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x 只有一个y 和它对应，满足条件的只有BD. 故选：BD10．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．y x = B ．21y x =-+C ．y x =D ．1y x=【答案】BD【分析】根据基本初等函数的奇偶性以及奇偶性的定义判断出各选项中函数的奇偶性，利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数y x =为奇函数，且该函数在()0,∞+上单调递增，A 选项中的函数不满足条件；对于B 选项，函数21y x =-+为偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递减，B 选项中的函数满足条件； 对于C 选项，函数y x =[)0,+∞，该函数为非奇非偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递增，C 选项中的函数不满足条件；对于D 选项，函数1y x=的定义域为{}0x x ≠，设()1f x x=，则()()11-===-f x f x x x ，该函数为偶函数， 当0x >时， ()1f x x=，所以，函数1y x =在()0,∞+上单调递减，D 选项中的函数满足条件. 故选：BD.11．已知函数(),()4f x x g x x ==-，则下列结论正确的是（ ） A ．若1()()()h x f x f x =+，则函数()h x 的最小值为2 B ．若()()()h x f x g x =⋅，则函数()h x 的单调递增区间是[2,)+∞ C ．若()|()||()|h x f x g x =-，则方程()0h x =有且仅有一个实根 D ．若()|()||()|h x f x g x =+，则()4h x ≥恒成立 【答案】BCD【分析】选项A 要注意基本不等式应用的前提是a,b 为正数，当a,b 为负数时，需要转化为正数；选项B 写出函数()()()=(4)h x f x g x x x =⋅-，由二次函数的性质求解； 对于C 和D 来说只要去绝对值号，写出分段函数，再求解即可； 【详解】A: 11()()=()h x f x x f x x =++，当0x >时，12x x+≥；当0x <时，12x x+≤-. B: ()()()=(4)h x f x g x x x =⋅-是一个开口朝上，以为2x =对称轴的二次函数，显然的单调递增区间为[2,)+∞.C: 4,0()()()24,044,4x h x f x g x x x x -≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩，此时方程()0h x =有且仅有一个实数根为2x =;D: 2+4,0()()+()4,0424,4x x h x f x g x x x x -≤⎧⎪==<<⎨⎪-≥⎩，此时函数()h x 的最小值为4，即()4h x ≥恒成立. 故选：BCD【点睛】要注意基本不等式应用的前提条件；熟练掌握二次函数的特点；会去绝对值号写分段函数.这个题目对基础函数的性质要求比较高.12．设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意a D ∈，存在b D ∈使()()2f a f b C -=（C为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ，下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）A ．1y x =-B ．y =C ．31y x =+D ．2yx【答案】AC【分析】代入C 的值，问题转化为对任意定义域中的a ，存在b ，使得()()2,f b f a =- 结合具体函数判断即可.【详解】1=C 时，()()2f b f a =-, 即对任意定义域中的a ，存在b ，使得()()2,f b f a =-由于A 、C 值域为R 故满足;对于B ，当0x =时，函数值为0，此时不存在自变量b ，使得函数值为-2，故B 不满足;对于D ，当0x =时，函数值为0，此时不存在自变量b ，使得函数值为-2，所以D 不满足. 故选：AC.三、填空题13．已知2211()f x x xx +=+，则(3)f 的值等于___. 【答案】7【分析】利用配凑法就可求出复合函数解析式． 【详解】解：222111()()2f x x x x x x+=+=+-，令1t x x=+，当0x >时，122t x x =，当且仅当1x =时取等号，当0x <时，1()2t x x=----，当且仅当1x =-时取等号，2()2f t t ∴=-，(][),22,t ∈-∞-+∞，2()2f x x ∴=-，(][),22,x ∈-∞-+∞则2(3)327f =-=故答案为：7 14．设函数(2)()()x x a f x x++=为奇函数，则实数a =______【答案】2-【分析】利用奇函数的性质，根据特殊值求a ，再验证满足奇函数的定义. 【详解】函数的定义域是{}0x x ≠，()f x 是奇函数，()20f ∴-=，()()222f a =+，根据()()22f f -=-，即()20f =，得2a =-， 当2a =-时，()()()22x x f x x+-=，()()()()()()2222x x x x f x fx xx-+--+--==-=--，满足函数是奇函数，所以2a =-. 故答案为：2-15．.已知集合{}{}2,,(),0,||,A x xy x y B x y =+=，若A B =，则223320202020()()()()x y x y x y x y ++++++++的值等于____.【答案】2020【分析】根据两个集合相等可得则1,1x y ==-，然后计算求解可得答案. 【详解】由{}0,||,B x y =，可得0x ≠且0y ≠，则0xy ≠ 由A B =，所以2()0x y +=，即x y =-此时{}{}2,,0,0,||,A x x B x x =-=-若2x xx x =-⎧⎨-=⎩，则0x =不满足. 若2x xx x ⎧=⎨-=-⎩，则1x =或0x =（舍） 所以1y =-223320202020()()()()x y x y x y x y ++++++++()()23202023202020200=2020x x x x y y y y =++++++++=+故答案为：202016．已知二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值域为[)0,+∞，则a b cb a++-的最小值为______. 【答案】3【分析】先判断a 、c 是正数，且24b ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，2040a b ac >∆=-=，，24,00b ac c b a ∴=>>>，，则2211441b b b a b a b c a a a b b a b a a⎛⎫++⋅++ ⎪++⎝⎭==---， 令1b x a =>，即()()222116191441414141x x x x x x y x x x ++⎡⎤-+-+++==⋅=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦1911663414x x ⎡⎤⎛⎫=-++≥=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦， 当且仅当911x x -=-时，即4x =时取等号， 所以a b cb a++-的最小值为3故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值； （2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 【答案】（1）8；（2）－1【分析】（1）运用基本不等式由12a b +≥，可求得 ab 的最小值； （2）原式可变形为()()1111f x x x =-++-，运用基本不等式可求得1()1f x x x =+-的最大值．【详解】（1）因为正数a ，b 满足121a b+=，所以12a b +≥=8ab ≥， 当且仅当12a b=时，即2,4a b ==时取等号，则ab 的最小值为8； （2）因为1x <，所以1<0x -，所以()11()111111f x x x x x =+=-++≤-=--- 当且仅当111x x -=-，即0x =时取等号， 所以1()1f x x x =+-的最大值为－1． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 18．已知函数1()f x x x=+（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,1上的单调性.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递减函数，证明见解析.【分析】（1）根据奇偶函数的定义，证明函数的奇偶性；（2）根据函数的单调性的定义证明.【详解】（1）函数的定义域{}0x x ≠，()()1f x x f x x-=-+=--， 所以函数是奇函数； （2）设1201x x ，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()121212121111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1201x x <<<，1212120,10,0x x x x x x ∴-<-<>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,1上单调递减.19．已知函数()f x =A ，函数()g x =的定义域为集合B ，（1）当0a =时，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，p q 是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1{03A B x x ⋂=-<≤或1}x =；（2）1a ≥或43a ≤-【分析】（1）分别求两个集合，再求AB ；（2）根据p q 是的充分不必要条件可知A B ，转化为子集问题，根据端点值列不等式求a 的取值范围.