数值计算方法简介
计算数学中的数值计算方法研究
计算数学中的数值计算方法研究计算数学作为数学的分支领域之一，主要研究计算科学中的数学方法、算法和计算计算机软件等方面。
在当前数字化和信息化的时代，计算数学无疑成为了一门非常重要的学科。
其中数值计算方法作为计算数学的重要组成部分，更是备受研究者重视。
本文主要就计算数学中的数值计算方法进行分析研究。
一、数值计算方法数值计算方法是计算数学中的一门重要的研究领域，它主要研究如何用电子计算机求解数学问题。
在这个领域中，研究的问题一般可以分为两个部分：一是数值计算方法的分类、特点、原理和理论分析等方面；二是数值计算算法的设计、实现、计算精度、稳定性、效率、适用范围和应用等方面。
二、常见数值计算方法1.插值法插值法是利用一组数据中的有限数据，在其中插入一个新的数据的方法。
这是一个常用的数值计算方法，在物理学、工程学、统计学、经济学等各种学科中都有广泛的应用。
在计算机制作图形、控制系统设计、光学、信号处理以及图像处理等领域中，插值法也都有把握应用。
2.数值微积分数值微积分主要研究微积分理论的数值计算方法，把函数积分和微分的不定、定积分、曲线面积等问题化为有限项或者逼近求和问题。
在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中都有广泛应用。
3.线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法主要研究线性方程组的计算方法和算法，包括高斯消元法、列主消元法、克拉默法则和对称正定方阵的Cholesky分解等。
这些方法在物理、工程、金融、经济学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
4.数值逼近法数值逼近法是指用一个简单的函数逼近另一个复杂的函数的方法。
这种方法在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中有广泛的应用。
三、数值计算方法的应用在现代社会中，计算机技术的不断发展和完善，为数值计算方法的应用提供了很好的机会。
数值计算方法在各个领域中都得到了广泛的应用和推广。
例如，在物理学、化学、化工、电力、金融、经济学、计算机科学等很多相关领域中，数值计算方法都有广泛的应用。
Matlab中的数值计算方法简介
Matlab中的数值计算方法简介引言：Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于工程、科学、金融等领域。
它拥有丰富的数值计算方法库，可以帮助研究者和工程师解决各种数值计算问题。
本文将简要介绍几种常见的数值计算方法，并说明它们在Matlab中的实现和应用。
一、插值法插值法是一种通过已知数据点之间的插值，估计未知数据点的数值的方法。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数进行插值计算。
该函数可以根据给定的数据点，计算出在指定位置的插值结果。
我们可以通过设置插值的方法和插值节点的数目来调整插值的精度与计算效率。
二、数值积分数值积分是一种通过近似求解定积分的方法。
在Matlab中，我们可以使用quad和quadl函数进行数值积分。
这些函数可以自动选择合适的数值积分方法，并提供了较高的精度和计算效率。
我们只需提供被积函数和积分区间，即可获得近似的积分结果。
对于一些特殊形式的积分，如复杂函数或无穷积分，Matlab还提供了相应的函数供我们使用。
三、线性方程组求解线性方程组的求解是数值计算中的一个重要问题。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模线性方程组的求解问题。
在Matlab中，我们可以使用矩阵运算功能和线性方程组求解函数来解决这类问题。
Matlab提供了一系列的求解函数，包括直接法和迭代法。
其中，直接法适用于小规模线性方程组，迭代法则适用于大规模线性方程组。
我们可以根据具体情况选择合适的方法和函数来求解线性方程组。
四、微分方程求解微分方程是许多科学和工程问题的数学模型，求解微分方程是数值计算中的常见任务。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程的初值问题。
该函数采用龙格-库塔方法，对微分方程进行数值积分，并给出近似的解析结果。
对于偏微分方程和其他更复杂的微分方程问题，Matlab还提供了更多的求解函数和工具箱供我们使用。
五、最优化问题求解最优化问题是指在特定约束条件下，求解给定目标函数的最大值或最小值的问题。
数值分析计算方法介绍
据此有 Vt1 vt0 S ，两端同除以 V v ，有
S t * 由于 V v
V v S t1 t0 V v V v V v
为人龟追赶问题的精确解，
由此可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均：
其中
v V v
t* (1 )t1 t0
数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
：
1
• 引例
数值分析(计算方法)简介
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者：
Ax b
其中 det(A) 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
, a3 0.8610 ，其绝对误差限都是0.005， 例 设近似值 a1 1.38, a2 0.0312 求各个近似值各有几位有效数字？
解
4
3 李庆扬. 数值分析. 清华大学出版社，2001.
