第八章 动态规划

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动态规划PPt

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动态规划的基本概念及思想

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求 解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初 美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原(principle of optimality),1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这 是该领域的第一本著作。
以上步骤称为分解。将所给问题按时间或空间特征分解成相互关联的阶段,并确定 出计算局部最优解的递推关系,这是利用动态规划法解决问题的关键和难点所在
用动态规划求解TSP问题
求解对于每个阶段通过自底向上的方法求得局部最优解 d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8) d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5) d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3) 得到最短路径为0→3→5→8→9,长度为16

第8章动态规划PPT课件

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fk
1
(sk
1 )
过程指标(阶段递推)函数:
第23页/共103页
k= 4
7
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
A1 4
B1 1
k= 3
2
6
f f
3( 3(
B B
1 2
) )
= =
m m
i i
n n
{ {
1 6
+ +
f f
4( 4(
C C
1 1
) )
= =
4 9
* ,
,
34++f 4f(4QC( C22) =)4=78*
; 的 最 优 控 制 等 问 题
第9页/共103页
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将问题改造成符合动态规划求解要求的 形式,要涉及以下概念:
(1)阶段
(2)状态
(3)决策与策略
(4)状态转移方程
(5)指标函数
(6)基本方程
第10页/共103页
(1) 划分阶段
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
第6页/共103页
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法, 它强调具体问题具体分 析, 依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非线性、离散性问题时有 其独到的特点。
第7页/共103页
何找到的这个终点)无关;-----无后效性
• 3、逐段地求解最优路径,势必会找到一个全过程最优路径。-----
动态规划

《动态规划》课件

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xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题,并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题,通过将问题分解为 子问题,可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题,如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况,即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题,可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题,以确定最优的调度方案,满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题,涉及到如何分配任务到机器上,以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划,可以将机器调度问题分解为一系列子问题,如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等,并逐个求解子问题的最优解,最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术,通过存储 已解决的子问题的解,避免重复计算,提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题,可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中,最短路径问题是一个经典的优化 问题,旨在找到从起点到终点之间的一条路 径,使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法,通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解,避免了 重复计算,提高了求解效率。

《动态规划课件》课件

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应用场景:求解最短路径、背 包问题等
注意事项:避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义:将问题划分为 若干个较小的子问题, 并逐个解决子问题, 最终得到原问题的解
特点:将原问题分解为 更小的子问题,通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景:适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例:背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算:使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量:通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式:根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈:通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法:动态规划可以优化算法,提高计算效率 避免重复计算:通过记忆化搜索,避免重复计算,提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
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动态规划与分治法比较:分治法将 问题分解为子问题,而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较:回溯法会 穷举所有可能解,而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义:矩阵链乘法问题是一种优化问题,通过动态规划算法来求解
应用场景:在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理:通过动态规划算法,将矩阵链乘法问题转化为子问题,从而避免重复计算,提高 计算效率
应用场景:背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用,如资源分配、路径规划、时间表安 排等。

第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件

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Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元,若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
(5)状态转移方程:状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策,与下一状态之间具有一定的函数
关系,称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ,该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示:
uk
sk
,则第k+1段
阶段的指标函数,是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型,就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键,在于识别问题的多阶段特征,将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题,或者说正确地建立 具体问题的基本方程,这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量,保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming,缩写为DP)方法 ,是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ,Bellman)等人提出,后来逐渐发展起来的数学分支, 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活,对于连续 的或离散的,线性的或非线性的,确定性的或随机性的 模型,只要能构成多阶段决策过程,便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途,甚至一定程度上比线性规 划(LP)、非线性规划(NLP)有成效,特别是对于某 些离散型问题,解析数学无法适用,动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。

