积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开共48页文档
积分变换__第1.傅里叶变换
1 j t 证：f ( t ) F ( )e d 2 1 j0 t j t j t 2 d ( )e d e e . 0 0 2 即e j0t 和2d ( 0 )构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
0, t 0 , 证明： 例6 单位阶跃函数 u (t ) 1, t 0
1 1 F d ( ) 证： j 2
1
1 jt d ( ) e d j 1 1 1 jt j t d ( ) e d e d 2 2 j
t
3.若f ( t )为无穷次可微的函数，则有
d ' ( t ) f ( t )d t - f ' ( 0) ， d ( t ) f ( t )d t ( -1) f
(n) n (n)
一般地，有
( 0).
例3 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
F 1 1 e 证法1：
jt
dt s t e js ds 2d .
证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
1 f (t ) 2
2d ( )e d e
j t
jt
0
1
例4 证明e j0t 和2d ( 0 )构成一个傅氏变换对。
单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅
氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广 义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F() 构成一个傅氏变换对.
例5 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F ( ) F [ f ( t )] e jt sin 0 t d t
傅立叶(Fourier)级数的展开方法
快速傅立叶变换（FFT）法
定义
FFT法是一种基于数学和计算机技术的快速计算傅立叶级数展开式的 方法。
步骤
首先，将函数进行离散化处理，然后利用分治策略将问题分解为多个 子问题，最后通过递归和数学公式计算出傅立叶级数的系数。
优点
FFT法计算速度快，适用于大规模数据的傅立叶变换计算。
缺点
对于非周期函数，FFT法可能存在误差和稳定性问题。
图像处理
在图像处理中，傅立叶变换是常用的工具，通过将图像分解为不同 频率的成分，可以实现图像的滤波、去噪、压缩等操作。
控制系统
在控制工程中，傅立叶级数可以用于分析系统的频域响应，从而优 化控制系统的设计和性能。
在金融问题中的应用
要点一
周期性分析
在金融领域，傅立叶级数可以用于分析具有周期性的金融 数据，如股票价格、汇率等，从而预测未来的走势。
唯一性证明
唯一性定理的证明涉及到数学分析中的一些高级技巧，如反证法、数学归纳法 等。
三角函数的正交性
正交性定义
在一定条件下，三角函数系中的函数都互相垂直，即它们的内积为0。这就是三角函数 的正交性。
正交性的应用
正交性是傅立叶级数展开的基础，因为只有当三角函数系是正交的时，我们才能将一个 周期函数表示为一个傅立叶级数。同时，正交性在解决物理问题、信号处理等领域也有
傅立叶级数的复数形式
傅立叶级数的复数形式是将函数表示 为复指数函数的线性组合，通过复数 运算，可以简化计算过程并方便地处 理函数的频域性质。
VS
复数形式的傅立叶级数在信号处理、 通信等领域中具有重要应用，可以用 于信号的频谱分析和滤波等操作。
02 傅立叶级数的性质
收敛性
傅立叶级数在$L^2$空间中收敛
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
ej jnω0t
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e jnω0t
).
推导
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an jbn , 2
cn
an
jbn 2
,
则有
fT (t ) e cn jnω0t ,
特点 (1) 周期性
(2) 正交性
T/2
T/2m (t ) n (t )d t 0 ,
T/2
T/2 k (t ) l (t )d t 0 ,
T/2
T/2
k
(t )
l
(t)d
t
0,
(k l)
由 {k (t)}, { k (t)} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。
问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT (t)，能否：
(B)
n
其中,
cn
1 T
T /2 T /2
fT (t ) e jnω0td t ,
n 0, 1, 2,
定义 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。
注意 (1) 分解式是惟一的。 (2) 计算系数 cn 时, 其中的积分可以在任意 一个长度为 T 的区间上进行。
(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到 仅仅定义在某个有限区间上的函数。
fT
傅里叶积分变换
1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
0
2 2
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0 ,
(t)
1
t 0或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t
)
lim
0
(t)
单位脉冲函数的一些性质：
() 的傅氏逆变换为u(t) 。
f (t) F-1 F()
1
2
1
j
()e jt d
1
()ejt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
20
由于
0
sin
td
0,2
,t t
0; 0
2
,
t0
故
f (t) 1 1
2
sin 0
td
1
2 1 2
1
j ( 0 ) t
2 j
1 2
2j
( 0 ) 2
( 0 )
j ( 0 ) ( 0 )
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
ZGP-积分变换第一讲 Fourier积分 (1)
求 f (t) 的积分表达式的步骤：
（） 1 F () F [ f (t )]
（） 2 f (t ) F 1[ F ( )]
26
Fourier 变换的概念
0, 例 求函数 f (t ) t e ,
t 0 的 Fourier 变换及其 t 0
指数衰减函数
积分表达式，其中 0.
