高三数学教案：数列极限的运算法则
高三数学课件：极限的四则运算3
an
)
c
a
上述法则表明:若两个数列都有极限,
那么这两个数列的和,差,积,商数列的
极限,分别等于这两个数列的极限的
和,差,积,商(各项作为除数的数列的
极限不能为0)
运算法则的实质是:在极限存在 的前提下,极限运算与加,减,乘, 除运算可以交换顺序.
注意:运算法则必须在两个数列 的极限都存在的前提下使用;且 运算法则可推广到有限个数列 的情况,但不适用于无限多个的 情况.
2.4 极限的四则运算(3)
一.数列极限的四则运算法则 :
如果 lim n
an
a,
lim
n
bn
b, 那么
nlim[an bn ] a b
nlim[an bn ] a b
lim an a (b 0)
b n n
b
特别地 : 若c为常数,则
lim (c
S
是面积
n
(n 3,4,5,)
(1)Sn与rn , Pn有什么关系?
(2)求
lim
n
rn与
lim
n
Pn
(3)利用(1)(2)的结果,
rn R O
说明圆面积
公式S R2
例2.在一个以AB为弦的弓形中, C为 弧AB的中点,自A, B分别作圆弧AB的 切线, 交于D点, 设x为弦AB所对的圆 心角, 求 lim SABC 的值.
S x0 ABD
例2.在一个以AB为弦的 弓形中,C为弧AB的中点, D
自A, B分别作圆弧AB的
切线, 交于D点, 设x为弦
AB所对的圆
心角,求 lim
SABC
数列极限的运算法则教案1
数列极限的运算法则教案1教学内容：1．数列极限的四则运算法则；2．运用四则运算法则求数列的极限．教学目标：1．使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求数列的极限；2．通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生思维的灵活性、科学性和批判性；3．通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点．教学过程一、课题引入给出如下几个数列，请学生求出它们的极限． (1) 12，23，34，…，nn 1+，… ； (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+452322n n n ； (3) {}n n n 22+- ．学生运用数列极限的定义，一般都能求出数列(1)的极限为1．但对(2)，(3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）．此时，教师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题───数列极限的四则运算法则．考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限的四则运算法则．二、知识讲解上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目的是为了激发学生的求知欲．数列极限的四则运算法则如下：如果 A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ； 即么∞→n lim （n a n b ⋅）=A ·B ； ∞→n lim BA b a n n =（B ≠0）． 特别地，如果C 是常数，那么，∞→n lim （C · a n ）=∞→n lim C · ∞→n lim a n = C ·A ． 对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明：1．四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算；减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算．四则运算法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性．例如，第一个式子表明，先求a n 与b n 的和，再求这个和的极限，与先分别求a n 、b n 的极限，再求这两个极限的和实质上是等效的，等等．2．数列｛a n ｝、｛b n ｝的极限必须存在，才能用此法则．3．加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数列）的情况．4．对于商的极限的情形，作为分母的数列的极限不能为零．三、例题分析作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如下例题：例1．已知∞→n lim a n =5，∞→n lim b n =3，求∞→n lim （3a n －4b n ）． 通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则．事实上， 原式=∞→n lim 3 a n －∞→n lim 4b n =3∞→n lim a n －4∞→n lim b n =3×5－4×3=3． 例2．求：(1)∞→n lim （5＋n1）； (2) ∞→n lim 23122++n n ． 本例是数列极限四则运算的简单应用．对于(1)，可直接使用法则；对于(2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需要作适当的变形，使之具备运算法则的条件．为此，将分子分母同除以n 2即可．解：(1) 原式=∞→n lim 5＋∞→n lim n1=5＋0=5(2) 原式=∞→n lim 222312nn n ++ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→2223lim 12lim n n n n n =222lim 3lim 1lim 2lim nn n n n n n ∞→∞→∞→∞→++ 0300++= 通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科学性．例3．求：(1) ∞→n lim 452322+-+n n n ；(2)∞→n lim ()n n n 22+- 分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则的条件．对于(1)，可引导学生仿例2 (2) 的策略，请学生自行求解．