【详解】（1）1031xx -≥+，得()()1310310x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：113x ≤-<， 所以113A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭， 当0a =时，()g x =20x x -≥，解得：1≥x 或0x ≤，所以{1B x x =≥或0}x ≤ 所以1{03A B x x ⋂=-<≤或1}x =. （2）()22210x a x a a -+++≥，即()()10x a x a ⎡⎤--+≥⎣⎦，解得：1x a ≥+或x a ≤，所以{1B x x a =≥+或}x a ≤， 由题意可知A B ， 所以1a ≥或113a +≤-， 得1a ≥或43a ≤-. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．20．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）1040；（2）120【分析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=， ∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩，∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．21．设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 【答案】(1) 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2) 当1a =-时，不等式()0f x >，解集为空集.当1a <-时，不等式()0f x >，解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当01a >>-时，不等式()0f x >，解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，; (3) []0,3【分析】（1）根据条件可得1,2是方程20x bx c ++=的两个实数根，由韦达定理可求出,b c 的值，再解不等式得出答案. (2)将条件代入可得()()110f x a x x a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，比较1a-与1的大小进行分类讨论得出答案.(3)由条件可得()1f c -≤，即a b c c -+≤，则0a b -≤，由(1)(3)f f ≤-，可得2b a ≤，从而可得出ba的范围，即可得出答案. 【详解】（1）当1a =时，2()f x x bx c =++不等式20x bx c ++<的解集是()1,2，则1,2是方程20x bx c ++=的两个实数根. 所以1+212b c =-⎧⎨⨯=⎩，所以32b c =-⎧⎨=⎩ 所以不等式210bx cx ++>化为23210x x -++>，即23210x x --< 也即()()3110x x +-<，解得113-<<x 故不等式的解集为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）若0,1,1a b a c <=-=-时，()()()()()2111111f x ax a x ax x a x x a ⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭当1a =-时，()2()10f x x =-->，解集为空集. 当1a <-时，11a -<，则()()110f x a x x a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，即()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭所以不等式的解集为：1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭当01a >>-时，11a ->，则()()110f x a x x a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，即()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭所以不等式的解集为：11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上：当1a =-时，不等式()0f x >，解集为空集. 当1a <-时，不等式()0f x >，解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当01a >>-时，不等式()0f x >，解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（3）由()f x 在区间[1,0]-上的最大值是c ，且()0f c = 所以()1f c -≤，即a b c c -+≤，则0a b -≤， 由(1)(3)f f ≤-，可得93a b c a b c ++≤-+，即2b a ≤ 又0a >，由0a b -≤，2b a ≤可得12ba≤≤ 22453||345ab a bu a a-=-=-⨯-所以448b a ≤≤，则4153b a-≤-≤，所以0453b a ≤⨯-≤所以03453ba≤-⨯-≤，所以u 的范围是[]0,3 【点睛】关键点睛：本题考查根据二次不等式的解集求参数和解二次不等式即求范围，解答本题的关键是由()f x 在区间[1,0]-上的最大值是c ，得到()1f c -≤，即a b c c -+≤，则0a b -≤，由(1)(3)f f ≤-，可得93a b c a b c ++≤-+，即2b a ≤，从而得出12ba≤≤，属于中档题. 22．已知函数()()f x x x a =-.（1）当1a =-时，求函数()2y f x =-的零点；（2）当0a >时，函数()f x 在[]0,2上为减函数，求实数a 的取值范围；（3）当0a <时，是否存在实数a ，使得()f x 在闭区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1；（2）[)4,+∞；（3）存在，且3a =-.【分析】（1）分0x ≤、0x >两种情况解方程()2f x =，即可得解；（2）化简函数()f x 在区间[]0,2上的解析式，由已知条件可得出关于实数a 的不等式，进而可得出实数a 的取值范围；（3）根据题意，先由()12f -≤可得出3a ≥-，可得知，对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()74f x ≤，从而可得出函数()f x 在区间[]1,0-上的最大值为2，然后对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]1,0-上的单调性，结合()max 2f x =可求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =-时，()()1f x x x =+.当0x <时，()()1f x x x =-+，令()2f x =，可得220x x ++=，180∆=-<， 方程220x x ++=无实根，此时，函数()2y f x =-无零点； 当0x ≥时，1f xx x ，令()2f x =，可得220x x +-=，0x ≥，解得1x =.综上所述，函数()2y f x =-的零点为1；（2）当0a >且02x ≤≤时，()()2224a a f x x x a x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由于函数()f x 在[]0,2为减函数，则22a≥，解得4a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)4,+∞；（3）存在实数()0a a <，使得函数()f x 在闭区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.根据题意，()()(),0,0x x a x f x x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩. 若函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，则()112f a -=--≤，即3a ≥-.当0x ≥时，函数()()f x x x a =-在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则函数()()f x x x a =-在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为111172222424a f a ⎛⎫⎛⎫=-=-≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()f x 必在区间[]1,0-上取得最大值2. ①当12a≤-时，即当2a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,0-上为减函数， 此时，()()max 112f x f a =-=--=，解得3a =-；②当102a -<<时，即当20a -<<时，()2max 224a af x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得a =±，不合乎题意.a=-.综上所述，3【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。
江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学试卷及答案
