高三数学教案：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则（5月3日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：

函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0

B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)

()(lim 0

x g x f x x ＿＿＿

[]=→)().(lim 0

x g x f x x ＿＿＿＿，=→)

()

(lim

x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

B A b a n n n +=+∞

→)(lim B A b a n n n -=-∞

→)(lim

B A b a n n n .).(lim =∞

→ )0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n

推广：上面法则可以推广到有限．．

多个数列的情况。例如，若{}n

a ，{}n

b ，{}n

c 有极限，

则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞

→∞

→∞

→∞

→++=++lim lim lim )(lim

特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞

→∞

→∞

→lim .lim ).(lim

二.例题：

例1.已知,5lim =∞

→n n a 3lim =∞

→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞

→

例2.求下列极限： （1）)45(lim n

n +

∞

→； （2）2)11

(lim -∞→n n

例3.求下列有限：

（1）1312lim

++∞→n n n （2）1

lim 2-∞→n n

n

分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，

上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限： （1） )1

1

2171513(

lim 2

222+++++++++∞

→n n n n n n （2）)39312421(

lim 1

1

--∞→++++++++n n n

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。 练习与作业：

1.已知,2lim =∞

→n n a 3

1

lim -

=∞

→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞

→； （2）n

n

n n a b a -∞→lim

2.求下列极限： （1）)1

4(lim n

n -

∞

→； （2）n

n 3

52lim

+

-∞→。

3.求下列极限 （1）n n n 1lim +∞→； （2） 2

3lim -∞→n n

n ；

（3）2

123lim n n n --∞→； （4）1325lim 22--∞→n n n n 。

4.求下列极限

已知,3lim =∞

→n n a ,5lim =∞

→n n b 求下列极限：

（1）. ).43(lim n n n b a -∞

→ （2）. n

n n

n n b a b a +-∞→lim

5.求下列极限:

（1）. );27(lim n n -∞

→ （2）. )51

(

lim 2

-∞

→n n

（3）. )43

(1lim +∞→n n n (4).11

1

1lim -+∞→n

n n

(5). 2

2321lim n n n ++++∞→ (6).11657lim

-+∞→n n

n

(7). 91lim 2-+∞→n n n （8）)1412lim(22n n n

n +-+∞→

（9）n

n n 3

1913112141211lim ++++++++

∞→ （10）.已知,2lim =∞→n

n a 求n

n n a n a n -+∞→lim