对于(2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n 2然后再求极限．解：(1)原式=∞→n lim 2241523nn n +-+=∞→n lim 224lim 1lim 5lim 2lim 3lim nn n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→+-+ =01003+-+ 3=求解本题一个常见的错误是：原式=14lim lim 5lim 2lim 3lim 22=∞∞=+-+∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n ． 这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了5和4以外，3n 2，2n ，n 2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上，“∞”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）．(2) 原式=∞→n lim nn n n222++- =∞→n lim n 2112++- =()n n n n 21lim 1lim 2lim ++-∞→∞→∞→=112+- =－1．求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim n －∞→n lim n n 22+=∞－∞=0．这个解法错误有二处同，一是由于n 与n n 22+的极限都不存在，因此直接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“∞”不是一个确定的数，因此“∞－∞=0”是没有根据的．例4．求下列极限 （1）∞→n lim （+-+-171422n n (1)132-++n n ）； （2）∞→n lim [ n （1－21）（1－31）（1－41）…（1－11+n ）] ． 分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然后再求极限．解：（1）原式=∞→n lim()113742-++⋅⋅⋅++n n =∞→n lim ()()12532-+n n n =∞→n lim 225322-+n n n=∞→n lim 22253nn -+ 23= 求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim142-n ＋∞→n lim 172-n ＋…＋∞→n lim 1132-+n n =0＋0＋…＋0＋…=0． 这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限．．．．．．的数列而言的．而本题中当n →∞时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则．（2）原式=∞→n lim （433221⋅⋅⋅n (1)+n n ） =∞→n lim 1+n n =∞→n lim n 111+=1．通过例3、例4的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同是也训练了学生求数列极限的技能和技巧．四、习 题1．已知∞→n lim a n =3，∞→n lim b n =5，求下列极限： （1）∞→n lim （2a n －5b n ＋3）； （2） ∞→n lim nn n n b a b a +-． 2．求下列极限：（1）∞→n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n 4142； （2）∞→n lim 32341132nn n n --+-； （3）∞→n lim()11--+n n ； （4）∞→n lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++32323232321n n n n n ．参考答案1．（1） －16． （2） －41． 2．（1）1．（2）－21． （3）0． 提示：利用分子有理化．（4）31．提示：先求和，注意12＋22＋…＋n 2=61 n （n ＋1）（2 n +1）． 五、小结或总结本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性．运用四则运算法则求数列的极限时，必须注意法则所要求的条件．六、引申与提高设f (n )和φ (n )都是n 的多项式，且f (n )=a k n k ＋a k －1 n k －1＋…＋a 1 n ＋a 0（a k ≠0），φ (n )=b l n l ＋b l －1n l －1＋…＋b 1n ＋b 0（b l ≠0）（k ，N ∈l ），则∞→n lim ()()n n f ϕ 这一结论可仿本课中例2（2）及例3（1）的求解方法而获得．利用这一结论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3） 中的问题．事实上，由题意知，只有416-=a ， a =－23．故选D ．七、思 考 题设 ∞→n lim a n =A ，∞→n lim b n =B ，利用极限定义，证明：∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ． 证明：任给ε＞0，由于∞→n lim a n =A ，故对ε1=2ε，存在N 1， =l k b a = 0 不存在 （即f （n ）与φ（n ）最高次项系数之比） （k=l ）， （k ＜l ）， （k ＞l ）.当n ＞N 1时，A a n -＜ε1=2ε恒成立． 取N 1与N 2中的较大者为N ，则当n ＞N 时， ()()B A b a n n +-+ ()()B b A a n n -+-= ≤B b A a n n -+- ＜ε1＋ε 2 =2ε＋2ε =ε∴ ∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ．。
高考数学复习 第92-93课时 第十二章 极限-数列的极限、数学归纳法名师精品教案 教案
第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点 （一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥0n 的自然数,命题都成立。
高三数学《数列的极限》教案
数列的极限·教案目的要求使学生能从数列的变化趋势理解数列极限的概念；会判断一些简单数列的极限．内容分析1．极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一．因为微积分中其他重要的基本概念(如导数、微分、积分等)都要用极限概念来表述，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算和性质来论证．2．为了让学生能尽早进入微积分的主体部分(本书后续内容)的学习，本章不重在理论研究．考虑到中学生理解极限的严格定义(ε－N定义和ε－δ定义)有一定难度，教科书只对极限的定义进行直观描述，教学中一定要注意把握分寸，恰当掌握教科书的深度和广度．3．数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊函数极限．(1)数列的极限虽简单但却是重要的极限，后面讲函数极限即是由此引入的．正因为它可视为特殊的函数极限，就以它的四则运算法则纳入函数极限四则运算法则之中介绍．(2)建议新课导入从引言刘徽的“割圆术”说起，引入数列的极限．“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这正是极限概念和思想的要点．它具有承上启下的作用，能激发学生对后续内容的学习兴趣．(3)数列的极限的直观描述方式的定义，强调的是从变化趋势来理解数列极限的概念，通过观察三个具体数列，归纳出它们共同的特性：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某一个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)．由此给出数列极限的直观描述性定义．“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随n的增大，a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0．(4)由于当n无限增大时，常数数列的项a n始终保持不变，因此有任何常数数列的极限都是这个常数本身．(5)例3是一道开放性的题目．学生需要通过运用计算器计算，并观察分析所得结果进行猜想．通过特殊到一般，在教师的引导下，猜想出只要求记住并会应用．4．本节的重点是数列极限的概念，难点是如何从变化趋势的角度来正确理解极限概念．在讲授时，注意结合数列例子，通过比较数值的变化以及数轴上点的变化，讲清“无限趋近”的意义，找出它们的共同特性，归纳出数列极限的直观描述性定义．5．结合引言内容，通过对刘徽“割圆术”的介绍，对学生进行爱国主义思想教育，激发学生的学习热情和民族自豪感．对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程．通过极限内容的教学，树立运动变化的观点．教学过程1．新课导入，引出课题从引言第61页刘徽“割圆术”说起(可提前布置学生预习)，提出问无限趋近于圆周长2πR呢(让学生从图形上看这种变化趋势)？回答是肯定的，可以用极限的知识来证明．在数学中，极限的概念和思想是非常重要的．它是微积分中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量在无限变化中的变化趋势．我们在高二数学第二册(下)中讲授球体积和表面积公式的推导时，用到了极限的思想方法．今天就来学习如何求数列的极限(导出课题)．2．特例分析，归纳特性考察教科书第76页三个数列①、②、③，当n无限增大时，项a n的变化趋势：(1)随着n的增大，从数值变化趋势上看，a n有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a．(2)随着n的增大，从数轴上观察项a n表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a右侧，②是点左侧，③是从点a两侧交替地无限趋近于a．(3)随着n的增大，从差式|a n－a|的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n无限趋近于a．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于常数a(即|a n－a|无限地接近于0)”．引出数列极限的定义．3．形成概念，加深理解(1)数列极限的直观描述性定义(板书)．注意：①着重从变化趋势上理解数列极限的概念，它是一种定性的研究．②“无限趋近”的意义有两个方面．(2)讲解例1，学生完成教科书第76页的练习．(3)讲授极限的符号表示方法，明确符号的意义和读法．4．计算观察，得到结论C(C为常数)．(2)讲解例3．让学生先猜{0.99n}的极限，再用计算器分别算0.991000、0.995000、0.9910000、0.9920000，并分析数列变化趋势得出极限，从而得5．课堂学习，知识拓广学生板演教科书第77页练习1、2，教师讲评后针对练习2(4)可提先将学生分成两组分别讨论问题①、②，然后教师收集结果．6．归纳小结(1)理解数列极限的定义及项a n的三种变化方式．(2)理解数列极限的符号表示方法和它的意义．(3)掌握数列极限的一个性质和一个重要结论，并且会用．布置作业教科书第78页习题第1、2、3题．。
数列的极限性质及运算PPT学习教案
1 由定义, 对=1, 存在自然数N,
设xna (n),
当n>N时, 有| xna| <1,
故 | xn| | xna| +| a|<1+| a|. 取M=max{| x1| , | x2| ,…, | xN| , 1+| a|}
则对n=1, 2, …,有|xn|M
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定理2的逆命题不成立, 即：有界数列未必收敛。
个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.
(2)由于 lim C C(常数). n
所以, 除0
外的任何常量(常数列)都不是无穷小量. (3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.