第8章动态规划PPT课件

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逆推
f 0,k4 ,,1
3. 动态规划解决的问题必须包含最 优子结构,即可以由(n-1)的最 优推导出n的最优
7
动态规划模型的分类: 以“时间”角度可分成:
离散型和连续型。 从信息确定与否可分成:
确定型和随机型。 从目标函数的个数可分成:
单目标型和多目标型。
8
8.2 基本概念与方程
1.基本概念
阶段(Stage)——分步求解的过程,用阶段变量k表示,k=1,,n 状态(State)——每阶段初可能的情形或位置,用状态变 量Sk表示。
2 14 6
A
5
B2
10 4
79 6
C2 5
D1 5 0 2E
逆 序
19
1 13 12
B3 11
8 10
D2
C3
2
解 法
19
12
1
2
3
4




18
请在每个节点上标出从该节点到始点的最短距离
12
B1 14 C1 3
2
6
9
D1 5

A
5
B2
10 4
1 13
12
6
C2 5
2
8 10
D2
E
序 解 法
B3 11 C3
为vkn= vkn(Sk, Pkn )。其中最优的称最优 指标函数,记 fk = fk( Sk )=opt vkn。
问题:动态规划的最优解和最优值各是什么?
——最优解:最优策略P1n ,
最优值:最优指标f1。
12
多阶段决策过程
d1
d2
s1
s2

第八章动态规划1PPT课件

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第八章 动态规划
3.决策(Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Dk(sk)表示决策集合。 D1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例,说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段(stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程,按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段,以 便按次序去求每阶段的解,常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题,k(阶 段变量)分别等于1,2,3,4,5,6
1、离散确定型; 2、离散随机型; 3、连续确定型; 4、连续随机型;
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题:运输网络如下图,求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略(sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为:p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加

《动态规划教学》课件

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动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件,为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法,在保证一定精度下降低计算复杂 度,提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案,因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题,可能需要大量的存 储空间,这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解,但在某些情况下, 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始,逐步解决子问题,如果初始状态不是最优 的,则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型,以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法,以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法,以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法,以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ,以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构,以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树, 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题,特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案,动态规划避免了重复计算,从而大大提高了算法的效率。

动态规划

动态规划
第八章 动态规划
动态规划:它是一种算法设计技术, 动态规划:它是一种算法设计技术,用以使得多阶 段决策过程最优的通用方法。 段决策过程最优的通用方法。 一般而言,如果问题是由交叠的子问题所构成的, 一般而言,如果问题是由交叠的子问题所构成的, 动态规划的方法建议我们: 动态规划的方法建议我们:与其对交叠的子问题一次一次 地求解,不如对每个较小的子问题只求解一次 对每个较小的子问题只求解一次, 地求解,不如对每个较小的子问题只求解一次,并把结果 记录在表中,这样我们就可以从表中得出最原始的解了。 记录在表中,这样我们就可以从表中得出最原始的解了。 请注意: 请注意:虽然这样看上去动态规划算法无法避免使 用额外的空间, 用额外的空间,似乎可以被解释成也是一种用空间换时间 的权衡技术,但实际上, 的权衡技术,但实际上,无需额外空间的动态规划算法也 是所在多有的。作为一个熟悉的例子, 是所在多有的。作为一个熟悉的例子,请考察著名的斐波 拉契数列; 拉法 算法
a b a c d a a b c d 0 1 0 0 0 1 0 0
R(0) =
b 0 0 0 1 c 0 0 0 0
R(1) =
b 0 0 0 1 c 0 0 0 0 a b a c d 0 1 0 1
d 1 0 1 0
d 1 1 1 0
R(2) =
第八章 动态规划
8.3 Floyd算法 算法
a b a
0 2 ∞ 6 ∞ 0 7 ∞
c
3 ∞ 0 ∞
d
∞ ∞ 1 0
a b a
0 2 ∞ 6 ∞ 0 7 ∞
c
3 5 0 9
d
∞ ∞ 1 0
D(0) =
b c d
D(1) =
b c d

运筹学第八章_动态规划

运筹学第八章_动态规划
15
□状态集合:状态变量 xk 的取值集合称为状态集合,状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合,xkSk。
□第1阶段 S1={A};
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3,故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
(3)决策(decision)
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合:第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合,常用Dk( xk ) 表示。
□例1中,从第2阶段的 状态B1出发,可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 };
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件,uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段,每一阶段都需作出决
策,从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标:
1 明确什么是多阶段的决策问题,特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。

