2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷(五)及答案
2021年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 ． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 ． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 ． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 ．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 ．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21． 【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=． 【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ． 【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-． 【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π． 【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π， 故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ． 【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===， 根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0． 【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=． 故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ． 【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π． 【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈， 同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确， 选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ． 【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称 【解析】根据题意，依次判断选项： 对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误， 对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++， 与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确， 对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ． （1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形． （2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为 【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为． （2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =． （1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减． 综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项． （1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ； （3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14； （3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164． 【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
2021年上海市春季高考数学试卷
2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．（4分）不等式＜1的解集为．5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．6．（4分）若方程组无解，则＝．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1 14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R 15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝21．【解答】解：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．故答案为：21．2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．【解答】解：∵z＝1﹣3i，∴，则|﹣i|＝|1+2i|＝．故答案为：．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4π．【解答】解：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，＝2πrh＝2π×1×2＝4π．所以圆柱的侧面积为S侧故答案为：4π．4．（4分）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，解得，﹣7＜x＜2．故答案为：（﹣7，2）．5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，故答案为：．6．（4分）若方程组无解，则＝0．【解答】解：对于方程组，有，当D≠0时，方程组的解为，根据题意，方程组无解，所以D＝0，即，故答案为：0．7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为64．【解答】解：由题意，＞，且＞，所以n＝6，所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．故答案为：64．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝9．【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．故答案为：9．9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），∴a n＝0，∴（a 1﹣a n）＝a1＝4，∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合23种.A运动B运动C运动D运动E运动7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【解答】解：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+1﹣3＝23（种）．故答案为：23种．11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是x＝1﹣．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，所以点P的坐标为（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF所以PF，所以PF，则c＝﹣1，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，故答案为：x＝1﹣．12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx＝），所以θ＞∠AOB＝，因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，即θ＝，k∈N*，同时θ＞，所以θ的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1≤x≤2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称【解答】解：根据题意，依次判断选项：对于A，f（x）＝cos+1，f（x）为偶函数，且关于点（1，1）对称，存在最大值，A 错误，对于B，f（x）＝cos（πx），f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称，存在最大值，B错误，对于C，假设f（x）有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为（a，M），f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则f（x）的图象存在最低点（﹣a，﹣M），又由f（x）的图象关于点（1，1）对称，则（﹣a，﹣M）关于点（1，1）对称的点为（2﹣a，2+M），与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，C正确，对于D，f（x）＝sin，f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称，D错误，故选：C．16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以与不共线，即②不成立．故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．【解答】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，＝×2×42＝．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF为等腰直角三角形，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴PE＝FE＝4，∴PB＝＝，∵AD∥BC，∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，故PC与AD所成角的大小为arctan．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C＝＝＝﹣，可得c＝．（2）因为cos（A）＝（cos A+sin A）＝，可得cos A+sin A＝，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A＝，sin A＝，因为cos C＝﹣，可得sin C＝，由正弦定理，可得c＝．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为﹣＝1，直线OP：y＝x，联立双曲线方程，可得x＝，y＝，即点P的坐标为（，）．（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，c＝20，所以b2＝175，双曲线方程为﹣＝1；②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝5，c＝15，所以b2＝200，所以双曲线方程为﹣＝1，两双曲线方程联立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函数的定义域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，由|x+1|﹣1≥0，得|x+1|≥1，解得x≤﹣2或x≥0．∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；（2）f（ax）＝，f（ax）＝a⇔，设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根，整理得a＝t﹣t2，t≥0，同时a≠0，∴a∈（0，）；（3）当x≥﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在[，+∞）上单调递减，此时需要满足﹣a≥，即a，函数f（x）在[﹣a，+∞）上递减；当x＜﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在（﹣∞，﹣2a]上递减，∵a＜0，∴﹣2a＞﹣a＞0，即当a时，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣]时，函数f（x）在定义域R上连续，且单调递减．21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．【解答】解：（1）由题意，2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，∴2a2＝a3+a1解得a3＝1，2a3＝a2+a1解得a3＝4，经检验，a3＝1，（2）证明：∵a1＝a4＝a7＝0，∴a3＝2a2，或，经检验，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；综上，a2、a5、a8成等比数列，公比为；（3）由2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，可知或，由第（2）问可知，a r＝0，则a r﹣2＝2a r﹣1，即a r﹣1﹣a r﹣2＝﹣a r﹣1，∴a r＝0，则＝＝＝，∴，同理，＝，∴，同理，，∴a r+1+a s+1+a t+1的最大值．。
上海市交大附中2021届高三数学一模试题(含解析)
上海市交大附中2021届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。
故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。
3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五(word版,含答案)
2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五2020.9.28一､填空题:1.若513sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值是____. 2､函数()cosxsinxf x sinxcosx=的最小正周期是____. 3､函数()2x f x m =+的反函数为()1y f x -=,且()1y f x -=的图像过点()5,2Q ,那么m =____.4､点()1,0到双曲线2214x y -=到渐近线的距离是____. 5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为____立方米.6.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升,经过x 个小时,酒精含量降为p 毫克/100毫升,且满足关系式0rx p p e =⋅(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过____小时方可驾车.(精确到小时)7､如图,在平行四边形ABCD 中,2AB =,1AD =,则AC BD ⋅的值为____.8､三倍角的正切公式为3tan α=____(用tan α表示).9､设集合A 共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为____.10.已知非零向量a ､b ､c 两两不平行,且()//a b c +,()//b a c +,设c xa yb =+,x,y ∈R ,则2x y +=____.11.已知数列{}n a 满足:11a =,112{,,,}n n n a a a a a +-∈()*,n a n ∈∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对所有满足条件的{}n a ,10S 的最大值为M,最小值为m,则M m +=____.12.曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点轨迹.给出下列四个结论:①曲线C 过点()1,1-:②曲线C 关于点()1,1-成中心对称;③若点P 在曲线C 上,点A,B 分别在直线12l l 、上,则||||PA PB +不小于2k;④设0P 为曲线C 上任意一点,则点0P 关于直线1:1l x =-､点()1,1-及直线2:1l y =对称的点分别为1P ､2P ､3P ,则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ｡其中,所有正确结论的序号是____.二､选择题13.若空间三条直线a ､b ､c 满足a b ⊥,b c ⊥,则直线a 与c()A.一定平行;B.一定相交;C.一定是异面直线;D.平行､相交､是异面直线都有可能 14.