江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2y 的焦点为F ，准线为ι，则点F 到直线ι的距离为 A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a ⃗=（-2，3，-1），b ⃗⃗=（4，m ，n ），且a ⃗//b⃗⃗，其中m ，n ∈R ，则m+n= A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 3. 若sin θ=2cos （π-θ），则tan （θ+π4）的值为A. 3B. 13C. -3D. −134. 在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29+y 2m =1与双曲线T ：x 2−y 2m =1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A. y=±14xB. y=±12x C. y=±4x D. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为 A. x 2+y 2+6y-16=0 B. x 2+y 2-6y-16=0 C. x 2+y 2+8y-9=0 D. x 2+y 2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60º，∠BAC=90º，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为A. √292B. √29 C. √232D. √238. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. √3−1B. √5−1C. √3+1D. √5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若α//β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为5√23D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a ∈R. 若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B （2，a ，0），C （1，a ，-2）满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数a 的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，BC=√2，则四面体PABC 的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin （A-B ）=sinB+sinC ；②2acosC=2b+c ；③△ABC 的面积S=√34（a 2-b 2-c 2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，D 是边BC 上的一点，∠BAD=π2，且b=4，c=2，求线段AD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：（x-2）2+y 2=1，动圆M 与直线ι：x=-1相切且与圆F 外切. （1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A （-2，0），曲线C 上一点P 满足PA=√2PF ，求∠PAF 的大小. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 中点. （1）求证：B 1A//平面C 1BD ；（2）若AA 1=AB=3，BC=4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B-B 1C 1D 的体积.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，点A ，B 是直线x-y+m=0（m ∈R ）与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上.（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x-y-√3=0上存在点P 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求实数m 的取值范围. 21. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ，PA=AD=4，BC//AD ，AB ⊥AD ，AB=BC=2，PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗（0≤λ＜1）. （1）若λ=12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C 的大小为θ，若|cos θ|=2√3417，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点与上顶点的距离为2√3，且经过点（2，√2）.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线ι与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点. 若椭圆上存在点N 满足ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：△PQN 的面积S 为定值.2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直． 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分 y z P A B C D E x22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
江苏省泰州市姜堰区2022-2021学年高一上学期期中考试 数学 Word版含答案
2022~2021学年度第一学期期中考试试题高一数学讲评建议一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上．）1．设A = {1，2}，B = {2，3}，则A∩B = ▲．（答案：{2}，改编自课本18页复习题4）2．函数1y x=-的定义域为▲．（答案：[1，+∞），改编自课本52页复习题1（4））3．函数f(x) = (x – 1)2– 1的值域为▲．（答案：[-1，+∞），课本27页练习7）4．若函数f(x) = x2 + mx– 2在区间(2，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是▲．（答案：m≥-4，改编自课本54页本章测试6）5．若函数y = a x(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a = ▲．（答案：2，改编自课本112页本章测试5）6．设U = R，A = {x|x＜1}，B = {x|x＞m}，若C U A⊆B，则实数m的取值范围为▲．（答案：m＜1，课本10页习题7（1））7．设A = B = {a，b，c，d，e，…，x，y，z}（元素为26个英文字母），作映射f：A→B 为并称A中字母拼成的文字为明文，相应的B中对应字母拼成的文字为密文，若现在有密文为mvdlz，则与其对应的明文应为▲．（答案：lucky，改编自课本48页习题6）8．已知函数f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x) = x3 + x + 1，则f(2) = ▲．（答案：9，改编自课本54页本章测试10）9．函数()2f x x x=--的值域为▲．（答案：(－∞，2]）10．设函数f(x)为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，则关于x的不等式f(x- 2)＞0的解集是▲．（答案：(,1)(2,5)-∞-）11．已知一个函数的解析式为y = x2，它的值域为{1，4}，则满足此条件的函数的个数为▲．（答案：9，改编自课本52页复习题10）12．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增函数，若f(1)＜f(lg x)，则实数x的取值范围是▲．（答案：110x<<或x＞10，课本111页复习题17）13．若f(x) = x(|x|－2)在区间[－2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是▲．（答案：[1,21]-+）14．已知函数f(x) = x2–a x(a＞0且a≠1)，当x∈(-1，1)时，f(x)＜12恒成立，则实数a的取值范围是．（答案：1[,1)(1,2]2）二、解答题15．设全集U=R，集合{}|13A x x=-<≤，{}|242B x x x=--≥．（1）求B及UM()A B；（2）若集合{|20}C x x a=+>，满足B C C=，求实数a的取值范围．（改编自课本19页本章测试13、14两题）解：（1）∵{}|242B x x x=--≥{}2x x=≥……………………………………2分∴{}23A B x x=<≤……………………………………4分∴(){}23UC A B x x x=<或≥……………………………………7分（2）由B C C=得B C⊆……………………………………9分{|20}C x x a=+>2ax x⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭依据数轴可得22a-<，……………………………………12分第10题图从而4a>-……………………………………14分16．（本小题满分14分）（1）1022216()2()(lg8lg125) 39-+⨯++；（2）已知15a a-+=，求22a a-+和1122a a-+的值．（改编自课本63页习题6）解：（1）原式= 1 + 1443⨯+ lg1000 …………………………………3分= 1 + 13+ 3 …………………………………5分= 133…………………………………7分（2）2212()2a a a a--+=+-23=…………………………………10分∵112122()27 a a a a--+=++=∴由11220a a-+>得11227a a-+=…………………………………14分（注：不指出11220a a-+>得11227a a-+=扣1分；直接得11227a a-+=±扣2分）17．某投资公司方案投资A、B两种金融产品，依据市场调查与猜测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2．（注：利润与投资量单位：万元）（改编自课本104页习题2）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样安排这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．