Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I

、实

验目

的

，

内

容

1、 理解Poisson 方程九点差分格式的构造原理；

2、 理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异;

3、 学会利用matlab 的spdiags(),kron()

函数生成系数矩阵;

、算法描述

针对一个Poisson 方程问题:

Au 二厂 f (x, y)

在Poisson 方程五点差分格式的基础上，采用 Taylor 展开分析五点差分算子的截断误差，可以

得到：

AhU(x,> ¥j)

二

Au(xh yj) + —Jhi

厂

h2 a/

+

h/

12 亦

yj - J - 2u(x lF Yj - 1)+ u(xi -(, Yj - 1) hi^ufxn yj - J

u(x jh yj) , 0u(xi,y 」)\

+ hj

扩

\ h,十

Yj)

卜一

<2—癌L 时

0/ (1)

为了提高算子截断误差的精度，在⑴式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson 方程代入(1) 式有：

yj) =

¥」)

/ 水

Uhi ，"

十 0(h 4)

昇舟1

，有： /u(x I , yj)

1

i

--^luxxCxj. Yj 十 1)- 2u xx (Xir yj + Uxxfxj, Vj - Jl + 0(h 『)=—

hj h?

u(Kj + 1, yj + 1)- 2u(x j t yj + 1)+ u(xj - v yj + i) h,护u(x lh yj 4 1)

- ------- 2

考虑

h/ u(xj + ir yj) - 2u(xj. y 」)+

12 i- Yj) 2hiVu(x b yj + 0(h 4)二 Au(x lT V J ) + —

UlXi + 1

对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合:

1 h 2

hi ?

h ?<^u(x lh yj t i) h/h/'u(

Uu(x h yj i J - SL^ufxp yj) + L h u(x jh yj — J --- - ------ ----- 十 ------ ----------

7 Z <3y “

h/h 『九(耳卅) 严L 皿宀「“応丙

L h u(x l±yj i J - y

将（3）代回（2）可得

h, + h,

心hu(>q ・¥j) + -- 4u(x jr Yj) - 2(u(xj, yj + 1) + u(x“ yj - i) + u(xj 十 i… yj) + u(xs - b

yj))

12hi "h? +

1 /

'，r " 12\ ' 得到Poisson 方程的九点差分格式:

hj

7^4U

*J 一 2(小 j + 1 + u(, j - 1 + u ( + i 5 j + Uj 1, j)十 nt

严订,/帘」

l.j M

"J 匸一 f«j -耕

在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式

AhM I j =—

"f u

的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有:

4 - 2 -2

1

/ - 2

4

- 2

1

-2

1

1

-2

4

1 - 2

-2 1

4 -2

-2 1

1 -

2 1

-2

4

-2 1 - 2 1

1

-2

-2

4

1

-2

-2 1

» ■

-2

1

-2

1

4

- 2

1

■ »

-2

4

-2

1 -

2 -2

» _ 2 I

-2

4

h

U11 U12 tll.Ni -

1 U31

UN, - 1 1 WN- - 1 5

以及

4 - 2

|-2 : ;2

-2

\ - 2

-2 4

则生成这两个矩阵可以采用对于右端添加的关于f(x,y)

生成，方法类似于五点差分格式。

Kroncker

的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即:

2一亍+

: 3丿i

=召fi * (-4f「写成相应的紧凑格式有: -巧」f小一2f u二右

fi * 1”』十i 11b j + 于I I j 1)

d'A 1

12

f11

? 1

IF \ ^1&

I 1

fl,Nt - 1

f 0.話2 - 1

*

■'

+

1| 0

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1 + —I

0 I

f 2 他-1

12

■

12 平2.也

- 1,1

4 f

N b 1

I f Ni 1 h 0

- 1 ? I L 噌）

2 1

1 N ；-

，f Ni,N z J

1讯仁H J

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和: