高三数学期末模拟试题理科含答案
高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则 ， ，
令x1=x，x2=-x，
则 ，
所以 ，
即 ， 为奇函数，故选C.
6.在 中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量 ，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知 ，且 ，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为 ， >0，故
即 ，
又 ，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数 ， ， ， 的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为 、 、 ，所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数 ，若将其图象向右平移 个单位长度后所得 图象关于原点对称，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出 的表达式，即可得出正数 的最小值.
【详解】 ，
将其图象向右平移 个单位长度后所得的图象的函数解析式为 ，
高三数学理及答案模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 在区间 \([1,2]\) 上存在极值，则\( f'(x) \) 在区间 \([1,2]\) 上的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 下列函数中，其定义域为实数集 \( \mathbb{R} \) 的是：A. \( y = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( y = \frac{1}{x} \)C. \( y = \log_2(x-1) \)D. \( y = x^2 + 1 \)3. 已知 \( \sin A + \sin B = \sin C \)，则 \( \triangle ABC \) 为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形4. 设 \( \alpha \) 是锐角，若 \( \tan \alpha = 2 \)，则 \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 \( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 是两个非零向量，且 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \)，则\( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 的夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 已知 \( a > 0 \)，函数 \( f(x) = ax^2 + 2x + 1 \) 在 \( x = -1 \) 处取得极小值，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列不等式中，正确的是：A. \( 2x + 1 > x - 1 \)B. \( 2x + 1 < x - 1 \)C. \( 2x + 1 = x - 1 \)D. \( 2x + 1 \leq x - 1 \)8. 已知 \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin(\alpha + \beta) \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \)10. 已知 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B + C = 180° \)，则 \( \sin A + \sin B + \sin C \) 的值为：A. 0B. 1C. \( \sqrt{3} \)D. \( 2\sqrt{3} \)11. 若 \( \log_3 (2x - 1) = \log_3 (3x + 1) \)，则 \( x \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 412. 设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，若 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，则 \( f'(1) \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
高三理科数学摸拟试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -3C. 0D. 1答案：C解析：绝对值是指一个数与零的距离，0的绝对值为0，是最小的。
2. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像的对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 3答案：B解析：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像的对称轴为x = -b/2a，代入得x = 2。
3. 在三角形ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：B解析：三角形内角和为180°，所以∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。
4. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10是（）A. 95B. 100C. 105D. 110答案：A解析：数列的前n项和Sn = n(a1 + an)/2，代入n = 10，a1 = 1，an = 19，得S10 = 10(1 + 19)/2 = 95。
5. 已知等差数列{an}的前5项和为15，公差为2，则数列的第10项是（）A. 15B. 17C. 19D. 21答案：C解析：等差数列的前n项和Sn = n(a1 + an)/2，代入n = 5，Sn = 15，公差d = 2，得a1 + a5 = 6，又因为a5 = a1 + 4d，解得a1 = 1，所以a10 = a1 + 9d = 1 + 18 = 19。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的零点是_________。
答案：1，2解析：令f(x) = 0，得x^2 - 3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) = 0，解得x = 1或x = 2。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题 共60分） 1、设集合}03|{2<-=x x x A ，}41|{<<=x x B ，则=B A I .A )4,0( .B ），（41 .C ），（43 .D )3,1( 2、若复数z 满足i iiz 311--+=（其中i 为虚数单位），则=z .A 2 .B 3 .C 10 .D 43、已知n m ,是两条不同的直线，γβα，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 .A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若γβγα⊥⊥,，则βα//.C 若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// .D 若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥4、设6.02=a ，6.0log 3.0=b ，6.0log 3=c ，则有.A a b c << .B c b a << .C a c b << .D b a c <<5、已知向量b a ρρ，满足3,2==b a ρρ，且a ρ与b ρ的夹角为3π，则=-+)2)(2(b a b a ρρρρ.A 3- .B 1- .C 1 .D 36、已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，B 为虚轴的一个端点，且︒=∠12021BF F ，则双曲线的离心率为.A 2 .B 3 .C23.D 267、执行如右图所示的程序框图，则输出的=n.A 3 .B 4 .C 5 .D 68、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为 .A 51 .B 52 .C 53 .D 54 9、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列，若11=a ，则=5S .A 15 .B 16 .C 31 .D 32 10、将奇函数)2cos(2sin 3)(ϕϕ+-+=x x x f ）（（πϕ<<0）的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数)(x g y =的图象，则下列关于)(x g 的一个单调递减区间是.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππ .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛127,12ππ .D ⎪⎭⎫⎝⎛1211,125ππ 11、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，点⎪⎭⎫⎝⎛>2)66,(00p x x M 是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若75sin =∠MFA ，则抛物线C 的方程为 .A x y 42= .B x y 82= .C x y 122= .D x y 162=12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x f 0<≥x x ，，，若对任意]32,2[+∈m m x ，都有)(3)(x f m x f ≥+，则实数m 的取值范围是.A ),4[+∞ .B ),32[+∞ .C ),3[+∞ .D ),22[+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13、若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为_______14、已知543cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+πα，α为锐角，则=αsin _______ 15、已知数列}{n a 满足：⎩⎨⎧+=+221n n n a a a 11a a a a n n <≥，，（*N n ∈），若33=a ，则=1a ____16.如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3,AD =4,AA 1=5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题： ①四棱锥B 1-BED 1F 的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值742； ③当E 点不与C ，C 1重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得CG//平面BED 1 ④存在唯一一点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1，且561=CE 其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17、△ABC 的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且ba Ab Cc B A ++=+sin 3sin sin sin（Ⅰ）求∠C 的值 （Ⅱ）若2=c ，求△ABC 面积的最大值；18、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠BAD=90°，AD=2BC ，M 为PD 的中点 （Ⅰ）证明：CM//平面PAB（Ⅱ）若△PBD 是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=20、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()22，，左焦点F )0,2(-（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4-=x 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由21、已知函数)(ln 12)(2R a x a xx x f ∈--= （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若方程x x f 2)(=有两个不相等的实数根，求证：2)(2+<eaa f 选考题：共10分，二选一22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：0422=-+x y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数），其中⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πα，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析
陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．2iC ．2-D ．2i -2．已知集合{}2A =≤和{}1B x x =<，则A B =（ ） A ．(]1,4-B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[)1,43．已知i 为虚数单位，()2i 12i z -⋅=- 则复数z =（ ） A ．3i 5-B ．32i 55+C ．4i 5-D ．43i 554．已知函数1()sin (0)2f x x x ωωω=>在(0,)π上恰有三个零点，则正数ω的取值范围为（ ）A ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．若43x =和823y=，则2x y +的值为（ ）A ．2B ．1C ．8D ．36．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为37．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =与621S =，则9S =（ ）． A ．27B ．45C ．18D ．368．数列{an }是递增数列，则{an }的通项公式可以是下面的（ ） A ．1n a n=-B ．23n a n n =-C ．2nn a -=D ．()nn a n =-9．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是（ ） A ．6B ．4C ．5D ．110．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时经过的路程是（ ）A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)11．点M 、N 是正方体1111ABCD A B C D -的两棱1AA 与11A B 的中点，P 是正方形ABCD 的中心，则MN 与平面1PCB 的位置关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．MN ⊆平面1PCBD ．以上三种情况都有可能12．双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的两个焦点为12,F F ，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D 13．设函数()f x 的定义域为R ，满足()3(1)f x f x =-，且当(0,1]x ∈时()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x ≥-，则m 的最大值是（ ） A ．125 B ．73C ．94D ．52二、填空题14．已知两个非零向量a ，b 满足2a b a b ==-=，则a 在b 方向上的投影为______． 15．()3231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．16．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是__．17．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．三、解答题18．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=． (1)求角C 的值； (2)若2a =，b=5，且13A A DB =，求CD 的长度． 19．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安交管部门加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下列联表：(1)完成上面的列联表；(2)通过计算判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中90ACB ∠=︒，1AC BC ==且12AA =，D ，E 分别是棱1AA ，BC 的中点.(1)证明：//AE 平面1BC D ； (2)求二面角1A BD C --的余弦值.21．已知函数()2e xf x ax x =+-.(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若0x ≠时方程()1f x =有3个不同的实数解，求实数a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，上顶点M 与左，右顶点连线,MA MB 的斜率乘积为14-，焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()0,4D 的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若90EOF ∠=︒，求直线l 的方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 与曲线C 的极坐标方程分别为cos 2ρθ=，4sin ρθ=点P 的极坐标为π4,4⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求直线1l 以及曲线C 的直角坐标方程；(2)在极坐标系中已知射线2π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与1l ，C 的公共点分别为A ，B ，且16OA OB ⋅=+求POB的面积．24．已知函数()f x x =． (1)求不等式()21f x x <-的解集；(2)已知函数()()221g x f x x =+-的最小值为m ，且a 、b 、c 都是正数，2a b c m ++=，证明114a b b c+≥++． 参考答案与解析1．C【分析】先求出34i -+的值，然后两边同除12i +，最后用复数的除法运算求解. 【详解】()12i 34i z ⋅+=-+()12i 5z ∴⋅+=，即()()()()512i 512i 512i 12i 12i 12i 5z --====-++- 所以z 的虚部是2-. 故选：C 2．B【分析】先求出集合A 、B ，再结合交集的定义求解即可.【详解】因为{}{}204A x x ==≤≤ {}{}111B x x x x =<=-<<所以[)0,1A B ⋂=． 故选：B. 3．D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】由()2i 12i z -⋅=-得()()()()12i 2i 12i 43i2i 2i 2i 5z -+--===--+ 故选：D 4．A【分析】由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--，结合三角函数的性质可得233πππωπ<-≤，从而得解.【详解】由()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--若函数()f x 恰有3个零点，只需要233πππωπ<-≤，得71033ω<≤. 故选：A 5．D【分析】将43x =，823y=转化为对数的形式求出,x y ，然后代入2x y +化简求值即可【详解】因为43x =，所以421log 3log 32x ==；又823y=，所以28log 3y =所以2222188log 3log log 3log 22332x y +++⨯==32228log 3log 8log 233⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭故选：D. 6．D【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 7．B故选：B ． 8．A【分析】根据数列通项公式的性质，由数列{an }是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断即可.【详解】对于A ，因为1y x=-为单调递增函数，所以，1n a n =-为递增数列，A 正确；对于B ，因为122a a =-=，所以不是递增数列，B 错误对于C ，因为2xy -=为递减函数，所以，2n n a -=为递减数列，C 错误；对于D ，()nn a n =-为摆动数列，D 错误. 故选：A 9．B【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.【详解】圆的圆心坐标()0,0，到直线34250x y +-=的距离是2555＝所以圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是514-= 故选：B ． 10．A【分析】表示出第10 次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解 【详解】由题意，第10 次着地时经过的路程是 91291002(50251002)1002100(222)----+⨯+++⨯=+⨯⨯+++19912(12)100200100200(12)12----⨯-=+⨯=+-- 故选：A 11．A【分析】推导出MN ∥AB 1从而MN 与平面PCB 1的位置关系是平行． 【详解】∵点M ，N 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中A 1A ，A 1B 1的中点，∴MN ∥AB 1 ∵P 是正方形ABCD 的中心，延展平面PCB 1即为平面AB 1C 又AB 1 ⊂平面PB 1C ，MN ⊄平面PB 1C 所以MN ∥平面PB 1C ．∴MN 与平面PCB 1的位置关系是平行． 故选：A ．