18．已知2()31xf x a=++，a是实常数，（1）当a = 1时，写出函数f（x）的值域；（2）推断并证明f(x)的单调性；（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范围．（改编自课本71页习题13，113页本章测试15）解：（1）当a = 1时，2()131xf x=++，定义域为R，，，即函数的值域为（1，3）．（2）函数f（x）在R上单调递减；下证明．证明：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2121222()()3131x xf x f x-=-++= ，所以函数f（x）在R上单调递减．（3）由于f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即223131x xa a-+=--++对x∈R恒成立，化简整理得23223131xx xa⋅-=+++，即a =﹣1．（若用特殊值计算a，须验证，否则，酌情扣分．）由于f（f（x））+ f（m）＜0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x））＜﹣f（m）=f（﹣m）有解，又由于函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞﹣m有解，即f max（x）＞﹣m有解，又由于函数的值域为（﹣1，1），所以﹣m＜1，即m＞﹣1．19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，∴，∴，∴；（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m，∴，∴对任意的x∈[0，2]恒成立，即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，∴，∴．20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．（1）若f（2）=0，求实数a的值；（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…∴或．…（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴，当a＞0时，，∴2≤a≤3，…当a=0时，不合题意，…当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…∴2≤a≤3．。
2020-2021学年江苏省泰州中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知两点A(3,−1)，B(6,−5)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是( )A. (35,−45)B. (−35,45)C. (−45,35)D. (45,−35)2. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A. 6B. 8C. 2+3√2D. 2+2√33. 求值：sin20°+sin40°+sin60°−sin80°=( )A. 12B. √22 C. √32D. 14. 已知平面α，直线m ，n ，下列结论正确的是( )A. 若m//n ，n//α，则m//αB. 若m ⊥n ，n//α，则m ⊥αC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若m ⊥α，n//α，则m ⊥n5. 如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：37. 泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米．2017年被认定为省四星级宗教活动场所．小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物AB ，高为(15√3−15)m ，在它们之间的地面上的点M(B,M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算泰州基督教堂的高度为( )A. 20mB. 30mC. 20√3mD. 30√3m8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 3B. 3+√32C. 3+√3D. 3√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是( )A. b =10，A =45°，C =70°B. a =7，b =5，A =60°C. a =14，b =16，A =45°D. a =3，c =4，cosC =1310. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是( ) A. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |B. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，则b ⃗ =c ⃗C. 非零向量a ⃗ 和b ⃗ ，满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°D. (a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b ⃗ |)⋅(a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b ⃗ |)=011.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形B. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形C. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形D. 若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC一定是等边三角形12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，E、F分别为棱AB、AD的中点，则下列说法中正确的有()A. DB1⊥CEB. 直线CF与A1B为相交直线C. 若P是棱C1D1上一点，且D1P=1，则E、C、P、F四点共面D. 平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗,b⃗ 的夹角为2π3，若|a⃗|=1,|a⃗+b⃗ |=√7，则|b⃗ |=______．14.喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为D=v 2g sin2α，能够达到的最高高度为H=v24g(1−cos2α)(如图所示，其中g为重力加速度).若tanα=√52，则H与D的比值为______ ．15.在△ABC中，D是BC边上一点，且B=π6，ADBD=12，若D是BC的中点，则ACAB=______；若AC=4√3，则△ADC的面积的最大值为______．16.如图，已知圆台高为5，上底面⊙O半径为3，下底面⊙O1半径为4，△ABC为⊙O1的内接三角形，且AB⊥AC，P为⊙O上一点，则PA2+PB2+PC2的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知0<α<π2<β<π，tan(α+π4)=−2，sinβ=√22．(1)求sinα+3cosα2sinα−cosα的值；(2)求sin(α+2β)的值．18.已知向量a⃗=(3,1)，|b⃗ |=5，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=15．(1)求向量a⃗与b⃗ 夹角的正切值；(2)若(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，求λ的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．(1)求证：PC//平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：PA⊥平面BDE．20.在①cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0，②cos2B−3cos(A+C)=1，③bcosC+√3csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．3问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c=1，_____，求角B的值和b的最小值．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形．(1)求证：若PB=PD，求证：BD⊥平面PAC；(2)E，F分别是AB，PD上的点，若EF//平面PBC，AE=2EB，求PF的值；PD(3)若∠DAB=60°，Q为AD上一点，且BQ⊥平面PAD，PB⊥PD，判断△PAD是否为等腰三角形？并说明理由．22. 在△ABC 中，满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点． (1)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； (2)若点P 是∠BAC 内一点，且|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由两点A(3,−1)，B(6,−5)，可知与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(3,−4)5=(35,−45). 故选：A ．利用AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可解决此题．本题考查单位向量的求法，考查数学运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形，属于基础题．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求． 