第五讲 模拟信号的数字化(第1-2节)

M ( f ) 0,
f fH
则该信号称为带限信号。

低通信号和带通信号 若信号的上截止频率为 f H ，下截止频率为f L
带宽为B f H - f L ，当 f L B 时，通常称该信 号为低通信号。当 f L B 时，通常称该信号为 带通信号。
8
3.1 模拟信号的抽样
抽样问题的内涵：
29
3.1 模拟信号的抽样
例3-1 某中频带通信号的中心频率为110MHz，信号 带宽为B=6MHz，对此信号进行带通抽样，在恢复 信号时使用理想带通滤波器。试计算能无失真恢复 信号的最低抽样频率。 该带通信号的上截止频率： f H 113MHz 下截止频率： f L 107MHz
N 107 / 6 17 f L / B
限幅区
uo(v)5

3.2.2 均匀量化
dk
… d1 q0 aL d0 量化值 q2 q1 …
正常量化区
4 xk 3 2 q 1 k 0 量化间隔 -1 -2 -3 量化间隔都相等的量化称为均匀量化 -4 -5 -5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ui (v)
…
d2 判决电平
e ( v )
t
5
本章学习目标

掌握低通信号和带通信号的抽样定理； 掌握模拟信号的量化方法，包括均匀量化和 非均匀量化； 理解脉冲编码调制（PCM）的原理，重点掌 握码字码型、A律13折线编码; 了解差分脉码调制（DPCM）和增量调制 （ΔM）技术; 了解时分复用和复接的基本原理。
6



主要内容
第3章 模拟信源数字化与信源编码

低通抽样定理的含义
低通模拟 信号x(t)
抽样信号 x s ( t)
Ts
当fs (=1/Ts）满足抽样定理（fs≥2fH）时： 收端重建的模 拟信号x’(t)
10
3.1 模拟信号的抽样

抽样定理的证明

x(t)
时域上：
×
xs(t)
xs ( t ) x( t )Ts ( t )

T ( t )
1
例子

Motorola SmartNet：
典型的模拟制集群通信系统，采用半双工工 作方式，信道间隔是25kHz。话音调制主要采用 频率调制方式，话音信号频率范围为300-3400Hz， 峰值频偏为5kHz。 已调信号带宽： B 2(fmax + fm )kHz=16.2kHz 调频指数： m 5 / 3.1=1.61
Xs( f )
...
0
(m-1) 正
m负
(m+1) 负
...
f
fL
fH
( m + 1) f s - f H
mf s - f L

如果要求各边带之间等间隔，则
fL - ( mfs - fL ) [( m + 1) fs - fH ] - fH

边带之间等间隔的抽样频率
2( fL + fH ) fs 2m + 1
s
频域上：
1 X s (w) [ X ( w ) * Ts ( w )] 2 Ts (w)是周期性单位冲激脉冲Ts(t)的频谱
2 Ts ( w ) Ts
2 (w - n ) Ts n -

11Hale Waihona Puke Baidu
3.1 模拟信号的抽样
1 X s (w) 2 1 Ts

2 X (w) * Ts
3.1 模拟信号的抽样
fs≥2fH
-2 f s Xs(f)
…
- f s -fH 0 fH X'(f) -fH 0 fH f fs fs-fH 2fs fs+fH
f
fs<2fH
…
-2fs -fs 0
Xs(f)
…
fs fs-fH X'(f) 2fs fs+f
H
f
-fH 0 fH
f
14
3.1 模拟信号的抽样
3.1 模拟信号的抽样
x(t )
时 域 信 号
F
X ( )
-1
F
Ts (t )
0 t
-ωH 0 ωH ω
Ts ()
…
…
-2ωs -ωs
频 域 信 号
…
-2T -T 0
…
0
ωs
T 2T t
S (t )
…
-2T -T 0
S ( )
ωs
2ωs ω
…
T 2T t
…
-2ωs -ωs
…
0
2ωs ω
13
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 模拟信号的抽样 量化 脉冲编码调制(PCM) 差分脉冲编码调制 增量调制 时分复用



