最新中国古代数学中的算法案例

欧几里得
如何使用
以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
S1：28 S3：42÷39=1……3 S4：39÷3=13
这是一个辗转相 处的过程……
∴ 3就是288和123的最大公约数。
理论依据
a n r b r a nb
得 a, b 与 b, r 有相同的公约数
刘徽形容他的“割圆术”
说：割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣。
简单来说所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边 形的周长去无限逼近圆周 并以此求取圆周率的方法。
计算方法
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四 边形，正四十八边形，…的面积，到一
开始 输入x,n;a0,a1,a2,…,an
k=n, f=an
k>0
否
是
k=k－1
f=f*x +ak
输出S 结束
Scilab语言：
x=input("x="); n=input("n="); result=input("The first xishu"); for i=1 : 1 : n
a=input("xishu: "); result=result*x+a; end disp(result,"The result is:");
所以辗转相除法更好一些。
割圆术
早在我国先秦时期，《墨经》上就已 经给出了圆的定义。我国古代数学经 典《九章算术》在第一章“方田”章 中写到“半周半径相乘得积步”，也 就是我们现在所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数 学家刘徽写了一篇1800余字的注记， 这篇注记就是数学史上著名的“割圆 术”。
第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）;
第二步：求出a÷b 的余数r；
第三步：令a=b， b=r，若r≠0，重复第二 步；
第四步：输出最大 公约数a.
更相减损术和辗转相除法的主要区别在于:
前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法
思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过 程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况 ，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，
程序编写
n=6;
s=s+n*x*(1－h)/2;
x=1; s=6*sqrt(3)/4;
n=2*n; x=sqrt((x/2)^2+(1－
for i=1 : 1 : 5
h)^2);
h=sqrt(1－(x/2)^2); end
print(%io(2), n, s)
秦九韶（1208年－1261年） 南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。字道 古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜） 人，生于普州安岳（今属四川）。 精研星象、音律、算术、诗词、弓 剑、营造之学，历任琼州知府、司 农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著 作《数书九章》，其中的大衍求一 术、三斜求积术和秦九韶算法是具 有世界意义的重要贡献。
定的边数（设为2m）为止，得到一列递
增的数，
S6，S12，S24，S48，…，S2n.
第三，S2n近似等于圆面积。
下面的关键是找出正n边形的面积与正2n
边形的面积之间的关系，以便递推。
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距OG
为hn；面积为Sn，根据勾股
定理，得：
hn
1
xn 2
2
,
已知一个一元n次多项式函数: P(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+ao
当知道x值时，我们可以按顺序一项一项的计算， 然后相加，求出P(x)
设有n+1项的n次函数，即： 将前n项提取公因数x ，得: 再将括号内的前n-1项提取公因数x,得:
如此反复提取公因数x ，最后将函数化为:
中国古代数学中的算法案例
最大公约数
算法表示
S1：输入两个正数a,b(a>b) ； S2：如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3：将a-b的值赋予r； S4：若b>r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把
r赋予a，重新执行S2； S5：输出最大公约数b.
开始 输入a,b
a≠b N
输出b
a=a－b
b=b－a
Y
a> N
Y
b
结束
程序：
a=input(“a=”)； b=input(“b=”)；
while a<>b if a>=b a=a－b;
else b=b－a；
end end print(%io(2), b, “两数的最大公约数
辗转相除法
辗转相除法
辗转相除法最早出现 在欧几里得的几何原本 中（大约公元前300 年），所以它是现在仍 在使用的算法中最早出 现的。
《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数 法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负 数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷 1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环 求等，借以求几个数的最小公倍数；在《孙子算经》中“物 不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组 的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500 多年，被公认为“中国剩余定理此外，秦九韶还改进了一次 方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完 全一致。
令
......
则： fn即为所求
怎样用程序框图表示秦九韶算法 ？
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时 要用到fk－1的值，若令f0=an，我们可以得 到下面的递推公式： f0=an fk=fk－1·x+an－k (k=1, 2, …, n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的 步骤，可以用循环结构来实现。
x2n
xn 2
2
1hn
2
(n6)
容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
S 2 n S n n1 2x n( 1 h n ) (n 6 )
于是由 S6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
按照这样的思路， 刘徽把圆内接正多 边形的面积一直算 到了正3072边形， 并由此而求得了圆 周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。 这个结果是当时世 界上圆周率计算的 最精确的数据。