《动态规划》课件

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特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点,能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题,能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案,同时能够高效地解决问题,避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程,对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧, 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题,并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域,包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件,作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径,以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列,可以有效 地避免重复计算,提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列,可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中,通过求解子问题的最短路 径,可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中,计算每个数字需要依赖于 前两个数字,导致重复计算了相同的子问题。

第八章 动态规划

第八章 动态规划
xk
终端的边际效果一般为 f0(s0,x0)=1 从第1阶段开始,利用边际效果和边界条件 ,可以递推到最后阶段
在上面的计算过程中,利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系:
fk(Sk)= Min v(Sk,dk(Sk))+fk+1(Sk+1)
dk(Sk)
k=1,2,3,4,5
f6(S6)=0
这种递推关系称为动态规划 的函数基本方程。
例2设有某种机器设备,用于完成两类工作A 和B。若k年初完好机器的数量为Sk ,若以 数量xk 用于A ,余下的用于B ,则该年的预 期收入为
g ( xk ) h(sk xk ), g ( xk )、h(sk xk )是已知函数 且h(0) g (0)=0
,机器使用中会损坏用于一年后完好机器数 是年初的,即下一年完好的数量为,设第一 年初机器总数为,问在连续3年内如何分配 给,使三年效益最大?
最短路径问题
如图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的 最短路径。
以上求从A到E的最短路径问题,可以转 化为三个性质完全相同,但规模较小的子 问题,即分别从B1 、B2 、B3 到E的最短路 径问题。 记从Bi (i=1, 2, 3) 到E的最短路径为S(Bi), 则从A到E的最短距离S(A)可以表示为:
动态规划是现代企业管理 中的一种重要决策方法,可用 于最优路径问题、资源分配问 题、生产计划和库存问题、投 资问题、装载问题、排序问题 及生产过程的最优控制等。
动态规划模型的分类:
以“时间”角度可分成:
离散型和连续型。
从信息确定与否可分成: 确定型和随机型。
从目标函数的个数可分成:
单目标型和多目标型。
n+1

动态规划(sim)

动态规划(sim)
动态规划
动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是运筹学的另一个重要 分支,是解决多阶段决策过程最优化的一种数量化方法。 实际生产、经营活动中,有一类活动的过程,可以划分 为若干个相互联系的阶段,在它的每一个阶段都需作出决策, 并且一个阶段的决策确定后,常影响下一阶段的决策甚至整 个决策问题的效果。现在,我们就是要找出每一个阶段的决 策,从而使整个决策过程达到最好的活动效果。由各个阶段 构成的决策序列称为策略。
B1 3 A 6 4 5 B3 A 1 B 2 3 C3 C 图4-1 4 B2 6 7 7 2 5 C2 3 C1 5 4 D1 3
步步走近路?
E
4
6 5 3
D2 D
E
4
动态规划
把从A到E的路线自然地分为4个阶段:从A→B为第l阶 段,从B→C为第2阶段,从C→D为第3阶段,从D→E为第4阶 段,每个阶段都有几条可供选择的路线,例如从A→B有3条 路线:A→B1,A→B2或A→B3,等。总共有14条路线可供选 择,这显然是一个多阶段决策问题。
动态规划的基本方程
由上面的计算过程可以看出:在求解的各个阶段, 我们利用了k阶段与k+1阶段的递推关系:
f k ( s k ) min d k ( s k , u k ( s k )) f k 1 (u k ( s k )) k 3,2,1 uk Dk ( sk ) f 4 (s4 ) d 4 (s4 , E)
d 2 ( B3 , C2 ) f 3 (C2 ) 5 5 f 2 ( B3 ) min min 10 3 9 d 2 ( B3 , C3 ) f 3 (C3 ) x2(B3)=C2
B1 3 A 6 4 B2 7 7

动态规划(理论部分)

动态规划(理论部分)