【点睛】本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查线面平行的判定定理，是中档题．12．A【分析】设()()12,0,,0Fc cF-，进而根据向量垂直的坐标表示得2c=，再根据点)A在双曲线C上待定系数求解即可.【详解】解：由题，设()()12,0,,0Fc cF-，因为)A所以()()1213,1,AF A cc F=----=-因为12AF AF⋅=所以212310AF AF c=⋅-+=，解得2c=因为22222311a bb a c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得222a b==所以，双曲线C的离心率为cea===故选：A13．A【详解】解：因为()3(1)f x f x=-，所以()()13f x f x+=当(]0,1x∈时2()f x x x=-的最小值为14-；当(]1,0x∈-时(]10,1x+∈2(1)(1)(1)f x x x+=+-+由3()(1)f x f x =+知 1()(1)3f x f x =+所以此时21()[(1)(1)]3f x x x =+-+，其最小值为112-； 同理，当(1x ∈，2]时2()3[(1)(1)]f x x x =---，其最小值为34-；当(2x ∈，3]时2()9[(2)(2)]f x x x =---的最小值为94-；作出如简图因为95434254-<-<-要使54()25f x -则有2549[(2)(2)]25x x ----． 解得125x或135x 要使对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x - 则实数m 的取值范围是12,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：A ．14．1【分析】把已知式2a b -=平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影． 【详解】解：由2a b -=，得2224a a b b -⋅+=又2a b ==，∴44222cos ,4a b +-⨯⨯<>=，即1cos ,2a b <>=∴a 在b 方向上的投影为1cos ,212a ab <>=⨯=．故答案为：1． 15．3-【解析】利用二项展开式通项公式直接求解. 【详解】()()()3332231311x x x x x⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为03121332311363C C x x⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-故答案为：3-.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 16．104ω<≤【详解】试题分析：本题已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，求参数ω的取值范围，难度中等．由22242k x k ππππωπ-≤+≤+，Z k ∈得32244k x k πππωπ-≤≤+，又函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，所以3242{24k k ππωπππωπ-≤≤+，即342{124k k ωω≥-≤+，注意到22T π≥，即02ω<≤，所以取0k =，得104ω<≤．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【方法点晴】已知函数()sin()4f x x πω=+为单调递增函数，可得变量x 的取值范围，其必包含区间(,)2ππ，从而可得参数ω的取值范围，本题还需挖掘参数ω的隐含范围，即函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，可知T π≥，因此02ω<≤，综合题设所有条件，便可得到参数ω的精确范围．17【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.【详解】接下来的一个扇形半径为358R =+=，故围成的圆锥母线长为8l =因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为π84π2L R α==⋅=，也即底面圆周长2π4πC r ==所以底面圆半径为2r =，则圆锥的高为h =所以圆锥的体积为21π3V r h ==空白公式+ 18．(1)π3C =【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得tan C =C 的值；（2）根据向量共线定理可得1233CD CB CA =+，利用向量的模长运算即可得CD 的长度．【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a b A B =得：sin sin B b A a =，因为)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=所以)2222sin 2a b c a b C a +-=，即)222sin 2a b c ab C +-=又由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，则)222sin 2a b c C C ab+-==化简得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =. （2）解：由13A A D B =可得1233CD CB CA =+ 所以222212142||233999CD CB CA a b CB CA ⎛⎫=+=++⨯⋅ ⎪⎝⎭41002π124225cos 99939=++⨯⨯⨯⨯=∴231||3CD =CD . 19．(1)填表见解析(2)没有【分析】（1）根据题意求出年龄低于40岁的人数，再结合列联表中数据即可完成列联表；（2）求出2K，再对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）年龄低于40岁的有100060%600⨯=人完成的列联表如下：（2）221000(6054060340)1255.6826.63560040088012022K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关．20．(1)证明见解析(2)设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩取1z =，则()1,2,1n =. 取AB 的中点G ，连接CG .由1AC BC ==得CG AB ⊥.在直三棱柱111ABC A B C 中1AA ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥CG又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CG ⊥平面11ABB A .所以11,,022CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面11ABB A 的一个法向量 ||cos ,|126|||CG n CG n CG n ⋅〈+⨯〉===易得二面角1A BD C --为钝角，故二面角1A BD C --的余弦值为. 21．(1)单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+(2)2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系即可求解；（2）求出导函数，讨论单调性，求出极值即可求解.【详解】（1）若0a =，则()e x f x x =-，∴()1e x f x '=-.令0fx ，得0x <；令()0f x '<，得0x >.∴函数()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+.（2）当0x ≠时方程()1f x =等价于2e 1x x a x-+= 令()2e 1x x g x x -+=，则()()()32e 1x x g x x-'+=. 当()0g x '>时则0x <或2x >，()g x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当()0g x '<，则02x <<，()g x 在()0,2上单调递减.当x →-∞时()0g x →；当0x →时()g x ∞→+；当2x =时()2e 1204g -=>；当x →+∞时()g x ∞→+. 综上，实数a 的取值范围为2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 22．(1)2214x y +=(2)4y =+【分析】（1）根据题意列出关于,a b 的方程，求得其值，即得答案.（2）设直线l 方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合90EOF ∠=︒可得12120x x y y +=，化简求值，求得k 的值，即得答案.【详解】（1）由题意知()0,M b (,0),(,0)A a B a -2c =c 22001004MA MBb b b k k a a a --⋅=⋅=-=-+- ∴2214b a = ∵223a b =+ ∴24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由已知过点()0,4D 满足题意的直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+ 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()221432600k x kx +++=()()222322401464240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1223214k x x k +=-+ 1226014x x k =+∵90EOF ∠=︒，∴0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=∴()()2121214160k x x k x x ++++=，∴()222215132401414k k k k ⨯+-+=++解得k =2154k >∴直线l 的方程为4y =+.23．(1)2x = 2240x y y +-=【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为cos 2ρθ=，所以2x =即直线1l 的直角坐标方程为2x =．由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=代入公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得224x y y += 所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．（2）设点A ，B 的极坐标分别为()1,ρα和()2,ρα 由题意可得12cos ρα=与24sin ρα=．则128tan 16OA OB ρρα⋅===+tan 2α=因为π02α<<，所以sin α=cos α=πππ1sin sin cos cos sin 4442ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭则24sin ρα=因为点P 的极坐标为π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故1π4sin 24POB S α⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭△ 24．(1)()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）分0x ≥、0x <两种情况解不等式()21f x x <-，综合可得出原不等式的解集；（2）由绝对值三角不等式可得出1m =，由此可得出()()1a b b c +++=，将代数式11+++a b b c 与()()a b b c +++相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：由()21f x x <-可得21x x <-当0x ≥时则有21x x <-，解得1x >，此时1x >；当0x <时则有21x x -<-，解得13x >，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()21f x x <-的解集为()1,+∞.（2）解：由绝对值三角不等式可得()()2212211g x x x x x =+-≥--=当且仅当021x ≤≤时即当102x ≤≤时等号成立，故1m = 所以()()21a b b c a b c +++=++=又因为a 、b 、c 均为正数 所以，()()11112a b b c a b b c a b b c a b b c b c a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭24≥+= 当且仅当12a b b c +=+=时等号成立，故114a b b c+≥++.。
高三模拟数学试卷理科答案
1. 答案：D解析：根据三角函数的性质，sin(π - α) = sin α，cos(π - α) = -cos α，tan(π - α) = -tan α。
因此，选项D正确。
2. 答案：A解析：函数f(x) = |x - 2|在x = 2处取得最小值0，故A正确。
3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则a^x在x递增；若0 < a < 1，则a^x在x递减。
故B正确。
4. 答案：C解析：根据数列的性质，数列{an}是等差数列，且an > 0。
则an + 1 = an +d > 0，故C正确。
5. 答案：A解析：根据立体几何的性质，若AB垂直于平面PQ，则AB垂直于PQ上的任意一条直线。
故A正确。
二、填空题6. 答案：π/2解析：由题意知，△ABC为直角三角形，∠BAC = π/2，故∠ABC = π/2 -∠ACB = π/2。
7. 答案：-1/2解析：根据等比数列的性质，an = a1 r^(n-1)，则a5 = a1 r^4，a6 = a1 r^5。
由题意知a5/a6 = -1/2，代入an的表达式得r = -1/2。
8. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为2x - 3y + 4 = 0。
设点P的坐标为(x, y)，则P到直线l的距离d = |2x - 3y + 4| / √(2^2 + 3^2) = |2x - 3y + 4| / 5。
由题意知d = 2，代入得|2x - 3y + 4| = 10。
解得x = 3，y = 2。
9. 答案：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2（2）f'(x) = 6x^2 - 6x（3）当x = 0时，f(x)取得极小值f(0) = 2；当x = 1时，f(x)取得极大值f(1) = 1。
10. 答案：（1）设圆心为O，则圆O的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}xA y y x ==∈R ，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．(0,2)B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(0,2]2．若复数z 满足(i 1)2i z -=（i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．已知平面向量(2,3)=a ，(,4)x =b ，若()⊥-a a b ，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．35．某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ） A ．103 B ．35C ．45D ．7106．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥7．函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象 关于原点对称，则ϕ等于（ ） A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-9．函数2()ln(1)f x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 3， 则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π11．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y x =一个交点；③函数sin y x =与2y x =的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点(2,0)-对称，1x ，2x 分别是()f x 的 极大值点与极小值点，则21x x -=（ ） A ．3- B ．23C ．23-D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．14．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=u u u r u u u r_____．15．在4(1)x x ++的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）． 16．定义在正实数上的函数(){{}}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{0.2}1=，{1.6}2=，当(0,]x n ∈，n ∈*N 时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23AB =，2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，设DAC θ∠=． （1）若60θ=︒，求BD 的长度； （2）若30ADB ∠=︒，求tan θ．18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤．（精确到0.001）附：①2204.75s =，204.7514.31≈；②2~(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501≈．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，111160B A A C A A ∠=∠=︒，14AA AC ==，2AB =，P ，Q 分别为棱1AA ，AC 的中点．（1）在BC 上确定点M ，使AM ∥平面1PQB ，并说明理由； （2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11C A 与平面1PQB 所成角的正弦值．20．（12分）已知两直线方程1:l y x =与2:2l y x =-，点A 在1l 上运动，点B 在2l 上运动，且线段AB 的长为定值．（1）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．21．（12分）已知函数2(1)211()()22x f x e x e f x -'=-+⋅． （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在1x ，212()x x x <，使得12()()1f x f x +=，求证：122x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为y x =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||22|(0)f x x m x m m =--+>． （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，t ∃∈R ，使得()|1||1|f x t t +-<+，求实数m 的取值范围．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】C12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】114．【答案】215．【答案】1916．【答案】(1)2n n+三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）19；（2）233．【解析】（1）由题意可知，1AD=，在ABD△中，150DAB∠=︒，23AB=，1AD=，由余弦定理可知，2223(23)12231()19BD=+-⨯⨯⨯-=，19BD=．（2）由题意可知，2cosADθ=，60ABDθ∠=︒-，在ABD△中，由正弦定理可知，sin sinAD ABABD ADB=∠∠，∴2cos43sin(60)θθ=-，∴2tan33θ=．18．【答案】（1）70.5x=分；（2）约635人；（3）0.499．【解析】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分．（2）依题意z服从正态分布2(,)Nμσ，其中70.5xμ==，2204.75Dσξ==，14.31σ≈，∴z服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N Nμσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P zμσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==． ∴竞赛成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计为0.158********.8⨯=人635≈人． （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=．而(4,0.8413)B ξ~，∴444(3)1(4)1C 0.841310.5010.499P P ξξ≤=-==-⋅≈-=．19．【答案】（1）详见解析；（2． 【解析】（1）取1BB 中点E ，连结AE ，BQ ，在1BB Q △中，取H 为BQ 中点，连接,EH AH ，则1EH B Q ∥， 延长AH 与BC 交于点M ，则M 即为所求点，11ABB A 为平行四边形，点E ，P 为中点，则1AE PB ∥，由线面平行的判定定理可得AE ∥平面1PQB ， 同理可得，EH ∥平面1PQB ， 又AE EH E =I ，111B P B Q B =I ，据此可得平面AME ∥平面1PQB ，故AM ∥平面1PQB ． （2）作QO ⊥平面11ABB A ，与1A A 延长线交于O ，则1AO =，QO =1OB ==1QB =，∵12B P =，PQ =1cos QPB ∠==，∴1sin QPB ∠=，∴112242PQB S ⨯==⨯△．作11PN C A ∥，则直线11AC 与平面1PQB 所成角即直线PN 与平面1PQB 所成角，∵142PQN S =⨯=△1123B PQN V -=⨯=．设N 到平面1PQB 的距离为h ，则1232h ⨯=，∴h =，∴直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值为39413h =．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）214[0,7． 