在无穷等比数列{}n a 中,()121lim 2n n a a a →∞+++=,则1α的取值范围是() A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()0,1 D.110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向,且塔顶的仰角为18︒,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处,此时测得塔底位于北偏西39︒方向,则该塔的高度约为() A ､256米B ､279米C ､292米D ､306米减,且关于16.,已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(),01a a >≠且在R 上单调递减,且关于x 的方程()||2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是()A ､20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.123,{}334⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D.123,{}334⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭三､解答题:17､已知ABC 中,1AC =,,23ABC π∠=.设BAC x ∠=,记()f x AB BC =⋅. (1)求函数()f x 的解析式及定义域;(2)试写出函数()f x 的单调递增区间,并求出方程()16f x =的解.18､设双曲线22:123x y C -=,1F ,2F 为其左右两个焦点. (1)设O 为坐标原点,M 为双曲线C 右支上任意一点,求1OM F M ⋅的取值范围;(2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F ,2F 的距离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为19-,求动点P 的轨迹方程.19.如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,如图,其中4AB =百米,3BC =百米,现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花,其中点M 在BC 边上,点N 在AB 边上,要求4MDN π∠=.(1)若2AN CM ==百米,判断DMN ∠是否符合要求,并说明理由;(2)设CDM θ∠=,写出DMN ∠面积的S 关于日的表达式,并求S 的最小值.20､由()2n n 个不同的数构成的数列1a ,2a ,…n a 中,若1i j n <时,j i a a <(即后面的项j a 小于前面项i a ,则称i a 与j a 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3,2,1,由于在第一项3后面比3小的项有2个,在第二项2后面比2小的项有1个,在第三项1后面比1小的项没有,因此,数列3,2,1的逆序数为2103++=;同理,等比数列1,12-,14,18-的逆序数为4. (1)计算数列()*2191100,n n n n N α=-+∈的逆序数;,(2)计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数()*1,n k n N ∈的逆序数;,(3)已知数列1,α2a ,…n α的逆序数为a,求1,n n a a -,…1a 的逆序数.21､已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间上的最大值为4,最小值为1,记()()()||f x g x x R =∈. (1)求实数a,b 的值;(2)若不等式()()22223f x g x log k log k +--对任意x R ∈恒成立,求实数k 的取值范围; (3)对于定义在[],p q 上的函数()m x ,设0,x p =n x q =,用任意的()1,2,...,1i x i n =-将[],p q 划分成n 个小区间,其中11i i i x x x -+<<,,若存在一个常数0M >,,使得()()()()()()01121||||||n n m x m x m x m x m x m x M --+-++-≤恒成立,则称函数()m x 为在[],p q 上的有界变差函数.试证明函数是在上的有界变差函数,并求出M 的最小值.。
上海市春季2021年高考数学试卷含答案解析
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为〔结果用数值表示〕．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立 24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．26．函数，求f 〔x 〕的最小正周期及最大值，并指出f 〔x 〕取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．数列{a n }是公差为2的等差数列． 〔1〕a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；〔2〕设a 1=﹣19，数列{a n }的前n 项和为S n ．数列{b n }满足，记〔n ∈N *〕，求数列{c n }的最小项〔即对任意n ∈N *成立〕．29．对于函数f 〔x 〕，g 〔x 〕，记集合D f ＞g ={x|f 〔x 〕＞g 〔x 〕}．〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3．【考点】复数的根本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3，故答案为：3．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：log2〔x+1〕=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞〕．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞〕．故答案为[2，+∞〕．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号〔﹣1〕i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：〔﹣1〕1+3||=〔4×2+1×0〕=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，可得函数的图象经过点〔1，2〕，即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，∴函数的图象经过点〔1，2〕，∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24〔结果用数值表示〕．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+〔2﹣i〕=﹣a，解得a=﹣4．那么a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴对称轴x=1，∴f〔1〕=0，f〔2〕=1，f〔0〕=1，∵f〔x〕=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法那么．【分析】此题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到此题答案．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M〔x′，y′〕．∵x′=，y′=，∴=〔x1+x2，y1+y2〕=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴〔x﹣3〕2+y2=4，圆心C〔3，0〕，半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=〔AB〕2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，那么角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．应选择B．14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π【考点】球的体积和外表积．【分析】利用球的外表积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的外表积为4π×12=4π，应选：D．15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：〔1+x〕6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．应选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，可排除A，B；值域为〔0，+∞〕可排除D，应选：C．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．应选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，应选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，那么当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，∴从“k→k+1〞需增添的项是2k+1+2〔k+1〕，∴1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕．应选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为〔±，0〕，即为〔±2，0〕，渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为〔0，±2〕，渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．应选：B．21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．∴“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的必要不充分条件．应选：B．22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的根本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=〔a+b〕2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；应选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，那么=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x1x2+y1y2+〔x2y1+x1y2〕=〔x2y1+x1y2〕，无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，那么=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x 1x 2+y 1y 2+〔x 2y 1+x 1y 2〕=〔x 2y 1+x 1y 2〕，无法得到=0，因此不一定正确．应选：A ．24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔 〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部 【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上， 那么=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部． 应选：B ．三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．函数，求f〔x〕的最小正周期及最大值，并指出f〔x〕取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如下图：那么：设抛物线方程为y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．数列{a n}是公差为2的等差数列．〔1〕a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；〔2〕设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记〔n∈N*〕，求数列{c n}的最小项〔即对任意n∈N*成立〕．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能求出〔2〕由利用累加法能求出b n=2﹣〔〕n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1数列{c n}的最小项．【解答】解：〔1〕∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8〕〔2〕b n=b1+〔b2﹣b1〕+〔b3﹣b2〕+…+〔b n﹣b n﹣1=1+==2﹣〔〕n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f〔x〕＞g〔x〕}．29．对于函数f〔x〕，g〔x〕，记集合D f＞g〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】〔1〕直接根据新定义解不等式即可，〔2〕方法一：由题意可得那么在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：〔1〕由2|x|＞x+3，得D f＞g〔2〕方法一：，，由，那么在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，〔a＜0〕又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二〔2〕，，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即sin〔﹣x+φ〕=sin〔x+φ〕，∴〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．应选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，那么|x+yi﹣1|==4，∴〔x﹣1〕2+y2=16，∴运动轨迹是圆，应选：D．32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f〔x〕图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，那么k BE=，直线BE与f〔x〕图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f〔x〕图象最多交于三点，即直线y=与f〔x〕图象最多交于三点，∴k≠．排除D．应选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】〔1〕利用“并数列〞的定义即可得出．〔2〕利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕〔1，2，3〕，〔1，2，5〕，〔1，3，3〕，〔1，3，5〕；〔2〕a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2021年7月25日。
上海市2021年普通高等学校春季招生数学模拟试卷(含解析)
