物理竞赛讲义5

万有引力定律

一、复习基础知识点

一、考点内容

1．万有引力；万有引力定律；万有引力定律的应用。

2．人造地球卫星；宇宙速度。

二、知识结构

三、复习思路

建议分两条主线展开复习，一是万有引力=向心力；另一个是重力=向心力。由于向心力的表达式有多种形式，表面看来本单元公式多，实际上则只有一个，那就是。切实理解好加速度的含义至关重要。

复习时应注意做好以下几点：

1．万有引力、人造卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近年的高考对万有引力、人造卫星的考查是热点。在学习中要多联系一些现代科技知识，扩大知识面，把这部分知识规律与实际应用联成一体去认识。

2．应用万有引力定律研究天体、人造地球卫星的运动是该部分的重点。要熟练地应用及地球表面附近等公式来求解天体及卫星问题，要熟练地运用比例法解题。

3．要知道卫星的运行速度、发射速度和环绕速度三者的区别，要知道卫星的轨道越高，其运动速度越小，但发射时所需的发射速度却越大。

4．要知道三种宇宙速度都是指发射速度，并了解火箭发射卫星的实际过程，了解一下现代科技。

四、牢固掌握基础知识

1、万有引力定律的应用

（1）、基本模型：匀速圆周运动

（2）、基本方法：一切问题来源于向心力的提供

（3）、一条线索：向心力=万有引力=所在位置处的重力

（4）、一串公式： = =

以及地球表面附近等公式。

上述式子适用于卫星围绕天体作匀速圆周运动时的情景。由以上线索和公式可以：

A、估算天体质量

B、估算天体质量

C、求卫星的线速度、角速度、周期

；；。由的表达式可发现变化，表征卫星运动的物理量均变化，即“一变均变”。（5）、关于地球同步卫星的“七定”

A、定轨道平面：轨道平面与共面。

B、定周期：与相同。

C、定高度：由 = 得：

D、定速率：；。

E、定角速度：

F、定加速度大小：

G、定纬度：由“同步”的含义可知：所有的同步卫星将固定在赤道平面上空离地面36000km 的大圆上，相对地面任一点均静止，即“一点一星”。

五、基础题：

1．假设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运行轨道半径R的三次方之比为常数，即，那么的大小：

A、只与行星的质量有关

B、只与恒星的质量有关

C、与行星、恒星的质量均有关系

D、与恒星的质量与行星的运行速度有关

2．某天体半径是地球的倍，密度是地球的倍，则该天体表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的：

A、倍

B、倍

C、倍

D、倍

3．在圆轨道上的质量为的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地面上的重力加速度为，则：

A、卫星运动的速度为

B、卫星运动的周期为4

C、卫星运动的加速度为

D、卫星的动能为

4．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是

A、为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B、通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度可以不同

C、不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内

D、通信卫星只能运行在赤道上空某一高度上

5．设在地球上和在天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为（均不计阻力），且已知地球和天体的半径比也为，则地球质量与天体的质量比为：A、1 B、 C、 D、

6．某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，；以、表示卫星在这个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运转的周期。则：

A、 > ，T1>T2

B、 > ，T1

C、 < ，T1>T2

D、 < ，T1

7．（2005年全国高考理综（北京卷））已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出：

A、地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9：8

B、地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9：4

C、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9

D、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81：4

8、（2004年全国高考理综）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。

二、从高考到初赛要求知识要点分析

<一>、万有引力定律及其公式的适用条件

<二>、地球上物体重力变化的原因

<三>、计算中心天体的质量和密度

1．中心天体的质量

密度？为什么？

<四>、人造卫星的基本规律与应用

从而可推证出三个极值分别为：7.9km/s，1/(800)rad/s， 85分钟

例：试证明开普勒第二定律

讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

【例1】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α＝400，已知地球半径R、地球自转周期T,地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

解析：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度．由万有引力定律和牛顿定律有，式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR2．

设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定律得：

所求的时间为t＝L/c．

由以上各式得

【例2】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。

（1）根据万有引力定律