【解析】（1）∵点A 在12:2l y x =上运动，点B 在22:2l y x =-上运动， ∴设112()A x x ，222(,)B x x ， 线段AB 的中点(,)C x y ，则有122x x x +=，1222222x x y =，∴122x x x +=，1222x x -=， ∵线段AB 的长为定值2222121222()()822x x x x -++=， 即22(22)2)8x +=，化简得2214x y +=， ∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为2214x y +=． （2）设33(,)M x y ，44(,)N x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=，222(8)4(41)(44)0Δkm k m =-+->，化简得2241m k <+①，则342841kmx x k +=-+，23424441m x x k -=+， 2234343434()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则343454y y x x =，即343445y y x x =，所以2234343444()45k x x km x x m x x +++=，即22222448(45)4()404141m km k km m k k --+-+=++，化简得2254m k +=②， 由①②得2605m ≤<，215204k <≤， 因为O 到直线l的距离d =，所以2222225941114(1)km d k k k -===-++++， 又因为215204k <≤，所以2807d ≤<， 所以O 到直线l的距离的取值范围是[0,7． 21．【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）2(1)1()2()2x f x e x e f -''=-+⋅， 令12x =，则111()1()22f e f e ''=-+⋅，解得11()2f e'=，∴2(1)()21x f x ex -'=-+， 令2(1)()21x h x ex -=-+，2(1)11()222(1)(1)x x x h x e e e ---'=-=+-，∴1x =时，函数()f x '取得极小值即最小值，∴()(1)0f x f ''≥=， ∴函数()f x 在R 上单调递增． （2）由（1）可得：函数2(1)21()2x f x e x x -=-+在R 上单调递增． 要证明：12121222()(2)x x x x f x f x +<⇔<-⇔<-，又12()()1f x f x +=，因此1222()(2)1()(2)f x f x f x f x <-⇔-<-，即22()(2)10f x f x +-->，11(1)1122f =-+=，则121x x <<， 令2(1)22(1)211()(2)()1(2)2122x x g x f x f x e x x e x x --=-+-=--+-+-+-2(1)2(1)21124322x x e e x x --=+-+-， 1x >，(1)0g =，2(1)2(1)()44x x g x e e x --'=-+-+，令2(1)2(1)()44x x x ee x ϕ--'=-+-+，2(1)2(1)()2240x x x e e ϕ--'=+-≥，∴()g x '在(1,)+∞上单调递增．∴()(1)0g x g ''>=，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递增． ∴()(1)0g x g >=，因此结论122x x +<成立．22．【答案】（1）2cos 4sin 30ρθρθ--+=；（2）3． 【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=， 则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=．（2）设1(,)P ρθ，2(,)Q ρθ， 将π6θ=代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得2530ρρ-+=， 所以123ρρ=，所以||||3OP OQ ⋅=． 23．【答案】（1）2[2,]3--；（2）01m <<．【解析】（1）当1m =时，1|1||22|131x x x x ≤-⎧--+≥⇔⎨+≥⎩或11311x x -<<⎧⎨--≥⎩或131x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得223x -≤≤-，所以原不等式的解集为2[2,]3--． （2）()|1||1|()|1||1|f x t t f x t t +-<+⇔<+--对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，根据分段函数的单调性可知：x m =-时，()f x 取得最大值()2f m m -=， ∵||1||1|||(1)(1)|2t t t t +--≤+--=，∴2|1||1|2t t -≤+--≤，即|1||1|t t +--的最大值为2， 所以问题转化为22m <，解得01m <<．模拟试卷二考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()32πα-=2020cos()3πα+= A 23．23．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()82f π-= C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 232210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2 B 3．2 D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x ex a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22)e B. (0,2]C. 222)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13．若25(ax 的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.Q三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a+=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.EE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F 作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-.1）求椭圆C 的方程；2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：(1)300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。
答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。
答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ） A ．35B ．45C 32D ．255．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52 D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B 13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．32π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________；14．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2Bf =1b =，3c =a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.答案1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4317【解析】（1）233()cos 2cos 22cos 232323f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，令222,232k x k k Z πππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈剟∴故函数()f x 的递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）1,sin 23232B f B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 20,,,333366B B B B πππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q 即，由正弦定理得：1sin sin6a A π==sin C ∴=，0C π<<Q ，3C π∴=或23π. 当3c π=时，2A π=：当23C π=时，6A π=（不合题意，舍） 所以,63B C ππ==.18．【答案】（1）证明见解析. （2）13. 【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，所以BE =，又因为12AC BE ==，所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ．故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13． 19．【答案】(1)2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =． （1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =． 20．（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4） ①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=， 故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x x xe xe xf x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立， 当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立， 当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e≤恒成立，则12a e =，即12a e=．()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x x kx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， ()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增， 由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭． 22．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+40t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 23．【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞ （1）当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.模拟试卷二一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集为R ，集合，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. D.2.设，那么“” 是“” 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，为虚数单位，且，则（ ）A. B. C. 2 D.4.若，则（ A.B.C. D.5. 在ABC ∆中，3413AB AC BC ===，，，则AC 边上的高为（ ） A. B.C.D.6. 若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B.C. D.7.设均为单位向量，且它们的夹角为，当取最小值时，实数k 的值为（ ）A. B. C. D. 1 8.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像向左平移个单位后为偶函数图像 C.的图像关于点对称 D.的最小正周期为，且在上为增函数9.已知函数 ，则函数的图像只可能是（ ）oxyxoyxoyxoy10. 已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（）A. 42B. 45C. 48D. 5111. 已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为（）A.8B. 16C. 32D. 6412.已知奇函数满足，且时，，则关于x的方程在区间上的所有根之和是（）A. 10B. 8C. 6D. 4二.填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3cos()63xπ-=-，则cos cos()3x xπ+-的值是 .14.设向量分别为单位向量，且夹角为，若，则 .15.已知向量，若与共线，则 .16.已知数列与满足,，且，设数列的前项和为，则 .三.解答题：共70分17.（本小题12分）在中，角的对边分别是，已知.（1）求证：成等比数列；（2）若，试判断的形状.18.（本小题12分）设向量，角分别为的三个内角，若在处取得极值. （1）试求与的值；（2）当1，求的最小外接圆半径.19.（本小题12分）已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.20.（本小题12分）在数列中，，若函数在点处的切线过点.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和公式.21.（本小题12分）已知. 对于函数、，若存在常数.，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由.22.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.试题解答一.选择题（5分） DCBA BDAB CBDC二.填空题（5分），，，三.解答题：17.解：（1）由已知应用正弦定理得即，由于，则成等比数列.（2）若，则由（1）知，则，即所以，故为等边三角形.18.解：（1）由得则由于在处取得极值，那么解得或，又，则，.（2）若，即，则所以，即则，故的最小外接圆半径为.19.解：（1）由得；且时，显然满足故（）.（2）若等比数列满足则由（1）得，解得，或所以或.20.解：（1）由得，，则在点处的切线方程为,即又此切线过点，则，即故是公比为3的等比数列.（2）又，由（1）知，则，.21.解：（1）由得，若时，有，则在上单调递增；若时，由解得若时，对于，有；，有，则在上单调递减，在上单调递增；若时，对于，有；，有，则在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，若对都成立，即对都成立则时，有；且，对都成立即；对都成立所以此时，令则2，从而有时，；时，，所以在上递减、在上递增，因此，即故时，与存在“分界线”.22.解：（1）由消去参数，得则曲线的普通方程为.由，得，即则曲线的直角坐标方程为；（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为故点到曲线的距离的取值范围为.模拟试卷三第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ． C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y tx (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
高三理科数学模拟试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [2, 7]C. [5, 9]D. [1, 7]答案：D解析：由于f(x) = 2x - 3是一次函数，其斜率为正，因此在整个定义域上单调递增。
在区间[1, 4]上，f(1) = -1，f(4) = 5，所以值域为[1, 5]。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10为（）A. 110B. 120C. 130D. 140答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (2a1 + (n - 1)d)。
代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 10/2 (23 + (10 - 1)2) = 120。
3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 双曲线的一支答案：A解析：|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点(1, 0)和点(-1, 0)的距离相等，因此z在复平面上位于这两点连线的垂直平分线上，即直线x = 0。
4. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递减，则f(x)的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. 无极值点答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3。
令f'(x) = 0，得x = 1。
由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，所以x = 1是f(x)的极小值点。
5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 3/4答案：A解析：向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
高三数学(理工类)模拟检测试题(附答案)
高三数学（理工类）模拟检测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[])sin()sin(21cos sin β-α+β+α=β⋅α [])cos()cos(21cos cos β-α+β+α=β⋅α [])sin()sin(21sin cos β-α-β+α=β⋅α [])cos()cos(21sin sin β-α-β+α-=β⋅α 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1．已知集合}6 4 3{P ，，⊂，P 中至多有一个偶数，则这样的集合P 共有 A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个2．用α表示一个平面，m 表示一条直线，则α内至少有一条直线与mA ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面3．直线2y 3x =-被圆⎪⎩⎪⎨⎧θ+-=θ+=sin 23y cos 21x （θ∈R ）所截的弦长为 A ．32 B ．2 C ．3 D ．14．与正弦曲线y=sinx 关于直线43x π=对称的曲线是 A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=-sinx D ．y=-cosx5．如图，在正三棱台111C B A ABC -中，AC 21CC C A 111==，D 在边BC 上，且11AC //D B 平面，则异面直线A A D B 11与所成角的余弦值为A ．23B ．21C ．41D ．436．在1，2，3，4，5，6这六个数的排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有A ．360种B ．120种C ．40种D ．20种7．在等差数列}a {n 中，n S 是数列}a {n 的前n 项和，已知n m S S =（m ≠n ），则=+n m SA ．0B ．n m S S +C ．)S S (21n m + D ．-m-n 8．在△ABC 中，AB=3，内切动圆切AB 于D ，且AD=2DB ，则顶点C 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分9．某工厂产值第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年平均增长率为x ，则A ．3r q p x ++=B ．3r q p x ++< C ．3r q p x ++≥ D ．3r q p x ++≤ 10．圆锥的轴截面顶角为32π，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是 A ．24π B ．8π C ．π32 D ．π3411．下列命题①若z ∈C ，则R z z |z |22∈⇔=。
北京市高三下学期高考模拟理科数学试题(解析版)