4 13
B3
12
11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4 (D1) d (D1, E) f5 (E) 5 0 5
2
A5
1
B1
12
14
10
6
B2 10
4 13
B3
12
11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4(D2)=2
f
3
(C3
)
min
((CC33,,
D1 D2
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
min
85 10 2
min
13 12
12
最优决策C3 D2
K=2时:
A
f2(B1)=20
B1 12
14
2
10
6
5
B2 10
f3(C1)=8
C1
3
f3(C2)=7 9
6
C2
f4(D1)=
5
D1
5 f5(E)=0
而各阶段之间又有密切的联系,某一个阶段的不同决策,将会对其它阶段的决策产 生重大的影响,某个阶段局部的较优方案,未必是整个问题的最好方案,某个阶段局部的 不好方案,也未必是整个问题的不好方案。
我们要寻找的是整个问题,也就是所有阶段总体的一个最优方案,这就是动态规划 所要讨论的问题。

动态规划基本方法

动态规划基本方法
(2)合理正确地选择状态变量sk,并确定初始状态 s1的值;
(3)确定决策变量uk及允许决策集Dk(sk); (4)给出状态转移方程 sk+1=Tk(sk,uk); (5)给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最 优值函数;
(6)写出递推方程和边界条件,建立基本方程; (7)按照基本方程递推求解。
0≤x1≤s1
=23.7s1
(x1*=0)
f1(1000)=23.7╳1000=23700
s1=1000 s2=900
s3=810
x1*=0
x2*=0
x3*=810
s1-x1*=1000 s2-x2*=900 s3-x3*=0
s4=567 x4*=567 s4-x4*=0
s5=397 x5*=397 s5-x5*=0
2.2 动态规划的基本方程 动态规划的最优性原理(贝尔曼原理):作为整 个过程的最优策略具有这样的性质,即无论过去的状 态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余 下的诸决策必须构成最优策略。简言之,最优策略的 子策略也必是最优的。 根据此原理,要求全过程最优策略,可从子过程 策略的最优化入手。对于过程指标函数是阶段指标函 数和的形式,考虑k-子过程最优值函数fk(sk):
第4节 动态规划和静态规划的关系
静态规划所研究的问题是与时间无关的,而动态
规划所研究的问题是和时间有关的。对于某些静态规 划问题,也可人为地引入时间因素,把它看做一个按 阶段进行的动态规划问题,用动态规划的方法求解。
例 用动态规划法求解
max F=4x12-x22+2x32+12 3x1+2x2+x3≤9 xi≥0 i=1,2,3
0≤x4≤s4
0≤x4≤s4
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三、动态规划模型的建立
用动态规划解决实际问题,就要建立动态规划模 型,为此需要解决如下问题:

1. 划分阶段 2. 确定状态变量和决策变量以及相应的取值范围 3. 建立状态转移方程 4. 确定指标函数,建立动态规划的基本方程 5. 确定边界条件

1. 划分阶段 按照时间、空间、变量划分为若干阶段。 建立动态规划模型要求每个阶段问题具有同一模式。 2. 确定状态变量和决策变量以及相应的取值范围 决策过程可用状态演变描述。状态必须包含表示系统情况和确定决 策所需要的全部信息,反映过程的演变特征。无后效性。找出状态 变量在各阶段的取值范围。决策变量由系统最优化的目的所决定。
f 3 (C3 ) min{ 5 f 4 ( D2 )} min{ 5 3} 8
最小费用路线为 C3 D2 E 相应的最优决策 u3 (C3 ) D2
3.第2阶段,同上。 如果现处于B1,到达终点E的最小费用为:
3 f 3 (C1 ) 3 11 f 2 ( B1 ) min min 12 4 f ( C ) 4 8 3 3
第2阶段的状态 3 B1 C1 4 4 B2 1 11 B3 6 6 4 C2 9 7 12 5 C3 8 D2 D1 5 3 E
第1阶段的状态 4 A
3
第1阶段
第2阶段
第3阶段
第4阶段
s1状态A ,s2?
S1={A},S2={B1、B2、B3},S3={C1、C2、C3},S4={D1、D2}。
3)决策 决策是某阶段状态给定之后,从该状态演变到下一阶
最小费用路线为 B1 C3 D2 E 相应的最优决策 u2 ( B1 ) C3 如果现处于B2,则到达终点E的最小费用为:
4 f 3 (C1 ) 4 11 f 2 ( B2 ) m in4 f 3 (C 2 ) m in4 12 15 6 f (C ) 6 12 3 3
划分阶段 把对某一种新产品增加研制费用作为一个阶段,将整个过程分
为三个阶段。对甲产品增加研制费用记为第1阶段、对乙产品增加研制费 用记为第2阶段、对丙产品增加研制费用记为第3阶段。K=1,2,3。
状态变量 把有可能提供的研制费用作为状态变量,记为sk,它的取值范
围是:0、1、2
决策变量 把给第k种新产品的研制费用的数量作为决策变量 uk,它由决策
* f k (sk ) Vk ,n (sk , pk Vk ,n (sk , pk ,n ) , n ) optimum pk , n
第2阶段的状态 B1 第1阶段的状态 4 A 3 11 4 B2 1 B3 6 6 4 3 4 C1 9 7 D1 8 D2 5 3 E
C2
12 5
C3
第1阶段
略。
第2阶段的状态 3
B1
第1阶段的状态 4 A 3 11 第1阶段
4
C1
9
7 D1 8 D2 5 3 E
4
B2 1 B3 6 6 第2阶段
4
C2
12
5
C3 第3阶段 第4阶段
pA,E{A,B2,C3,D2,E}就是一个策略。 pB2,E{B2,C3,D2,E}就是一个子策略。
5)状态转移方程
它是确定过程由某一阶段的一个状态到下一阶段另一状态 的演变过程,用sk+1=Tk(sk,uk)表示。该方程描述了由第k阶段 到第k+1阶段的状态转移规律。因此又称其为状态转移函数。
第八章 动态规划


第一节 动态规划原理和模型
第二节 一维动态规划求解方法

第三节 动态规划在经济和管理中的应用
第一节 动态规划原理和模型

一、引例与动态规划的基本概念 二、动态规划的原理 三、动态规划模型的建立
一、动态规划的基本概念

动态规划是50年初由美国数学家R.Bellman等人提出 的解决多阶段决策过程优化问题的“最优化原理” 基础上建立起来的。
1 1
4 2

在每一阶段的求解,都利用了第k阶段和第k+1 阶 段的如下关系:
f k( s k ) min{d k ( s k , u k ) f k 1 ( s k 1 )} f 5 ( s5 ) 0 k 4,3,2,1
这种关系称为动态规划的基本方程。 所谓最优化原理是:一个过程的最优决策具有这 样的性质:无论初始状态及初始决策如何,对于 先前决策所形成的状态而言,其以后的所有决策 应构成最优策略。
第2阶段
第3阶段
第4阶段
V2,4(B1):表示在第2阶段,状态为B1时,从B1到E的距离。
f2(B1)则表示从B1到E的最短距离。
二、动态规划的原理
在例8.1中,整个运输路程分为四个阶段,见图 8.2。下面给出求解的全过程。这里我们采用倒推 的方法,即从终点(E)到起点(A)。

1.第4阶段,即从E到D,从E出发倒推到下一站D, 它可通过D1,也可通过D2,所需费用分别为5和3。
如果现处于状态D1,到终点E的最佳路线费用: f4(D1)=5,最优策略:u4(D1)=E。 如果现处于状态D2,到终点E的最佳路线费用: f4(D2)=3,最优策略:u4(D2)=E。