4 白峰杉. 数值计算引论. 高等教育出版社, 2004. 5 王能超. 计算方法. 北京: 高等教育出版社, 2005
8
数值分析的基本概念
内容:
• • • • • 算法设计技术 误差 数值计算中需要注意的一些问题 算法的稳定性 病态问题
9
算法设计技术
1 a x1 x0 2 x0
0出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开
1 a xk , k 0,1, 2, 2 xk
校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精 ！ 17
• 算法优化的松弛技术 再考察Zeno算法： 对于给定的预报值 t 0 ，校正值为 t1
高等数学(数值计算方法)
第1章绪论1.1数值计算方法的对象与特点1.1.1 什么是数值计算方法现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。
比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。
发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。
有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。
计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。
研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。
计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。
1.1.2 数值计算方法的内容数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。
数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。
我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。
对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。
怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。
算法统宗的计算方法
算法统宗的计算方法
算法的计算方法可以分为两种：数值计算方法和符号计算方法。
1. 数值计算方法：数值计算方法是指利用数值运算来解决数学
问题的方法。
常见的数值计算方法包括：插值法、数值积分法、数值微分法、迭代法、数值解线性方程组等。
数值计算方法通常通过近似的方式来得到结果，精度受到计算机存储和计算精度的限制。
2. 符号计算方法：符号计算方法是指利用代数运算来解决数学
问题的方法。
符号计算方法可以进行精确计算，不受计算机存储和计算精度的限制。
常见的符号计算方法包括：代数运算、方程求解、求导、积分、级数展开等。
符号计算方法通常通过对表达式进行代数变换和化简来得到结果。
总结起来，数值计算方法适用于需要近似解的问题，而符号计算方法适用于需要精确解或者需要分析解的问题。
在实际应用中，常常会将数值计算方法和符号计算方法结合起来，以获取更好的计算结果。
常用数值计算方法简介-连续+非连续方法
四、著名有限元分析软件的应用范围
➢ UG 软件起源于美国麦道飞机公司，1991年11月并入世界上
MARC 美国 MARC 有限元 多行业通用 非线性计算 JACOBS
ADINA 美国 Bathe 有限元 多行业通用 非线性计算
FLAC
美国 Cundell 有限差分 岩土行业 前后处理麻烦、 计算收敛性好
MIDAS 韩国
有限元 土木工程 中文操作、易学
同济曙光 中国 朱合华
有限元 隧道工程 中文操作、 快速计算（二维）
三、有限元分析软件的发展（ 1980～1990年）
➢1988年Flomerics公司成立，提供用于子系统内部空气流 及热传递的分析程序。 ➢1989年Engineering Software Kessemochand Development公司成立，致力于发展Ｐ法有限元程序。同时 期还有多家专业性软件公司投入专业CAE程序的开发。 ➢这一时期的CAE发展的特点：有限元分析技术在结构分析 和场分析领域获得了很大的成功，从力学模型开始拓展到各 类物理场(如温度场、磁场、声波场)的分析；从线性分析向 非线性分析(如材料为非线性、几何大变形导致的非线性、 接触行为引起的边界条件非线性等)发展，从单一场的分析 向几个场的耦合分析发展。
四、著名有限元分析软件的应用范围
➢ MSC系列工程分析软件： MSC.PATRAN：可进行静力 /动力学 / 非线性 /热分析 /复
合材料 /优化灵敏度分析等分析。 MSC.DYTRAN：求解高度非线性、瞬态动力学、动力响
数值计算方法
数值计算方法
首先，数值计算方法涉及到数值逼近和插值。
在实际问题中，我们经常会遇到
一些函数的图像，但是这些函数并不一定能够通过解析表达式来描述，这时候我们就需要利用数值逼近和插值的方法来近似表示这些函数。
数值逼近和插值的方法有很多种，比如最小二乘法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等，它们可以帮助我们用简单的函数来近似表示复杂的函数，从而方便我们进行计算和分析。
其次，数值计算方法还涉及到数值积分和微分方程的数值解法。
在实际问题中，我们经常需要计算一些函数的积分或者求解一些微分方程，但是这些问题并不一定能够通过解析的方法来得到精确的解，这时候我们就需要利用数值积分和微分方程的数值解法来进行近似计算。
数值积分和微分方程的数值解法有很多种，比如复化梯形公式、龙格-库塔法、有限元法等，它们可以帮助我们用离散的方法来近似表
示连续的函数，从而方便我们进行计算和分析。
另外，数值计算方法还涉及到线性代数和矩阵计算。
在实际问题中，我们经常
会遇到一些线性方程组的求解问题，或者矩阵的特征值和特征向量的计算问题，这时候我们就需要利用线性代数和矩阵计算的方法来进行求解。
线性代数和矩阵计算的方法有很多种，比如高斯消元法、雅可比迭代法、幂法等，它们可以帮助我们高效地求解线性方程组，计算矩阵的特征值和特征向量，从而方便我们进行计算和分析。
总的来说，数值计算方法是一门非常重要的学科，它不仅为科学家和工程师提
供了强大的工具，也为数学家提供了新的研究方向。
通过数值计算方法，我们可以更好地理解和解决实际问题，促进科学技术的发展。
希望通过不断地学习和研究，我们能够更好地利用数值计算方法来解决更多的实际问题，为人类的发展做出更大的贡献。
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
数值计算方法总结.
运算量
1 1 分解A LR需 (n3 n)次, 解Ly b需 (n 2 n)次, 3 2 1 2 n3 n 解Rx y需 (n n)次, 共N n 2 2 3 3
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.2 克洛特分解法
对A进行杜里特尔分解时, A=LR, L为单位下三角阵, R为上三角阵
1i n j 1
2
( AT A), 称为谱范数
第2章 解线性代数方程的直接法
2.3 舍入误差对解的影响 2.3.1 向量和矩阵的范数
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 (x1 x2 ) x x x1 x x x2 1 2 1 2 (x1 x2 ) x2 x1 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x1 x1 ( ) 2 x 2 x x2 x2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A A b
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
数值计算方法简介
数值计算方法简介数值计算方法是一种用计算机处理数学问题的方法，它已经成为现代科学和工程中不可或缺的一部分。
目前，数值计算方法已经应用到了各个领域，比如工程学、物理学、经济学等等。
下面我们来简单介绍一些数值计算方法的基本概念和方法。
一.数值方法的分类数值计算方法可以分为以下两类：直接方法和迭代方法。
直接方法就是通过一定的公式或计算过程，直接求得问题的解。
而迭代方法则是通过不断地逼近解来求解问题。
迭代方法的精度一般会随着迭代次数的增加而增加，但同时也会增加计算的时间和计算的次数。
二.方程求解方法方程求解是数值计算方法中重要的一部分，它可以通过一定的计算方法来求解各种类型的方程，比如线性方程、非线性方程、微分方程等等。
其中，最常用的方程求解方法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等等。
以求解非线性方程为例，牛顿迭代法是一种常用的方法。
假设要求解方程$f(x)=0$，我们可以首先给出一些初值$x_0$，然后通过不断使用牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，来逼近方程的解。
三.插值和拟合插值和拟合是数值计算中另一个重要的内容，其主要任务是通过已知的数据点来确定一个函数，从而使其在其他点上的值也可以被预测或计算。
其中，插值一般用于在已知数据点之间构建函数，而拟合则是用于对数据点进行近似。
最常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值，其中拉格朗日插值函数为$L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \frac{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x_i-x_j)}$，其中$y_i$为已知数据点$(x_i,y_i)$的纵坐标值。
拟合方法中，最常用的是最小二乘法。
最小二乘法即是通过已知数据点，找到一条尽可能接近这些点的函数，也就是使这些点到函数的距离最小。
具体的做法是通过求解一个最小二乘问题，找到一个函数$f(x)$，使得$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i))^2$最小。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数学算法和计算机技术，对数值问题进行近似求解的方法。
它广泛应用于科学、工程和金融等领域，是现代科学研究和工程设计中不可或缺的工具。
本文将介绍数值计算方法的基本概念和原理，以及一些常用的数值计算方法和其在实际问题中的应用。
一、基本概念和原理1.1 数值计算方法的定义数值计算方法是一种使用数学模型和计算机算法来求解数值问题的方法。
它的基本思想是将实际问题转化为数学模型，并通过数学算法进行近似求解。
数值计算方法包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值方程求解等多个方面。