上海市2021年普通高等学校春季招生模拟考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =I __________． 4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．下列函数中，为偶函数的是（） （A ）2y x -=（B ）13y x =（C ）12y x -=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =u u u r．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤u u u r ，6AB AP ⋅=u u r u u ru u ，2AQ AP =-u u u r u u u r ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（） （A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．数学试卷详细解析一、填空题 1.2. 解析：3.解析：提示：共轭复数实部相等，虚部互为相反数 4.解析： 5. 6解析：6. 10解析： 7. 2解析：提示：圆上两动点之间距离最大为圆的直径 8.解析：原式=9. 160解析：，常数项为{1,2,3,4}(2,4)-23i -2323z i z i =+⇒=-1234533153=255=255210a a a a a a a a a a ++++⇒⇒=⇒+==(12)7296n n +=⇒=3362=160C ⨯10. 6解析：中当时，中当时，同理：中当时，11. 48解析：提示：分为1和2；,3和4；5和6三组，每组里面有2种排列方式，共12F F P V 12F P=F P 12P (0,1),P (0,1),-12F F P V 121F F =FP 12F F P V 122F F =FP 333248P ⋅=2228⨯⨯=又这三组数排列为：,所以 12.解析：当时，在区间上为增函数，不合题意所以：此时应满足所以的取值范围为二、选择题 13. B解析：抛物线的对称轴是，开口向上，所以单调递增区间是33P 333248P ⋅=(0,1)0a ≤(1,2)0a >(1)f(0,1)1x =[1,)+?14. C解析：当时，，所以“”是“”的充分条件当时，，所以“”是“”的必要条件所以“”是“”的充要条件15. A 解析：0a 0a >0a >0a>B.长方形C.对角线不相等的菱形16. B解析：如图，根据勾股定理可以求得根据图像和的增减性我们可以知道当P 在正八边形边上时为正，此时当P 在处时最大当P 在正八边形边上时为负，此时当P 在处时最小127...A A A ---4A 781A A A --8A最大时： 最小时：三、解答题 17. （1）4；（2）解析：（1）（2）异面直线与所成角即为直线与所成角:或者写为；18. （1）；（2） 解析：（1）由题意可知：所以要使为奇函数，则必须 （2）由题意可知：对任意恒成立设,则，在恒成立 所以（提示：y 是关于t 的一次函数，要使条件恒成立，则必须是增函数或常数函数）19. （1）半径34.6，半径16.1；（2）半径30，半径20，造价263.9千元1A C 1DD 1A C 1AA 1CA A∠1a =-[0,2]()f x 101a a +=⇒=-x R Î2,x t x R =∈()120y a t =-+>(0,)t ∈+∞1M 2M 1M 2M解析：(1)做如图所示辅助线可得：米米（2）如图，所以总造价： 化简：千元当且仅当时造价最小，此时米，米20. （1）；（2）；（3）解析：（1）；的渐近线方程为：（2）点在直线上得：，=160tan 30M r θ==e 3y x =?2,13c a b ==⇒=G (1,0)-(0)y kx m km =+?k m ='(1,0)P联立方程组：所以,所以直线的方程为：,又（3）联立方程组：直线过点，所以带入得：'P Q 'P Q21. （1）；（2）略；（3）解析：（1）（2）记则∴∵对于要证明的等式， 左边右边左边，证毕。
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = ． 2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z = ． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = ．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为 ．5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = ． 6．（4分）已知5sin α=-，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 （结果用数值表示）．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 ． 9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为 ．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞= ．11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有 对．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为 ．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面； （2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3sin cos f x k x x x =+，x R ∈． （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =，3b =，求ABC ∆的面积S ．19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程； （2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈． （1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = [2，)+∞ ． 【解答】解：全集U R =，(,2)A =-∞， _{}[2U A ∴=，)+∞．故答案为：[2，)+∞．2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z【解答】解：因为复数12z i =-，所以||z =． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = \{3}{2}frac - ．【解答】解：若关于x ，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则直线240x y +-= 和直线380x ay --=平行，故有\{3}{2}\{}{1}\{8}{4}frac frac a frac =-≠--，求得\{3}{2}a frac =-， 故答案为：\{3}{2}frac -．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为 323π． 【解答】解：球的半径为2R =，∴球的体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π． 5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = 6 ． 【解答】解：直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直， 23(1)0m ∴⨯+⨯-=，求得实数6m =，故答案为：6．6．（4分）已知sin α=，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ．【解答】解：因为sin 0α=<，(2πα∈-，)2π，所以(2πα∈-，0)，cos α=，则sin()cos 2παα+==．． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 1120 （结果用数值表示）．【解答】解：已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为2256n =，8n ∴=．则展开式中的通项公式为82182r r r r T C x -+=，令820r -=，求得4r =， 可得展开式的常数项为44821120C =， 故答案为：1120．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 (-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【解答】解：根据题意，当0x 时，()21x f x =-，此时，若()1f x >，即211x ->，解可得1x >，此时()1f x >的解集(1,)+∞， 又由()f x 是偶函数，则当0x <时，()1f x >的解集(,1)-∞-， 综合可得：不等式()1f x >的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞． 故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为 3x = ． 【解答】解：{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-，{2}log_{2}(2)log_{2}(3)x x ∴=-，故{2}23x x =-，故{2}{2}\\{\{}{}{{}30}\\{0}\\{{}230}\{}\.left begin array l x x x x end array right ->>--=，解得：3x =，故答案为：3x =．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞=3． 【解答】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，12||||1PF PF -=， 则曲线T 为双曲线，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ， 21a =，12a =，1c =，∴22213144b c a =-=-=， ∴双曲线方程为224413x y -=． 渐近线方程为3y x =±，而点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点， 当n →+∞时，直线2n P F 的斜率趋近于3，即23n P F k =． 则2:3(1)n P F y x =-，即330x y --=．∴22|3|3lim (3)(1)n n d →∞-==+-． 故答案为：3． 11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有 18 对．【解答】解：根据题意，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，则8i i iAE AB BE AB AD =+=+，8j j jAF AD DF AD AB =+=+，则()()8882i j i j i jAE AF AB AD AD AB =++=+，若2i j AE AF ，则282i j+，变形可得416i j +，又由i ，*j N ∈，1i ，7j ，当1i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个； 当2i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个； 当3i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个； 当4i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个； 当5i =时，j 可取的值为1、2，共2个； 当6i =时，j 可取的值为1、2，共2个； 当7i =时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(,)i j 共有342318⨯+⨯=对， 故答案为：18．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为 3 ． 【解答】解：由题意，设{}()x f x y a ==-， 根据(1)\{1}{3}f frac -=-，解得3a =，{}()3x f x y ∴==-，那么log_{3}()x y =-，(0)y <，x 与y 互换，可得{1}()log_{3}()f x x -=-，(0)x <，则{}()3x y f x ==-⋅，那么{}_{3}(\{}{})x lo g frac y =-，x 与y 互换，可得{}_{3}(\{}{})y lo g frac x =-，向上平移1个单位，可得{}_{3}(\{}{})1y lo g frac x =-+，即log_{3}(){}_{3}(\{3}{})x lo g frac x -=-， 故得3=，故答案为：3．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 【解答】解：因为0a b >>，所以11a b<，故A 错误； 因为0a b >>，0c ≠，则20c >，所以22ac bc >，故B 正确； 若0a b >>，0c <，则ac bc <，故C 错误； 若0a b >>，0c <，则11a b <，c ca b>，故D 错误． 故选：B ．14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =【解答】解：函数2y x =的值域为[0，)+∞，故排除A ；∴函数2y x=的值域为{|0}y y ≠，故排除B ； 函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件； 函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ， 故选：C ．15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有48C 种取法， 正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面， 则可得到四面体的个数为4812C -， 故选：A ．16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：当1a >时，集合(1,)A =+∞，若0k <，则{|k B y y x ==，}(0,1)x A ∈=，此时AB =∅；当01a <<，集合(0,1)A =，若0k <，则{|k B y y x ==，}(1,)x A ∈=+∞，此时A B =∅，故“0k <”是“AB =∅”的充分条件，当1a >时，集合(1,)A =+∞，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ； 当01a <<，集合(0,1)A =，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ，所以“0k <”不是“A B =∅”的必要条件， 所以“0k <”是“A B =∅”的充分非必要条件．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面； （2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．【解答】解：（1）证明：点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点，11//DD CC ∴， 11//CC BB ，11//DD BB ∴，D ∴、B 、1B 、1D 四点共面．（2）作111C F B D ⊥，垂足为F ， 1BB ⊥平面111A B C ，1C F ⊂平面111A B C ，∴直线1BB ⊥直线1C F ，1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B ，∴直线1C F ⊥平面11DBB D ，1C BF ∴∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角．在直角△1C BF 中，122BC =，125C F =，110sin C BF ∠=， 直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为10arcsin．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3cos f x k x x x =+，x R ∈． （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =3b =，求ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由题意知，(0)0f k ==，下面对0k =进行检验： 若0k =，则()3cos f x x x =，对任意x R ∈都有()3)cos()3cos ()f x x x x x f x -=--==-， ()f x ∴是奇函数，0k ∴=．（2）2()cos 3cos 1f A A A A =+=，∴1cos23212A A +=，整理，得1sin(2)62A π+=， 2266A k πππ∴+=+或526k ππ+，k Z ∈， A k π∴=或3k ππ+，k Z ∈，(0,)A π∈，∴3A π=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c+-=，整理，得2320c c -+=，解得1c =或2c =，∴133sin 2S bc A ==或33． 19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒【解答】解：（1）[10x ∈，20]时，设：2(14)8y a x =-+， (10,24)M 代入得1a =，2(14)8y x ∴=-+， [20x ∈，24]时， (20,44)Q 、(24,24)N ， 5144y x ∴=-+，∴2(14)8[10,20]5144(20,24]x x y x x ⎧-+∈=⎨-+∈⎩．（2）如图，设仰角为α，俯角为β， (20,44)Q ，(0,24)A ，∴仰角α最小为45︒， 24tan yxβ-=，224(28204)x x x --+=18028()28125x x=-+-，[10x ∈，20]∴俯角β最小为arctan(12528)49.4-+≈︒，θ∴最小为94.4︒．