信号
Fourier变换
频谱函数
1
第一章 Fourier 变换
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 Fourier 积分 Fourier 变换 Fourier 变换的性质 卷积与相关函数 Fourier 变换的应用
2
§1.1 Fourier 积分
• 函数的 Fourier 级数展开 • Fourier 积分公式
成立，而左端的 f(t) 在间断点 t 处的值用
f (t 0) f (t 0) 2
来替代.
Fourier积分公式的 指数形式
15
Fourier 积分定理及应用
若 f(t)为奇函数，则
若 f(t)为偶函数，则
f (t )dt 0
f (t )dt 2 f (t )dt
其中
2 , T
2 T2 a0 T fT (t ) dt , T 2
2 T2 an T fT (t ) cos ntdt (n 1, 2,) T 2 2 T2 bn T fT (t ) sin ntdt (n 1, 2,) T 2 1, x [ , 0) f ( x) 0, x [0, 6)
f ( )e i d eit d
1.1 Fourier积分【VIP专享】
同理可证 :
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变 化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里 叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即 在区间[T/2,T/2]上：
则可以合写为一个式子，
1
cn T
T
2 T
fT (t )e jntdt
(n 0, 1, 2,L )
2
若令
则上式可以写为
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
n
n
n1
2
T
, 或T
n
,
如图
(n
nபைடு நூலகம்
n1
2
T
, 或T
n
)
{
{ { {
O 1 2 3
所以 f (t)又可写为
n-1n
当 t 固定时，
记为
，即
则有
当
是参数 n 的函数，
又
(n )
1
2
f
第01章 Fourier变换_2012
1 f (t ) 2p
+ f ( )e - j d e jt d - -
+
这个公式称为函数f (t)的Fourier积分公式，其中f (t)函数 应满足Fourier 收敛定理。
Fourier积分
四、Fourier积分定理 若函数f (t)在(-∞，+∞)上满足下列条件： 1°在任一有限区间满足Dirichlet条件； + 2°在无限区间上绝对可积： - f (t ) dt 则积分 F ( ) - f (t )e - jt dt 存在，并且在f (t)的连续点处
例
题
1, t 1 例1：已知如下的函数 f (t ) ，求其Fourier 0, 其它 积分表达式，并证明：
p 2 + sin cos t p d 0 4 0 f(t) t 1 t 1 t 1
1
-1
o
1
t
例
题
于是有：
方法1：直接根据Fourier积分公式证明，对于连续点有：
p
1
+
0 +
+ f ( ) cos (t - )d d -
1
(cos t cos + sin t sin )d d p - -1 2 + 1 cos d cos td p - 0 2 + sin cos t d
+
为
1 f (t0 + 0) + f (t0 - 0) 2
1 f (t ) 2p
+
-
F ( )e jt dt，而在f
傅立叶(Fourier)级数的展开方法-82页PPT精选文档
b 1l
n l l
f xsin nxdx
(n1,2,3 ).
称为傅里叶系数
3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数
为基进行分解
x
2x
kx
基
矢
1, cos , cos ,.
量
x 2x
kx
sin , sin ,... sin ,...
2
2
在连续点处收敛于f（x）。
f (x)
x
不计点x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ...函.数)是周期为2π，且是奇函
数。
则
2
2
bk
0
f(x)sinkxdx
0
xsinkxdx
2(1)k1 (k1,2,3...)
k
f(x) 2(1)k1sinkx
例1 设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在[π，π]
表达式
1 (x0)
f(x)
1
(0x)
将f（x）展为傅立叶级数。
解 函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)
点不连续,收敛于 1 1 0 2
在连续点上收敛于f (x) f ( x)
x
则
2l l
说明
1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
Fourier变换PPT课件
2
当 f (t) 为偶函数时，由上式同理可得
(1.9) (1.10)
叫做 f (t) 的Fourier余弦变换式(简称为余弦变换)，即
而 叫做
的Fourier余弦逆变换式(简称为余弦逆变换)，即
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例1 求函数
0, f (t ) et ,
t 0 的Fourier变换及其积 t0
0
| t | 的Fourier变换并求： | t |
0
sin
1
sin
2
t
d
.