1.2 数值计算方法的原理数值计算方法的原理是通过将连续的实际问题转化为离散的数学问题，然后利用数值算法对离散问题进行求解。
它的基本步骤包括问题建模、离散化、数值计算和求解结果的评估。
数值计算方法的关键在于选择合适的离散方法和数值算法，并进行适当的误差分析。
二、常用的2.1 数值逼近方法数值逼近方法是一种通过使用逼近函数来近似求解函数值的方法。
常用的数值逼近方法包括插值法、拟合法和最小二乘法等。
插值法通过已知函数值来估计其他点上的函数值，拟合法通过拟合函数来逼近实际数据，最小二乘法通过最小化误差平方和来确定拟合函数的系数。
2.2 数值微积分方法数值微积分方法是一种通过数值近似计算函数的导数和积分的方法。
常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。
数值微分通过差分近似计算函数的导数，数值积分通过数值近似计算函数的定积分。
数值微积分方法在科学计算和工程设计中广泛应用，如求解微分方程、优化问题等。
2.3 数值代数方法数值代数方法是一种通过数值计算近似解线性代数方程组的方法。
常用的数值代数方法包括直接方法和迭代法。
直接方法通过高斯消元法等精确求解线性方程组，迭代法通过迭代逼近的方式求解线性方程组。
数值代数方法广泛应用于科学计算和工程设计中的矩阵计算和线性方程组求解等问题。
2.4 数值方程求解方法数值方程求解方法是一种通过数值计算近似求解非线性方程的方法。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法，是指通过数值代数和解析几何的思想和方法，利用计算机技术进行数学计算和问题求解的方法。
它在科学计算、工程技术、金融统计等领域都有广泛应用。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，以及其在实际问题中的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将连续问题离散化，然后通过数值逼近来求解。
离散化是将整个问题分割成一系列的小问题，求解这些小问题，最后再将结果组合起来得到整体的解。
数值逼近是指我们通过一系列数值计算来逼近问题的精确解，以达到预期的计算精度。
二、常用技术1. 插值法插值法是指根据已知数据点的函数值，通过构造一个插值函数来估计中间点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个多项式，使其经过已知数据点，然后利用该多项式来求解中间点的函数值。
牛顿插值法是通过构造一个差商表，然后利用差商表来计算中间点的函数值。
2. 数值积分数值积分是指通过数值方法来计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
梯形法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的梯形面积来逼近函数的积分。
辛普森法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的曲线面积来逼近函数的积分。
龙贝格法则是通过不断加密求解区间，然后通过龙贝格加法将不同精度的近似值进行组合，从而得到更高精度的积分结果。
3. 数值微分数值微分是指通过数值方法来计算函数的导数。
常用的数值微分方法有有限差分法和牛顿差商法。
有限差分法是通过计算函数在一些离散点上的差分值，然后用差分值逼近函数的导数。
牛顿差商法是通过构造差商表，然后利用差商从而计算函数的导数。
4. 方程求解方程求解是指通过数值方法来求解非线性方程或线性方程组的根。
常用的方程求解方法有二分法、牛顿迭代法和高斯消元法。
二分法是通过不断将区间分成两部分，然后根据函数值的符号变化来确定方程的根。
牛顿迭代法是通过在初值附近进行迭代，根据切线与横坐标轴的交点来逼近根。
数值计算方法课程介绍
数 值 计 算 方 法 课 程 介 绍
随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎 所有学科都走向定量化和精确化，从而产 生了一系列计算性的学科分支，如计算物 理、计算化学、计算生物学、计算地质学、 计算气象学和计算材料学等，计算数学中 的数值计算方法则是解决“计算”问题的 桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算 工具和计算方法的效率的乘积，提高计算 方法的效率与提高计算机硬件的效率同样 重要。科学计算已用到科学技术和社会生
数 值 计 算 方 法 课 程 介 绍
在教学中，以方法为中心，以例题为载体， 将以理论基础和公式推导为中心转向以方 法的实用性和应用性为中心，增加方法的 算法设计，用算法缩短数学理论方法和应 用方法的距离，结合课程内容介绍相关的 新方法，注重拓宽学生数值方法的知识面。 怎样学习“计算方法”课程 认清方法的计算对象，了解方法计算原 理和计算步骤； 用简单的模拟数据调用方法； 选择某种高级语言，编制3-5道程序并在 计算机上运行。
数 值 计 算 方 法 课 程 介 绍
计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 常微分方程中的数学问题。内容包括：误差 理论、插值和拟合、数值微分和数值积分、 求解线性方程组的直接法和迭代法、求解非 线性方程组的迭代法和常微分方程数值解等 问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的 数值解。 在学习计算方法课程中，对数学系“数 学与应用数学”和“信息和计算科学”专业 的学生，教学内容侧重方法的理论部分；对一 般理工科的学生，教学内容侧重方法的实用 性和实验性部分；我们的宗旨是兼顾方法的 基本理论和实用性。