【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C ′B ′//x ′轴，所以在原图形中对应的线段CB 平行于x 轴且长度不变， 点C ′和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O ′B ′的2倍， 则OB =2√2，所以OC =3，则四边形OABC 的长度为8． 故选：B ．3.【答案】C【解析】解：sin20°+sin40°+sin60°−sin80°=2sin30°cos10°+sin60°−sin80° =2×12sin80°+√32−sin80°=√32． 故选：C ．把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的和差化积公式，是基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A ，若m//n ，n//α，则m//α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若m ⊥n ，n//α，则m//α或m ⊂α或m 与α相交，相交也不一定垂直，故B 错误；对于C ，若m//α，n//α，则m//n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，若m ⊥α，则m 垂直α内所有直线，m 垂直所有与α平行的直线，又n//α，∴m ⊥n ，故D 正确． 故选：D ．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项得结论．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC⃗⃗⃗⃗⃗=−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=−56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：C．直接利用已知条件，结合向量的平行四边形法则，推出结果即可．本题考查平面向量的基本定理的应用，向量的平行四边形法则的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，因为圆的周长为c=2πr，所以圆盘与碌碡的半径之比为3：1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3：2，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1：3．故选：B．由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求得答案．本题考查了空间几何体的结构特与应用问题，解题的关键是正确理解木柄绕圆盘转动1周与碌碡恰好滚动了3圈之间的关系，是基础题．7.【答案】D【解析】解：在Rt△ABM中，sin15°=ABAM，解得AM=ABsin15∘=√3−15√6−√24=30√2；在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=180°−45°−105°=30°，由正弦定理得，AMsin30∘=CMsin45∘，解得CM=AM⋅sin45°sin30∘=30√2×√2212=60；在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=60×√32=30√3，即估算泰州基督教堂的高度为30√3m.故选：D ．利用Rt △ABM 求得AM ，在△ACM 中运用正弦定理可得CM ，解Rt △CDM ，可得CD 的值．本题考查了三角形的正弦定理和解直角三角形应用问题，也考查了方程思想和运算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：据题意：圆D(后轮)的半径均为12，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形．点P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A(−2,0)，B(−32,√32)，C(−12,√32).圆D 的方程为x 2+y 2=14，可设P(12cosα,12sinα)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12cosα+2,12sinα)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32). 故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34cosα−√34sinα+3=√32(12cosα−√32sinα)+3 =√32cos(α+π3)+3≤3+√32． 故选：B ．根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，b =10，A =45°，C =70°，所以B =55°， 由正弦定理得asinA =csinC =bsinB =2sin65∘， 所以a =2sin45°sin65∘=√2sin65°，b =2sin70°sin65∘，所以△ABC 有唯一解；对于B ，a =7，b =5，A =60°，由正弦定理得a sinA =b sinB ，所以sinB =5×sin60°7=5√314，且b <a ， 所以B 为锐角，△ABC 有唯一解；对于C ，a =14，b =16，A =45°，由正弦定理得a sinA =b sinB ，所以sinB =16sin45°14=4√27，且b >a ，所以B 的值有2个，△ABC 有两解；对于D ，a =3，c =4，cosC =13，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即16=9+b 2−2b ，整理得b 2−2b −7=0，解得b =1±2√2，只取b =1+2√2，所以△ABC 有唯一解．故选：ABD ．A 中，由正弦定理求出a 、b 的值，判断△ABC 有唯一解；B 中，由正弦定理求出sin B ，根据b <a 判断B 为锐角，△ABC 有唯一解； C 中，由正弦定理求出sin B ，根据b >a 判断B 的值有2个，△ABC 有两解；D 中，由余弦定理求出b 的值只有1个，判断△ABC 有唯一解．本题考查了解三角形的应用问题，考查了数学运算能力及数据分析能力，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：|a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ ||b ⃗ ||cos <a ⃗ ,b ⃗ >|≤|a ⃗ ||b ⃗ |，故选项A 正确；显然a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，b ⃗ ,c ⃗ 不一定相等，例如当a⃗ 为零向量时，故选项B 错误； 设a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则a ⃗ −b ⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△OAB 为正三角形，而由三角形法则可知，<a ⃗ ,a ⃗ +b ⃗ >为∠AOB 的一半，即为30°，故选项C 正确；设i =a ⃗ |a ⃗ |,j =b ⃗ |b⃗ |，则i 是与a ⃗ 共线的单位向量，j 是与b ⃗ 共线的单位向量， ∴(i +j )⋅(i −j )=i 2−j 2=1−1=0，故选项D 正确．故选：ACD ．由数量积公式结合余弦值的有界性即可判断A ；举例子判断B ；由三角形法则判断C ；直接计算判断D．本题考查平面向量的三角形法则，数量积的运用，考查运算能力及推理能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：sin2A=sin2B，故2A=2B或2A=π−2B，整理得A=B或A+B=π，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；2对于B：acosB−bcosA=c，利用正弦定理：sinAcosB−sinBcosA=sinC，整理得sin(A−B)=sinC=sin(A+B)，整理得sinBcosA=0，由于0<A，B<π，故sinB≠0，，所以△ABC一定为直角三角形，故B正确；故cosA=0，故A=π2对于C：由于tan(A+B)=tanA+tanB，整理得tanA+tanB=−tanC+tanAtanBtanC，1−tanAtanB故tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC>0，故tanAtanBtanC>0，故0<A,B,C<π，所以△ABC为锐角三角形，故C正确，2对于D：cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，只有当A=B=C，关系式才成立，所以△ABC一定是等边三角形，故D正确；故选：BCD．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：由题意可知，BB1⊥平面ABCD，故DB 1在平面ABCD内的射影为BD，因为BD与CE不垂直，故DB 1与CE不垂直，故选项A错误；因为A1F//BC，且AF≠BC，所以四边形CFA1B为梯形，则CF与BA1必相交，故选项B正确；点P是棱C1D1上一点，且D1P=1，取C1D1的中点M，连结A1M，MC，PF，因为F，P分别为A1D1和D1C1的中点，所以PF//A1M，又四边形A1MCE为平行四边形，所以PF//CE，故E、C、P、F四点共面，故选项C正确；由选项C可知，PF，PC，CE为截面的边，截面又与平面ABB1A1以及平面ADD1A1相交，则可得截面的两条边，所以截面共有五条边，故选项D错误．故选：BC．利用三垂线定理即可判断选项A，证明四边形CFA1B为梯形，即可判断选项B，取C1D1的中点M，连结A1M，MC，PF，通过证明PF//CE，即可判断选项C，确定截面共有五条边，即可判断选项D．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：向量a⃗,b⃗ 的夹角为2π3，可得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |×(−12)，∵|a⃗+b⃗ |2=7，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =7．