7
3.1 模拟信号的抽样

带限信号（Band-Limited Signals） 实际中遇到的信号往往是频带受限的信号，对 于任意实信号 m ( t )，其傅氏变换 M ( f ) 满足
fs - fL
f

只要保证频域延拓后的各个边带之间不
重合即可。

使频域延拓后的边带进入0 ~ fL，即可实
现降低抽样频率的目的。
24
3.1 模拟信号的抽样

带通抽样的讨论
- fs
Xs( f )
1负
(1) 当B f L 2B时 （ , 0, f L）的区间可以容纳一个 边带
fs
2负
2 fs
-fH -fL
0
fL fH
f
2 fs - fH
fs - fH
fs - fL
延拓边带之间不重叠的条件： fs - fL fL ; 即 fs 2 fL
2 fs - f H f H ; 即 fs f H
25
3.1 模拟信号的抽样
( 2) 当2B f L 3B时 （ , 0, f L）的区间可以容纳两个 边带
17
3.1 模拟信号的抽样
V. A. Kotelnikov 科捷利尼科夫 第一个准确系统 地阐述抽样定理并将 它应用于通信工程领 域的科学家 。 俄罗斯文献中称为 “科捷利尼科夫采样 定理”。
18
3.1 模拟信号的抽样
3.1.2

信号的重建
频域上：
当fs 2fH时，用一个截止频率为fH的理 想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原 信号。
率2fH称为奈奎斯特速率：
fs 2 f H
与此相应的最大抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。
低通采样定理又称为Nyquist采样定理，或者 Shannon采样定理；在前苏联文献中还被称为科 捷利尼科夫采样定理。

16
3.1 模拟信号的抽样
Harry Nyquist (1889-1976)
Claude Elwood Shannon (1916-2001)
- fs
-1负 -3正 -2正 1负
Xs ( f )
-1正 2负
fs
3负
2 fs
1正
-fH -fL
0
2 fs - fL
fL
fH
3 fs - fH
f
2 fs - fL fL ; 即 fs fL 2 3 fs - f H f H ; 即 fs f H 3
26
3.1 模拟信号的抽样
(3) 当（ 0, f L）的区间容纳 m个边带时
2 113 2 107 fS 17 + 1 17
取m N 17
最低抽样频率为12.56MHz。
30
主要内容
第3章 模拟信源数字化与编码
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 模拟信号的抽样 量化 脉冲编码调制 (PCM) 差分脉冲编码调制 增量调制 时分复用
复习：卡森公式

调频信号的带宽：
卡森公式
BFM 2( m f + 1) f m 2( fmax + f m ) 2(DFM + 1) fm
其中 DFM fmax / fm

频偏比
mf <<1时，BFM=2fm是窄带调频的带宽
mf >>1时，BFM=2fmax，这是宽带调频情况， 带宽由最大频偏决定。

分析：
低通模拟信号x(t)的最高频率小于fH，若频 率间隔fs 2fH，则Xs(f)中包含的每个原信号频 谱X(f)之间互不重叠。这样就能够从Xs(f)中用一 个低通滤波器分离出信号x(t)的频谱X(f)，也就 是能从抽样信号中恢复原信号。
15
3.1 模拟信号的抽样
即抽样频率fs应不小于fH的两倍。这一最低抽样速

2 ( w - n ) Ts n -

2 X (w - n ) Ts n -
2 ws Ts
X(w - nws )是信号频谱X(w)在频率轴上的线
性搬移。
抽样信号的频谱Xs(w)是无数间隔频率为采样 角频率ws的原信号频谱X(w)相叠加而成-周期延 拓。

12

31
3.2 量化

量化的原因
抽样后时间上信号离散,但幅度仍然连 续变化（幅度取值是无限的）接收时无法 准确判定样值。

解决办法：
用有限的电平来表示抽样值，且电平间 隔比噪声大，则可准确恢复样值。
32
3.2 量化

3.2.1 量化的基本概念

定义 按预先规定的有限个电平表示模拟抽样值的过 程。 量化器
3.2 量化
量化的分类 均匀量化 量化间隔是均匀的； 非均匀量化 量化间隔是不均匀的。 量化噪声（量化误差） 量化输出电平和量化前信号抽样值的差值。 信号量噪比