20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程； （2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．【解答】解：（1）_{1}(,0)A a -，_{2}(,0)A a ，(0,1)B ， \{{_1}}(,\;1)overrightarrow A B a =，\{{_2}}(,\;1)overrightarrow A B a =-，2\{{_1}}\{{_2}}{}14overrightarrow A B overrightarrow A B a ⋅=-+=-，解得{2}5a =， 即椭圆Γ的方程为22\{}{5}{}1frac x y +=；（2）椭圆的方程为22\{}{2}{}1frac x y +=，则_{2}(1,0)F ，设(_{}Q x Q ，_{})y Q ，由线段_{2}F Q 的中点在y 轴上，得_{}1x Q =-， 代入椭圆方程，得{_}\{\{2}}{2}y Q frac sqrt =，即({1,\;\{\{2}}{2}})Q frac sqrt -，{_{\{_2}}}{_{\{_2}}}{_{\}}\{1}{2}({1\{\{2}}{4}})21\{\{2}}{4}S triangle F BQ S triangleB F M S DeltaBQM frac frac sqrt frac sqrt =+=-⋅=-；（3）证明：由题意_{1}(3,0)A -，_{2}(3,0)A ，设点P 的坐标为(6,)m ，直线_{1}:\{}{9}(3)PA y frac m x =+，与椭圆方程{2}{2}\{\;{}}{9}{}1frac x y +=联立消去y ，得{2}{2}{2}{2}(9)69810m x m x m +++-=， 由韦达定理，得22{_}\{3{}27}{9{}}x C frac m m =-++，即222({\{3{}27}{9{}},\;\{6}{9{}}})C frac m m frac m m -+++， 同理222({\{3{}3}{1{}},\;\{2}{1{}}})D frac m m frac m m -+-+，当_{}_{}x C x D =，即2222\{273{}}{9{}}\{3{}3}{{}1}frac m m frac m m -+=-+， 即{2}3m =时，直线CD 的方程为\{3}{2}x frac =， 当_{}_{}x C x D ≠时，直线2222:\{2}{1{}}\{4}{3(3{})}({\{3{}3}{1{}}})CD y frac m m frac m m x frac m m --+=---+， 化简得2\{4}{3(3{})}({\{3}{2}})y frac m m x frac =--，恒过点({\{3}{2},\;0})frac ，综上所述，直线CD 恒过点({\{3}{2},\;0})frac ．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈． （1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值． 【解答】（1）解：由234a π=，33a π=，可得23cos4b π==，31cos 32b π==，公比为q =， 由2213b b b =解得11b =， 数列{}n b的通项公式为1(n n b -=． （2）证明：设存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列， 则2102a a π<<<，此时21cos cos 0a a >>，公比21cos 1cos a q a =>，11cos cos ()n n a a q -=，考虑不等式11cos 1n a q ->， 当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a +-时，有cos 1n a >（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），这与()cos f x x =的值域为[1-，1]矛盾， 所以假设不成立，得证； （3）解：121()(21)02m b b m +++=，可得1210m b b ++=，由等差数列性质*221210(11,)i m i m b b b b i m i N +-++=+=+∈， 即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=， 现考虑21m S +的最大值．为使21m S +取最大值，应有[5n a π∈，6]π，否则在21m S +中将n a 替换为n a '，且cos cos n n a a ='，[5n a π'∈，6]π， 将得到一个更大的21m S +，由22cos cos 0i m i a a +-+=可知22112112i m i a a ππ+-+==，特别地，1112m a π+=； 于是2111(21)11()(11)10022m max m S m ππππ++=+=， 解得18922m， 所以m 的最大值为8．。
上海市闵行区2021届新高考数学五模考试卷含解析
上海市闵行区2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是3 【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则3333t -<<时()0g t '>，313t -<<-或313t >>时()0g t '<，即()g t 在33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在31,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和3,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； 且343g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g -=，3433max y g ⎛⎫∴==< ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题． 2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】，又 两圆相交. 选B3．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132 B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B 【解析】 【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B 【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题4．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.467041≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.7．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8 B ．12C ．14D ．10【答案】C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 9．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】 先求出UM ，再与集合N 求交集.【详解】 由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A. 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.10．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈N ，均有a a a ++为定值，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.11．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=①.125,,a a a 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】D可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23at =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==，所以2PF Q ∆为等边三角形，所以，3423ac =，解得3c a =. 因此，该椭圆的离心率为33. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市青浦区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = ．2．（4分）函数2x y =的反函数是 ．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 ．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = ． 5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= ． 6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()limn n na S →∞= ． 7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 ． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是 ． 9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 ．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 .（结果用最简分数表示）11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = ．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD16．（5分）设函数,()1,x x P f x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值； （2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件．2021年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}，则A B = {2，4} ．【解答】解：集合{1A =，2，3，4}，{0B =，2，4，6，8}， 则{2AB =，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）函数2x y =的反函数是 2log y x = ． 【解答】解：2x y =，2log x y ∴=，∴函数2x y =的反函数为2log y x =．故答案为：2log y x =．3．（4分）行列式123456789中，元素3的代数余子式的值为 3- ．【解答】解：在行列式123456789中，元素3在第一行第三列，那么化去第一行第三列得到3的代数余子式为445(1)378-=-， 故答案为：3-．4．（4分）已知复数z 满足40z z+=，则||z = 2 ． 【解答】解：因为复数z 满足40z z+=， 所以4z z-=，则24z =-， 所以22|||||4|4z z ==-=， 可得||2z =．故答案为：2．5．（4分）圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ= π ． 【解答】解：圆锥底面半径为lcm ，母线长为2cm ，则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为212()cm ππ⨯=； 所以扇形的圆心角为22πθπ==． 故答案为：π．6．（4分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= 4 ．【解答】解：因为等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =， 所以12(1)21n a n n =+-=-，2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=． 故2222(21)441lim lim n n n n n n n→∞→∞--+=． 故极限为441=．故答案为：4．7．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和(da c，b ，c ，*)d N ∈，则b d ac ++是x 的更为精确的近似值．已知15722507π<<，试以上述π的不足近似值15750和过剩近似值227为依据，那么使用两次“调日法”后可得π的近似分数为 20164 ．【解答】解：根据15722507π<<经过一次“调日法”可得π的近似分数为17957， 根据17922577π<<，经过一次“调日法”可得π的近似分数为20164， ∴使用两次“调日法”后可得π的近似分数为20164． 故答案为：20164． 8．（5分）在二项式521)(0)a ax>的展开式中5x -的系数与常数项相等，则a 的值是【解答】解：二项式521)(0)a ax>的展开式的通项公式为552151()r rr r T C x a -+=，令5552r -=-，求得3r =，故展开式中5x -的系数为3351()C a ； 令5502r -=，求得1r =，故展开式中的常数项为1515C a a=，由为33511()5C a a=，可得a =9．（5分）点A 是椭圆221:12516x y C +=与双曲线222:145x y C -=的一个交点，点1F ，2F 是椭圆1C 的两个焦点，则12||||AF AF 的值为 21 ． 【解答】解：设椭圆与双曲线在第一象限的交点为A 则， 由椭圆与双曲线的方程可得二者焦点相同， 根据椭圆与双曲线的定义可得：12||||10AF AF +=， 12||||4AF AF -=，两式平方相减得：124||||84AF AF =，故答案为：21．10．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 1318.（结果用最简分数表示）【解答】解：盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，基本事件总数2936n C ==， 这两个球的编号之积为偶数包含的基本事件个数：21144526m C C C =+=，则这两个球的编号之积为偶数的概率是26133618m p n ===． 故答案为：1318． 11．（5分）记m a 为数列{3}n 在区间(0，](*)m n N ∈中的项的个数，则数列{}m a 的前100项的和100S = 284 ．【解答】解：对于区间(0，]m ，{|m m m N ∈∈，1100}m ，可知： （1）当1m =，2时，区间内不含3n 项，故120a a ==，共2项；（2）当3m =，4，5，8⋯⋯时，区间内含有13一项，故34581a a a a ===⋯⋯=，共6项； （3）当9m =，10，11，26⋯⋯时，区间内含有13，23两项，故91011262a a a a ===⋯⋯==，共18项；（4）当27m =，28，29，⋯⋯，80时，区间内含有13，23，33三项，故272829803a a a a ===⋯⋯==，共54项；（5）当81m =，82，83，⋯⋯，100时，区间内含有3，23，33，43四项，故8182831004a a a a ===⋯⋯==，共20项．故1002061182543204284S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 故答案为：284．12．（5分）已知向量e 的模长为1，平面向量m ，n 满足：|2|2m e -=，||1n e -=，则m n 的取值范围是 [0，8] ．【解答】解：根据条件，不妨设(1,0)e =，(,)m x y =，(,)n p q =， 则由|2|2m e -=，||1n e -=，可得22(2)4x y -+=，22(1)1p q -+=， 由柯西不等式，得(1)m n xp yq p x qy x =+=-++2222(1)p x y x x -++=+，令t =[0x ∈，4]，[0t ∴∈，2]，∴222(1)1m n t t t =+=+-[0t ∈，2]，∴[0,8]m n ∈．故答案为：[0，8]．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知a ，b R ∈，则“a b =”是“2a b+=( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a b =”不能推出“2a b +，如1a b ==-，则12a b+=-1=；反之成立，由“2a b+=，两边平方，即得“a b =”，∴ “a b =”是“2a b+= 故选：B ．14．（5分）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故①错误；②垂直于同一条直线的两个平面的法向量共线，则两平面互相平行，故②正确；③由直线与平面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故③正确； ④垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．