1+|b⃗ |2+|b⃗ |×(−12)×2=7设|b⃗ |=x，(x≥0)可得x2−x−6=0解得：x=3故答案为：3由向量a⃗b⃗ 的夹角为2π3，可得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |×(−12)，将|a⃗+b⃗ |2=7，展开即可求解|b⃗ |本题考查了向量的夹角与数量积的关系；也考查了计算能力，是基础题目．14.【答案】√58【解析】解：HD =v24g(1−cos2α)v2gsin2α=1−cos2α4sin2α=2sin2α8sinαcosα=sinα4cosα=14tanα=√58．故答案为：√58．先表示HD，然后结合二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了二倍角公式在实际问题中的应用，属于基础题．15.【答案】√2134√3【解析】解：若D为BC中点，则AD=BD2=BC 4，B=π6，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=BD2+AB2−2AB⋅BD⋅cosB，即BD24=BD2+AB2−2AB⋅BD⋅√32，所以AB2−√3AB⋅BD+34BD2=0，即AB−√32BD=0，所以AB=√32BD，在△ABC中，AC2=BC2+AB2−2AB⋅BC⋅cosB=4BD2+34BD2−2×√32BD×2BD×√22=74BD2，所以AC=√72BD，所以ACAB =√72BD√22BD=√213，若AC=4√3，B=π6，BD=2AD，由上可得AB=√32BD，作DE⊥AB于点E，因为B=π6，DE=BD2=AD，所以DA⊥AB，作AF⊥BC，∠ADB=π3，所以△ABC在BC边上的高为ℎ=AB2=√34BD=AF，BF=√32AB=34BD，所以S△ADC=12AF⋅CD=√38BD⋅CD，因为AD=12BD，AC=4√3，∠ADB=π3，所以∠ADC=2π3，由余弦定理AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，可得48=14BD2+CD2+12BD⋅CD=(CD−12BD)2+32BD⋅CD，即当CD=12BD时，BD⋅CD有最大值，即32BD⋅CD=48，则BD⋅CD=32，所以S△ADC=√38BD⋅CD=√38×32=4√3．故答案为：√213，4√3．若D为BC中点，则AD=BC4，B=π6，在△ABD中，由余弦定理可得AB=√32BD，在△ABC中，可得AC=√72BD，即可得解ACAB的值，若AC=4√3，作DE⊥AB于点E，作AF⊥BC，可求S△ADC=12AF⋅CD=√38BD⋅CD，由余弦定理，可得48=(CD−12BD)2+32BD⋅CD，利用二次函数的性质可得BD⋅CD的最大值，进而可求S△ADC的最大值．本题主要考查了余弦定理，二次函数的性质，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.【答案】126【解析】解：如图，设P在底面的投影为M，如图建立平面直角坐标系，则点M在圆x2+y2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，可得x2+y2=9，a2+b2=16，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2=3(x2+y2)+a2+b2−2(ax+by)+32+75=150−2(ax+by)由柯西不等式可得(x2+y2)(a2+b2)≥(ax+by)2，即16×9≥(ax+by)2，∴−24≤2(ax+by)≤24，(当 xa =yb时取等号)．∴126≤PA2+PB2+PC2≤174．故答案为：126．设P在底面的投影为M，建立平面直角坐标系，则点M在圆x2+y2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2即可求解．本题考查了空间距离的计算，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−2，所以tanα=3，所以sinα+3cosα2sinα−cosα=tanα+32tanα−1=65；(2)因为tanα=3，0<α<π2，所以cos2α=11+tan2α=110，所以cosα=√1010，sinα=3√1010，因为π2<β<π，sinβ=√22，所以β=3π4，所以sin(α+2β)=sin(α+3π2)=−cosα=−√1010．【解析】(1)由已知结合两角和的正切公式先求tanα，然后结合同角基本关系即可求解；(2)由已知结合同角基本关系可求以cosα，sinα，然后结合诱导公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，同角基本关系在求解三角函数值中的应用，属于基础题．18.【答案】解(1)因为a⃗=(3,1)，所以|a⃗|=√32+12=√10．设向量a⃗与b⃗ 的夹角θ，则a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =|a⃗|2+|a⃗||b⃗ |cosθ=10+5√10cosθ=15，解得cosθ=√1010．又θ∈[0,π]，所以sinθ=√1−cos2θ=3√1010，故tanθ=sinθcosθ=3．(2)因为(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，所以(λa⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=λa⃗2+(2λ−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2= 0，即10λ+5(2λ−1)−50=0，解得λ=114．【解析】(1)先代入数量积求出夹角的余弦，再根据同角三角函数基本关系式求解结论，(2)直接根据向量垂直的条件即可求得结论．本题主要考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，以及向量垂直的应用，属于中档题目．19.【答案】证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵E为侧棱PA的中点，∴OE//PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC//平面BDE．(2)∵E为AP中点，PD=AD，∴PA⊥DE，∵PC⊥PA，OE//PC，∴PA⊥OE，∵OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，∴PA⊥平面BDE．【解析】(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，推导出OE//PC，由此能证明PC//平面BDE．(2)推导出PA⊥DE，PC⊥PA，OE//PC，PA⊥OE，由此能证明PA⊥平面BDE．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：选择条件①cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0，可得−cos(A+B)+cosAcosB−√3sinAcosB=0，即−cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB−√3sinAcosB=0，即sinAsinB−√3sinAcosB=0，因为sinA≠0，所以sinB−√3cosB=0，所以tanB=√3，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．选择条件②cos2B−3cos(A+C)=1，可得2cos²B−1+3cosB=1，即2cos²B+3cosB−2=0，解得cosB=12或cosB=−2(舍)，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．选择条件③bcosC+√33csinB=a，由正弦定理可得sinBcosC+√33sinCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，即√33sinCsinB=cosBsinC，因为sinC≠0，所以√33sinB=cosB，即tanB=√3，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．【解析】选择条件①，利用诱导公式及两角和的余弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值；选择条件②，利用二倍角公式和诱导公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值；选择条件③，利用正弦定理及两角和的正弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值．本题主要考查正、余弦定理和基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO=OB，∵PB=PD，∴PO⊥BD，∵AC∩PO=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．(2)过F作FG//DC交PC于G，连接BG，在菱形ABCD中，AB=DC，AB//DC，∴FG//AB，∴E，F，G，B共面，∵EF//平面PBC，EF⊂平面FEBG，平面FEBG∩平面PBC=BG，∴EF//BG，∴四边形FEBG是平行四边形，∴EB=FG，∵AE=2EB，∴PFPD =FGDC=EBAB=13．(3)△PAD不可能为等腰三角形，理由如下：由BQ⊥平面PAD，可知BQ⊥PD，∵PD⊥PB，PB∩BQ=B，PB、BQ⊂平面PBQ，∴PD⊥平面PBQ，∵PQ⊂平面PBQ，∴PD⊥PQ，∴AD>PD，AD>PA，QD>PD，∠PQD<90°，∴∠PQA>90°，∴PA>AQ，在菱形ABCD 中，若∠DAB =60°，则△ABD 是等边三角形，∴Q 为AD 中点，∴AQ =QD ，∴PA >PD ，∴△PAD 不可能为等腰三角形．【解析】(1)设AC ∩BD =O ，推导出AC ⊥BD ，DO =OB ，PO ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ．(2)过F 作FG//DC 交PC 于G ，连接BG ，推导出FG//AB ，从而E ，F ，G ，B 共面，进而EF//BG ，四边形FEBG 是平行四边形，EB =FG ，由此能求出结果．(3)由BQ ⊥平面PAD ，知BQ ⊥PD ，PD ⊥平面PBQ ，PD ⊥PQ ，从而AD >PD ，AD >PA ，QD >PD ，∠PQD <90°，进而∠PQA >90°，PA >AQ ，PA >PD ，由此推导出△PAD 不可能为等腰三角形．本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查三角形是否为等腰三角形的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．22.【答案】解：(1)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−x ，而OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosπ=−2x(1−x)=2x 2−2x =2(x −12)2−12，当且仅当x =12时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−12； (2)设∠CAP =α，则∠BAP =π2−α，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3， ∴3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosα=2，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23cosα， 同理3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π2−α)=1，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13sinα， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =49cos 2α+19sin 2α+9+2+4=49⋅sin 2α+cos 2αcos 2α+sin 2α+cos 2α9sin 2α+15 =4sin 2α9cos 2α+cos 2α9sin 2α+15+59第21页，共21页 ≥2√4sin 2α⋅cos 2α81cos 2α⋅sin 2α+1409=16，当且仅当4sin 2α9cos 2α=cos 2α9sin 2α，即tanα=√22时取等号， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为4．【解析】(1)设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−x ，把所求转化为含x 的函数，利用函数性质得解；(2)设∠CAP =α，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4sin 2α9cos 2α+cos 2α9sin 2α+15+59，再利用基本不等式得解． 本题考查平面向量的数量积运算，考查利用函数思想及基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．。
江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高一数学文模拟试题含解析
江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限. 【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.2. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无数多个参考答案：B3. 在等差数列中，若，则等于A．45 B.75 C.180 D.300参考答案：C4. 已知函数，则A．0 B．1 C．3 D．e 参考答案：B5. 在△ABC中，则△ABC的面积为（）A B C 2 D参考答案：B6. 下列函数中，与函数有相同图象的一个是（）A．B．C．D．参考答案：B7. 若是第三象限的角, 则是（）A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角参考答案：B略8. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1垂直轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为________．参考答案：略9. 已知等差数列中，，则的值是( )．A. 15B. 30C. 31D. 64参考答案：A10. 已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x≤1且x．∴函数y=的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= 。
江苏省泰州市2021版高一上学期数学期中考试试卷A卷
江苏省泰州市2021版高一上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高一上·定远月考) 已知全集，，，则集合（）A .B .C .D .2. （1分）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时，f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为（）A . -5B . -3C . 5D . 33. （1分） (2019高一上·山丹期中) 与函数相等的函数是（）A .B .C .D .4. （1分） (2019高三上·西城月考) 函数的单调递增区间是（）A . (－∞，＋∞)B . (－∞，0]C . [0，＋∞)D . (0，＋∞)5. （1分） (2020高一上·义乌期末) 已知，，，则的大小关系为（）A .B .C .D .6. （1分） (2019高一上·水富期中) 已知函数在上是增函数，则a 的取值范围为（）A .B .C .D .7. （1分） (2019高一上·金华期末) 已知函数，角A ， B ， C为锐角的三个内角，则A . 当，时，B . 当，时，C . 当，时，D . 当，时，8. （1分）(2012·江西理) 如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E 垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V （x）的图象大致为（）A .B .C .D .9. （1分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A . -2B . 2C . -3D . 310. （1分）设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（）A . f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B . f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C . f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D . f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数，且，则________；12. （1分） (2015高三上·临川期末) 已知sin（α+β）= ，sin（α﹣β）= ，那么log5 的值是________ ．13. （1分）已知函数f（x）= ，则f（2015）=________．14. （1分） (2016高一上·沭阳期中) 已知指数函数y=ax（a＞1）在区间[﹣1，1]上的最大值比最小值大1，则实数a的值为________（结15. （1分） (2018高三上·邢台月考) 已知，，则的近似数为________．果精确到0.001）16. （1分） (2017高一上·南通开学考) 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为________．17. （1分） (2018高一下·泸州期末) 已知函数，，对任意的都存在，使得，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共12分)18. （2分）综合题。
2021年江苏省泰州市姜堰第二高级中学高一数学理联考试卷含解析
2021年江苏省泰州市姜堰第二高级中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y1＞y2＞y3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选C．2. 如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．相交B．b∥α或b?αC．b?αD．b∥α参考答案：B【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】若两直线a∥b，且a∥平面α，根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，分b?α和b?α两种情况讨论，可得b与α的位置关系【解答】解：若a∥平面α，a?β，α∩β=b则直线a∥b，故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b?α若b?α，则由a∥平面α，令a?β，α∩β=c则直线a∥c，结合a∥b，可得b∥c，由线面平行的判定定理可得b∥α故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b∥α故选：B【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键．3. 已知函数f(x)在(－∞,+∞)上图像关于y轴对称，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．－2B．－1C．1D．2参考答案：C4. 在中, 已知,则的面积为（）A． 24 B．12 C． D．参考答案：B5. 要完成下列3项抽样调查：①从某班10名班干部中随机抽取3人进行一项问卷调查．