解： F () F [ f (t)] f (t) e jtd t j sin t sint d t
2 j0 sin t sint d t
j0 [cos(1)t cos(1 )t]d t
j(sin(1)t sin(1 )t ) 1 0 1 0
解：
1
f (t)
0
0
cos t 2
sint 2
d
1 / 2 e t
因此可得到一个含参量广义积分的结果：
t0 t0 t0
0
0
cos t 2
sint 2
d
/
2
e t
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t0 t0 t0
例 求函数
sin t
f (t)
0
| t | 的Fourier变换并求： | t |
1 dt 1
0
则由给出的d 函数的定义，有
d (t)dt 1
工程上将d -函数称为单位脉冲函数，可将
d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线
段的长度表示d -函数的积分值，称为d-函数的强
积分变换第1讲
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
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24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n n n ib a c -=, 2nn n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ,令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 . 于是()()t i n TT i T T n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim, 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时, ()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t et tβ的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Ae i t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea ae i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
傅里叶积分与变换
ˆ ˆ (ω ) = F[ f (ω )] = 2π f ( −t ) ˆ 称f 为 傅氏 对称公式
两个傅里叶变换对 ⎧ f (t ) ↔ fˆ (ω ) ⎪ ⎨ ⎪ fˆ (t ) ↔ 2π f ( −ω ) (由 对称公式 ) ⎩
例 题 2：
(1).求 矩 形 脉 冲 函 数 的 傅 氏 变 换 ⎧1, | t |≤ a , ( a为 正 常 数 ) f (t ) = ⎨ ⎩ 0, | t |> a (2).用 傅 氏 积 分 公 式 证 明
由 傅 氏 积 分 定 理 有 +∞ 1 −1 ˆ ( ω ) e jω t d ω ˆ (ω ) ] = F [ f ∫−∞ f 2π + ∞ β − jω 1 jω t = ∫−∞ β 2 + ω 2 e d ω 2π
=
∫ π
1
+∞
0
β cos ω t + ω sin ω t dω 2 2 β +ω
jω t
dω
ˆ (3).f (t )称为象原函数,f (ω )称为象函数
(4).在不考虑间断点的取值时,f (t )与 ˆ f (ω )在傅里叶变换下是一一对应的, ˆ 称f (t )与f (ω )构成一个傅里叶变换对,
ˆ (ω) 记为 f (t ) ↔ f
注：
(1).积分定理中出现f (t )的广义积分, 均按照柯西主值意义下取值,即
∞
a0 ∞ ⎛ nπ t nπ t ⎞ + bn sin f (t ) = + ∑ ⎜ an cos ⎟ l l ⎠ 2 n=1 ⎝ 1 l 其中系数a0 = ∫ f (τ )dτ , l −l
(1.1)
1 l nπτ 对n = 1,2,L，an = ∫ f (τ )cos dτ , l −l l
傅里叶积分变换PPT课件
F( )
f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
第5页/共66页
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
0
E e jt
j
0
E (1 cos τ j
jsin τ
)
2E
e jT 2
sin τ
2
第34页/共66页
解2
前面介绍的矩形单脉冲
f1
(t
)
E,
0,
τ t τ ;
2
2
其他
的频谱函数为
F1 ()
2E
sin
τ
2
因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 利用位移性质有
τ 2
得到，
F() F
故（8）式成立。这表明：一个函数积分后
的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以
因子 j。
第38页/共66页
例2 求微分积分方程
t
ax(t) bx(t) c x(t)dt h(t)
的解，其中 t , a,b, c 均为常数。
解 记 F x(t) X () F h(t) H()
在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微 分性质和积分性质可得
例6 求指数衰减函数
f
(t)
0,
t 0;
( 0)
e t , t 0
的频谱。
解
根据例1的结果， F ( )
高等数学(3年专科)第六节 傅里叶 (Fourier) 级数-精选文档
1 , x 0, f( x ) 1 , 0 x .