∴正确的结论是②③．故选：C ．15．（5分）已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )ABCD【解答】解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=⨯， 故选：D ．16．（5分）设函数,()1,x x Pf x x M x-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中P ，M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()A P y y f x ==，}x P ∈，(){|()A M y y f x ==，}x M ∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M =∅；（2）若PM R ≠，则()()A P A M R ≠；（3）一定有P M =∅；（4）若PM R =，则()()A P A M R =．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由题意知，()A P 为分段函数中函数()f x x =-，x P ∈的值域， ()A M 为分段函数中函数1()f x x=，x M ∈的值域． 若()f x 的图象如图所示，则()()(0A P A M =，)+∞≠∅，故（1）错误；PM R =，但()()A P A M R ≠，故（4）错误；对于分段函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，只有{0}P =，{|0}M x x =≠时，满足PM R =，()()A P A M R =， 若PM R ≠，则()()A P A M R ≠，故（2）正确；分段函数不同段的定义域没有公共部分，故一定有PM =∅，故（3）正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．（1）求证：直线1//BD 平面PAC ； （2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【解答】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点． 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD ． 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊂/平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC ．（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角． 因为2PA PC ==，1222AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===．又(0APO ∠∈︒，90]︒，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．18．（14分）设函数2()||f x x x a =+-，a 为常数． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）设0a >，()()f x g x x=，(0x ∈，]a 为减函数，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由已知，()()f x f x -=．2⋯分 即||||x a x a -=+，3⋯分 解得03a =⋯分（2）当(0x ∈，]a 时，2(),()1af x x a xg x x x=+-=+-，7⋯分 设1x ，2(0x ∈，]a ，且210x x >>，于是2120x x a -<，120x x >． 1212121212()()1(1)()(1)0a a a f x f x x x x x x x x x -=+--+-=--> 1x ，2(0x ∈，]a 且12x x <，所以212x x a <，所以2a a ，因此实数a 的取值范围是(0，1]12⋯分19．（14分）如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE ∆区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN ∆的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．【解答】解：（1）在PME ∆中，EPM θ∠=，4PE m =，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理可得sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ∠==∠+， 同理，在PNE ∆中，22PN = 2148sin 2sin cos 2)14PMN S PM PN MPN cos πθθθθ∆∴=∠==+++，M 与E 重合时，0θ=，N 与D 重合时，tan 3APD ∠=，即3544πθ=-， 35044πθ∴-， 综上所述，8)14PMN S πθ∆=++，35044πθ-； （2）当242ππθ+=即8πθ=时，S1)=平方米．20．（16分）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1． （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A 、B 是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【解答】解：（1）动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1， 等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等， 由抛物线的定义可得，曲线C 的方程为24y x =；证明：（2）设直线PA 的斜率为k ，由直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数， 得直线PB 的斜率为k -，则：:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=．结合根与系数的关系，可得22(2)(k A k -，42)kk-；联立22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，得2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，结合根与系数的关系，可得22(2)(k B k +，42)kk--． ∴222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--， 即直线AB 的斜率为定值1-；证明：（3）设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为2k -，由（2）可知，22(2)(k A k -，42)kk-；PB 所在直线方程为2(2)(1)y k x -=--，联立22(2)(1)4y k x y x -=--⎧⎨=⎩，得2(2)440k y y k --+=，解得22((2)k B k -，2)2kk-．∴22222242(2)2(2)22(2)ABk kk k k k k k k k k k k ----==--+--， AB ∴所在直线方程为2222(2)()222(2)k k k k y x k k k k --=---+-， 整理得2(2)(1)22k k y x k k -=+-+，∴直线AB 过定点(1,0)-．21．（18分）若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且*2,2()n n a n b n n N ==+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系P （1）？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，*11,n n b a n N +=+∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）；并求A 的最小值； （3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为(*)q q N ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件． 【解答】解：（1）因为*2,2()n n a n b n n N ==+∈， 若数列{}n a 与{}n b 具有关系P （1），则对任意的*n N ∈，均有||1n n a b -，即|2(2)|1n n -+，亦即|2|1n -， 但4n =时，|2|21n -=>，所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系P （1），（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以11()3n n a -=，因为11n n b a +=+，所以1()13n n b =+，所以1112|||()()1|11333n n n n n a b --=--=-<，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）． 设A 的最小值为0A ，0||n n a b A -， 因为||1n n a b -<，所以01A ． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*n N ∈，均有0||n n a b A -”矛盾， 所以01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()d d R ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为*()q q N ∈的等比数列，所以1112(1)1,n nn n a a n d dn d b b q q q-=+-=+-==， 设21,0d a b q-==>，则*,,n n n a dn a b bq n N =+=∈． 数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），即存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -． （Ⅰ）当0d =，1q =时，|||12|11n n a b -=-=，取1A =，则||n n a b A -，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）（Ⅱ）当0d =，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，即1n bq A +，1nA q b +，所以1log q An b+，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n b a A -”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为||||||n n n n a b a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n a b A -，即||2n a A +，即||2dn a A ++，所以||||2dn a A -+，||2||a And ++，这与“对任意的*n N ∈，均有||||n n a b A -”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q 时，假设数列{}n a 与{}n b 具有性质P （A ），则存在正常数A ，使得对任意的*n N ∈，均有||n n a b A -．因为|||||n n n n b a a b --，所以，对任意的*n N ∈，||||n n b a A -，所以||||||n bq dn a A d n a A ++++，所以||||nd a Aq n b b++，设||||0,0d a A b bλμ+=>=>，则对任意的*n N ∈，n q n λμ+．因为2n nq 所以，对任意的*n N ∈，2n n λμ+，下面先证明：存在1N >，当n N >时，22n n >．即证220nln lnn ->．设()0)f x lnx x =->，则1()f x x '==所以(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间(0,4)上递增，同理()f x 在区间(4,)+∞上递减，所以()max f x f =（4）420ln =-<，所以lnx <因此，22(2)22)xln lnx ln x ->-=-，所以，当22()2x ln >时，220xln lnx ->，设22()2N ln =，则当x N >时，220xln lnx ->，即当n N >时，22n n >，又2nn λμ+，所2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n <<，这与对任意的*n N ∈，2n n λμ+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系P （A ）的充要条件为0d =，1q =．。
上海市闵行区2021届高三一模考试数学试卷(有答案)
上海市闵行区2021届高三一模考试数学试卷一、选择题1.若a 为实数，则“1a <”是“11a>”的 ( ) A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2.若lg2a =，lg3b =，则5log 12等于( ) A.21a b a++ B.21a b a+ C.21a b a+- D.21a b a- 3.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有1212IPF IPF IF F S S -=△△△,则双曲线的渐近线方程是（ ）A.y x =±B.y =C.y =D.y =4.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB PD 、于点E F 、（可与端点重合），则四棱锥P AEM F -的体积的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题5.已知集合A *=N ， {215}B x x =-<，则AB =__________．（用列举法表示）6.已知复数z 满足i 2i z =+（i 为虚数单位），则z =___________.7.若函数()21x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(9)g =____________. 8.若πtan()34α+=-，则tan α=____________.9.在()612x -的二项展开式中，3x 项的系数为__________．（用数字作答）10.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是_____________.11.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、 4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和 2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有__________种．（用数字作答）12.设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(10)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是__________. 13.已知定义在[0,)∞+上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为________________. 14.已知 2n n ∈≥N ，，函数2333n ny x n n =+++的图像与y 轴相交于点n A 、与函数1log (4)ny x =-的图像相交于点n B ，n n OA B △的面积为n S (O 为坐标原点)，则lim n n S →∞=________.15.已知平面向量,,a b c ，对任意实数t ，都有b ta b a -≥-，b tc b c -≥-成立．若3a =，2c =，7a c -=，则b =_____________. 16.已知函数()1f x x x=+，给出下列命题： ①存在实数a ，使得函数()()y f x f x a =+-为奇函数；②对任意实数a ，均存在实数m ，使得函数()()y f x f x a =+-关于x m =对称； ③若对任意非零实数a ， ()()f x f x a k +-≥都成立，则实数k 的取值范围为(],4-∞； ④存在实数k ，使得函数()()y f x f x a k =+--对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是__________.（写出所有真命题的序号）三、解答题17.