②科技报告厅的座位有60排，每排有50个，某次报告会恰好坐满听众，报告会结束后，为了解听众意见，需要随机抽取30名听众进行座谈．③某高中共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了解教职工的文化水平，拟随机抽取一个容量为40的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样参考答案：B【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．【解答】解：观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选： B．【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．6. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：======7+，验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数．故选：D 7. 若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．5 B．4 C．1 D．－5参考答案：B画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由，得，故，∴．故选B．8. .函数在区间的简图是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据函数解析式可得当x时，y＝sin[（2]＞0，故排除A，D；当x时，y＝sin0＝0，故排除C，从而得解．【详解】解：当时，，故排除A，D；当时，，故排除C；故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作图，特值法，属于基础题．9. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角参考答案：C[由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]10. 下列说法正确的是 ( )A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、两个平面有不在同一条直线上的三个交点参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为．参考答案：略12. 有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在，处，则当时，秒．参考答案：213. 已知是定义在R上的偶函数，并满足，当,则__________．参考答案：14. 已知函数在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是________.参考答案：15. 已知{S n}为数列{a n}的前n项和，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为▲．参考答案：[1,]，，因此，由得，因为关于正整数的解集中的整数解有两个，因此16. 在下列结论中，正确的命题序号是。
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考点：函数的奇偶性与周期性
12． 或
【详解】
函数 满足 ，当 时， ， ，
= ， ， ，
当 时，， ， ， = ， ，
，则
13．
【分析】
先画出函数图像并判断 ，再根据范围和函数单调性判断 时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数 的图象
6．若函数 为奇函数，则实数 的值为.
7．已知函数 在 上是增函数，则m范围是.
8．若不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围是.
9．已知定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，
则不等式 的解集为.
10．若函数 的零点为 ，则满足 且k为整数，则k=．
11．设定义在 上的函数 同时满足以下三个条件：① ；② ；③当 时， ，则 ．
考点：1.幂函数定义；2.待定系数法；
5．3
【解析】
试题分析：集合含有两个元素，且 ，可用列举法依次列出： ，3个
考点：子集的定义
6．1
【解析】
试题分析：由函数定义域可以看出 ，函数在 处有定义，奇函数在 处有定义，则 ；因此
考点：1.奇函数定义和性质；
7．
【解析】
试题分析：二次函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，若数 在 上是增函数，则只需
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减；
（3）求不等式的解集： ．
20．二次函数 的图象顶点为 ，且图象在x轴上截得线段长为8
（1）求函数 的解析式；
（2）令
①若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
②求函数 在 的最大值
参考答案
1．
【解析】
试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合 ，求出 .
12．已知实数 ,函数 ，若 ，则实数 的
值为．
13．已知函数 ，正实数 ， 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 ________.
14．已知 定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的
零点的集合为.
二、解答题
15．（本小题满分14分）若函数 ， 的定义域都是集合 ，函数 和 的值域分别为 和 .
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 ．来自2．已知 ，则 ．3．函数 的定义域为.
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 ．
5．已知集合 ，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数m的值.
16．（本小题满分14分）计算下列各式：
（1）
（2）
17．（本小题满分14分）函数 为常数， 且 的图象过点
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性并给出证明．
18．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:
考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.
2．1
【解析】
试题分析：令 ，则
考点：赋值法球函数值
3．
【解析】
试题分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求， ，用区间表示成
考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法
4．4
【解析】
试题分析：由于幂函数 的图象过 ，则 ， ，所以 ，
得 ，所以 ．结合函数图象，
易知当 时 在 上取得最大值，所以
又 ，所以 ，
再结合 ，可得 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
14．
【解析】
试题分析：当 时， ，由于 定义在 上的奇函数，则 ；
因为 时， ，则
若 时，令
若 时，令 ，因 ，则 ， 的零点集合为
考点：1.数形结合思想；2.模拟函数图象解不等式；
10．2
【解析】
试题分析：可采用图象法解题，先画出 的图象，再画出 的图象，图象交点的横坐标在 内，下面进行细致验证：
当 时， ， ；
当 时， ， ， ；则 ;
考点：1.对函数图象与性质；2.零点的概念及零点范围的求法；3.数形结合思想解题;
11．
【解析】
考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数的单调性；
8．
【解析】
试题分析：设 ，由于 ，所以当 时， 取得最小值 ，不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围为 .
考点：1.二次函数的最值；2.恒成立问题的解题方法；
9．
【解析】
试题分析：定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，根据偶函数图象关于 轴对称，所以 在 上为减函数，且 ，可模拟函数图象，从图中就可以看出不等式 的解集为
考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；
15．（1）
（2）
【解析】
试题分析：第一步函数 ， 的定义域 ，由函数 在 上是增函数，则函数 的值域为 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，第二步由 的值域为 ，函数 的值域为 ，利用集合 ，求出 即可.
试题解析：（1）函数 ， 的定义域都是 ，则 ，函数 的值域为
，函数 的值域 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，
（2）由 的值域为 ，函数 的值域为 ，因为 ，则实数 满足 ， ，则 .
考点：1.函数的定义域；2.函数的值域；3.集合相等；
16．（1）1（2）32
【解析】
试题分析：第一小题是对数计算，由于都是以10为底，涉计 的问题，注意 的应用，本题有 ，解题目标是化为 的运算，由于 ，计算即可，当然本题方解题方向化为 也可以.第二部为指数运算，涉及幂运算公式， ， ， ，然后利用幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ， ,计算后即可.
（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?
（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?
（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?
19．（本小题满分16分）已知函数 且 的图象经过点 ．