2023年高三数学考试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号规范填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 若为虚数单位，则复数的虚部为 （ ） i 2i1i z +=+A. B. C.D.12-1i 2-1i 212【答案】A 【解析】【分析】先利用复数除法求出的代数形式，进而可得虚部. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z +-+-====-++-其虚部为. 12-故选：A.2. 已知全集， 集合，，则{}1,2,3,4,5U =2{|320}M x x x =-+=2{Z |650}N x x x =∈-+<（ ）()U M N ⋃=ðA. {1} B. {5}C. {1，2，3，4}D.∅【答案】B 【解析】【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和补集. ,M N 【详解】解可得，故，2650x x -+<15x <<{}2,3,4N =的解为或2，故，则．2320x x -+=1x ={}1,2M ={}()5U M N ⋃=ð故选：B3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的a b n 值是（ ）A. 3．B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】按流程图顺序运算可得结果. 【详解】 a =8，b =3，n =1n =2 n =3 n =4a =8+4=12 a =12+6=18 a =18+9=27 27812722a =+=b =2×3=6 b =2×6=12 b =2×12=24 b =2×24=4812≤6？否18≤12？否27≤24？否？是 81482≤所以输出n 为4. 故选：B.4. 已知数列1，3，……，则7是这个数列的（ ） A. 第21项 B. 第23项C. 第25项D. 第27项【答案】C 【解析】【分析】根据题设给定的数列通项公式即可判断7的位置.【详解】因为数列的第，n 7==所以7是题中数列的第25项． 故选：C5. 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B. 若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C. 根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为 320D. 这100份花费费用的中位数是4205元 【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的面积等于1求出a ，再根据给定的条件逐项分析. 【详解】直方图的面积等于1，所以，(0.000050.000100.000120.000250.000150.000100.00005)10001a +++++++⨯=，A 错误；0.00018a =根据报销的规则，花费了4300元，报销的费用为，实际花费()430040065%2535-⨯=，B 错误；430025351765-=根据报销的规则，当花费在6000以上时报销80%，所以概率()30.00010.0000510000.1520=+⨯== ， C 正确；设中位数为，其面积为，4000x +12()10.000050.00010.000120.0001810000.000252x ∴+++⨯+=，，200x =即中位数为4200，D 错误； 故选：C.6. 在正项等比数列中，公比为，且，，14成等差数列，则（ ）{}n a q 6-2q 34212log a a a a +=+A. 2 B.C. 4D.2-4-【答案】A 【解析】【分析】根据等差中项求出，再由等比数列通项公式化简即可得解. q 【详解】，，14成等差数列，6- 2q ，解得或（舍去）， 22614q ∴=-+2q =2q =-，22341222221212()log log log 2log 22a a a a q q a a a a ++⋅∴====++故选：A7. 若非负数x ，y 满足，则事件“”发生的概率为（ ）13x y x y ⎧-≤⎨+≤⎩24x y +≥A.B.C.D.21525【答案】A 【解析】【分析】先画出可行域，再根据几何概型的概率公式可求.【详解】由题意，知x ，y 满足约束条件作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所0,01,13x y x y x y x y ≥≥⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线，易得， ，，，，连接DE ， 24x y +=52,33A ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1B ()1,2C ()0,1D ()1,0E 则非负数x ，y 对应的可行域的面积为，151122ODE BCDE S S +=⨯⨯+=△正方形事件“”对应的可行域的面积为， 24x y +≥111223ABC S AB BC =⋅==△所以所求概率为.1235152P ==故选：A.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，若，则24y x =F (2,0)||AF +||10BF =（ ）||||AF BF ⋅=A. 12 B. 13C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，易知不成立，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出(2)(0)y k x k =-≠2k 结果.【详解】抛物线的焦点为，设，.24y x =()1,0F ()11,A x y ()22,B x y 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，AB AB 2x =24y x =28y=y =±，，，，与矛盾.(2,A (2,B -3AF BF ===6AF BF +=10AF BF +=当直线的斜率存在时，设直线的方程为，AB AB ()2y k x =-代入，得，则，， 24y x =()22224440k x k x k -++=12244x x k +=+124x x ⋅=由抛物线的定义知，，， 11AF x =+21BF x =+于是， 1224114210AF BF x x k+=+++=++=所以，21k =. ()()1212122411144113AF BF x x x x x x k ⋅=++=+++=+++=故选:.B 9. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A.B.C.D. 552【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图P ABCD -432、、所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径， 设该几何体的外接球半径为，则R，解得. ()22222432R =++R =. 故选：A.10. 在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-tan C A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c cos C 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求C tan C cos C sin C 出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，， AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅== 所以， 2222222223()()22b c aa b c a c b +-+-++-=即，22223a b c += 22222221(2)3cos 2236a ba b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥=当且仅当即时取等号，36a b b a=b =显然为锐角，要使取最大值，则，此时，C tan C cosCsin C ==所以，即． sin tan cos C C C ===tan C故选：D ．11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，22221(00)y x a b a b-=>>，，圆O ：，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于12PF PF ⊥22229()4x y a b +=+M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为（ ） 29b A.B.C.D.5485【答案】D 【解析】【分析】设，，有，，，由弦长公式可得1PF n =2PF m =2n m a -=2224n m c +=22mn b =，，四边形AMBN的面积为，解得MN=AB =12AB MN ⋅，可求双曲线的离心率.2283c b =【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：，圆心为，半径为，22229()4x y a b +=+()0,0O 32c 设，，点P 在双曲线上，，则有，，可得1PF n =2PFm =12PF PF ⊥2n m a -=2224n m c +=，22mn b =过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为的中点，则， 12F F 11=22n OD PF =MN =同理，，AB =AB MN ⊥四边形AMBN 的面积为， 211229AB MN b ⋅=⨯=，化简得，则有422222444481981944811644161644c m n c m n c c b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=-+=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2283c b =，则C 的离心率 222253a c b b =-=c e a ===故选：D12. 已知，，，其中为自然对数的底数，则，，0.03e 1a =-ln1.03b =tan 0.03c =e 2.71828= a b c 的大小关系是（ ） A. B. c a b >>a c b >>C. D.b c a >>a b c >>【答案】B 【解析】【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到,a c ()e 1tan xf x x =--π04x <<，再构造，和，，求导得到其单调性，a c >()()ln 1h x x x =+-π02x <<()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到，即，从而得到. ln1.030.03tan 0.03<<b c <a c b >>【详解】，0.03e 1tan 0.03a c --=-令，，()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=π04x <<令，则，()e cos cos sin xg x x x x =--()()()e 1cos sin xg x x x '=--当时，，所以在上单调递增， π04x <<()0g x '>()g x π0,4⎛⎫⎪⎝⎭又，所以， ()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=()0g x >又，所以在上恒成立， cos 0x >()0f x >π0,4⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即，()0.03e1tan 0.0300.03f -=->0.03e 1tan 0.03->a c >令，， ()()ln 1h x x x =+-π02x <<所以， ()1111x h x x x-'=-=++因为，所以，所以在上单调递减， π02x <<()01x h x x -'=<+()h x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立，()()00h x h <=()ln 1x x +<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以， ()ln 10.03ln1.030.03+=<令，， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()211cos m x x=-'因为，所以， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2110cos m x x'=-<故在上单调递减， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立， ()()00m x m <=tan x x <π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，， 0.03x =0.03tan 0.03<故，即， ln1.030.03tan 0.03<<b c <综上， a c b >>故选：B【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的常数项为______．62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】160 【解析】【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式的展开式的通项公式， 62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，可得，620r -=3r =所以展开式中的常数项为. 336C 2160⨯=故答案为：160.14. 已知向量，，与共线，则___________.(1,)a x =- (,3)b x =- a b + a b -||a = 【答案】2 【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】由，，得，， ()1,a x =- (),3b x =- ()1,3a b x x +=+-- ()1,3a b x x -=--+因为与共线，所以.a b + a b - ()()()()213313x x x x x +-+=---⇒=则.2a === 故答案为：215. 已知数列的前n 项和，设为数列的前n 项和，若对任意的{}n a 23122n S n n =-11,nn n n b T a a +={}n b ，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．N n *∈93n T n λ<+λ【答案】 (),48-∞【解析】【分析】利用的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立,n n a S {}n a n T 问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时，满足上式，1n =111a S ==所以.32,N n a n n *=-∈所以， 111111((32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+所以， 1111111111(1)(((1343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ 由，可得，即， 93n T n λ<+9331n n n λ<++23(31)13(96)n n n nλ+<=++因为函数在单调递增， 19y x x =+1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以当时，有最小值为10， 1n =19n n+所以，所以， 13(96)48n n++≥48λ<所以实数的取值范围为. λ(),48∞-故答案为：.(),48-∞16. 已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R (220)f x + (221)f x +10x -≤<．若有5个零点，则实数的取值范围为________.()f x =()(6)(0)y f x a x a =-+>a【答案】 【解析】【分析】由为奇函数可得的图像关于点对称，由为偶函数可得的(220)f x +()f x (20,0)(221)f x +()f x 图像关于直线对称，从而可得4为的周期.再结合图象即可求解. 21x =()f x 【详解】由为奇函数，得， (220)f x +(220)(220)f x f x -+=-+则，所以的图像关于点对称， (202)(202)0f x f x -++=()f x (20,0)则.(40)()f x f x -=-由为偶函数，得， (221)f x +(221)(221)f x f x -+=+则的图像关于直线对称，则.()f x 21x =(42)f x -=()f x 因为，所以， ()(40)(42(2))(2)f x f x f x f x -=-=-+=+(2)()f x f x +=-所以，则4为的周期.(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称. ()f x (0,0)1x =因为当时，，所以当时，10x -≤<()f x =01x <≤()f x =对两边平方，整理可得，故该函数的图象为圆心，半径为1y =()2211,0x y y -+=≥()1,0的圆，若有5个零点，只需曲线与直线有5个交点， ()(6)(0)y f x a x a =-+>()y f x =(6)(0)y a x a =+>在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图. ()y f x =(6)y a x =+当直线与圆 ，解得 (6)y a x =+22(3)1(0)x y y ++=≥1=a =当直线与圆 ，解得.(6)y a x =+22(1)1(0)x y y -+=≥1=a =. a <<故答案为：【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：第17至21题，每小题12分，共60分.17. 在△ABC 中，D 是边BC 上的点，，，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是120BAC ∠= 1AD =△ACD 的面积的两倍．（1）求△ACD 的面积；（2）求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可； （2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．【小问1详解】由已知及正弦定理可得：， ΔΔ11sin 6022sin 6022ABD ACD S AD AB S AD AC =⋅⋅︒==⨯⋅⋅︒化简得：． 2AB AC =又因为：，所以2ΔΔ1133sin 60sin120||22ABC ACD S S AD AC AB AC AC ==⋅⋅⋅︒=⋅⋅︒=， 所以， 32AC =Δ13sin 6022ACD S AC AD =⋅⋅︒==所以△ACD 【小问2详解】由（1）可知，因为AE 是△ABC 的边BC 上的中线，23AB AC ==所以， ()12AE AB AC =+所以， AE ====所以△ABC 的边BC 上的中线AE 18. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直11AA B B 11∥A B AB 1AA AB ⊥11126AB AA A B ===11AA B B 角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的1AA 1A A ,P Q 1,CC BC 111B AA C --大小为．θ（1）若，，，证明：平面；120θ=123CP CC =⊥AQ AB PQ ∥11AA B B （2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切90θ= P 1CC Q BC PQ 11AAC C值，并求此时二面角的余弦值． Q AP C --【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P 点位置，求PQ 11AAC C 其正切，再求二面角即可. 【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ， ∵，结合圆台的特征知， 120θ= 30BAC ∠= 又∵，解三角形得，⊥AQ AB 12AQ QC BQ ====故，即， 12CQ CE BQ AE ==2CE =∵， 由题意易知四边形为直角梯形，123CP CC =11AC CA ∴，，故， 113AF AC FC ===123EC PC FC CC ==11PE C F A A ∥∥ ∵面，面，∴QE ∥面， QE ⊄11A B BA AB ⊂11A B BA 11A B BA 同理PE ∥面，11A B BA又面PQE ，∴面∥面，QE PE E QE PE =⊂ ，、PEQ 11A B BA 面，∴平面，得证；PQ ⊂PEQ PQ ∥11AA B B 【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，90θ= 1A A AB AC 、、故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为轴、轴、轴， x y z 则，()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q 设，则，[]1,0,1CP CC λλ=∈ ()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，x 11A ACC ()1,0,0m =11A ACC 设与平面所成角为，PQ 11AAC C π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，sin cos ,PQ α=≤即当时，取得最大值，此时为最大角，15λ=sin ααtan α==设此时面APQ 的一个法向量为，(),,n x y z =易得，则， ()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，即，9z =2,2y x =-=()2,2,9n =-由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，φcos cos ,m φ= 故与平面，此时二面角PQ 11AAC C Q AP C --19. 甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. η【答案】（1）分布列见解析（2），. ()0.2E η=()0.9D η=【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概ξ1,0,1-率，即可求得分布列.（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概η2,1,0,1,2--率，即可求得分布列及数学期望和方差. 【小问1详解】由题意可知，的可能取值为，ξ1,0,1-，()10.30.60.18P ξ=-=⨯=， ()00.70.60.30.40.54P ξ==⨯+⨯=，()10.70.40.28P ξ==⨯=所以分的分布列为：ξξ-1 0 1P 0.18 0.54 0.28【小问2详解】由题意可知，的可能取值为，η2,1,0,1,2--， ()20.180.180.0324P η=-=⨯=，()120.180.540.1944P η=-=⨯⨯=， ()020.180.280.540.540.3924P η==⨯⨯+⨯=， ()120.540.280.3024P η==⨯⨯=，()20.280.280.0784P η==⨯=所以的分布列为ηη-2 -1 0 1 2P 0.03240.19440.39240.30240.0784所以，()()()20.032410.194410.302420.07840.2E η=-⨯+-⨯+⨯+⨯=222()(20.2)0.0324(10.2)0.1944(00.2)0.3924D η=--⨯+--⨯+-⨯.22(10.2)0.3024(20.2)0.07840.9+-⨯+-⨯=20. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外xOy P ()22149:14C x y ++=()2221:14C x y -+=切，记动圆圆心的轨迹为曲线. P C （1）求曲线的方程；C （2）设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线C 1A 2A T :4l x =T x 与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：1TA C M 2TA C N F C FMN的周长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨P R 121242PC PC C C +=>=迹的方程；E（2）设点，设，，写出直线、的方程，将这两条直线分别()()4,0T t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1TA 2TA 与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，化简直线的方程，可知直E M N MN MN 线过椭圆的右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立. MN E 【小问1详解】解：设动圆的半径为，P R 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 1C ()11,0C -722C ()21,0C 12因为，则，所以，圆内含于圆， 122C C =127122C C <-2C 1C 因为动圆与圆内切，且与圆外切，P 1C 2C 则， 112122724212PC R PC PC C C PC R⎧=-⎪⎪⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，P E 1C 2C 设其方程为，其中，，()222210x y a b a b +=>>24a =22c =所以，，，从而轨迹的方程为.2a =2223b a c =-=E 22143x y +=【小问2详解】证明：由题意可知、、， ()12,0A -()22,0A ()()4,0T t t≠设，，如下图所示：()11,M x y ()22,N x y直线的方程为，直线的方程为， 1AT ()26t y x =+2A T ()22ty x =-联立方程可得 ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去得， ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y ()222227441080t x t x t +++-=由韦达定理可得，即， 2124108227t x t--⋅=+21254227t x t -=+则，故点， ()211225421822662727t t t ty x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭联立方程可得， ()222143t y x t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222344120t x t x t +-+-=由韦达定理可得，即， 22214322t x t -=+222623t x t -=+则，故点， ()22222266222233tt t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，，22222221866273542269273MNt t t t t k t t t t t +++==-----++所以，直线的方程为， MN 22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭即，且， ()2226661999t t ty x x t t t =-+=-----3t ≠±故直线过定点，所以的周长为定值，MN ()1,0FMN 8当时，、或、，3t =±31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，过椭圆的焦点，此时的周长为定值， MN E ()1,0FMN 48a =综上所述，的周长为定值.FMN 8【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，.()sin f x x ax =-()e cos 2x g x x π=+（1）若，恒成立，求实数a 的取值范围；[)0,x ∈+∞()0f x ≤（2）判断方程在上实根个数，并说明理由.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【答案】（1）．[1,)+∞（2）1.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论说明的正负，得的单调性，确定题设不等式是否恒()f x '()f x '()f x 成立，得参数范围；（2）在时，由（1）得，利用导数证明，然后求得导函数，由不等式0x >sin x x <e e (0)xx x ≥>()g x '性质得时，，得单调递增，方程变形为，0x >()0g x '>()g x ()(12)g x g x =-然后由的范围分类讨论可得．,12x x -【小问1详解】 ，()cos f x x a '=-时，，在上递减，恒成立；1a ≥()0f x '≤()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=时，恒成立，在上递增，不合题意；1a ≤-()0f x '≥()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=时，存在使得，时，，在上递增，11a -<<1(0,)2x π∈1cos x a =1(0,)x x ∈()0f x '>()f x 1(0,)x 不合题意，()(0)0f x f >=综上，的取值范围是．a [1,)+∞【小问2详解】由（1）得时，，0x >sin x x <设（），则， ()e e x h x x =-0x >()e e xh x '=-时，单调递减，时，，单调递增，01x <<()0h x '<()h x 1x >()0h x '>()h x ，所以，()(1)0h x h ≥=e e x x ≥， ()2e sin e e 022224x g x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=->-⋅=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'所以在上是增函数，()g x (0,)+∞方程， ()12e sin xg x x π-=+1212e cos()e cos[(12)]22x x x x πππ--=+-=+-(12)g x =-由得，此时，因此是方程在上的一12x x =-13x =()(12)g x g x =-13()(12)g x g x =-()0,x ∈+∞根，时，，，方程在上无解， 103x <<11213x <-<(12)()g x g x ->()(12)g x g x =-1(0,)3时，，，方程在上无解， 1132x <<10123x <-<(12)()g x g x -<()(12)g x g x =-11(,)32时，，，方程12x ≥120x -≤121()(2e sin (12)2x g x g x g x π-≥=>≥+=-在上也无解， ()(12)g x g x =-1[,)2+∞综上，方程在上只有一个解，根的个数为1.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【点睛】关键点点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，研究方程根的个数问题，解题关键是方程进行同构变形为，因此我们只要确定的单调性，然后分数讨论()(12)g x g x =-()g x 得出结论．（二）选做题：请考生在22，23题中任选一题作答，如果多答，则按所答的第一题计分．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半xOy l 4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t O x 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． C 22312sinρθ=+（1）求的直角坐标方程；C （2）若点的极坐标为，是上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离M 3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭N C P MN P l 的最大值． 【答案】（1） 2213x y +=（2【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化原则可直接化简整理得到直角坐标方程；（2）将点极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程；利用相关点法可求得点轨迹方程，则可M l P 设，利用点到直线距离公式，结合三角恒等变换知识可得到sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭. d 【小问1详解】由得：，，即， 22312sin ρθ=+2222sin 3ρρθ+=2233x y ∴+=2213x y +=的直角坐标方程为：. C ∴2213x y +=【小问2详解】由可得点的直角坐标为即； 3π4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M 3π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-由消去参数可得直线的普通方程为：；:4x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t l 40x y --=设，，()00,N x y (),P x y 为中点，，则，， P MN 002222x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩002222x x y y =+⎧⎨=-⎩()()22222213x y +∴+-=即点轨迹为，则可设； P ()()22222213x y ++-=sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭点到直线的距离∴Pl d则当时，. πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭max d ==23. 已知函数．()f x x a x b x c =-+-+-（1）若，且，求m 的值； a b c ==(){}{}66x f x x m x <=<<（2）若，，证明：．12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+()522f x x d x b ≤+-+-【答案】（1）2m =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m 的值；2x a -<（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.2a b -≤3c d -≤【小问1详解】因为，所以，由，得，则，解得a b c ==()3f x x a =-()6f x <2x a -<22x a -<-<，因为，所以，即，故．22a x a -<<+(){}{}66x f x x m x <=<<26a +=4a =22m a =-=【小问2详解】证明：由，，得，，则，12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+12a b -≤-≤32c d -≤-≤2a b -≤，3c d -≤所以()2f x x d x b x a x b x c x d ----=---+---≤，()()235x a x b x c x d a b c d ---+---=-+-≤+=故．()522f x x d x b ≤+-+-。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟 分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（ ）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
高三数学期末复习试题(理科,含详细答案)
高三数学期末复习试题（理科） 第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合2{1,3,},{1,},{1,3,},A x B x A B x ==⋃=则满足条件的实数x 的个数有（ ）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖3．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（ ）．Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限4．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=u u u r r u u u r r u u u r r r r r r r r ，则（ ）．A ．32-B ．0C ．32D ．3 5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2a -，2a +，8a +，则n a =（ ）．A ．382n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．283n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1382n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1283n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭6．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）． A ．2- B ．2 C ．4- D ．47. 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）．A ．l 1和l 2必定平行B ．l 1与l 2必定重合C ．l 1和l 2有交点（s ，t ）D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）8．已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA u u u r在OP uuu r上的投影，则z 的取值范围是（ ）．A.[B.[3,3]-C.[3]D.[3,-BCDO AP第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 9. 按下列程序框图来计算：10. 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3；则2a b +=______________.11. 若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 ___ __.12. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则(119)f = ________ ；★（请考生在以下三个小题中任选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 13. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 14．函数11--+=x x y 的最大值是 . 15．如图，PA 切O e 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ． （1）求x tan 的值；（2）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．17．（本小题满分12分）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78．所有考试是否合格相互之间没有影响． （1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？ （2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；（3）用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 18．（本小题满分14分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为︒45． （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角C BD A --的正切值； （3）求点C 到平面ABD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知点(x, y) 在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程228x y +=；定点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围.20． (本小题满分14分) 已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+． (1)求1,234,,b b b b ；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．21．（本小题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0,f f ==且()f x 的最小值是14-．(1)求()f x 的解析式；(2)设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象所围成封闭图形的面积是2()S t ,设121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值．(3)已知0,0m n ≥≥, 求证: 211()()24m n m n +++≥．高三数学期末复习试题（理科）评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、解析：{1,3,},A B x ⋃=所以223,1()0x x x x x =====解得舍去即满足条件的有3个；答案：C2、解：,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确；m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D 。
高三数学期末模拟试题理科含答案
高三数学期末模拟试题理科含答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分， 1．3＋i 1＋i等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 3. 已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =A. {}1B. {12}，C. {}0123，，， D. {10123}-，，，， 4. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） B ．137C ．123D ．93 5. 定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2Ae+ .1B e + .C e .1De - 6. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）97. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π8. 若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）3410. 若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α= A.725B. 15C. 15-D.725- 11. 从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…， n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn12. 已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111712344+++< ……照此规律，第五个．．．不等式为 14. ()5a x -展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 。
高三模拟试卷理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$的定义域为$\{x | -1 \leq x \leq 1\}$，则函数的值域为（）A. $[0,1]$B. $[0,+\infty)$C. $[-1,1]$D. $[-1,+\infty)$答案：B解析：由函数的定义域可知，$x^2 \leq 1$，即$-1 \leq x \leq 1$，则$1-x^2 \geq 0$，所以函数的值域为$[0,+\infty)$。
2. 若$a, b$是方程$x^2 - (a+b)x + ab = 0$的两根，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：由韦达定理可知，$a+b=a+b$，$ab=ab$，则$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab = 4ab$，所以$a^2 + b^2 = 4$。
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - n$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，代入$S_n = 3n^2 - n$得$3n^2 - n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，解得$a_1 + a_n = 6n - 1$。
又因为$a_{10} = a_1 + 9d$，其中$d$为公差，由等差数列的性质得$a_{10} = a_1 + 9d = 6 \times 10 - 1 = 59$，所以$a_{10} = 30$。
4. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $x^2 + y^2 = 2$B. $x^2 + y^2 = 1$C. $x^2 - y^2 =2$ D. $x^2 - y^2 = 1$答案：D解析：由复数的模长公式$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入$|z-1| = |z+1|$得$\sqrt{(a-1)^2 + b^2} = \sqrt{(a+1)^2 + b^2}$，化简得$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2$，解得$a = 0$。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2． （1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
高考理科数学期末模拟试题精编答案5-8套