第3阶段,当从E到达D后,有两个状态D1和D2; 若处于状态D1,则可到达C1或C2,则费用分别为9或 7。 若处于状态D2,则可到达C1或C2或C3,费用分别为8 或12或5。 从E经D1到达C1或C2 的费用,应加上E到达D1这段的 费用,所以费用分别为5+9=14、5+7=12; 从E经D2到达C2或C2或C3 的费用,应加上E到达D2这 段的费用,所以费用分别为3+8=11、3+12=15、 3+5=8。
段某一状态的选择。表示决策的变量称为决策变量,
用uk(sk)表示第阶段,状态为sk时的决策变量,它是 状态变量的函数。实际问题中,决策变量的选取往往 受到某些条件的影响而限制于某一范围,此范围称为 允许决策集合。
第1阶段的状态 4 A 3
第2阶段的状态 3 B1 C1 4 4 B2 1 6 6 第2阶段 4 C2
B1 4 A 4 B2 1 11 B3 6 6 4 C2 12 5 C3 3 4 C1 9 7 8 D2 D1 5 3 E
3
第1阶段
第2阶段
第3阶段
第4阶段
(2)状态 状态就是阶段的起始位置。通常一个阶段包含若干个状态。 第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合。描述各阶段状 态的变量称为状态变量。常用sk表示第k阶段的状态变量。状 态变量的取值集合称为状态集合,用Sk表示。
第2阶段的状态 3 B1 C1 4 4 B2 1 6 6 第2阶段 4 C2
9 7 12 5 8 D2 D1
第1阶段的状态 4 A 3
5
3 E
11
第1阶段
B3
C3 第3阶段 第4阶段
状态转移方程为 sk+1=uk(sk)
6)指标函数
指标函数是用来衡量多阶段决策过程优劣的一种数量指标。 一个n 阶段决策过程,从1到n 称为问题的原过程,对于任意 一个给定的k(1≤k≤n),从第k 阶段到第n 阶段的过程称为原 过程的一个后部子过程。 用 V1,n(s1,p1,n)表示初始状态为s1 采用策略p1,n 时,原过程的指 标函数值。 Vk,n(sk,pk,n)表示在第k 阶段,状态为sk采用策略pk,n 时,后部子 过程的指标函数值。 从第k 阶段状态 sk采用最优策略 p*k,n 到过程终止时的最佳效 益值,称为最优指标函数。记为fk(sk)。
最小费用路线为: A B C D E 相应的最优决策: u1 ( A) B1 所以,整个问题的最小费用路线为:
u (D ) E u 2 ( B1 ) C3 , 最优策略为:{ u ( A) B , u3 (C3 ) D2, }。
最小费用路线为 B2 C1 D2 E 相应的最优决策 u 2 ( B2 ) C1 如果现处于B3,则到达终点E的最小费用为: 1 f 3 (C1 ) 1 11 f 2 ( B3 ) min min 12 6 12 6 f 3 (C 3 )

动态规划是将一个较复杂的多阶段决策问题分解为 若干相互关联的较容易求解的子决策问题,而每一 个子决策问题都有多种选择,并且当一个子决策问 题确定以后,将影响另一个子决策问题,从而影响 到整个问题的决策。

动态规划模型分为(1)离散模型;(2)连续模 型。本章只讨论与离散模型有关原理和方法。这 对连续模型也适用。


如果现在处于C1,则到达终点E的最小费用为:
9 f 4 ( D1 ) 9 5 f 3 (C1 ) min min 11 8 3 8 f 4 ( D2 )
最小费用路线为 C1 D2 E 相应的最优决策 u3(C1)=D2。 如果现在处于C2,则到达终点E的最小费用为:
构成了一个策略。 p1,n {u1 (s1 ),, un (sn )}称为全过程的一个策略,
简称策略。 pk ,n {uk (sk ),uk 1 (sk 1 ),, un (sn )} 称为由第k阶段开始 到最后阶段止的一个子策略,简称后部子策略。
使整个问题到达最优效果的策略称为最优策略。
动态规划方法就是要从允许策略集中找出最优策
7 f 4 ( D1 ) 75 f 3 (C 2 ) min min 12 12 3 12 f 4 ( D2 )
最小费用路线为 C2 D1 E
u3 (C2 ) D1
。相应的最优决策:

如果现在处于C3,到达终点E的最小费用为:
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