积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开共48页文档

4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况.
并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条 件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
T
-T 2
2
即a0
2 T
T 2 -T 2
fT(t)dt
为求an, 须计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t

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T

am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为:
-T
-T
2
2
cos [ f , g ] 是 f , g间 的 夹 角 余 弦 , f g
则 如 果 [ f ,g] 0称 为 f与 g正 交 .
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
{1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ...} 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt
的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwte-jmwtdt

T
p ej(n-m)d
0
-T 2
2 -p
其中wt2Tpt,则d2pTdt,dt2Tpd
这是因为
p e j(n-m ) d
1
p
e j( n-m )
-p
j(n - m )
-p

1
[e j(n-m )p - e- j(n-m )p ]
数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例子: f (t) tgt
存在第二类间断点
f (t) sin(1) t
在靠近0处存在着无限多个极点值.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
cosnwt
T
2 cos2 nwtdt
T 2
1cos2nwt
dt

T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt
T
2 sin2 nwtdt
T 2
1-cos2nwt
dt

T
-T 2
-T 2
2
2
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角函数形式的傅利叶级数如下:
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
w w fT (t)a 2 0n 1(a nco snt b nsin nt)(1 .1 )
为求出a0,计算[fT,1],即
T
2 -T
fT(t)dt
2

T 2 -T 2
a0 dt 2

(an
n1
T
2 cosnwtdt
-T
bn
2
T 2
sinnwtdt)a0
积分变换
第1讲
积分变换
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
由此不难验证
T
2 cos nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3,),
T
2 sin nwt d t 0 -T 2
(n 1,2,3,),
T
2 sin nwt cos mwt d t 0 -T 2
(n, m 1,2,3,),
T
2 sin nwt sin mwt d t 0 -T 2
n
T

bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t
T an 2
即
an

2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
(n, m 1,2,3, , n m),
T
2 cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3, , n m), -T 2
而{1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...}的函
数的长度计算如下:
T
1 1 2 2 dt T -T 2
T
[f,g] 2 f(t)g(t)dt -T 2
一个函数f(t)的长度为
T
|| f || [ f , f ] 2 f 2 ( t ) d t -T 2
而施瓦兹不等式成立 :
[f,g] f g
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
j(n - m )

1
e- j( n-m )p [e j2( n-m )p - 1] 0
j(n - m )
p
cos(n - m ) j sin(n - m ) d -p
p
p
- pc o s ( n - m )d - ps in ( n - m )d 0 ( n m )