活的各个领域中。
数 值 计 算 方 法 课 程 介 绍
பைடு நூலகம்
数值计算方法，是一种研究并解决数学问 题的数值近似解方法，是在计算机上使用的 解数学问题的方法，简称计算方法。 在科学研究和工程技术中都要用到各种计 算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽 车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设 计中都有计算方法的踪影。 计算方法既有数学类课程中理论上的抽象 性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特 征，计算方法是一门理论性和实践性都很强 的学科。在70年代，大多数学校仅在数学系 的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及， 现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学 生的必修课程。
数值计算方法课件
2020/8/1
4
1.1 算法
一、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数学问题
时，常常要事先拟定一个计算方案，规划一下计算的步骤。 所谓算法，就是指在求解数学问题时，对求解方案和计算 步骤的完整而明确的描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一个方法 是程序流程图。算法也可以用人的自然语言来描述。如果 用计算机能接受的语言来描述算法，就称为程序设计。
1 x ne x1d x
0
x ne x1
1 0
1 n x n1e x1d x
0
1 n 1 x n 1 e x 1 d x 0
2020/8/1
17
或
En 1 nEn1 （ n=2， 3， ...）
这里
1 E1 e 0.3678794412
E1
1 xe x1dx
0
1 xd e x 1 0
如
取
E
的
20
近
似
值
为
零
，
以
它
为
起
始
值
，
则
起
始
误
差
最
大
为
1。 21
此
误
差
在
求
E 1 9时
乘
了
1， 20
因
此
E
1
的9ຫໍສະໝຸດ 误差最大
为
1 20
1。 21
E
的
9
误
差
最
大
，
为
1 10
1 11
时 ， 起 始 误 差 已 减 小 至 2.5 10 8。
1 20
1。 21
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过数学模型和计算机算法来解决实际问题的方法。
它包括了数值分析、数值逼近、数值代数、数值微分方程等多个领域。
数值计算方法在科学工程领域有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学、经济学和工程学等领域都有着重要的地位。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，并探讨其在实际问题中的应用。
一、数值计算方法的基本原理。
数值计算方法的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后通过计算机算法来求解这个数学模型。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的方程或者函数，无法通过解析方法求解。
这时就需要借助数值计算方法来进行近似求解。
数值计算方法主要包括了离散化、逼近和求解三个步骤。
1. 离散化。
离散化是将连续的问题转化为离散的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些连续的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要将连续的问题转化为离散的问题，然后通过计算机算法来求解。
离散化的方法有很多种，比如有限差分法、有限元法、谱方法等。
2. 逼近。
逼近是指通过一些简单的函数或者多项式来近似表示复杂的函数或者方程。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要通过逼近的方法来近似表示这个函数或者方程，然后通过计算机算法来求解。
逼近的方法有很多种，比如插值法、拟合法、最小二乘法等。
3. 求解。
求解是指通过计算机算法来求解离散化的问题或者逼近的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的离散化问题或者逼近问题，无法直接求解。
这时就需要通过计算机算法来求解这个离散化问题或者逼近问题。
求解的方法有很多种，比如迭代法、直接法、迭代法等。
二、数值计算方法的常用技术。
数值计算方法有很多种常用技术，下面将介绍一些常用的技术。
1. 有限差分法。
有限差分法是一种常用的离散化方法，它将微分方程转化为差分方程，然后通过计算机算法来求解。
有限差分法的基本思想是将函数在一些离散点上进行逼近，然后通过差分近似来求解微分方程。
数值计算方法简介
3、常用的数值分析软件 （2）分析计算模块
前处理阶段完成建模以后，用户可以在求解阶段获得 分析结果。 在该阶段，用户可以定义分析类型，分析选项，载荷 数据和载荷步选项，然后开始有限元求解。 （3）后处理模块
ANSYS软件的后处理过程包含两个部分：通用后处理 模块和时间历程后处理模块。通过用户界面可以很容易 的获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.1 ANSYS软件功能简介