高考理科数学期末模拟试题精编(五)1．解析：选C.B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝{y |y ≥0}，∵A ＝{x |x ＞1}，∴A B .故选C.2．解析：选C.因为复数z ＝5i1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋i ，所以z ＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，其位于复平面的第三象限．故选C.3．解析：选 C.这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，故B 正确；这12天的AQI 指数值的中位数是95＋1042＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故D 正确，故选C.4．解析：选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 2n a 2n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a r ＝C r 2n a 2n －2r ，令2n －2r ＝0，则r ＝n ，所以其展开式中的常数项为C n 2n ，依题意知，C n 2n ＝252，结合选项得n ＝5.5．解析：选A.在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.6．解析：选C.f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.将函数f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．再将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，即得函数h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．显然函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z)．结合选项知选C.7．解析：选B.开始：A ＝1，B ＝1，k ＝3，执行程序：C ＝2，A ＝1，B ＝2，k ＝4；C ＝3，A ＝2，B ＝3，k ＝5；C ＝5，A ＝3，B ＝5，k ＝6；C ＝8，A ＝5，B ＝8，k ＝7，执行“否”，输出C 的值为8，故选B.8.解析：选B.根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴其外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋22＝283，外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×283＝112π3，故选B. 9．解析：选D.令m ＝1，则a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，又a 1＝1，所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，把以上n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以∑i ＝12 019 1a i＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019－12 020 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 020＝2 0191 010，故选D. 10．解析：选C.y ＝f (x )的零点的个数即函数y ＝π|x |(x ≠0)和函数y ＝－x 2＋3(x ≠0)图象的交点个数，数形结合可知，有2个交点，故选C.11．解析：选 C.|AP →|2＝(x AB →＋y AD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )(2y )≥(3x ＋2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2.又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2.12．解析：选 D.在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .② 由①，②得，|MF 1|＝2aca ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c.显然，|MF 2|＞|MF 1|，∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c ＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1，又e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.13．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线－x ＋y ＝0，平移该直线．由图知，当直线z ＝－x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，即z max ＝1.答案：114．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的通项公式可知，a 5＝3(a 1＋a 4)⇒a 1＋4d ＝3(a 1＋a 1＋3d )，化简得a 1＝－d ，∴S 9a 6＝9a 1＋9×82da 1＋5d ＝27d 4d ＝274.答案：27415．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧2－log 2(－x ＋2)，0≤x ＜22－f (－x )，－2＜x ＜0，由f (x )≤2，可得：⎩⎨⎧0≤x ＜22－log 2(2－x )≤2或⎩⎨⎧－2＜x ＜0，2－(2－log 2(x ＋2))≤2.解得0≤x ≤1或－2＜x ＜0.则f (x )≤2的解集为：{x |－2＜x ≤1}． 答案：{x |－2＜x ≤1}16．解析：①，如图1，AE ，CF 分别为BD 边上的高，由三角形全等可知DE ＝BF ，当且仅当AD ＝AB ，CD ＝BC 时，E ，F 重合，此时AC⊥BD，所以当四面体ABCD为正四面体时，每组对棱相互垂直，故①错误；②，因为AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，所以四面体四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故②正确；③，当四面体为正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°，此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，故③错误；④，如图2，G，H，I，J为各边中点，因为AC＝BD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，故④正确；⑤，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为AC＝BD，所以AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故⑤正确．综上所述，正确的结论为②④⑤.答案：②④⑤17．解：(1)a cos C＋3a sin C－b－c＝0，由正弦定理得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，即sin A cos C＋3sin A sin C＝sin(A＋C)＋sin C，(3分)又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12.(5分) 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(6分) (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.(7分)所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314.(8分)由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75.(9分)设a ＝7x ，c ＝5x (x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x ×12×7x ×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，(11分)故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.(12分)18．解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝5＋15＋1050＝35.(3分)由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，35，故E (X )＝10×35＝6.(6分)(2)设该县山区居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得E (Y )＝100×550＋300×1550＋500×1050＋700×1550＋900×550＝500(度)．(10分)则该自然村年均用电约为500×300＝150 000(度)．又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还剩余电量约150 000度，能为该村创造直接收益为150 000×0.8＝120 000(元)．(12分)19．解：(1)∵PH ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥AB . ∵AB ⊥AD ，AD ∩PH ＝H ，AD ，PH ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD .(3分)又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD .(5分) (2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，如图，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴z 轴∥PH .则A (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0，2,0)，设AH ＝a ，PH ＝h (0＜a ＜2，h ＞0)．则P (0，a ，h )．∴AP →＝(0，a ，h )，DP →＝(0，a －2，h )，AC →＝(1,1,0)． ∵PA ⊥PD ，∴AP →·DP →＝a (a －2)＋h 2＝0.(*) ∵AC 与PD 所成角为60°，∴|cos 〈AC→，DP →〉|＝|a －2|2·(a －2)2＋h 2＝12，∴(a －2)2＝h 2，代入(*)式得(a －2)(a －1)＝0，∵0＜a ＜2，∴a ＝1.∵h ＞0，∴h ＝1，∴P (0,1,1)．(8分)∴AP→＝(0,1,1)，AC →＝(1,1,0)，PC →＝(1,0，－1)，DC →＝(1，－1，0)，设平面APC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·AP →＝y ＋z ＝0n ·AC →＝x ＋y ＝0，得平面APC 的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，设平面DPC 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)．由⎩⎨⎧m ·PC→＝x ′－z ′＝0m ·DC →＝x ′－y ′＝0，得平面DPC 的一个法向量为m ＝(1,1,1)．(10分)∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝1×1－1×1＋1×13·3＝13.∵二面角A -PC -D 的平面角为钝角，∴二面角A -PC -D 的余弦值为－13.(12分) 20．解：(1)由题意知直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋b ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由l 与圆O 相切，得|b |k 2＋1＝1.∴b 2＝k 2＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y ＝x 2－2，消去y ，并整理得x 2－kx －b －2＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－b －2.(2分)由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴(1＋k 2)(－b －2)＋k 2b ＋b 2＝0，∴b 2(－b －2)＋(b 2－1)b ＋b 2＝0，∴b 2＋b ＝0.∴b ＝－1或b ＝0(舍)．当b ＝－1时，k ＝0，故直线l 的方程为y ＝－1.(5分)(2)设Q (x 3，y 3)，R (x 4，y 4)，则k QR ＝y 3－y 4x 3－x 4＝(x 23－2)－(x 24－2)x 3－x 4＝x 3＋x 4，∴x 3＋x 4＝－ 3.设PQ ：y －y 0＝k 1(x －x 0)，由直线与圆相切，得|y 0－k 1x 0|k 21＋1＝1，即(x 20－1)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0.设PR ：y －y 0＝k 2(x －x 0)，同理可得(x 20－1)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0.故k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两个根，故k 1＋k 2＝2x 0y 0x 20－1.(8分)由⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋y 0－k 1x 0y ＝x 2－2，得x 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0－2＝0，故x 0＋x 3＝k 1.同理可得x 0＋x 4＝k 2.则2x 0＋x 3＋x 4＝k 1＋k 2，即2x 0－3＝2x 0y 0x 20－1. ∴2x 0－3＝2x 0(x 20－2)x 20－1，解得x 0＝－33或x 0＝ 3.(11分) 当x 0＝－33时，y 0＝－53；当x 0＝3时，y 0＝1. 故P ⎝⎛⎭⎪⎫－33，－53或P (3，1)．(12分) 21．解：(1)f ′(x )＝a x －1－1x 2＝－(x 2－ax ＋1)x 2，x ∈(0，＋∞)．(1分)由题意，得x 2－ax ＋1＝0在(2，＋∞)上有根(且不为重根)，即a ＝x ＋1x 在x ∈(2，＋∞)上有解．∵y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＋1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. ∴当a ＞52时，f (x )在(2，＋∞)上存在极值点． ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(4分) (2)当0＜a ≤2时，易知x 2－ax ＋1≥0，∴f ′(x )＝－(x 2－ax ＋1)x 2在(0，＋∞)上满足f ′(x )≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x 2)－f (x 1)不存在最大值，故a ＞2.(5分)易知当a ＞2时，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正实数根，设为m ，n ，且0＜m ＜1＜n ，此时⎩⎨⎧ m ＋n ＝a mn ＝1，当0＜x ＜m 或x ＞n 时，f ′(x )＜0，当m ＜x ＜n 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，m )上单调递减，在(m ，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减．对∀x 1∈(0,1)，有f (x 1)≥f (m )，对∀x 2∈(1，＋∞)，有f (x 2)≤f (n )，∴[f (x 2)－f (x 1)]max ＝f (n )－f (m )．(6分)∴M (a )＝f (n )－f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln n －n ＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln m －m ＋1m ＝a ln n m ＋(m －n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1m ，又a ＝m ＋n ，mn ＝1， ∴M (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ln n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ln n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －n .(8分) ∵2＜a ≤e ＋1e ，∴m ＋n ＝1n ＋n ≤e ＋1e，n ＞1.又y ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上单调递增，∴n ∈(1，e]．(9分)设h (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ln x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，x ∈(1，e]，则h ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1ln x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 1x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2ln x ，x ∈(1，e]． ∴h ′(x )＞0，即h (x )在(1，e]上单调递增．∴h (x )max ＝h (e)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ln e ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ＝4e.∴M (a )存在最大值，最大值为4e.(12分) 22．解：(1)∵ρ＝2cos θ－2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，(1分)∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，(4分) ∴圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22.(5分) (2)∵直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，(8分) ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是d 2－r 2＝52－12＝2 6.(10分)23．解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x |，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13，故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞.(5分)(2)由f (x )≤g (x )得a ≥|2x ＋1|－|x |，令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，(7分)则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x ≤－123x ＋1，－12＜x ＜0x ＋1，x ≥0.作出图象如图所示，由图象知h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12，所以实数a 的取值范围为a ≥－12.(10分) 高考理科数学期末模拟试题精编(六)1．解析：选B.因为A ＝{x ∈N|πx ＜16}＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}＝{x |1＜x ＜4}，故∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，故A ∩(∁R B )＝{0,1}，故A ∩(∁R B )的真子集的个数为3，故选B.2．解析：选C.∵1－3＋2i ＝－3－2i (－3＋2i )(－3－2i )＝－313－213i ， ∴1－3＋2i 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－213，在第三象限，故选C. 3．解析：选B.根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.004×25＝0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝800.1＝800. 4．解析：选D.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°＝cos 70°sin 50°＋cos 20°sin 40°＝cos 70°sin 50°＋sin 70°cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. 5．解析：选A.当这三名歌手中没有A 和B ，共有A 33＝6(种)情况；当A 、B 中只有一人出席演唱活动，则有C 12C 23A 33＝36(种)情况；当A 、B 均出席演唱活动，共有C 13A 33A 22＝9(种)情况．由分类加法计数原理得不同的出场方法有6＋36＋9＝51(种)，故选A.6．解析：选C.程序运行如下：输入x ＝4，判断|4－1.5|＝2.5＜4，执行x ＝4＋2＝6；输入x ＝6，判断|6－1.5|＝4.5＞4，执行x ＝|6＋3|＝9，判断92＝81＜150；执行x ＝|9＋3|＝12，判断122＝144＜150；执行x ＝|12＋3|＝15，判断152＝225＞150；输出x ＝15.故选C.7．解析：选D.g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图象符合选项D 中的图象． 8．解析：选D.该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥，∴该几何体的表面积为S ＝6×22＋π×1×12＋22－π＝24＋π(5－1)，故选D.9．解析：选D.由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2， ∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D. 10．解析：选A.设点P 的坐标为(x ，y )，则OP→＝(x ，y )，OP →＝λm ＋μn ＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，∴⎩⎨⎧ x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2μ≥0，λ＋μ≥0，μ≥－1，2λ＋3μ≤3，此不等式组对应的平面区域如图中的阴影部分所示．设z ＝λ－μ，则μ＝λ－z ，当z 变化时，它表示一组与μ＝λ平行的直线在μ轴上的截距为－z ，当直线μ＝λ－z 在μ轴上的截距最小时z 最大．