如图，在圆柱1OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面O 的直径，D 是底面圆周上异于B C 、的点．（1）求证： CD ⊥平面ABD ；（2）若2BD =，4CD =，6AC =，求圆柱1OO 的侧面积． 18.已知函数2()cos 222x x xf x =+（1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 19.大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如()(1 2 3 ) i i i A a b i n =，，，，，是平面直角坐标系上的一系列点，其中n 是不小于2的正整数，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列) (i i i A a b ，比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：22211221(())[(())(())(()])n n f x f a b f a b f a b n∆=-+-++-． 已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：（1）若用函数14()5f x x x -+=来拟合上述表格中的数据，求1(())f x ∆； （2）若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据．①求该函数的拟合误差2(())f x ∆的最小值，并求出此时的函数解析式2()y f x =； ②指出用12(),()f x f x 中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？20.已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；()f x（3）若123λλ+=-，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．21.已知数列{}n a 与{}n b 满足()11n n n n a a b b λ++-=-（λ为非零常数），n *∈Ν. （1）若{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 也是等差数列； （2）若1π2,3,sin 2n n a b λ===，求数列{}n a 的前2021项和； （3）设11a b λ==，22b λ=，12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N ，若对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j i j ∈≠N ，，2i j a a -<都成立，求实数λ的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：D 解析：5.答案：{}1,2 解析：6.答案：12i - 解析：7.答案：3 解析：8.答案：2 解析：9.答案：160- 解析：10.答案：arctan 3解析： 11.答案：90 解析：12.答案：22,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析： 13.答案：64 解析： 14.答案：6 解析：15.解析： 16.答案：②③ 解析：17.答案：（1）由已知可知AB ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，AB CD ∴⊥点D 是O 上异于B 、C 的点，BC 是O 的直径， 所以CD BD ⊥， 又ABBD B =，∴ CD ⊥平面ABD（2）在Rt BDC △中，2BD =，4CD =，90BDC ∠=︒，∴BC =∴4AB =∴圆柱1O O 的侧面积为：S BC AB π=⋅⋅=侧．解析：18.答案：（1）()f x x x =+， 所以π()2sin()4f x x =+，因为函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以当π4x =时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x 的最小值为所以函数()f x 的值域为[2]． （2）π()2sin()(0)4f x x ωωω=+>由(f x ω得πsin(4x ω+所以ππ=2π43x k ω++或π2π=2π()43x k k ω++∈Z所以2ππ=12k x ωω+或2π5π=()12k x k ωωω+∈Z ．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]π5π,0,π1212ωω∈， 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 解析：19.答案：（1）若用函数()221()4521f x x x x =-+=-+来拟合上述表格中的数据，则2222211(())[(2 2.2)(11)(22)(5 4.6)(107)]5f x ∆=-+-+-+-+-222221(0.2000.43) 1.845=++++=； （2）①若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据，则|12|2|22|2|32|2|42|2|52|221(())[(2 2.2)(21)(22)(2 4.6)(27)5]f x m m m m m -----∆=+-++-++-++-++-220.080.28(0.04)0.27840.2784m m m =+≥++=+，则当0.04m =-时，2(())f x ∆的最小值为0.2784，此时22()20.04x f x -=-｜｜. ②由上可知，1(())f x ∆= 1.84=，2(())f x ∆=20.080.28m m =++比较1(())f x ∆与2(())f x ∆，发现当2525m <<时，1(())f x ∆>2(())f x ∆，此时用22()2x f x m -=+｜｜来拟合上述表格中的数据更好；当25m =251(())f x ∆=2(())f x ∆，用12()()f x f x 、拟合效果一样；当125m +<-或125m >时，1(())f x ∆<2(())f x ∆，此时用21()45f x x x =-+来拟合上述表格中的数据更好. 解析：20.答案：（1）∵椭圆2222 1(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，2b =，设焦距为2c ，由条件得222(2)(2)2(2)a b c +=， 又222a b c =+，解得212a =．∴椭圆Γ的标准方程为221124x y +=．（2）由题意，(0 1) (1 0)P Q ，，，，设1122() ()M x y N x y ，，，， ∵12 PM MQ PN NQ λλ==，， ∴1111122222()(1) 1 1 ()(1)x y x y x y x y λλ--=--=--，，，，，， 从而111222(1) (1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x xx x λλ==--，， ∴12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-， 由2212411y x x y =-+⎧+=⎪⎨⎪⎩得，24690x x --=，∴121239 24x x x x +==-，，∴1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-； （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122() ()M x y N x y ，，，， 则：(0,) ( ,0) P km Q m -，由1PM MQ λ=得11111()() x y km m x y λ+=--，，，注意到1x m ≠ ∴()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123λλ+=-，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k---⋅+=⇒=+++，∴2m =，（满足②）故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(2 0)，．另解：由题意设01122 (0 ) (0) () ()P m Q x M x y N x y ，，，，，，，， 由1PM MQ λ=，知111011() () x y m x x y λ-=--，，，注意到120y y ≠ ∴111y m y λ-=-，从而111m y λ=-，同理221my λ=-， 又123λλ+=-，∴1212()0y y m y y ++=①，显然直线l 的斜率k 存在且不为零，不妨设直线l 的方程为()x t y m =-， 联立221124()x y x t y m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(3)2120t y mt y t m +-+-=，则2422244(3)(12)0m t t t m ∆=-+->②，且222121222212,33mt t m y y y y t t -+==++③，…14分③代入①得22221220t m m t -+=，2()4mt ∴=， ∵直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、， ∴0mt ->，2mt ∴=-（满足②），直线l 的方程为2x ty =+，所以直线l 恒过定点(2 0)，． 解析：21.答案：（1）设{}n b 的公差为d ，则()11()n n n n a a b b d n λλ*++-=-=∈N ，故数列{}n a 是等差数列；（2）由πsin 2n n b =，可知{}n b 是周期为4的数列，即4n n b b +=；由()()()()44332211n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++-=-+-+-+-()()()()43+32+21+1n n n n n n n n b b b b b b b b λλλλ++++=-+-+-+- ()40n n b b λ+=-=，即{}n a 也是周期为4的数列. 又由12,sin2n n a b π==，()113n n n n a a b b ++-=-可求： 21a =-，34a =-，41a =-， 412344S a a a a =+++=-，所以()()2021123452018201920202021S a a a a a a a a a =+++++++++145052018a S =+=-.（3）由12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N 得()111(2,)2n n n n b b b b n n *+--=--≥∈N ，即{}1n n b b +-是以212b b λ-=-为首项，12-为公比的等比数列， 则1111222n nn n b b λλ-+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12111222n n λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111221133212n n λλλ-⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.则122111323n n n a b a b λλλλλ-⎛⎫=+-=-+-⎪⎝⎭.当n 为奇数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=+-⎪⎝⎭单调递减，且23n a λλλ-<≤； 当n 为偶数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=-+-⎪⎝⎭单调递增，且2223n a λλλλ-≤<-；因为0λ≠，故2223λλλλλ-<-<，所以{}n a 的最大值为1a λ=，最小值为222a λλ=-，因为对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j ∈N ，2i j a a -<都成立， 所以122a a -<， 解得()()2,00,2λ∈-综上，λ的取值范围是()()2,00,2-.。
上海市2021届高三一模数学试卷(含答案)
2021届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim 1n n n →∞+=+ 2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B = 3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为（结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()ax x +的二项展开式中5x 的系数为144，则a = 12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D.11015. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D.2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为34，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为6，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x>；（2）若(0)1f =，且()(2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围； （3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg 2n f x <对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈；（1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足 3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实 数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷五答案
逆序数为 (n 1)
p1 (n 2)
p2 (n n)
pn
n(n 1) a 2
．…7 分
21、（1） g(x) a(x 1)2 1 b a ，
因为 a 0 ，所以 g(x) 在区间[2 , 3] 上是增函数，……（1 分）
g(2) 1 ,
故
g
(3)
4
,
…………（2 分）
参考答案： 一、填空题：
1、 5 12
2、
3、1
4、 5
3
5、
5
24
7、 3
3 tan tan3
8、
1 3 tan2
9、 2880 10、 3
11、1078
6、8 12、②③④
二、选择题： 13、D
14、D
15、A
16、C
三、解答题：
17、（1）
f
(x)
1
sin(2 x
)
1
,
x
(0,
2 PF1 PF2
20
4a2 20 1 2 PF1 PF2
……………………………4 分
由基本不等式得 2a PF1 PF2 2 PF1 PF2 ，
当且仅当 PF1 PF2 时等号成立
PF1
PF2
a2
cos F1PF2
4a2 2a2
20
1
1 9
a2
9，b2
4
所求动点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 94
OM F1M 2 10,
2 ）对称轴 x 5 2 5
2021上海春考数学试卷解析
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12每题5分）1、等差数列{}n a 中，13,2a d ==，则10a =【答案】21【解析】101921a a d =+=2、已知复数z 满足13z i =−(i 是虚数单位)，则z i −＝ .【解析】12z i i z i −=+⇒−=3、不等式2512x x +<−的解集为 .【答案】()7,2−【解析】25710(7)(2)0(7,2)22x x x x x x x ++<⇒<⇒+−<⇒∈−−−4、已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为 .【答案】4π【解析】24S rl ππ==5、求直线2x =−10y −+=的夹角为________. 【答案】6π【解析】121212123(1,0),(3,1),cos ,2||||n n n n n n n n ⋅==−<>==故夹角为6π6、方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，求1122a b a b =.【答案】0 【解析】易得1122a b a b =07、()1nx +有且仅有3x 为最大值，则二项展开式中3x 的系数为.【答案】20【解析】1r n rr n T C x −+=，又3x 为最大值，则3r n =−，那么362nn n =−⇒= 所以3x 的系数为3620C =8、已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a = .【答案】9【解析】()33111593131x xx xa a f x a =+=++−≥−=⇒=++9、等比数列{}n a 各项均为正数，满足，()1lim 4n n a a →∞−=，则2a 的取值范围是 .【答案】(4,0)(0,4)−⋃【解析】由题意得各项为正数，()111121lim lim 44,(0,1)4(1(0,4))n n n n a a a a q q a a q q ∞∞→−→−==⇒=∈∴=−=∈【答案】23【解析】由题意,至少要选2种运动,并且选2种运动的情况中,AB 、DB 、EB 的组合不满足题意，54325555323C C C C ∴+++−=11、已知椭圆()222101y x b b+=<<的左右焦点为12F F 、，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程为 .【答案】1x =【解析】如图所示，作PM l ⊥于M ，212111=cos 44PF ππPM PF F F PM PF PF ∠=∠⇒===))1212221221PF PF PF PF PF ⇒+=+=⇒=−)22211:1c PM PF c l x ===→=−⇒=−12、已知0θ>，存在ϕ，对于任意的*n N ∈，使得()cos 2n θϕ+<，则θ最小值为.【答案】25π【解析】法一：原问题等价于随着n 调整，所对应的点都不在阴影区域里（16的圆）。