Sq Nq
量化器输出信号功率 量化噪声功率
35
3.2 量化
aM qM qM-1 … dk+1 qk
v
dM dM-1
x(kT)
量化器
xq(kT)
33
3.2 量化

量化过程
q6 d5 q5 d4 q4 d3 q3 d2 q2 d1 q1
信号实际值
x (t )
信号量化值
xq(6T)
量化误差

3T 4T
x(6T)
T
2T
5T
6T
7T
t


－
信号实际值 － 信号量化值
34
mq (kT ) qi , di -1 m(kT ) di

时域信号重构：
wH x '( t ) h( t ) * x s ( t ) Sa( w H t ) * x( nTs )d ( t - nTs ) p n wH x( nTs ) Sa[ w H ( t - nTs )] p n
Nyquist–Shannon 内插公式
x'(t) x(nTs) t
把一个连续时间模拟信号经过抽样变成离散 序列后能否由此序列样值重建原始模拟信号？

3.1.1 低通抽样定理
设一个连续模拟信号x(t)中的最高频率 < fH， 则以间隔时间为Ts 1/(2fH )的周期性冲激脉冲对 它抽样时，x(t)将被这些抽样值所完全确定。
含义？证明？
9
3.1 模拟信号的抽样
量化特性
2 1 0 -1 -2 -5 -4 –3 -2 -1 0 1
2 3 4 5
ui (v)
Xs( f )
...
0
(m-1) 正
m负
(m+1) 负
...
f
fL
fH
( m + 1) f s - f H
mf s - f L
2 fL mf S - f L f L ; 即 f S m
2 fH (m + 1) f S - f H f H ; 即 f S m +1
27
3.1 模拟信号的抽样
fs≥2fH
-2 f s Xs(f)
…
- f s -fH 0 fH fs fs-fH 2fs fs+fH
f
X'(f)
-fH 0 fH
f
19
3.1 模拟信号的抽样
3.1.2
信号的重建
H ( )
低通滤波器传输函数
- wH
时域波形
wH
h( t ) wH

Sa( w H t )

t
20
3.1 模拟信号的抽样
22
3.1 模拟信号的抽样

3.1.3 带通模拟信号的抽样定理

带通模拟信号
X( f )
f
-fH - fL
0
fL
fH

依低通抽样定理
Xs( f )
- fs
-fH -fL
0
fL
fH
fs
fs - fH
fs - fL
f
23
3.1 模拟信号的抽样
Xs( f )
- fs
-fH -fL
0
fL
fH
fs
fs - fH
f
2
第三章 模拟信号的数字化 （3.1-3.2）
3
思考题： 模拟信号为什么要数字化？如何 转换为数字信号？
4
问题： 如何实现模拟信号的数字化？
模拟信号
x(t )
抽样信号
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
t
xq (t )
量化信号
T
2T
-3T
-2T
-T
0
3T
t
011
100
011
010
011
111
111
编码信号

带通模拟信号的抽样定理
一个频带限制在（fL ，fH）内的时域连 续信号x(t)，信号带宽为B = fH - fL，令N为 不大于fL /B的最大正整数，如果抽样频率fs 满足 2 fH 2 fL fs ,0 m N m +1 m 则可以由抽样序列无失真地重建原始信号x(t)。
28
3.1 模拟信号的抽样

实际应用中，抽样频率fs必须比2fH 大一些。
21
3.1 模拟信号的抽样

实例：


模拟话音信号的频带范围：300~3400Hz， 抽样频率至少为6800Hz。 滤波器的过渡带 重建模拟信号时需要经过滤波取出原始 边带 滤波器设计 采样频率为8000Hz，边带之间形成了 1200Hz的保护带