2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷 答案和解析
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，函数 的值域 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，
（2）由 的值域为 ，函数 的值域为 ，因为 ，则实数 满足 ， ，则 .
考点：1.函数的定义域；2.函数的值域；3.集合相等；
16．（1）1（2）32
【解析】
试题分析：第一小题是对数计算，由于都是以10为底，涉计 的问题，注意 的应用，本题有 ，解题目标是化为 的运算，由于 ，计算即可，当然本题方解题方向化为 也可以.第二部为指数运算，涉及幂运算公式， ， ， ，然后利用幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ， ,计算后即可.
考点：1.幂函数定义；2.待定系数法；
5．3
【解析】
试题分析：集合含有两个元素，且 ，可用列举法依次列出： ，3个
考点：子集的定义
6．1
【解析】
试题分析：由函数定义域可以看出 ，函数在 处有定义，奇函数在 处有定义，则 ；因此
考点：1.奇函数定义和性质；
7．
【解析】
试题分析：二次函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，若数 在 上是增函数，则只需
考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；
15．（1）
（2）
【解析】
试题分析：第一步函数 ， 的定义域 ，由函数 在 上是增函数，则函数 的值域为 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，第二步由 的值域为 ，函数 的值域为 ，利用集合 ，求出 即可.
试题解析：（1）函数 ， 的定义域都是 ，则 ，函数 的值域为
试题分析：由②知 ；由①知 ，由③知 ；那么 ．故本题答案为 ．
考点：函数的奇偶性与周期性
12． 或
【详解】
函数 满足 ，当 时， ， ，
= ， ， ，
当 时，， ， ， = ， ，
，则
13．
【分析】
先画出函数图像并判断 ，再根据范围和函数单调性判断 时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数 的图象
（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?
（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?
（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?
19．（本小题满分16分）已知函数 且 的图象经过点 ．
6．若函数 为奇函数，则实数 的值为.
7．已知函数 在 上是增函数，则m范围是.
8．若不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围是.
9．已知定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，
则不等式 的解集为.
10．若函数 的零点为 ，则满足 且k为整数，则k=．
11．设定义在 上的函数 同时满足以下三个条件：① ；② ；③当 时， ，则 ．
考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数的单调性；
8．
【解析】
试题分析：设 ，由于 ，所以当 时， 取得最小值 ，不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围为 .
考点：1.二次函数的最值；2.恒成立问题的解题方法；
9．
【解析】
试题分析：定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，根据偶函数图象关于 轴对称，所以 在 上为减函数，且 ，可模拟函数图象，从图中就可以看出不等式 的解集为
12．已知实数 ,函数 ，若 ，则实数 的
值为．
13．已知函数 ，正实数 ， 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 ________.
14．已知 定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的
零点的集合为.
二、解答题
15．（本小题满分14分）若函数 ， 的定义域都是集合 ，函数 和 的值域分别为 和 .
考点：1.数形结合思想；2.模拟函数图象解不等式；
10．2
【解析】
试题分析：可采用图象法解题，先画出 的图象，再画出 的图象，图象交点的横坐标在 内，下面进行细致验证：
当 时， ， ；
当 时， ， ， ；则 ;
考点：1.对函数图象与性质；2.零点的概念及零点范围的求法；3.数形结合思想解题;
11．
【解析】
得 ，所以 ．结合函数图象，
易知当 时 在 上取得最大值，所以
又 ，所以 ，
再结合 ，可得 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
14．
【解析】
试题分析：当 时， ，由于 定义在 上的奇函数，则 ；
因为 时， ，则
若 时，令
若 时，令 ，因 ，则 ， 的零点集合为
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减；
（3）求不等式的解集： ．
20．二次函数 的图象顶点为 ，且图象在x轴上截得线段长为8
（1）求函数 的解析式；
（2）令
①若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
②求函数 在 的最大值
参考答案
1．
【解析】
试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合 ，求出 .
考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.
2．1
【解析】
试题分析：令 ，则
考点：赋值法球函数值
3．
【解析】
试题分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求， ，用区间表示成
考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法
4．4
【解析】
试题分析：由于幂函数 的图象过 ，则 ， ，所以 ，
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数m的值.
16．（本小题满分14分）计算下列各式：
（1）
（2）
17．（本小题满分14分）函数 为常数， 且 的图象过点
（1Biblioteka Baidu求函数 的解析式；
（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性并给出证明．
18．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 ．
2．已知 ，则 ．
3．函数 的定义域为.