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定理1. (极限与无穷小的关系定理)
lim
n
xn
a
xn
a
n ,其中n
0(n
时).
证: ""
设 lim n
xn
如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意 义知(1)n是发散的.
看图
( )
( )x
1 0 1
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定理3.设 lim n
xn
a, lim n
yn
b, 且a
b,
则正整数N, 当n N时,有xn yn.
推论1.
(保号性定理)
若 lim n
xn
a
, 而a>0
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
(n 1)(a b)an
移项, 有 an[a (n 1)(a b)] bn1
即
an[(n 1)b na)] bn1
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数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计标题：数列的极限教学目标：1.理解数列的概念和性质。
2.掌握计算数列极限的方法和技巧。
3.能够用数列的极限解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.数列的题目集。
3.学生小组讨论活动准备。
教学过程：Step 1: 引入（15分钟）1.引导学生回顾数列的定义，解释数列的概念和性质。
2.引导学生思考一个问题：“数列的极限是什么，它有什么意义？”鼓励学生展示自己的观点。
Step 2: 数列极限的定义和计算方法（30分钟）1.展示数列的极限的定义和计算方法，用图示和公式两种方式解释。
2.给学生提供一些简单的数列，帮助他们通过计算极限来理解定义的意义。
3.演示一些复杂的数列，引导学生运用计算方法计算极限。
Step 3: 数列极限的性质和应用（30分钟）1.介绍数列极限的性质，如唯一性和保序性。
2.展示数列极限的应用，如在实际问题中求解极限。
3.提供一些实际问题，引导学生运用数列极限来解决这些问题。
Step 4: 小组讨论活动（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组讨论一个数列相关的问题。
2.每个小组选一名代表分享讨论结果，并得到其他小组的反馈和讨论。
3.鼓励学生从不同角度思考问题，培养团队合作和表达能力。
Step 5: 总结与评价（15分钟）1.总结数列的极限的概念、性质和计算方法。
2.让学生回答一些问题，检测他们对于数列极限的理解和应用能力。
3.鼓励学生提出自己的疑惑和思考，给予评价和指导。
教学拓展：1.引导学生练习更多的数列极限计算题目，巩固他们的计算能力。
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则学习要求：1．理解数列极限的概念。
正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）lim 0nn a →∞= (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1nn a →∞=；当1a =-或1a >时，lim nn a →∞不存在。
3. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞→∞==g g推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim二、基本题目1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）3452,,,,234--…，1(1)n n n+-，…； （3）1010100(10)1(10)n n a n n⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 2.（1）若1lim()02nn a a→∞-=，则a 的取值范围是 。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
高中数学教案学习数列的极限
高中数学教案学习数列的极限高中数学教案：学习数列的极限引言：数列是数学中常见的一种数值排列形式，通过研究数列的性质和极限，我们可以深入理解数学中的许多重要概念和方法。
本教案将介绍数列的极限概念、性质以及相关的计算方法，以帮助高中学生更好地理解和掌握数列的极限。
一、数列的极限概念1.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。
通常用{an}表示，其中n为正整数，an表示数列的第n项。
1.2 极限的定义对于数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果数列的后项无限地接近某个确定的值L，则称L为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an = L。
二、数列的极限性质2.1 极限唯一性数列的极限如果存在，则是唯一的。
2.2 条件收敛性如果一个数列的极限存在，那么这个数列必定是有界的。
2.3 等价无穷小替换如果数列{an}的极限是L，则an-L就是等价无穷小。
三、数列极限的计算方法3.1 常用数列的极限3.1.1 级数的极限1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n = 1 (n→∞)3.1.2 几何数列的极限a + ar + ar^2 + ... + ar^n = a/(1-r) (n→∞,|r|<1)3.1.3 斐波那契数列的极限Fn = F(n-1) + F(n-2) (n≥3)当n趋近于无穷大时，Fn/F(n-1)的极限为黄金分割比例φ = (1 + sqrt(5))/23.2 极限的性质运算法则3.2.1 极限的四则运算法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an ± bn) = a ± blim(n→∞)(an × bn) = a × blim(n→∞)(an / bn) = a / b (b ≠ 0)3.2.2 极限的乘法法则：若lim(n→∞)an = a，lim(n→∞)bn = b，则有：lim(n→∞)(an)^k = a^k (k为常数)lim(n→∞)(an)^bn = a^b (特殊情况)3.2.3 极限的夹逼定理：若数列{an}，{bn}，{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an =lim(n→∞)cn = a，则lim(n→∞)bn = a。