由图可知，当直线经过点A (3，－1)时，直线在μ轴上的截距最小，从而z 取得最大值z max ＝3－(－1)＝4，故选A.11．解析：选D.由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)．所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32(|AF |＋|BF |)22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝ －12，而0＜∠AFB ＜π，所以∠AFB 的最大值为2π3. 12．解析：选A.函数g (x )＝f (x )＋mx 有7个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点．当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x －x＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＜0，此时f (x )单调递减，且f (1)＝0，f (2)＝ln 2－1.由f (2－x )＝f (x )知函数图象关于x ＝1对称，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的函数．易知m ≠0，当－m ＜0时，作出函数y ＝f (x )与y ＝－mx 的图象，如图所示．则要使函数y ＝f (x )的图象与y ＝－mx 的图象有7个交点，需有⎩⎨⎧ －8m ＜f (8)－6m ＞f (6)，即⎩⎨⎧ －8m ＜ln 2－1－6m ＞ln 2－1，解得1－ln 28＜m ＜1－ln 26. 同理，当－m ＞0时，可得ln 2－16＜m ＜ln 2－18. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫ln 2－16，ln 2－18 ∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－ln 28，1－ln 26. 13．解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(t,1)，所以a ＋b ＝(t ＋1,0)，a －b ＝(1－t ，－2)，因为(a ＋b )∥(a －b )，所以－2(t ＋1)＝0，∴t ＝－1.答案：－114．解析：设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a .该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bc a .由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以 a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c a ＝54. 答案：5415．解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．解析：反过来推：七 六 五 四 三 二 一2 4 8 16 32 64 1282 4 8 16 32 64 212 4 8 16 5 10 202 4 8 16 5 10 32 4 1 2 4 8 162 4 1 2 4 1 2答案：2 3 16 20 21 12817．解：(1)∵S n ＝2a n －a 1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1，(1分)∴a n ＝2a n －2a n －1，化为a n ＝2a n －1.(2分)由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列得，2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，(3分) ∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.(4分)∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2.∴a n ＝2n .(6分)(2)∵a n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.(8分) ∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋1(2n ＋1－2)(2n ＋2－2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1.(10分) ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1.(12分) 18．解：设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，12)．依题意知，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(2分) (1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12，所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝512. 即此人到达当日空气重度污染的概率为512.(5分) (2)由题意可知，ζ的所有可能取值为0,1,2,3，(6分)P (ζ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14，(7分) P (ζ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212＝16，(8分)P (ζ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212＝16，(9分)P (ζ＝1)＝1－P (ζ＝0)－P (ζ＝2)－P (ζ＝3)＝1－14－16－16＝512，(10分)(或P (ζ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 10)＝512)所以ζ的分布列为(11分)故ζ的期望E (ζ)＝0×14＋1×512＋2×16＋3×16＝54.(12分)19.解：(1)以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)．(2分)设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0，且AS →＝(x －2，y －2，z )，BS→＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )． 由|AS →|＝|BS →|， 得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝1. 由|DS →|＝1，得y 2＋z 2＝1. ①由|BS →|＝2，得y 2＋z 2－4y ＋1＝0. ②(4分) 由①②，解得y ＝12，z ＝32.∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，32，∴DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，且AS ∩BS ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .(6分)(2)设平面SBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥BS →，n ⊥CB →，∴n ·BS →＝0，n ·CB→＝0. 又BS →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，(8分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝02y 1＝0，取z 1＝2，得n ＝(－3，0,2)．(10分)∵AB →＝(－2,0,0)，∴cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－2×(－3)2×7＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.(12分) 20．解：(1)由题意知，离心率e ＝63＝c a ，所以c ＝63a ，b ＝33a ，所以x 2＋3y 2＝a 2，将y ＝x ＋2代入得4x 2＋12x ＋12－a 2＝0，由Δ＝122－4×4×(12－a 2)＝0，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(5分)(2)设线段AP 的中点为D ，因为|BA |＝|BP |，所以BD ⊥AP ，由题意得直线BD 的斜率存在且不为零，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜3y 0≠0)，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋22，y 02，直线AP 的斜率k AP ＝y 0x 0－2，所以直线BD 的斜率为－1k AP＝2－x 0y 0，所以直线BD 的方程为y －y 02＝2－x 0y 0⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －x 0＋22.(8分) 令x ＝0，得y ＝x 20＋y 20－42y 0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，x 20＋y 20－42y 0，(9分) 由x 203＋y 20＝1，得x 20＝3－3y 20，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 20－12y 0， 所以四边形OPAB 的面积为S四边形OPAB ＝S △OPA ＋S △OAB ＝12×2×|y 0|＋12×2×|－2y 20－12y 0|＝|y 0|＋|2y 20＋12y 0|＝2|y 0|＋12|y 0|≥22|y 0|×12|y 0|＝2，当且仅当2|y 0|＝12|y 0|，即y 0＝±12时，等号成立，所以四边形OPAB面积的最小值为2.(12分)21．解：(1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ．(1分)令f ′(x )＞0，则x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1e ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，(3分)∴函数f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值．故f (x )的最小值为－1e，无最大值．(4分)(2)令F (x )＝f (x )＋x x －1＝x ＋x ln x x －1，则F ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2.(5分)设h (x )＝x －2－ln x ，则h ′(x )＝1－1x ，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－ln 4＞0，∴存在x 0∈(3,4)，使h (x 0)＝0，即x 0－2－ln x 0＝0，∴ln x 0＝x 0－2，当x ∈(1，x 0)时，h (x )＜0，F ′(x )＜0，∴F (x )在(1，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，F ′(x )＞0，∴F (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．(7分)∴函数F (x )的最小值为F (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0(x 0－2)x 0－1＝x 0.∵x 0∈(3,4)，∴k 的最大值为3.(8分)(3)由题意知x ln x ＋x 2＝mx 2在区间[1，e 2]上有唯一实数解，也即m ＝1＋ln xx 有唯一解．令g (x )＝1＋ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.(9分)令g ′(x )＞0，则0＜x ＜e ；令g ′(x )＜0，则x ＞e ，∴函数g (x )在[1，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减，(10分)g (1)＝1＋ln 11＝1，g (e 2)＝1＋ln e 2e 2＝1＋2e 2，g (e)＝1＋ln e e ＝1＋1e .根据函数的图象可知，m ＝1＋1e 或1≤m ＜1＋2e 2.(12分)22．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.(2分)∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(5分)(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xx ＝a ＋2t y ＝1＋2t，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )＞0，即a ＞0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2.根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|，又|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.(7分)∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a2，解得a ＝136＞0，符合题意．(8分)当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a2，解得a ＝94＞0，符合题意．(9分)综上所述，实数a 的值为136或94.(10分)23．解：(1)由题f (x )≤2－|x －1|，可得|x －a2|＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x －a 2|＋|x －1|≥|a2－1|，(2分)由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得|a2－1|≤1，即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．(5分)(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即a2＜1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜a 2x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤13x －a －1(x ＞1).(7分)所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.(10分)高考理科数学期末模拟试题精编(七)1．解析：选B.A ＝{x |x (x －2)＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则A ∪B ＝R.2．解析：选B.根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512.3．解析：选B.由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，－1≤sinθ≤1，∴－118≤sin θ－38≤58，∴0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382≤2564，∴0≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382≤2516，∴－916≤4(sin θ－38)2－916≤1616，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1.4．解析：选B.由题意，知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋5×42×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升，故选B.5．解析：选C.由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x 为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件，故选C.6．解析：选C.依题意，应填入的条件是x ＞N .选C. 7．解析：选A.展开式中x2y 的系数为C 25(－1)2·C 13(－a )，∴C 25(－1)2·C 13(－a )＝－30a ＝－150，解得a ＝5，从而令x ＝y ＝1，则展开式中各项系数和为－55.8．解析：选D.将三视图还原成直观图为长方体截去一个三棱柱后所剩部分，如图所示，则S 梯形ABCD ＝(4＋2)×22＝6，所以该几何体的体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝6×5＝30.9．解析：选A.解法一：由题图可知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π3个单位长度得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3，选A.解法二：由题图可知A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．由于把f (x )的图象向右平移π3个单位长度得到g (x )的图象，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3，选A.10.解析：选B.当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，易知x ＝2，x ＝4满足2x －x 2＝0，故当x ＞0时，f (x )有2个零点，故只需当x ≤0时，f (x )有1个零点，作出函数g (x )＝e |x ＋2|(x ≤0)的图象如图所示，由图可知，当a ＝1或a ＞e 2时，f (x )在(－∞，0]上有1个零点，故选B.11．解析：选B.联立抛物线x 2＝2py 与直线y ＝2x ＋2的方程，消去y 得x 2－4px －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝16p 2＋16p ＞0，x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ，∴Q (2p,2p )．∵|2QA→＋QB →|＝|2QA →－QB →|， ∴QA →·QB →＝0，∴(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝0，即(x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )(2x 2＋2－2p )＝0，∴5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，将x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p 代入，得4p 2＋3p －1＝0，得p ＝14或p ＝－1(舍去)．故选B.12．解析：选B.由a n ＋1－a n ＝a 2n ，可得1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)(易知a n ＞0)，可得1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，a n a n ＋1＝1－a na n ＋1＝1－1a n ＋1，所以a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a ma m ＋1＝1－1a 1＋1＋1－1a 2＋1＋…＋1－1a m ＋1＝m －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a m －1a m ＋1 ＝m －12＋1a m ＋1，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a m a m ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m －12＋1a m ＋1，又a n ＋1＝a 2n ＋a n ＞a n ，所以数列{a n }是正项单调递增数列，又a m ＋1＞2，所以0＜1a m ＋1＜12，所以m －1＝2 018，即m ＝2 019.13．解析：因为|a |＝2，|a －2b |＝27，所以(a －2b )2＝28， 即4－4a·b ＋4|b |2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°， 所以4－4×2×|b |cos 60°＋4|b |2＝28，解得|b |＝3. 答案：314．解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线y ＝3x ，平移直线由图可知：当直线y ＝3x －z 经过B点时z 最大，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0x ＋y －3＝0，解得B (1,2)，∴z max ＝3×1－2＝1.答案：115．解析：由题意知c ＝4＋b 2，则F 2(4＋b 2，0)又双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，不妨取A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋b 2，b4＋b 22， B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋b 2，－b4＋b 22，得|AB |＝b 4＋b 2＝35，即b 4＋4b 2－45＝0，得b 2＝5，故F 1(－3,0)，易知当点P 在双曲线的右支上时，|PM |＋|PF 2|才可取到最小值，且|PM |＋|PF 2|＝|PM |＋|PF 1|－4，要求|PM |＋|PF 2|的最小值，只需求|PM |＋|PF 1|的最小值，当P 、M 、F 1三点共线时取得最小值，此时|PM |＋|PF 1|＝|MF 1|＝72＋12＝52，故(|PM |＋|PF 2|)min ＝52－4. 答案：52－416.解析：连接HC ，过D 作DM ⊥HC ，连接ME ，MB ，因为BC ⊥平面HCD ，又DM ⊂平面HCD ，所以BC ⊥DM ，因为BC ∩HC ＝C ，所以DM ⊥平面HCBE ，即D 在平面HCBE 内的射影为M ，所以△EBD 在平面HCBE 内的射影为△EBM ，在长方体中，HC ∥BE ，所以△MBE 的面积等于△CBE 的面积，所以△EBD 在平面EBC 上的射影的面积为12×52＋32×4＝234.答案：23417．解：(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠B，解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32，则∠BDC ＝π3或2π3.(3分)又△ABC 是锐角三角形，则∠BDC ＝2π3.又DA ＝DC ，则∠A ＝π3.