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 ．
5．已知集合 ，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个.
（2）由 的值域为 ，函数 的值域为 ，因为 ，则实数 满足 ， ，则 .
考点：1.函数的定义域；2.函数的值域；3.集合相等；
16．（1）1（2）32
【解析】
试题分析：第一小题是对数计算，由于都是以10为底，涉计 的问题，注意 的应用，本题有 ，解题目标是化为 的运算，由于 ，计算即可，当然本题方解题方向化为 也可以.第二部为指数运算，涉及幂运算公式， ， ， ，然后利用幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ， ,计算后即可.
考点：1.幂函数定义；2.待定系数法；
5．3
【解析】
试题分析：集合含有两个元素，且 ，可用列举法依次列出： ，3个
考点：子集的定义
6．1
【解析】
试题分析：由函数定义域可以看出 ，函数在 处有定义，奇函数在 处有定义，则 ；因此
考点：1.奇函数定义和性质；
7．
【解析】
试题分析：二次函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，若数 在 上是增函数，则只需
考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；
15．（1）
（2）
【解析】
试题分析：第一步函数 ， 的定义域 ，由函数 在 上是增函数，则函数 的值域为 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，第二步由 的值域为 ，函数 的值域为 ，利用集合 ，求出 即可.
试题解析：（1）函数 ， 的定义域都是 ，则 ，函数 的值域为
试题分析：由②知 ；由①知 ，由③知 ；那么 ．故本题答案为 ．
考点：函数的奇偶性与周期性
12． 或
【详解】
函数 满足 ，当 时， ， ，
= ， ， ，
当 时，， ， ， = ， ，
，则
13．
【分析】
先画出函数图像并判断 ，再根据范围和函数单调性判断 时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数 的图象
（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?
（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?
（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?
19．（本小题满分16分）已知函数 且 的图象经过点 ．
6．若函数 为奇函数，则实数 的值为.
7．已知函数 在 上是增函数，则m范围是.
8．若不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围是.
9．已知定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，
则不等式 的解集为.
10．若函数 的零点为 ，则满足 且k为整数，则k=．
11．设定义在 上的函数 同时满足以下三个条件：① ；② ；③当 时， ，则 ．
考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数的单调性；
8．
【解析】
试题分析：设 ，由于 ，所以当 时， 取得最小值 ，不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围为 .
考点：1.二次函数的最值；2.恒成立问题的解题方法；
9．
【解析】
试题分析：定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，根据偶函数图象关于 轴对称，所以 在 上为减函数，且 ，可模拟函数图象，从图中就可以看出不等式 的解集为
12．已知实数 ,函数 ，若 ，则实数 的
值为．
13．已知函数 ，正实数 ， 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 ________.
14．已知 定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的
零点的集合为.
二、解答题
15．（本小题满分14分）若函数 ， 的定义域都是集合 ，函数 和 的值域分别为 和 .
考点：1.数形结合思想；2.模拟函数图象解不等式；
10．2
【解析】
试题分析：可采用图象法解题，先画出 的图象，再画出 的图象，图象交点的横坐标在 内，下面进行细致验证：
当 时， ， ；
当 时， ， ， ；则 ;
考点：1.对函数图象与性质；2.零点的概念及零点范围的求法；3.数形结合思想解题;
11．
【解析】
得 ，所以 ．结合函数图象，
易知当 时 在 上取得最大值，所以
又 ，所以 ，
再结合 ，可得 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
14．
【解析】
试题分析：当 时， ，由于 定义在 上的奇函数，则 ；
因为 时， ，则
若 时，令
若 时，令 ，因 ，则 ， 的零点集合为
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减；
（3）求不等式的解集： ．
20．二次函数 的图象顶点为 ，且图象在x轴上截得线段长为8
（1）求函数 的解析式；
（2）令
①若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
②求函数 在 的最大值
参考答案
1．
【解析】
试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合 ，求出 .
考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.
2．1
【解析】
试题分析：令 ，则
考点：赋值法球函数值
3．
【解析】
试题分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求， ，用区间表示成
考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法
4．4
【解析】
试题分析：由于幂函数 的图象过 ，则 ， ，所以 ，
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数m的值.
16．（本小题满分14分）计算下列各式：
（1）
（2）
17．（本小题满分14分）函数 为常数， 且 的图象过点
（1Biblioteka Baidu求函数 的解析式；
（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性并给出证明．
18．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 ．
2．已知 ，则 ．
3．函数 的定义域为.
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 ．
5．已知集合 ，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个.