高中数学备课教案数列与数列的极限
高中数学备课教案数列与数列的极限高中数学备课教案：数列与数列的极限引言：数列与数列的极限是高中数学课程中的重要内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。
本节课的教学目标是让学生通过理论学习和实例探究，掌握数列概念及其性质，并能够运用相应的方法计算数列的极限值。
【知识与技能】：1. 掌握数列的定义和基本性质；2. 了解数列的收敛与发散的概念；3. 理解数列极限的计算方法和应用。
【过程与方法】：通过理论讲解、实例分析和解题训练相结合的方式进行教学，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
【教学步骤】：一、数列的定义及基本性质（15分钟）1. 数列的概念及常见表示方法；2. 数列的有界性和单调性；3. 数列极限的定义及其解释；4. 举例说明数列的性质。
二、数列的收敛与发散（15分钟）1. 数列的收敛与发散的概念；2. 收敛数列与发散数列的判断方法；3. 面对实际问题，如何分析数列的收敛性。
三、数列极限的计算方法（20分钟）1. 使用数列的极限基本性质计算极限；2. 利用夹逼定理求解数列极限；3. 利用递推公式计算数列的极限。
四、数列极限的应用（20分钟）1. 利用数列极限解决实际问题；2. 数列极限在几何和物理问题中的应用；3. 通过实例讲解数列极限应用的步骤和方法。
五、综合训练与展示（30分钟）1. 组织学生进行数列极限的解题训练；2. 学生自主发表解题思路和方法；3. 教师进行点评和总结。
【教学重点与难点】：重点：数列的定义和基本性质、数列极限的计算方法和应用。
难点：如何应用数列极限解决实际问题。
【教学反思】：通过本节课的教学，学生对于数列与数列的极限有了更深入的理解。
在教学过程中，我注意引导学生分析问题，培养其独立思考和解决问题的能力。
在练习环节，我注重学生能够独立运用所学知识解答问题，并对学生的答案进行点评和指导，加强他们的思维能力和实际应用能力。
通过课堂讨论和展示，学生之间的互动增加，激发了学生的学习热情和参与度。
极限的四则运算教案
极限的四则运算教案教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程设计（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：例1 求下列极限：师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2 求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．A．2 B．-2C．1 D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．3．贯穿数学思想，提高解题能力．本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例6中的方程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横联系，提高解题能力的要求．。
高等数学数列极限的性质和运算法则
18
1.2 数列极限的性质和运算法则
1 1 1 1 [ ]。 （3） lim n 1 2 2 3 34 n( n 1) 1 1 1 解：∵ ， n( n 1) n n 1
ab yn 。 则当 n N 时，有 x n 2
5
1.2 数列极限的性质和运算法则
推论 1 若 lim x n a ， lim y n b ，且 xn yn ，则 a b 。
n
n
推论 2 若 lim x n a ，且 a .2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 1（唯一性）若 { xn } 收敛，则其极限唯一。
性质 2（有界性） 若 { xn } 收敛，则 { xn } 必有界，
即 M 0 ， n N , 有 xn M 。
性质 3（保序性）若 lim x n a ， li m yn b ，且 a b ，
n n
ab ∴ N 1 N ，使得当 n N 1 | x n a | 0 x n ， 2 ab yn ， ∴ N 2 N ，使得当 n N 2 | yn b | 0 2 令 N max{ N1 , N 2 } ，
1 1 1 1 ∴ 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n n1
技巧
1 1 , n1
1 1 1 1 1 ∴ lim [ ] lim (1 )1。 n 1 2 2 3 34 n( n 1) n n1
名师手拉手高三一轮复习---数列的极限讲义
高三第一轮复习数学---数列的极限一、教学目标：理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。
二、教学重点：1、按定义直观地感受一个数列是否有极限以及极限常数是什么，这是本节重点之一。
2、掌握三个常用极限是本节重点之二。
3、利用定义证明一个数列的极限，需要写成ε—N 语言的形式，这是本节难点。
三、教学过程：（一）主要知识： 1、 数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim∞→n a n =a 。
对前任何有限项情况无关。
*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。
2、应该牢固掌握的常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim∞→n q n =0；;1lim ,1==∞→nn q q ,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。
若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则 如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….4、一个重要的极限：ennn=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用数列极限的运算法则解题。
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则极限是高等数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握极限的概念和相关运算法则，本教案将系统地介绍极限的运算法则，并引入洛必达法则，以帮助学生更深入地理解极限的计算方法。