ANSYS软件主要分为三个部分，前处理模块，分析计算模 块和后处理模块。
（1）前处理模块
该软件提供了强大的实体建模和网格划分工具，用户可 以方便的构造有限元模型，它提供了多种以上的单元模型 ，用来模拟工程中的各种材料和结构。
ANSYS提供了两种实体建模方法，自顶向下和自底向上 。
2、常用的数值计算方法
2.1.1 有限差分法的基本思想
（1）把连续的定解区域用有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点称作网格的节点； （2）把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似； （3）以Taylor 级数展开等方法把控制方程和定解 条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于 是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 ，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解； （4）然后再利用插值方法便可以从离散解得到定 解问题在整个区 域上的近似解。
《数值计算方法》课件 (2)
模拟仿真
应用数值计算方法进行仿真和实 验，验证理论和验证结果。
数值计算方法的发展
历史演变
回顾数值计算方法的发展历程和重要里程碑。
未来趋势
展望数值计算方法在人工智能和大数据时代的 应用前景。
数值计算方法与其他学科的关联
1
数学
数值计算方法是数学在计算科学中的具体应用。
2
计算机科学
数值计算方法依赖于计算机科学的算法和数据结构。
2
优化算法
探讨数值计算方法的优化法，如梯度下降和共轭梯度法。
3
实际应用
展示数值计算方法在实际问题中的应用，如最优化和插值。
数值计算方法的误差分析
1 精度和稳定性
解释数值计算方法的精度 和稳定性以及其对计算结 果的影响。
2 截断误差
讨论数值计算方法中的截 断误差产生原因和如何减 小误差。
3 舍入误差
3
工程学
数值计算方法在工程学中的应用广泛，如结构分析和流体力学。
结语
数值计算方法是计算科学和工程学中的基础领域，掌握数值计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
解释数值计算方法中的舍 入误差，以及浮点数表示 和运算的限制。
数值计算
数值计算是利用计算机进行数值计算的过程，通过数值计算方法解决实际问题，如方程求解和函数逼近。
数值计算方法的选择
决策方面
评估不同数值计算方法在特定问 题上的可行性和效果。
数据分析
比较数值计算方法在数据处理和 模型拟合中的效率和准确性。
《数值计算方法》PPT课件 (2)
数值计算方法的介绍 - 什么是数值计算方法 - 数值计算方法的应用领域 - 数值计算方法的重要性 数值计算方法的基本原理 - 数值计算方法的概念 - 常用的数值计算方法 - 数值计算方法的数学原理
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（2）缺点
l）该软件建模不是太方便； 2）非线性计算能力比较差，收敛速度非常慢； 3）土木材料的本构关系很少； 4）没有undo功能，某地方错了只能从新再来
3、常用的数值分析软件
3.2 ABAQUS
ABAQUS 是一套功能强大的工程模拟的有限元软件， 其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的 非线性问题。 ABAQUS 包括一个丰富的、可模拟任意几 何形状的单元库。并拥有各种类型的材料模型库，可以 模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分 子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材 料以及土壤和岩石等地质材料。作为通用的模拟工具 ， ABAQUS 除了能解决大量结构（应力 / 位移）问题 ，还可以模拟其他工程领域的许多问题，例如热传导、 质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（ 流体渗透 / 应力耦合分析）及压电介质分析。
2、常用的数值计算方法
2.2.2 有限元法的基本计算步骤
（1）问题及求解域定义； （2）求解域离散化； （3）确定状态变量及控制方法； （4）单元推导； （5）总装求解； （6）联立方程组求解和结果解释
2、常用的数值计算方法
2.2.3 有限元法的优缺点
有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足； 但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太 多的模型,计算速度慢
2、常用的数值计算方法
2.1 有限差分法（FDM）
有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数 写成变量，在不同的时间或空间点值的差分形式的方 法。它是以变量离散取值后对应的函数值来近似微分 方程中独立变量的连续取值。有限差分法在土木工程 ，材料成型等领域应用比较的普遍，它与有限元等方 法一起成为计算机模拟技术的主要数值分析方法。
2、常用的数值计算方法
2.2 有限元法（FEA）