试将函数 f (x) 展开成傅里叶级数 . 解 函数 f(x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
2
x
这是一个矩形波，它显然满足收敛定理的条件 ， 由公式
1 a ( x )cos nx d x n f
4 1 ,3 ,5 , , 2 , n n [ 1 ( 1 ) ] n n 0 2 , 4 , 6 , . ,n
根据收敛定理可知， 当 x k (k = 0 , 1 ,
( m 1 ,2 ,
3, ,n 1 ,2 ,3 , m n ) ;
m sin xnx d x 0 sin
( m 1 ,2 ,
3, ,n 1 ,2 ,3 , m n ) ;
m cos xnx d x 0 sin
( m 1 ,2 ,
3, ,n 1 ,2 ,3 , ) .
以上结果，证明从略 .
二、傅里叶级数
如下形式的函数项级数
a 0 ( a cos nx b sin nx ) n n 2 n 1
,a ,b ( n 1 ,2 , ) 为常数 . 称为三角级数 . a 0 n n
为了求得系数a0，an，bn，我们先假定
10 1 1 1) d x d x 0 . a x )d x ( 0 f( 0
又
1 b x )s in nx d x n f( 10 1 ( 1 ) sin nx d x sin nx d x 0 1 1 11 0 cos nx [ cos nx ] n n 0
傅里叶积分
f (t 0) 2
f (t)
f (t
0)
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第第‹#6›页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
（ f ）ej d
e j t
d
Fourier积分公式
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第第‹1#4›页
2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
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2. Fourier积分定理
积分变换
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e jt
d
成立.
F() f (t ) e jtdt
称为f的Fourier变换。
f (t) 1
F
(
)
e
jt
d
2
称为F的Fourier逆变换。
T 2 T 2
傅里叶Fourier级数课件
+
4
，
解得
π2 6
， 2
π2 24
．
37-19
3.正弦级数与余弦级数 在波动问题、热传导或热扩展问题等诸多实际问题中，经常需
22 1
3
2n 1
1 2 sin(2n 1)x ．
2 π n1 2n 1 又 f (x) 在[π, π] 上满足狄利克雷条件，由狄利克雷收敛定理
知，在 f (x) 的间断点 x kπ(k 0,1, 2, ) 处， f (x) 的傅里叶级数
收敛于 f (kπ ) f (kπ ) 1 f (kπ) ，而在其它点处， f (x) 连续，
但函数 f (x) 的傅里叶级数是否收敛于 f (x) ？或者说函数 f (x)
是否可以展开成傅里叶级数？这个问题需要进一步讨论．为此记
f
(x)
~
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
．
(13.7.6)
37-9
2.收敛定理与傅里叶展开式
定理 13.7.2 [狄利克雷（Dirichlet）收敛定理] 设 f (x) 是以 2π 为
a0 2
cos nx
k 1
(ak
cos kxcos nx
bk
sin
kxcos nx)
，
将上式两端在[- π, π]上逐项积分，有
37-7
（续证） π f (x)cosnxdx π
a0
2
π
cos nxdx
π
ak
k 1
π
π cos kx cos nxdx bk
π
sin kx cos nxdx
周期的周期函数，如果 f (x) 在[π, π] 上满足条件：
积分变换第一章
−
cos nω t d t = ∫ T sin nω t d t = 0 ( n = 1, 2, 3,L),
− 2 T 2
T 2
T ∫−T2 sin nω t d t = ∫−T2 cos nω t d t = 2 ( n = 1, 2, 3,L),
2 2
T 2
∫ ∫ ∫
T 2
T − 2 T 2 T 2
+∞
此公式称为函数 f(t)的Fourier积分公式.
三. Fourier积分定理
定理 若f(t)在(−∞, +∞)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2, f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有
f (t + 0) + f (t − 0) 而左端的f (t )在它的间断点t处, 应以 来代替. 2
π
1
0 +∞
+∞ = ∫ ∫ ( f (τ )cos ωτ cos ωt + f (τ )sin ωτ sin ωt )dτ d ω −∞ π 0 τ的偶函数 τ的奇函数 2 +∞ +∞ = ∫ ∫ f (τ )sin ωτ sin ωt dτ d ω 0 π 0
T →+∞
lim fT (t ) = f (t )
结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T→∞时转化而来的.
由公式 1 +∞ T2 fT (t ) = ∑ ∫ T fT (τ )e− jωnτ dτ e jωnt T n=−∞ − 2 可知
1 f (t ) = 2π
+∞ f (τ )e − jωτ dτ e jωt d ω ∫−∞ ∫−∞
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
第一节傅立叶级数与傅里叶积分.
Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算（如解微分方程或化卷积为乘积等），又具有明确的物理意义（从频谱的角度来描述函数的特征），因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要.Fourier变换是在周期函数的Fourier 级数的基础上发展起来的。
在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下Fourier 级数展开。
§ &1 Fourier 级数与Fourier 积分一、周期函数的Fourier级数二、非周期函数的Fourier级数即Fourier 积分—、周期函数的Fourier级数1 •简谐波的基本概念简谐波*（『）=Acosa” + 0）=a cos G）J + 方・sin其中，A称为振幅,称为角频率,0称为^&^, （0 = 0称为零相位几2疋r =—为基本園期；（单位，秒）5I厂牛为竝。
（单位：赫兹皿）特点⑴周期性族（"+卩）=皱（0，fe-0,1,2,VGt（F + T）=许盒（r），—1,2,…其中，T = lnio\.^rn(2)正交性J"%⑴ 必⑴＜k = 0,,0A(/)q(/)d/=O.J”伙 H/)J/MW(f)df =(),0由炖⑴以几⑴｝组合叠加可以生成周期为r的复杂波・Jf. : *a— ___ __ 1 Xl能否:«> [gAO)=血必+/i=l+ 8=A,J cos«G>^jZ sin n&J财■!=血+& …COS(«dl…Z+^…).rf=l3. Fourier级数的三角形式定理(Dmchbt定理)设人(0是以卩为周期的实值函数,且在区间［-772,772］上满足如下条件(称为Dirichlet>ft) : *(1)连续或只有有限个第一类间断点;(2)只有有限个极值点.则在y;(o的连续点处有a 2= + S(% gsW仇sin (A)2 ir=l在⑴的间断处，上式左端为2 ［齐"+ °)+/丁0-°)］・定理(Qlrichlel定理)a *8J T⑴=< cos"e』+饥sin /g/)92 fra “其中，。
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w w fT (t)a 2 0n 1(a nco snt b nsin nt)(1 .1 )
为求出a0,计算[fT,1],即
T
2 -T
fT(t)dt
2
T 2 -T 2
a0 dt 2
(an
n1
T
2 cosnwtdt
-T
bn
2
T 2
sinnwtdt)a0
cosnwt
T
2 cos2 nwtdt
T 2
1cos2nwt
dt
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt
T
2 sin2 nwtdt
T 2
1-cos2nwt
dt
T
-T 2
-T 222Fra bibliotek因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角函数形式的傅利叶级数如下:
j(n - m )
1
e- j( n-m )p [e j2( n-m )p - 1] 0
j(n - m )
p
cos(n - m ) j sin(n - m ) d -p
p
p
- pc o s ( n - m )d - ps in ( n - m )d 0 ( n m )
T
[f,g] 2 f(t)g(t)dt -T 2
一个函数f(t)的长度为
T
|| f || [ f , f ] 2 f 2 ( t ) d t -T 2
而施瓦兹不等式成立 :
[f,g] f g
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例子: f (t) tgt
存在第二类间断点
f (t) sin(1) t
在靠近0处存在着无限多个极点值.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
T
-T 2
2
即a0
2 T
T 2 -T 2
fT(t)dt
为求an, 须计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况.
并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条 件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为:
由此不难验证
T
2 cos nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3,),
T
2 sin nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3,),
T
2 sin nwt cos mwt d t 0 -T 2
(n, m 1,2,3,),
T
2 sin nwt sin mwt d t 0 -T 2
-T
-T
2
2
cos [ f , g ] 是 f , g间 的 夹 角 余 弦 , f g
则 如 果 [ f ,g] 0称 为 f与 g正 交 .
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
{1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ...} 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t
T an 2
即
an
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
积分变换
第1讲
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwte-jmwtdt
T
p ej(n-m)d
0
-T 2
2 -p
其中wt2Tpt,则d2pTdt,dt2Tpd
这是因为
p e j(n-m ) d
1
p
e j( n-m )
-p
j(n - m )
-p
1
[e j(n-m )p - e- j(n-m )p ]
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
(n, m 1,2,3, , n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3, , n m), -T 2
而{1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...}的函
数的长度计算如下:
T
1 1 2 2 dt T -T 2