一、极限的基本概念回顾在开始介绍极限的运算法则之前，我们先回顾一下极限的基本概念。
在高中数学中，极限一般用符号“lim”表示，表示当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的稳定趋势。
极限有左极限和右极限之分，分别表示从左侧和右侧逼近某个特定值时的函数取值趋势。
二、极限的运算法则1. 基本的四则运算法则对于两个函数的和、差、积和商，我们可以通过分别对两个函数的极限进行运算来得到结果函数的极限。
具体而言，如果函数f(x)和g(x)在某一点a的附近均有定义，且lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)均存在，则有以下公式：- 和的极限：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)- 差的极限：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)- 积的极限：lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)- 商的极限：lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) （前提是lim(x→a)g(x)≠0）2. 复合函数的极限法则对于复合函数，我们可以将其视为两个函数的复合。
如果函数f(x)在点a的附近有定义，并且lim(x→a)f(x)存在，且函数g(x)在lim(x→a)f(x)的附近有定义，则可以得到以下运算法则：- 复合函数的极限：lim(x→a)g[f(x)] = lim(x→a)g(u) （其中，u = lim(x→a)f(x)）三、洛必达法则洛必达法则是一种在计算极限过程中特别有用的工具。
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时)一．教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。
二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：无限个数列极限的运算教学过程：1. 引入：今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。
他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。
我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n- 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是222212310,(),(),(),.....,()n n n n n-，我们来考虑这些矩形面积的总和： 22222223321112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=⋅+⋅+⋅+⋅===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。
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数列极限的运算法则（5月3日）
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：
函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0
B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)
()(lim 0
x g x f x x ＿＿＿
[]=→)().(lim 0
x g x f x x ＿＿＿＿，=→)
()
(lim
x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n
推广：上面法则可以推广到有限．．
多个数列的情况。
例如，若{}n
a ，{}n
b ，{}n
c 有极限，
则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
二.例题：
例1.已知,5lim =∞
→n n a 3lim =∞
→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞
→
例2.求下列极限： （1）)45(lim n
n +
∞
→； （2）2)11
(lim -∞→n n
例3.求下列有限：
（1）1312lim
++∞→n n n （2）1
lim 2-∞→n n
n
分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，
上面的极限运算法则不能直接运用。
例4.求下列极限： （1） )1
1
2171513(
lim 2
222+++++++++∞
→n n n n n n （2）)39312421(
lim 1
1
--∞→++++++++n n n
说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：
1.已知,2lim =∞
→n n a 3
1
lim -
=∞
→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞
→； （2）n
n
n n a b a -∞→lim
2.求下列极限： （1）)1
4(lim n
n -
∞
→； （2）n
n 3
52lim
+
-∞→。
3.求下列极限 （1）n n n 1lim +∞→； （2） 2
3lim -∞→n n
n ；
（3）2
123lim n n n --∞→； （4）1325lim 22--∞→n n n n 。
4.求下列极限
已知,3lim =∞
→n n a ,5lim =∞
→n n b 求下列极限：
（1）. ).43(lim n n n b a -∞
→ （2）. n
n n
n n b a b a +-∞→lim
5.求下列极限:
（1）. );27(lim n n -∞
→ （2）. )51
(
lim 2
-∞
→n n
（3）. )43
(1lim +∞→n n n (4).11
1
1lim -+∞→n
n n
(5). 2
2321lim n n n ++++∞→ (6).11657lim
-+∞→n n
n
(7). 91lim 2-+∞→n n n （8）)1412lim(22n n n
n +-+∞→
（9）n
n n 3
1913112141211lim ++++++++
∞→ （10）.已知,2lim =∞→n
n a 求n
n n a n a n -+∞→lim。