有限元法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问 题后再求解，它是用有限个单元将连续体离散化，通 过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题 的一种数值方法。
2、常用的数值计算方法
2.2.1 有限元法的基本思想
基本思想是把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一 个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连 接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未 知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函 数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组， 从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限 自由度问题。
数值计算方法简介
目录 CONTENTS
1、数值计算简介
2、常用的数值计算方法
3、常用的数值分析软件简介
1、数值计算简介
1.1 什么是数值计算？
数值计算是指有效使用数字计算机求数学问题近 似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科，它 主要研究求解数学模型的算法及相关理论，是求解数 学模型的不可缺少的途径和手段，它伴随计算机的发 展而发展。数值计算作为计算数学的主要部分, 它是 研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其 理论与软件实现, 是一门与计算机使用密切结合的实 用性和实践性很强的数学课程, 是应用数学专业、信 息与计算科学专业及很多理工科专业的核心课程。
3、常用的数值分析软件 （2）分析计算模块
前处理阶段完成建模以后，用户可以在求解阶段获得 分析结果。 在该阶段，用户可以定义分析类型，分析选项，载荷 数据和载荷步选项，然后开始有限元求解。 （3）后处理模块
ANSYS软件的后处理过程包含两个部分：通用后处理 模块和时间历程后处理模块。通过用户界面可以很容易 的获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
2、常用的数值计算方法
2.3 其他数值计算方法
除了以上两种数值计算方法外，还有有限体积法，边界 元法等其他数值计算方法，因为应用不是很广泛，这里就 不再详细介绍。
3、常用的数值分析软件
3.1 ANSYS
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一 体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分 析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接 口，实现数据的共享和交换
2、常用的数值计算方法
2.1.2 有限差分法的具体操作
（1）用差分代替微分方程中的微分，将连续变化 的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； （2）求解差分方程组。 在第一步中，我们通过所谓的网格分割法，将函 数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用 的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现 和减少计算的复杂性。 在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的 计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近 似值。
3、常用的数值分析软件
ABAQUS优缺点
与ANSYS相比，他是基于点线面体的思想建立有限元 模型，ABAQUS是基于装配思想建立有限元模型，在线性 分析方面，二者基本差不多，而ABAQUS在非线性方面的 分析能力比较强，另外ABAQUS操作界面比较友好不是其 他CAE软件可以比拟的，同时接口python语言，比较强 大。
2、常用的数值计算方法
2.1.1 有限差分法的基本思想
（1）把连续的定解区域用有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点称作网格的节点； （2）把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似； （3）以Taylor 级数展开等方法把控制方程和定解 条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于 是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 ，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解； （4）然后再利用插值方法便可以从离散解得到定 解问题在整个区 域上的近似解。
3、常用的数值分析软件
1.1 ANSYS软件功能简介
ANSYS软件主要分为三个部分，前处理模块，分析计算模 块和后处理模块。
（1）前处理模块
该软件提供了强大的实体建模和网格划分工具，用户可 以方便的构造有限元模型，它提供了多种以上的单元模型 ，用来模拟工程中的各种材料和结构。
ANSYS提供了两种实体建模方法，自顶向下和自底向上 。