江苏省高考数学 真题分类汇编 平面向量

四、平面向量
（一）填空题
1、（2008江苏卷5）a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r ，3b =r 则5a b -=r r ．
【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+r r r r r r r r g
=2
2125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=r r 7 2、（2008江苏卷13）若AB=2, AC=2BC ，则ABC S ∆的最大值 ．
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得ABC S ∆=21sin 1cos 2
AB BC B x B =-g ，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 2
44x x
-=，代入上式得 ABC S ∆=()2
221281241416x x x x --⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 由三角形三边关系有2222x x x x
⎧+>⎪⎨+>⎪⎩解得222222x -<<+，
故当22x =时取得ABC S ∆最大值22
3、（2009江苏卷2）已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o ，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的
数量积a b ⋅r r = 。

【解析】 考查数量积的运算。

32332a b ⋅=⋅⋅=r r
4、（2011江苏卷10）．已知→
→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→
→b a ，则k 的值为 .
【解析】 因为2212121122(2)()(12)2a b e e k e e k e k e e e →→→→→→→→→→⋅=-⋅+=+-⋅-
且12||||1e e →→==，12e e →→⋅＝－12，所以2k －12－2＝0，即k ＝54. 5、（2012江苏卷9）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r g 的值是 ．
C F D
【解析】根据题意,→
→→+=DF BC AF 所以 ()cos 022,AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF →→→→→→→→→→→→→→
•=•+=•+•=•=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以
2180cos 00)()(2
=⋅+++=+•+=•︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.
6、（2013江苏卷10）10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 2
1=，BC BE 3
2=
，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。

答案：10．12 （二）解答题
1、（2010江苏卷15）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r ，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 故所求的两条对角线的长分别为42、210。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=42AD=10
（2）由题设知：OC u u u r =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++u u u r u u u r 。

由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-。

或者：2· AB OC tOC =u u u r u u u r u u u r ，(3,5),AB =u u u r 2115||AB OC t OC ⋅==-u u u r u u u r u u u r
2、（2013江苏卷15）15．本小题满分14分。

已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=r r ＝，
，παβ<<<0。

（1）若||2a b -=r r ，求证：a b ⊥r r ；（2）设(0,1)c =r ，若a b c +=r r r ，求βα,的值。

15．解：（1）∵2||=
-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a ， 又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ，1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a
（2）∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴⎩
⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=β
αβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得：βsin 221-= ∴21sin =β ∴2
1sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα6
1,65==。