2021年上海市春季高考数学试题(含解析)
2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f （1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f （1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．11∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x≠0，n∈N∗，则“n=2”是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.已知a、b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是()A. 1a <1bB. lna>lnbC. a2>b2D. 2a>2b3.过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A. x2−y23=1 B. x2−y24=1 C. x24−y212=1 D. x212−y24=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体棱上一点．若满足|PB|+|PC1|=m(m>0)的点的个数为4，则m的取值范围是()A. [2√2,4]B. [4,2+2√3]C. [4,4√2]D. [2+2√3,4√2]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={0,2,4}，B=(0,+∞)，则A∩B=______．6.抛物线y2=4x的焦点坐标为______．7.不等式∣∣∣x41x∣∣∣≤0的解为______．8.若复数z满足(1+i)⋅z=2(i是虚数单位)，则|z|=______．9.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，则tan(π2+α)=______．10.设函数f(x)=a x+1−2(a>1)的反函数为y=f−1(x)，若f−1(2)=1，则f(2)=______．11.设各项均为正数的无穷等比数列{a n}满足：a1=1，a2+2a3=1，则数列{a2n}的各项的和为______．12. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =3，AC =4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为______．13. 在△ABC 中，AB =1，AC =2，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 甲和乙等5名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有______种不同的参加方法(结果用数值表示)．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0，公差d <0，若对任意的n ∈N ∗，总存在k ∈N ∗，使S 2k−1=(2k −1)S n ，则k −3n 的最小值为______．16. 已知函数f(x)=x|x −a|+3x.若存在a ∈[−3,4]，使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D =4．(1)求该正四棱柱的表面积和体积；(2)求异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．18. 已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值及函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x),x ∈[0,π2]的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若A ∈(0,π2)，f(A)=−12，△ABC 的面积为3√3，b −c =2，求a 的值．19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v(单位：千米/小时)和车流密度x(单位：辆/千米)满足关系式：v ={50,0<x ≤2060−k140−x ,20<x ≤120(k ∈R)．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y =x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为6，且经过点Q(32,√3)，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ． (1)求椭圆的标准方程；(2)若OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求线段PA 的长； (3)试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21.若有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<⋯<a k(k∈N∗,k≥3)且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i与a j−a i至少有一个是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；(2)设项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，求证：ka k=2(a1+a2+⋯+a k−1+a k)；(3)若项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，写出一个当k=4时，{a n}不是等差数列的例子，并证明当k>4时，数列{a n}是等差数列．答案和解析1.【答案】A【解析】解：①n=2时，(x+1x )2=x2+1x2+2，∴“n=2“是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项“的充分条件；②若(x+1x )n的二项展开式中存在常数项，设常数项为C n r x n−r⋅(1x)r=C n r x n−2r，则n−2r=0，∴r=n2，r为正整数，∴n能被2整除，即得不出n=2，∴“n=2“不是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的必要条件；综上得，“n=2”是“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故选：A．从两个方面看：看n=2时，能否得出“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”，即验证充分性是否成立；然后看“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”时，能否得出n=2，即验证必要性是否成立，最后即可得出“n=2”和“(x+1x)n的二项展开式中存在常数项”的关系．本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，二项展开式公式，考查了计算能力和推理能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：当a=1，b=−1时显然a>b，但A不成立，当0>a>b时B显然不成立，当a=1，b=−1时，C显然不成立，由于y=2x单调递增，由a>b可得2a>2b，D成立．故选：D．由已知结合不等式的性质及指数与对数函数的性质分别检验各选项即可判断．本题主要考查了不等式的性质，属于基础试题．3.【答案】A【解析】解：双曲线的右顶点为(a,0)，右焦点F为(c,0)，x，可得A(a,b)，由x=a和一条渐近线y=ba以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则|AF|=|OF|=c=2，即有√(a−c)2+b2=2，c2=a2+b2=4，解得a=1，b=√3，=1，即有双曲线的方程为x2−y23故选A．求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：先计算正方体的8个顶点到B，C1两点的距离，如图所示，(1)当点P分别在棱BB1，BC，CC1，B1C1上运动时，m的取值范围是[2√2,4]；(2)当点P分别棱C1D1，AB上运动时，m的取值范围是[2√2,2+2√3]；(3)当点P分另在棱A1B1，CD上运动时，m的取值范围是[4,4√2]；(4)当点P分别在棱A1D1，DD1，AD，AA1上运动时，m的取值范围是[2+2√3,4√2].由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m的值是一一对应的，则当|PB|+|PC1|=m(m>0)的点P的个数为4时，m的取值范围是[4,2+2√3].先计算正方体的8个顶点到B ，C 1两点的距离，由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，数形结合能求出当|PB|+|PC 1|=m(m >0)的点P 的个数为4时，m 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】{2,4}【解析】解：集合A ={0,2,4}，B =(0,+∞)，则A ∩B ={2,4}． 故答案为：{2,4}．直接利用交集的运算法则化简求解即可． 本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．6.【答案】(1,0)【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．先确定焦点位置，即在x 轴正半轴，再求出P 的值，可得到焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程， p =2∴焦点坐标为：(1,0) 故答案为(1,0)7.【答案】{x|−2≤x ≤2}【解析】解：不等式∣∣∣x 41x ∣∣∣≤0，化为：x 2−4≤0， 解得−2≤x ≤2，所以不等式的解：{x|−2≤x ≤2}． 故答案为：{x|−2≤x ≤2}．利用行列式的运算法则，推出不等式，求解即可． 本题考查行列式的应用，二次不等式的解法，是基础题．【解析】解：∵(1+i)⋅z=2，∴|1+i|⋅|z|=2，∴√2|z|=2，∴|z|=√2，故答案为：√2．根据复数模的性质即可求出．本题考查了复数模的计算，考查了运算能力和转化能力，属于基础题9.【答案】−34【解析】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(3,4)，可得sinα=45，cosα=35，tan(π2+α)=sin(α+π2)cos(α+π2)=cosα−sinα=35−45=−34．故答案为：−34．利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，cosα，结合诱导公式化简求解即可．本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．10.【答案】6【解析】解：由题意得：函数f(x)=a x+1−2(a>1)过(1,2)，将(1,2)代入f(x)得：a2−2=2，解得：a=2，故f(x)=2x+1−2，故f(2)=6，故答案为：6．根据反函数的定义得到f(x)过(1,2)，求出a的值，求出f(x)的解析式，从而求出f(2)的值即可．本题考查反函数求函数值，理解掌握反函数概念是基础，利用反函数与原函数的关系是关键．11.【答案】23(1−2−2n )【解析】解：由题意设公比是q(q >0)，而a 1=1， 则a 2=q ，a 3=q 2，∵a 2+2a 3=1，∴q +2q 2=1，解得：q 1=12(−1舍)， 故a n =(12)n−1，则数列{a 2n }的首项是12，公比是q 2=14， 故数列{a 2n }的各项的和S =a 1(1−q n )1−q=12[1−(14)n ]1−14=23(1−2−2n )，故答案为：23(1−2−2n ).设出公比q ，得到关于q 的方程，求出数列{a n }的公比是12，求出数列{a n }的各项的和即可．本题考查了数列求和，考查等比数列的定义和性质，是一道基础题．12.【答案】15π【解析】解：如图示：，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ， 得到的是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥， 故侧面展开图是半径为5，弧长为6π的扇形， 故Γ的侧面积为S =12×5×6π=15π， 故答案为：15π．画出几何体Γ，结合图象求出Γ的侧面积即可．本题考查了圆锥的侧面展开图，考查扇形面积公式以及弧长公式，是一道基础题．13.【答案】12【解析】解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )](AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16(4−1)=12， 故答案为：12．根据平面向量的运算性质分别计算即可．本题考查了平面向量的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．14.【答案】216【解析】解：由题意得，有且只有2人分在一组，然后平均分到4个不同的岗位，则有C 52A 44=240种不同的分配方案．甲乙两人在同一岗位的分配方法有A 44=24种故甲、乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有240−24=216种． 故答案为：216．先求出没有条件限制的种数，再求出甲乙两人在同一岗位的分配方法24，利用间接法，问题得以解决．本题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题．15.【答案】−8【解析】解：由题意可得(2k−1)(a 1+a 2k−1)2=(2k −1)S n ，则得(2k−1)⋅a 12=(2k −1)S n ，即a k =S n ，令n =2得：a k =S 2，即a 1+(k −1)d =2a 1+d (∗)，即得k −2=a 1d，因为首项a 1>0，公差d <0，则得k −2=a 1d<0，即k <2，又∵k ∈N ∗，所以k =1，代入(∗)得：d =−a 1， 当d =−a 1时，由a k =S n 得a 1−(k −1)a 1=na 1−n(n−1)a 12，即k =(n−1)(n−2)2+1，所以k −3n =12n 2−92n +2，即k −3n =12[(n −92)2]−772，因此当n =4或5时，k −3n 的最小值为−8． 故答案为：−8．由题意可知a k =S n ，令n =2得a 1+(k −1)d =2a 1+d (∗)，即得k −2=a 1d，因为首项a 1>0，公差d <0，所以k <2，从而k =1，代入(∗)得：d =−a 1，再利用等差数列的前n 项和公式即可求出结果．本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，是中档题．16.【答案】(1,4948)【解析】解：由题意f(x)={x 2+(3−a)x,x ≥a−x 2+(3+a)x,x <a ，且关于x 的方程f(x)=3at 有三个不相等的实数根， (1)当−3≤a ≤3时，−3−a 2≤a ≤a+32，且−3−a 2≤0≤a+32，可得f(x)在(−∞,+∞)上是单调递增函数，所以方程f(x)=3at 没有三个不相等的实数根， (2)当3<a ≤4时，0<−3−a 2<a+32<a ，可得f(x)在(−∞,a+32)，(a,+∞)上是单调递增函数，在(a+32,a)单调减增函数，(如图) 当且仅当3a <2at <(a+3)24时，方程f(x)=3at 没有三个不相等的实数根， 可得1<t <(a+3)212a =112(a +1a +6)，令g(a)=a +1a ，a ∈(3,4]，可得g(a)在区间(3,4]上单调递增函数，则t <g(4)=254所以则实数t的取值范围是(1,4948).