(5分)(2)由于B ＝π4，BC ＝1，△BCD 的面积为16，则12BC ·BD ·sin π4＝16，解得BD ＝23.(7分)在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos π4＝1＋29－2×23×22＝59，即CD ＝53.又AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝5＋23，故边AB 的长为5＋23.(12分) 18．解：(1)由已知，得(0.002＋0.009＋0.022＋a ＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝1，解得a ＝0.033.(4分)(2)Z ～N (200,12.22)，从而P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.(6分)(3)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：根据题意，生产该食品的平均成本为70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.(12分)19．解：(1)证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF 綊12AB .∵DC 綊12AB ，∴CD 綊GF ，∴四边形CFGD 为平行四边形，∴CF ∥DG .(1分)∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF .∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE .(2分)∵CF ∥DG .∴DG ⊥平面ABE .∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE .(4分)(2)解：过E 作EO ⊥BC 于O .∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥EO .∵AB ∩BC ＝B ，∴EO ⊥平面ABCD .(5分)以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A (0，－2,4)，B (0，－2,0)，D (0,2,2)，E (23，0,0)，∴ED →＝(－23，2,2)，EA→＝(－23，－2,4)，EB →＝(－23，－2,0)．(6分) 设平面EAD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎨⎧n ·ED→＝0，n ·EA →＝0，即⎩⎨⎧－3x 1＋y 1＋z 1＝0，－3x 1－y 1＋2z 1＝0.取z 1＝2得x 1＝3，y 1＝1，则n ＝(3，1,2)，(8分)设平面BDE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则有⎩⎨⎧m ·ED→＝0，m ·EB →＝0，即⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＋z 2＝0，3x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝－3，z 2＝23，则m ＝(1，－3，23)．(10分)∴cos 〈n ，m 〉＝(3，1，2)·(1，－3，23)(3)2＋12＋22×12＋(－3)2＋(23)2＝64.又由图可知，二面角A -DE -B 的平面角为锐角，∴其余弦值为64.(12分) 20．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.(3分) ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a . ∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 1→||PF 2→|cos 〈PF 1→，PF 2→〉＝1，∴9|PF 1→||PF 2→||PF 2→||PF 1→|＝1，∴9|PF 2→|2＝9b 4a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 299b 4a 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝9b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(6分)(2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.(7分)∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)＞0，即m 2－k 2－9＜0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9＜0－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)＜0.∵k 2＋9＞0，∴k 2＋94k 2－1＜0，∴k 2＞3，解得k ＞3或k ＜－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.(12分)21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，(2分)①若a ≤0，对任意的x ＞0，均有f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；②若a ＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(5分) (2)因为h (x )＝f (x ＋1)＋g (x )＝ln(x ＋1)－ax ＋e x ，所以 h ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a .(7分)令φ(x )＝h ′(x )，因为x ∈(0，＋∞)，φ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＝(x ＋1)2e x －1(x ＋1)2＞0，所以h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，h ′(x )＞h ′(0)＝2－a ，①当a ≤2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )＞h (0)＝1恒成立，符合题意；(9分)②当a ＞2时，h ′(0)＝2－a ＜0，h ′(x )＞h ′(0)，所以存在x 0∈(0，＋∞)，使得h ′(x 0)＝0，所以h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，在(0，x 0)上单调递减，又h (x 0)＜h (0)＝1，所以h (x )＞1不恒成立，不符合题意．(11分)综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．(12分)22．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22， 得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0.(2分)依题意，设P (2cos t,2sin t )，则点P 到直线l 的距离 d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝|22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π4＋4|2＝22＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π4.当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2.(5分)(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4＞0恒成立，即a 2＋4cos(t ＋φ)＞－4(其中tan φ＝2a )恒成立，∴a 2＋4＜4，又a ＞0，∴0＜a ＜2 3.故a 的取值范围为(0,23)．(10分) 23．解：(1)由题得，f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3， x ＜－2－3x －1， －2≤x ≤12，x －3， x ＞12.(3分)若f (x )＞0，解得x ＜－13或x ＞3，故不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13或x ＞3.(5分)(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2＜4a ，即f (x 0)＜4a －2a 2有解，由(1)得，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1＝－52，故－52＜4a －2a 2，解得－12＜a ＜52. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52.(10分)高考理科数学期末模拟试题精编(八)1．解析：选D.由题意得，M ＝(0,2)，N ＝[－1,1]，故M ∩N ＝(0,1]，选D.2．解析：选D.由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.3．解析：选A.由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，则⎩⎨⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，则zIm (z )＝2＋i－1＝－2－i.4．解析：选D.输入x ＝2.4，则y ＝2.4，x ＝[2.4]－1＝1＞0，∴x ＝y 2＝1.2；y ＝1.2，x ＝[1.2]－1＝0，∴x ＝y2＝0.6；y ＝0.6，x ＝[0.6]－1＝－1＜0，则输出z 的值为：z ＝x ＋y ＝－1＋0.6＝－0.4，故选D.5．解析：选B.由函数f (x )的最小值为－2，A ＞0，得A ＝2.∵f (x )的最小正周期T ＝π，ω＞0，∴ω＝2πT ＝2.又f (0)＝1，∴2sin φ＝1，即sin φ＝12.又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π.又x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π上是减函数，故选B.6．解析：选C.由双曲线方程可求出F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2→＝(3－x 0，－y 0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)(3－x 0，－y 0)≥0，即x 20－3＋y 20≥0.∵点P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即y 20＝x 202－1，∴x 20－3＋x 202－1≥0，∴x 0≥263或x 0≤－263，故选C. 7.解析：选C.作出不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ≤4，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，对于p 1，当取图中△BOC 内(包括边界)的点时，2y ≤x ，由⎩⎨⎧ x －y ＝0，x ＝4可得A (4,4)，由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＝4可得C (4,2)，故S △OAB ＝12×4×4＝8，S △OBC ＝12×4×2＝4，则所求概率为S △OBC S △OAB ＝48＝12，故p 1正确；对于p 2，当且仅当目标函数z ＝x ＋2y 经过点A (4,4)时取得最大值，则z max ＝4＋2×4＝12，故p 2正确；对于p 3，当x 0＝0，y 0＝0时，2x 0－y 0＝0，故p 3正确；对于p 4，x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y ＋2)2表示的几何意义是平面区域内的动点(x ，y )到定点(－1，－2)的距离的平方，因为(x ＋1)2＋(y ＋2)2≤(4＋1)2＋(4＋2)2＝61，所以x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5的最大值为61，又61＜64，故p 4错误，选C.8．解析：选C.由题意，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12，又当2x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，0时，g (x )≥6，则所求概率为0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π80－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝14. 9．解析：选D.在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面；D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D.10．解析：选B.由a cos B ＝b cos A 及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin(A －B )＝0，故B ＝A ＝π6，c ＝3a ，由余弦定理得16＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2c ·a 2cos π6，得 a ＝877，c ＝8217，S ＝12ac sin B ＝1637. 11．解析：选D.令f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋1，则f (x )＝(x －1)(x －1－2)(x －1＋2)．令f (x )＝0，则x 1＝1－2，x 2＝1，x 3＝1＋2，令f (x )＞0，则1－2＜x ＜1或x ＞1＋2，令f (x )＜0，则x ＜1－2或1＜x ＜1＋ 2.由符号函数sgn(x )的定义可知应选D.12．解析：选B.由题意知，a ＝2，c ＝4－3＝1.由角平分线的性质得，|PI ||IQ |＝|F 1P ||F 1Q |＝|F 2P ||F 2Q |，利用合比定理及椭圆的定义得，|PI ||IQ |＝|F 2P |＋|F 1P ||F 2Q |＋|F 1Q |＝2a 2c ＝2，所以|IQ ||PI |＝|F 1Q ||F 1P |＝12，则|PQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |＝|PI |＋|IQ ||PI |。
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黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（五）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分， 1．3＋i 1＋i
等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i
D ．2－i
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 3. 已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =
A. {}1
B. {12}，
C. {}0123，
，， D.
{10123}-，，，，
4. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） B ．137
C ．123
D ．93 5. 定积分1
0(2)x x e dx +⎰的值为（ ）
.2Ae
+ .1B e + .C e .1De - 6. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，
则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
8. 若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =
-∈ （D ）()ππ212
Z k x k =+∈ 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
10. 若π
3
cos 45
α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，则sin2α=
A.
725
B. 15
C. 15
-
D. 725
-
11. 从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…， n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为 （A ）
4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）
2m
n
12. 已知1F ，2F 是双曲线E ：22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M
在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 211
3
MF F ∠= ,则E 的离心率为
（A ）2 （B ）32
（C ）3 （D ）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 观察下列不等式
213122+
< 231151233++<，
222111712344+
++< ……
照此规律，第五个．．．
不等式为 14. ()5
a x -展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 。
15. 若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方 程_______.
16. 已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n 项和为S n ,且12-=n n a s (1)求证：数列{a n }是等比数列； (2)求数列
{}n na 的前n 项和n
T .
18. （本小题满分12分）生产A,B 两种元件,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指 标分数 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94
) [94,100]
元件A 8 12 40 32 8 元件B
7
18
40
29
6
(1) 试分别估计元件A,元件B 为正品的概率;
(2) 生产1件元件A,若是正品,则可盈利40元;若是次品,则亏损5元;生产1件元件B,若是正品,则可盈利50元;若是次品,则亏损10元.在(1)的前提下.
记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和均值;
19.（本小题满分12分）
如图,正方形ABCD 所在平面与等腰三角形EAD 所在平面相交于AD ,EA=ED ,AE ⊥平面CDE.
(1)求证:AB ⊥平面ADE ;
(2)设M 是线段BE 上一点,当直线AM 与平 面EAD 所成角的正弦值为3
2
2时,试确定点M 的位置. 20.（本小题满分12分）
设点P(2,0)-，Q(2,0)，直线PM ，QM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
4-.
（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l 的斜率为1，直线l 与轨迹C 交于,A B 两点．设O 为坐标原点,求
OAB ∆面积的最大值.
21.已知函数f(x)=ax 2+bx-ln x(a>0,b ∈R). (1)设a=1,b=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若x=1是f(x)的极值点,试比较ln a 与-2b 的大小.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时请写清题号.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋t ，
y ＝kt
(t 为参数)，
直线l 2
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－2＋m ，
y ＝m
k
(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，
当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
(2)求at
+12+bt的最大值.
23.[选修4—5：不等式选讲]
已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a,b的值;
20.解：（I）设M坐标为(x,y) ∵
1
4
PM QM
k k=-∴
1
224
y y
x x
=-
-+
则M的轨迹C的方程
2
21(2) 4
x
y x
+=≠±
………5分(漏写限制条件扣1分)
（II）设直线l的方程为y＝x＋m，点
1122
(,),(,)
A x y
B x y，
联立2
21
4
y x m
x
y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
整理得22
58440
x mx m
++-=
所以22
801605
m m
∆=-><
得则
2
12
4102
||2||
5
m
AB x x
-
=-=
点O到直线l的距离
2
d=………………9分
因此
22
2
1225
||||51
2552
OAB
m m
S d AB m m
∆
+-
==-≤=
当且仅当2
510
,
22
m m
==±时取得最大值．
所以三角形面积最大值为1 ………………12分
22．解(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝
1
k
(x＋2)．设P(x，y)，由题设得
解 (1)由|x+a|<b ,
得-b-a<x<b-a , 则
-b -a =2,b -a =4,
解得a=-3,b=1. (2) -3t +12+ t = 3 4-t + t
≤ [( 3)2+12][( 4-t )2+( t )2]=2 4-t +t =4, 当且仅当
4-t 3
=
t
1
,即t=1时等号成立.
故( -3t +12+ t )max =4.
⎩⎨⎧
y ＝kx －2，y ＝1k
x ＋2，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝
4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)， 联立⎩⎨
⎧
ρ2
cos 2
θ－sin 2
θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0，
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝1
10
.
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 23.。