故答案为(1,4948).对a进行讨论，转化为分段函数，方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，转化为y= f(x)与y=3at有三个交点问题，即可求解实数t的取值范围．本题考查了函数的存在性问题，转化思想的应用，讨论方程的根的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意，得AA1=√A1D2−AD2=√3，则该正四棱柱的表面积为S全=22⋅2+2⋅2√3⋅4=8+16√3，该正四棱柱的体积为V=22×2√3=8√3．(2)连接A1C1，DC1，则AC//A1C1，∴直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，在△A1DC1中，A1D=DC1=2√3，A1C1=2√2，由余弦定理得cos∠DA1C1=A1D2+A1C12−DC122×A1D×A1C1=42+(2√2)2−422×4×2√2=√24．∴异面直线A1D与AC所成的角的大小为arccos√24．【解析】(1)由题意求出AA1=√A1D2−AD2，由此能求出该正四棱柱的表面积和体积．(2)连接A1C1，DC1，则AC//A1C1，直线A1D，A1C1所成角就是异面直线A1D，AC所成角，由余弦定理能求出异面直线A1D与AC所成的角的大小．本题考查该正四棱柱的表面积和体积、异面直线A1D与AC所成的角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．∴T=2π|ω|=π，由ω>0，得ω=2，此时f(x)=cos2x，则g(x)=2sin(2x−π6)，当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，2sin(2x−π6)∈[−1m2]，∴函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x),x∈[0,π2]的值域为[−1,2]．(2)由题意得cos2A=−12，∵A ∈(0,π2)，则得2A ∈(0,π)，∴2A =2π3，解得A =π3， ∵△ABC 的面积为3√3，则得12bcsinA =3√3， 即12bcsin π3=3√3，即bc =12，∵b −c =2，∴由余弦定理得a =√b 2+c 2−2bccosA =√b 2+c 2−bc =√(b −c)2+bc =√22+12=4．【解析】(1)由函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π.求出ω=2，从而得到f(x)=cos2x ，g(x)=2sin(2x −π6)，由此能求出函数g(x)的值域．(2)由题意得cos2A =−12，推导出A ，由△ABC 的面积为3√3，推导出bc ，再由b −c =2，利用余弦定理能求出a ．本题考查实数值、函数的值域的求法，考查三角函数的性质、恒等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，当x =120(辆/千米)时，v =0(千米/小时)，代入v =60−k140−x ，得0=60−k140−120，解得k =1200． ∴v ={50,0<x ≤2060−1200140−x ,20<x ≤120， 当0<x ≤20时，v =50≥40，符合题意；当20<x ≤120时，令60−1200140−x ≥40，解得x ≤80， ∴20<x ≤80． 综上，0<x ≤80．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0,80]； (2)由题意得，y ={50x,0<x ≤2060x −1200x 140−x ,20<x ≤120， 当0<x ≤20时，y =50x 单调递增，∴y ≤20×50=1000，等号当且仅当x =20时成立； 当20<x ≤120时，y =60x −1200x 140−x =60(x −20x 140−x )=60[x +20(140−x)−2800140−x]=60(20+x −2800140−x )=60[160−(140−x)−2800140−x] ≤60(160−2√(140−x)⋅2800140−x )=60(160−40√7)≈3250．当且仅当140−x =2800140−x ，即x =140−20√7≈87∈(20,120]时成立， 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，考查分式不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)由x =120(辆/千米)时，v =0(千米/小时)求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由v ≥40求解x 的范围得结论；(2)结合(1)写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．20.【答案】解：(1)由题意得：2a =6，解得a =3，把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程x 2a2+y 2b 2=1，得94a 2+3b 2=1，解得b =2， 所以所求椭圆的标准方程为：x 29+y 24=1．(2)解：因为OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则得OC ⃗⃗⃗⃗⃗=−12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，即C(0,1)， 又因为A(−3,0)，所以直线AP 的方程为y =13(x +3)，由{y =13(x +3)x 29+y 24=1，解得{x =−3y =0(舍去)或{x =2715y =2415，即得P(2715,2415)， 所以|AP|=√(2715−(−3))2+(2415)2=24√1015，即线段AP 长为24√1015．(3)由题知直线PB 的斜率存在， 可设直线PB ：y =kx −2，(k >23) 令y =0得D(2k ,0)，由{y =kx −2x 29+y 24=1，得(4k 2+9)x 2−36kx =0，解得x =0或x =36k 4k 2+9，所以y =18k 2−84+9k 2，即P(36k 4k 2+9,18k 2−84+9k 2)，于是直线AP 的方程为y =18k 2−84k 2+936k1+4k 2+3(x +3)，即y =2(3k−2)3(3k+2)(x +3)， 令x =0，得y =2(3k−2)3k+2即C(0,2(3k−2)3k+2)，所以四边形ABCD 的面积等于12×|AD|×|BC|=12(2k +3)(2(3k−2)3k+2+2)=12⋅3k+2k⋅12k3k+2=6，即四边形ABCD 的面积为定值．【解析】(1)由题意得：2a =6，94a 2+3b 2=1，解得a ，b ，进而可得椭圆的标准方程． (2)根据题意可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，推出C(0,1)，写出直线AP 的方程，联立直线AP 方程与椭圆的方程解得交点P ，由两点之间的距离公式可得线段AP 长．(3)设直线PB ：y =kx −2，(k >23)，推出得D 坐标，联立直线PB 与椭圆的方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，解得P 坐标，进而写出直线AP 的方程，推出C 坐标，进而推出四边形ABCD 的面积为定值．本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列1，2，4，8不具有性质P ，∵0≤1<2<4<8，但是4+1=5，4−1=3，它们均不是数列1，2，4，8中的项， 故数列1，2，4，8不具有性质P ；(2)证明：∵a k +a k ∉M ，∴a k −a k ∈M ，即0∈M ，故a 1=0， 设2≤i ≤k ，∵a k +a i ∉M ，∴a k −a i ∈M ，则得0=a k −a k <a k −a k−1<a k −a k−2<⋯<a k −a 2<a k −a 1， ∵0≤a 1<a 2<a 3<⋯<a k−1<a k ，故a k −a k =a 1，a k −a k−1=a 2，a k −a k−2=a 3，…，a k −a 2=a k−1，a k −a 1=a k ， 累加得：ka k −(a k +a k−1+a k−2+⋯+a 2+a 1)=a 1+a 2+a 3+⋯+a k−1+a k ， 故ka k =2(a 1+a 2+a 3+⋯+a k−1+a k )，(3)数列0，1，4，5具有性质P ，但该数列不是等差数列， 下面证明当k >4，即k ≥5时，数列{a n }是等差数列，由(2)得a1=0，①设2≤i≤k，由(2)知0=a k−a k<a k−a k−1<a k−a k−2<⋯<a k−a2<a k−a1，∵0≤a1<a2<a3<⋯<a k−1<a k，故a k−a k=a1，a k−a k−1=a2，a k−a k−2=a3，…，a k−a2=a k−1，a k−a1=a k，故a k−a k−i=a i+1(1≤i≤k−1)(∗)，②设3≤i≤k−2，则a k−1+a i>a k−1+a2=a k，故a k−1+a i∉M，得a k−1−a i∈M，由0=a k−1−a k−1<a k−1−a k−2<⋯<a k−1−a3<a k−a3=a k−2，及0≤a1<a2<a3<⋯<a k−3<a k−2，可得a k−1−a k−1=a1，a k−1−a k−2=a2，a k−1−a k−3=a3，…，a k−1−a3=a k−3，故a k−1−a k−1=a i(1≤i≤k−3)，∵k≥5，由以上可知：a k−1−a k−1=a1，且a k−1−a k−2=a2，故a k−1−a1=a k−1且a k−1−a2=a k−2，故a k−1−a k−i=a i(1≤i≤k−1)(∗∗)，由(∗)知：a k−a k−i=a i+1(1≤i≤k−1)，两式相减得a k−a k−1=a i+1−a i(1≤i≤k−1)，故当k>4时，数列{a n}是等差数列．【解析】(1)根据数列{a n}具有性质P的性质判断即可；(2)根据项数为k(k∈N∗,k≥3)的数列{a n}具有性质P，设2≤i≤k，累加证明即可；(3)①设2≤i≤k，②设3≤i≤k−2，根据数列{a n}具有性质P，证明即可．本题考查了新定义问题，考查数列的性质以及等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．。
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北偏西 39 方向，则该塔的高度约为（
）
A、256 米
B、279 米
C、292 米
D、306 米
16．已知函数
f
x
x2 4a 3 x 3a, x
log a
x
1
1,
x
0
0
，（
a
0
且a
1 ）在
R
上单调递减，且关于
x 的方程 f x 2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（
2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷（五）
18、设双曲线 C ： x2 y2 23
1，
F1, F2 为其左右两个焦点．
(1) 设 O 为坐标原点， M 为双曲线 C 右支上任意一点，求 OM F1M 的取值范围；
(2) 若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1, F2 的距离之和为定值，且 cos F1PF2 的最小值为 1 ，求动点 P 的轨迹方程．
2021届上海市高三一模暨春考模拟数学试卷（五）
20、由 n(n 2) 个不同的数构成的数列 a1, a2 ,an 中，若1 i j n 时， a j ai （即后
面的项 a j 小于前面项 ai ），则称 ai 与 a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称
为该数列的逆序数．如对于数列 3，2，1，由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个，在第二
四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k 2 。其中，所有正确结论的序号是____________；
二、选择题
13．若空间三条直线 a、b、c 满足 a b, b c ，则直线 a 与 c
【】
A．一定平行；
B．一定相交；
C．一定是异面直线；
D．平行、相交、是异面直线都有可能．
14．在无穷等比数列 an中，
lnim(a1
a2
an )
1 2
，则
a1 的取值范围是【
】
A． 0，1 ； 2
B． 1 ，1 ； 2
C． 0，1；
D． 0，1 1 ，1 ． 2 2
15．某人驾驶一艘小游艇位于湖面 A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 21 方向，且
塔顶的仰角为18 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000 米后到达 B 处，此时测得塔底位于
4、点 (1,0) 到双曲线 x2 y2 1 到渐近线的距离是___________ 4
5．用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为
立方米．
6．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20 毫克/100 毫升的行为属
于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升，经过 x 个小时，酒精含
项 2 后面比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后面比 1 小的项没有，因此，数列 3，2，1 的逆序
数为 2 1 0 3 ；同理，等比数列1, 1 , 1 , 1 的逆序数为 4 ． 24 8
(1) 计算数列 an 2n 19(1 n 100, n N *) 的逆序数；
2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷五 2020.9.28
一、填空题：
1.若 sin 5 ，且 为第四象限角，则 tan 的值是_________ 13
2、函数 f (x) cos x sin x 的最小正周期是__________ sin x cos x
3、函数 f (x) 2x m 的反函数为 y f 1(x) ，且 y f 1(x) 的图像过点 Q(5,2) ，那么 m _______
的值为_________；
8、三倍角的正切公式为 tan 3 ________ .（用 tan 表示）
9、设集合
A
共有
6 个元素，用这全部的
6
个元素组成的不同矩阵的个数为_________；
10. 已知非零向量 a 、 b 、 c 两两不平行，且 a ∥ (b c) ， b ∥ (a c) ，设 c xa yb ，
）
A、
0,
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B、
2 3
,
3 4
C、
1 3
,
2 3
3 4
D、
1 3
,
2 3
3 4
三、解答题：
17、已知 ABC 中， AC 1， ABC 2 .设 BAC x ，记 f(x) ABBC . 3
（1）求函数 f (x) 的解析式及定义域；
（2）试写出函数 f (x) 的单调递增区间，并求出方程 f (x) 1 的解. 6
9
19. 如图，某城市有一矩形街心广场 ABCD ，如图，其中 AB 4 百米， BC 3 百米，现
将在其内部挖掘一个三角形水池 DMN 种植荷花，其中点 M 在 BC 边上，点 N 在 AB 边上，
要求 MDN . 4
（1）若 AN CM 2 百米，判断△ DMN 是否符合要求，并说明理由； （2）设 CDM ，写出△ DMN 面积的 S 关于 的表达式，并求 S 的最小值.
量降为 p 毫克/100 毫升，且满足关系式 p p0 er x （r 为常数）.
若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克/100 毫升，2 小时后，测得其血液中酒精含量降
为 61 毫克/100 毫升，则此人饮酒后需经过
小时方可驾车．(精确到小时)
7、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB 2 ，AD 1 ，则 AC BD
给出下列四个结论：①曲线 C 过点 1,1 ；②曲线 C 关于点 1,1 成中心对称；③若点 P 在
曲线 C 上，点 A, B 分别在直线 l1,l2 上，则 PA PB 不小于 2k ；④设 P0 为曲线 C 上任意一
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点，则点 P0 关于直线 l1 : x 1 、点（-1,1）及直线 l2 : y 1 对称的点分别为 P1 、 P2 、 P3 ，则
x, y R ，则 x 2y
11. 已知数列{an} 满足： a1 1， an1 an {a1, a2 , , an}（ n N* ），记数列{an} 的 前 n 项和为 Sn ，若对所有满足条件的{an} ， S10 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M m
12.曲线 C 是平面内到直线 l1 : x 1 和直线 l2 : y 1 的距离之积等于常数 k 2 k 0 的点轨迹。